Ускорение системы физика. Нормальное ускорение

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

За секунду (русское обозначение: м/с 2 ; международное: m/s 2 ).

Ускорение в кинематике точки

Наиболее общий случай

Ускорение и связанные величины

a → = d v → d t = d 2 r → d t 2 . {\displaystyle {\vec {a}}={d{\vec {v}} \over dt}={d^{2}{\vec {r}} \over dt^{2}}.}

Если на траектории точки известны координаты r → (t 0) = r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}(t_{0})={\vec {r}}_{0}} и вектор скорости v → (t 0) = v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}(t_{0})={\vec {v}}_{0}} в какой-либо момент времени t 0 , а также зависимость ускорения от времени a → (t) , {\displaystyle {\vec {a}}(t),} то, интегрируя это уравнение, можно получить координаты и скорость точки в любой момент времени t (как до, так и после момента t 0 ):

v → (t) = v → 0 + ∫ t 0 t a → (τ) d τ , {\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}{\vec {a}}(\tau)d\tau ,} r → (t) = r → 0 + (t − t 0) v → 0 + ∫ t 0 t ∫ t 0 ξ a → (τ) d τ d ξ . {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\int _{t_{0}}^{\xi }{\vec {a}}(\tau)d\tau d\xi .} j → = d a → d t , {\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {a}}}{\mathrm {d} t}},} где j → {\displaystyle {\vec {j}}} - вектор рывка.

Анализ движения по кривой

Траекторию движения материальной точки на малом участке можно считать плоской. Вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису { τ → , n → , b → } : {\displaystyle \left\{{\vec {\tau }},{\vec {n}},{\vec {b}}\right\}:}

a → = a τ τ → + a n n → + a b b → = d v d t τ → + v 2 R n → + a b b → , {\displaystyle {\vec {a}}={a}_{\tau }{\vec {\tau }}+{a}_{n}{\vec {n}}+{a}_{b}{\vec {b}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }}+{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {n}}+{a}_{b}{\vec {b}},} v {\displaystyle v\ } - величина скорости, τ → = v → / | v → | {\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {v}}/|{\vec {v}}|} - единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт), - орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении d τ → / d l , {\displaystyle d{\vec {\tau }}/dl,} b → {\displaystyle {\vec {b}}} - орт бинормали к траектории, перпендикулярный одновременно ортам τ → {\displaystyle {\vec {\tau }}} и n → {\displaystyle {\vec {n}}} (то есть ортогональный к мгновенной плоскости траектории), R {\displaystyle R} - радиус кривизны траектории.

Слагаемое a b b → , {\displaystyle {a}_{b}{\vec {b}},} называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов n → , b → : {\displaystyle {\vec {n}},{\vec {b}}:} можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же был ортогонален первому.

Векторы a τ τ → {\displaystyle {a}_{\tau }{\vec {\tau }}} и a n n → {\displaystyle {a}_{n}{\vec {n}}} называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения при движении по любой траектории можно записать как:

a → = a τ τ → + a n n → = d v d t τ → + v 2 R n → . {\displaystyle {\vec {a}}={a}_{\tau }{\vec {\tau }}+{a}_{n}{\vec {n}}={\frac {dv}{dt}}{\vec {\tau }}+{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {n}}.}

Важные частные случаи

Равноускоренное движение

Если вектор a → {\displaystyle {\vec {a}}} не меняется со временем, движение называют равноускоренным . При равноускоренном движении вышеприведённые общие формулы упрощаются до следующего вида:

v → (t) = v → 0 + (t − t 0) a → , {\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {a}},} r → (t) = r → 0 + (t − t 0) v → 0 + (t − t 0) 2 2 a → . {\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){\vec {v}}_{0}+{(t-t_{0})^{2} \over 2}{\vec {a}}.}

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела - плоскопараллельным (поступательным). Обратное, вообще говоря, неверно.

Равноускоренное движение при переходе в другую инерциальную систему отсчёта остаётся равноускоренным.

Случай равноускоренного движения, когда ускорение (постоянное) и скорость направлены по одной прямой, но в разных направлениях, называется равнозамедленным движением. Равнозамедленное движение всегда одномерно. Движение можно рассматривать как равнозамедленное лишь до того момента, пока скорость не станет равной нулю. Кроме того, всегда существуют инерциальные системы отсчёта, в которых движение не является равнозамедленным.

Прямолинейное движение

Важным частным случаем движения с ускорением является прямолинейное движение, когда ускорение в любой момент времени коллинеарно скорости (например, случай падения тела с вертикальной начальной скоростью). В случае прямолинейного движения можно выбрать одну из координатных осей вдоль направления движения и заменить радиус-вектор и векторы ускорения и скорости на скаляры. При постоянном ускорении из приведённых выше формул вытекает, что

v 2 = u 2 + 2 a s . {\displaystyle v^{2}=u^{2}+2\,as.}

Здесь u и v - начальная и конечная скорость тела, a - его ускорение, s - пройденный телом путь.

