В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X 1 , X 2 ,... , X n – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m , d , и h .

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X 1 , X 2 , ... , X n всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX 1 ñ, áX 2 ñ, …, áX n ñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áY ñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX 1 , DX 2 , ..., DX n , воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

где ¶Y¤¶X 1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X 1 , X 2 , …, X n (когда берется частная производная, например по X 1 , то все остальные величины X i в формуле считаются постоянными), DX i – абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y , получим

Но так как , то можно записать

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h ,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Y i . Далее, принимая каждое из значений Y i (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áY ñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y .

Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.

Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид: .

Здесь и - постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число , то соответственно изменится на :

Если - погрешность измеренной величины Z , то соответственно будет погрешностью вычисляемой величины Y .

Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции одной переменной . Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению аргумента z 0 соответствует точное значение функцииy 0 = f(z 0).

Измеренное значение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.

Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:

. (10)

Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
. (11)

Учитывая, что дифференциал функции равен , получим

(12)

Если косвенное измерение представляет собой функцию m переменных , то погрешность косвенного измерения будет зависеть от погрешностей прямых измерений . Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим . Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:

(13)

Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.

Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей

косвенного измерения :

или с учетом (13)

(14)

Относительная погрешность косвенного измерения определяется по формуле:

Или с учетом (11) и (12)

. (15)

Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):

Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погрешности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».

Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:

Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные производные:

; ; .

Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:

(17)

После подстановка результатов прямых измерений

{ ; } в (17) получаем:

(18)

Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g :

Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата:

, α ≈ 1. (19)

При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.

Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 .

Для получения более точного значения ускорения свободного падения g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность , которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.

Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:

. (20)

В табл.4 представлены результаты измерения времени для N = 10

Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:

По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:

.

.

Окончательный результат записывается в виде:

; ; .

В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.

В физических экспериментах чаще бывает так, что искомая физическая величина сама на опыте измерена быть не может, а является функцией других величин, измеряемых непосредственно. Например, чтобы определить объём цилиндра, надо измерить диаметр D и высоту h , а затем вычислить объем по формуле

Величины D и h будут измерены с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V получится также с некоторой ошибкой. Надо уметь выражать погрешность вычисленной величины через погрешности измеренных величин.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина φ является функцией нескольких переменных Х, У, Z …

φ(Х, У, Z …).

Путем прямых измерений мы можем найти величины , а также оценить их средние абсолютные ошибки … или средние квадратичные ошибки s Х, s У, s Z …

Тогда средняя арифметическая погрешность Dj вычисляется по формуле

где - частные производные от φ по Х, У, Z. Они вычисляются для средних значений …

Средняя квадратичная погрешность вычисляется по формуле

Пример. Выведем формулы погрешности для вычисления объёма цилиндра.

а) Средняя арифметическая погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой DD и Dh.

б) Средняя квадратичная погрешность.

Величины D и h измеряются соответственно с ошибкой s D , s h .

Погрешность величины объёма будет равна

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность. Для этого (в случае средней арифметической погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение.

2. Продифференцировать его.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.

5. Заменить значки дифференциалов d на значки абсолютной погрешности D.

В итоге получится формула для относительной погрешности

Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj

Пример.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность

Правила представления результатов измерения следующие:

1) погрешность должна округляться до одной значащей цифры:

правильно Dj = 0,04,

неправильно - Dj = 0,0382;

2) последняя значащая цифра результата должна быть того же порядка величины, что и погрешность:

правильно j = 9,83±0,03,

неправильно - j = 9,826±0,03;

3) если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать показательную форму записи - одну и ту же для результата и его погрешности, причем запятая десятичной дроби должна следовать за первой значащей цифрой результата:

правильно - j = (5,27±0,03)×10 -5 ,

неправильно - j = 0,0000527±0,0000003,

j = 5,27×10 -5 ±0,0000003,

j = = 0,0000527±3×10 -7 ,

j = (527±3)×10 -7 ,

j = (0,527±0,003) ×10 -4 .

4) Если результат имеет размерность, ее необходимо указать:

правильно – g=(9,82±0,02) м/c 2 ,

неправильно – g=(9,82±0,02).

Правила построения графиков

1. Графики строятся на миллиметровой бумаге.

2. Перед построением графика необходимо четко определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией. Значения аргумента откладываются на оси абсцисс (ось х ), значения функции - на оси ординат (ось у ).

3. Из экспериментальных данных определить пределы изменения аргумента и функции.

4. Указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин.

5. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их (крестиком, кружочком, жирной точкой).

6. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой.

Оценка погрешности прямых многократных измерений

При оценке погрешности прямых многократных измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

.

Задается значение доверительной вероятности Р. В лабораториях практикума принято задавать Р=0,95.

.

Определяется суммарная погрешность

,

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

Оценивается относительная погрешность результата измерений

.