Ряд практически важных формул связывают затраченное время, пройденный путь, достигнутую скорость и ускорение при равноускоренном прямолинейном движении с нулевой начальной скоростью:

t = 2 s a = v a = 2 s v , s = v t 2 = a t 2 2 = v 2 2 a , {\displaystyle t={\sqrt {\frac {2s}{a}}}={\frac {v}{a}}={\frac {2s}{v}},\qquad \qquad s={\frac {vt}{2}}={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {v^{2}}{2a}},} v = 2 a s = a t = 2 s t , a = v t = 2 s t 2 = v 2 2 s , {\displaystyle v={\sqrt {2\,as}}=at={\frac {2s}{t}},\qquad \qquad a={\frac {v}{t}}={\frac {2s}{t^{2}}}={\frac {v^{2}}{2s}},}

так что любые две из этих величин определяют две другие (здесь предполагается, что время отсчитывается от начала движения, t 0 = 0 ).

Движение по окружности

Вектор ускорения

a → = d v → d t {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

a → = a → τ + a → n . {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{\tau }+{\vec {a}}_{n}.} a → B = a → A + [ ω → × [ ω → × A B → ] ] + [ ε → × A B → ] , {\displaystyle {\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+\left[{\vec {\omega }}\times \left[{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}\right]\right]+\left[{\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}\right],}

где ε → {\displaystyle {\vec {\varepsilon }}} - вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением , а третье - вращательным ускорением .

Создание ускорения. Динамика точки

Классическая механика

u i a i = 0 . {\displaystyle u_{i}a^{i}=0\,.}

Это означает, в частности, что 4-скорости меняются не по модулю, а лишь по направлению: независимо от направления в пространстве-времени 4-скорость любого тела равна по модулю скорости света. Геометрически, 4-ускорение совпадает с кривизной мировой линии и является аналогом нормального ускорения в классической кинематике.

В классической механике значение ускорения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея . В релятивистской механике 4-ускорение является 4-вектором, то есть при преобразованиях Лоренца изменяется аналогично пространственно-временным координатам.

"Обычный" трёхмерный вектор ускорения (то же, что a → (t) {\displaystyle {\vec {a}}(t)} в предыдущих разделах, обозначение заменено во избежание путаницы с 4-ускорением), определяемый как производная "обычной" трёхмерной скорости v → {\displaystyle {\vec {v}}} по координатному времени w → = d v → / d t {\displaystyle {\vec {w}}=d{\vec {v}}/dt} , применяется и в рамках релятивистской кинематики, но инвариантом преобразований Лоренца не является. В мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта 4-ускорение - это a = (0 , w →) . {\displaystyle a=(0,{\vec {w}}).} При действии постоянной силы ускорение точки w → {\displaystyle {\vec {w}}} уменьшается с ростом скорости, однако 4-ускорение остаётся неизменным (такой случай именуют

Определение

Ускорением (мгновенным ускорением) называют вектор, который определяет быстроту, с которой изменяется скорость перемещающейся материальной точки.

Обычно ускорение обозначают . В теоретической механике встречается обозначение ускорения: . Математическим определением мгновенного ускорения являются выражения:

где – скорость движения материальной точки

где – радиус – вектор, который определяет положение материальной точки в пространстве.

Вектор ускорения располагается в плоскости соприкосновения, в которой находится главная нормаль и касательная к траектории, при этом он имеет направление в сторону вогнутости траектории.

Единицы измерения ускорения

Основными единицами измерения ускорения в системе СИ является: [a]=м/с 2

в СГС: [a]=см/с 2

Виды ускорения

Если построить соприкасающуюся плоскость, в любой точке траектории, то вектор разложим на две взаимно перпендикулярные составляющие:

где - вектор, направленный по главной нормали к центру кривизны траектории материальной точки – это нормальное ускорение; - вектор, направленный по касательной к траектории – это касательное ускорение. При этом выполняются равенства:

где – модуль вектора скорости, R – радиус кривизны траектории, a n – проекция вектора на направление единичного вектора главной нормали , a т – проекция вектора на направление единичного вектора касательной . Величина a n определяет быстроту изменения направления скорости, а величина a т - быстроту изменения модуля скорости.

Если , то такое движение называют равномерным. Приa_ движение является равнопеременным (при равнозамедленным, при равноускоренным).

Средним ускорением материальной точки на отрезке времени от до называется векторная величина, равная отношению:

При в пределе среднее ускорение совпадает с мгновенным ускорением:

Формула ускорения в разных системах координат

В декартовых координатах проекции ускорения (a x ,a y ,a z) на оси (X,Y,Z)можно представить как:

Соответственно, имеем:

где – единичные орты по осям X,Y.Z. При этом модуль ускорения равен:

В цилиндрической системе координат имеем:

В сферической системе координат модуль ускорения можно найти как:

Примеры решения задач

Пример

Задание. Материальная точка движется по окружности (рис.1), которая имеет радиус R=2м, уравнение движения: , гдеtв секундах, а S в метрах. Каков модуль ускорения данной точки при t=3 c?

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу:

Используя заданное уравнение движения, найдем модуль скорости материальной точки:

Продифференцировав уравнение для модуля скорости (1.2) по времени получим тангенциальную составляющую ускорения:

Для вычисления нормальной составляющей скорости движения нашей материальной точки следует, используя выражение (1.2) найти:

Используя выражение (1.1) вычислим искомое ускорение:

Ответ. м/с 2

Пример

Задание. Какова зависимость ускорения материальной точки от времени (a(t)), если частица перемещается по оси Xи ее скорость изменяется в соответствии с уравнением: , где – постоянная большая нуля? В начальный момент времени (при t=0 с) материальная точка находилась в начале координат (x=0 м). Нарисуйте график a(t).

Решение. Из условий задачи можно записать, что:

Используя формулу (2.1) найдем зависимость координаты xот времени (x(t)):

где постоянную интегрирования найдем из начального условия задачи. Мы знаем, что x(0)=0, значит C=0. Имеем:

Используя формулу для нахождения ускорениядля нашего случая (движение по оси X):

получим искомое выражение для a(t):

Ответ. ускорение от времени не зависит, значит, график a(t) принимает вид (рис.2).

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.


У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

Так, при разгоне по прямолинейному участку пути направления векторов скорости и ускорения совпадают (угол между векторами скорости и ускорения) (рис.1,а). 2) Если точка движется влево, направление ее скорости совпадает с направлением вектора ускорения, и движение в этом случае будет ускоренным. Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости. Однако в физике нет термина «замедление». Ускорение, как и скорость, обладает знаком.


Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел). Ускорение тела называется величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло и умноженному на единицу времени.

Что согласуется естественно с действиями тел в природе, т.к. время в квадрате это нонсенс. 4. Тело не может непрерывно двигаться с ускорением. На рис. 2 показано ускорение ОА красной линией и далее тело начало двигаться с постоянной скоростью АБ –синяя линия. Ускорение произошло почти мгновенно. Обычно так и происходит в природе. В самом начале 1-ое тело стояло на месте относительно какого либо объекта. На рис. 4 тело находилось в состоянии покоя, имея скорость = 0м\сек.

Фактически же ускорение при каждом цикле происходило мгновенно, а время между каждыми ударами происходило в течении 3 сек. Всего же было 3 удара, согласно нашему рисунку. Тогда можно узнать точное ускорение. Получилось ускорение в 21м\сек, которое происходило только 1 раз в начале каждых трёх секунд. Также надо уяснить, что тело не двигалось с ускорением целуюсекунду, достигнув в конце секунды скорости в 21м\сек.

Мгновенное ускорение

И практически никакого расстояния тело не проходит во время ускорение. Есть только расстояние колебания атомов и молекул в теле. А это расстояние равно доли миллиметра. Обычно при равномерно ускоренном движении на тело действуют несколько ударов, и оно периодически получает ускорение. 0t можно также сделать как пройденный путь телом, получающим ускорение. Тогда мы ясно увидим, что в каждый промежуток времени тело проходило определённое расстояние.

Получив же ускорение, наше тело уже далее двигалось с постоянной скоростью, пока на него не подействовал следующий удар. И так происходило постоянно в трёх случаях. Если бросить камень под углом к горизонту, то его скорость будет меняться и по модулю, и по направлению. Изменение скорости тела может происходить как очень быстро (движение пули в канале ствола при выстреле из винтовки), так и сравнительно медленно (движение поезда при его отправлении).

Скорость шара уменьшается («минус») и скорость имеет отрицательную величину по направлению («минус»). В итоге, два «минуса» дадут «плюс» — положительное значение ускорения. По аналогии со скоростью ускорение может быть средним и мгновенным.

Тангенциальное ускорение

Например, при резком нажатии педали тормоза автомобиль получает большое ускорение в первый момент времени. Если же водитель затем отпустит педаль тормоза, то ускорение уменьшится. Однако, существует и равномерное ускорение, самый яркий пример которого — это ускорение свободного падения, которое равно 9,8 м/с2, направлено к центру Земли и всегда постоянно.

3. Равномерное и неравномерное ускорение

В общем случае равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения. Для кинематического описания движения камня систему координат удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY, была направлена параллельно вектору ускорения.

Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины. В этой формуле υ0 – скорость тела при t = 0 (начальная скорость), a = const – ускорение.

Нормальное ускорение

Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ0, υ, s, a, y0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Любое физическое явление или процесс в окружающем нас материальном мире представляет собой закономерный ряд изменений, происходящих во времени и пространстве.

Механическое движение тел изучается в разделе физики, который называется механикой. Основная задача механики – определить положение тела в любой момент времени. В механике Ньютона движение тел рассматривается при скоростях, много меньше скорости света в пустоте. Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих.

Планирование