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

, Р=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений
рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

Оценка погрешности косвенных многократных измерений

При оценке погрешности косвенных многократных измерений
, являющейся функцией других независимых величин
, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений
вычисляется
, а затем определяется среднее арифметическое из всех значенийy i

.

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина
рассчитывается по средним значениям
.. Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

,

где - приборные ошибки прямых измерений величины,- частные производные функции по переменной.

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с Р=… Е=…%.

Пример , получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

,
.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра имеет следующий вид

,

где
и
приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

Пример : Определить погрешность мощности, которая рассеивается в резисторе по формуле
со следующими величинами тока и сопротивления резистору, которые определяются прямым измерением: R = 1,10 ± 0.05 Ом; I = 1,20 ± 0.05 A. Результаты приведены со средними квадратичными отклонениями средних арифметических R и I . Оценка истинного (среднего) значения мощности:

Вт

Для оценки точности полученного значения вычисляем частичные производные и частичные погрешности косвенных измерений:

= 1,2 2 ·0,05=0,072 А 2 Ом;

=2·1,2·1,1·0,05= 0,132 А 2 Ом

Среднее квадратичное отклонение косвенного измерения мощности, которое вычислено за формулой составляет

=0, 15 А 2 Ом =0,15 Вт.

Р = 1,58 ± 0.15 Вт.

Лекция №8

Обработка результатов измерений

Прямые однократные и многократные измерения.

1. Прямые однократные измерения .

В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей от воздействия влияющих величин. Максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) можно найти суммированием составляющих по абсолютной величине:

Более реальную оценку погрешности можно получить статистическим сложением составляющих погрешности:

где - граница i-й неисключенной составляющей систематической погрешности; k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р =0,95, коэффициент k =1,11); m - число не исключённых составляющих.

Результат измерения записывается по первой форме записи результатов:

где - результат однократного измерения; - суммарная погрешность результата измерений; Р - доверительная вероятность (при Р =0,95 может не указываться).

При проведении измерений в нормальных условиях можно считать

2. Прямые многократные измерения.

Точно оценить действительное значение измеряемой величины можно лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений – значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

В процессе обработки результатов наблюдений необходимо последовательно решить следующие основные задачи:

Определить точечные и интегральные оценки закона распределения результатов измерений по формулам:

где D(x) – точечная оценка дисперсии;

Исключить «промахи» (по одному из критериев);

Устранить систематические погрешности измерений;

Определить доверительные границы не исключённого остатка систематической составляющей, случайной составляющей и общей погрешности результата измерения;

Записать результат измерения.

Оценивание погрешности косвенных измерений. Основные принципы и этапы расчетов. ГОСТы на обработку результатов.

Погрешности косвенных измерений

Оценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях:

1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малы по сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).

2. Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принята одна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.

3. Наиболее вероятное значение искомой величины получается, если для ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е. их средние арифметические значения.

Погрешность в случае одной исходной величины.

Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y , измеряемая косвенно, зависит только от одной величины a , полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a , определяются средним арифметическим значением и полной абсолютной погрешностью a величины a . Это значит, что значение a может лежать внутри интервала с границами ± a .

При косвенном измерении для величины y (a ) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением = y () и погрешностью y , т.е. значения y лежат внутри интервала с границами ± y . Верхней границей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответствующее верхней границе a , т.е. значение + y = y ( + а ) . Таким образом, абсолютная погрешность y величины y имеет вид приращения функции y(a) , вызванного приращением ее аргумента a на величину a его абсолютной погрешности. Следовательно, можно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, согласно которому при малых значениях a приращение y можно приближенно выразить в виде

Здесь - производная по a функции y(a) при a = .

Таким образом, абсолютная погрешность окончательного результата может быть вычислена с помощью формулы (1), причем доверительная вероятность соответствует той доверительной вероятности, которую имеет a .

Относительная погрешность. Чтобы найти относительную погрешность значения y , поделим (1) на y и примем во внимание, что

представляет собой производную по a натурального логарифма y . В результате получится

Если в это выражение подставить a = и y = , то его значение и будет относительной погрешностью величины y .

Для обработки результатов измерений используется ГОСТ 8.207-76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».

8.3. Результат измерения и оценка его среднего квадратического отклонения:

1. Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают.

2. За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.

3. Среднее квадратическое отклонение S результата наблюдения оценивают согласно НТД.

4. Среднее квадратическое отклонение результата измерения оценивают по формуле

,

где х i - i -й результат наблюдения;

Результат измерения (среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений);

n - число результатов наблюдений;

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

8.4. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения:

1. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

1.1. При числе результатов наблюдений n >50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению по НТД предпочтительным является один из критериев: χ 2 Пирсона или ω 2 Мизеса - Смирнова.

Рост и развитие