Definicja. Matryca rozmiar m'n, gdzie m to liczba wierszy, n to liczba kolumn, nazywa się tabelą liczb ułożonych w określonej kolejności. Liczby te nazywane są elementami macierzy. Położenie każdego elementu jest jednoznacznie określone przez numer wiersza i kolumny, na przecięciu których się znajduje. Elementy macierzy są oznaczone symbolem ij, gdzie i to numer wiersza, a j to numer kolumny.

Podstawowe operacje na macierzach.

Macierz może składać się z jednego wiersza lub jednej kolumny. Ogólnie rzecz biorąc, macierz może składać się nawet z jednego elementu.

Definicja. Jeżeli liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy (m=n), wówczas nazywa się macierz kwadrat.

Definicja. Jeśli = , wówczas nazywa się macierz symetryczny.

Przykład.- macierz symetryczna

Definicja. Nazywa się macierz kwadratową postaci przekątna matryca.

Definicja. Macierz diagonalna mająca tylko jedynki na głównej przekątnej:

= mi, zwany macierz jednostkowa.

Definicja. Nazywa się macierz, która ma tylko zero elementów pod główną przekątną górna macierz trójkątna. Jeśli macierz ma tylko elementy zerowe powyżej głównej przekątnej, to nazywa się ją dolna macierz trójkątna.

Definicja. Obie macierze nazywane są równy, jeśli mają ten sam wymiar i zachodzi równość:

· Dodawanie i odejmowanie macierzy sprowadza się do odpowiednich operacji na ich elementach. Najważniejszą właściwością tych operacji jest to, że zdefiniowane tylko dla macierzy o tym samym rozmiarze. W ten sposób można zdefiniować operacje dodawania i odejmowania na macierzy:

Definicja. Suma (różnica) macierze to macierz, której elementy są odpowiednio sumą (różnicą) elementów macierzy pierwotnych.

C = A + B = B + A.

· Operacja mnożenie (dzielenie) macierz dowolnej wielkości przez dowolną liczbę sprowadza się do pomnożenia (podzielenia) każdego elementu macierzy przez tę liczbę.

a (A+B) =aA ± aB

A(a±b) = aA ± bA

Przykład. Dane macierze A = ; B = , znajdź 2A + B.

2A = , 2A + B = .

· Definicja: Praca macierze to macierz, której elementy można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

Z powyższej definicji jasno wynika, że ​​operację mnożenia macierzy definiuje się tylko dla macierzy liczba kolumn pierwszego z nich jest równa liczbie wierszy drugiego.

Przykład.

· Definicja. Nazywa się macierz B transponowane macierz A i przejście z A do B transpozycja, jeśli elementy każdego wiersza macierzy A są zapisane w tej samej kolejności w kolumnach macierzy B.

ZA = ; B = ZA T = ;

innymi słowy, = .

odwrotna macierz.

Definicja. Jeżeli istnieją macierze kwadratowe X i A tego samego rzędu spełniające warunek:

gdzie E jest macierzą jednostkową tego samego rzędu co macierz A, wówczas nazywa się macierz X odwracać do macierzy A i jest oznaczona przez A -1.

Każda macierz kwadratowa z niezerowym wyznacznikiem ma macierz odwrotną i tylko jedną.

odwrotna macierz

Można zbudować według następującego schematu:

Jeśli , to nazywa się macierz niezdegenerowany, i inaczej - zdegenerowany.

Macierz odwrotną można skonstruować tylko dla macierzy nieosobliwych.

Własności macierzy odwrotnych.

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

Ranga matrycy jest najwyższym rzędem niezerowych drugorzędnych tej macierzy.

W macierzy rzędu m n nazywa się moll rzędu r podstawowy, jeśli nie jest równe zeru i wszystkie nieletnie są w porządku r+1 i powyżej są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, tj. R dopasowuje mniejszą z liczb m lub n.

Kolumny i wiersze macierzy, na której opierają się stojaki mniejsze, nazywane są także kolumnami i wierszami macierzy podstawowy.

Macierz może mieć kilka różnych nieletnich bazowych, które mają ten sam rząd.

Bardzo ważną właściwością elementarnych przekształceń macierzy jest to, że nie zmieniają one rangi macierzy.

Definicja. Macierze otrzymane w wyniku przekształcenia elementarnego nazywane są macierzami równowartość.

Należy zauważyć że równy matryce i równowartość macierze to zupełnie różne pojęcia.

Twierdzenie. Największa liczba liniowo niezależnych kolumn w macierzy jest równa liczbie liniowo niezależnych wierszy.

Ponieważ przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi macierzy, wówczas proces wyznaczania rangi macierzy można znacznie uprościć.

Przykład. Określ rząd macierzy.

W tym artykule zrozumiemy, jak wykonywana jest operacja dodawania na macierzach tego samego rzędu, operacja mnożenia macierzy przez liczbę i operacja mnożenia macierzy odpowiedniego rzędu, aksjomatycznie ustalimy właściwości operacji, oraz omów także priorytety operacji na macierzach. Równolegle z teorią podamy szczegółowe rozwiązania przykładów, w których wykonywane są operacje na macierzach.

Zauważmy od razu, że wszystkie poniższe zasady dotyczą macierzy, których elementami są liczby rzeczywiste (lub zespolone).

Nawigacja strony.

Operacja dodawania dwóch macierzy.

Definicja operacji dodawania dwóch macierzy.

Operację dodawania definiuje się TYLKO DLA MACIERZY TEJ SAMEJ KOLEJNOŚCI. Innymi słowy, nie da się znaleźć sumy macierzy o różnych wymiarach i w ogóle nie da się mówić o dodawaniu macierzy o różnych wymiarach. Nie można też mówić o sumie macierzy i liczby lub sumie macierzy i jakiegoś innego elementu.

Definicja.

Suma dwóch macierzy i jest macierzą, której elementy są równe sumie odpowiednich elementów macierzy A i B, czyli .

Zatem wynikiem operacji dodawania dwóch macierzy jest macierz tego samego rzędu.

Własności operacji dodawania macierzy.

Jakie właściwości ma operacja dodawania macierzy? Odpowiedź na to pytanie jest dość łatwa, zaczynając od zdefiniowania sumy dwóch macierzy danego rzędu i pamiętając o własnościach operacji dodawania liczb rzeczywistych (lub zespolonych).

1. Macierze A, B i C tego samego rzędu charakteryzują się właściwością asocjatywności dodawania A+(B+C)=(A+B)+C.
2. Dla macierzy danego rzędu istnieje element neutralny pod względem dodawania, którym jest macierz zerowa. Oznacza to, że własność A+O=A jest prawdziwa.
3. Dla niezerowej macierzy A danego rzędu istnieje macierz (–A), której suma jest macierzą zerową: A+(-A)=O.
4. Dla macierzy A i B danego rzędu prawdziwa jest przemienność dodawania A+B=B+A.

W konsekwencji zbiór macierzy danego rzędu generuje addytywną grupę Abla (grupę abelową ze względu na algebraiczną operację dodawania).

Dodawanie macierzy - rozwiązania przykładów.

Spójrzmy na kilka przykładów dodawania macierzy.

Przykład.

Znajdź sumę macierzy i .

Rozwiązanie.

Rzędy macierzy A i B pokrywają się i są równe 4 na 2, zatem możemy przeprowadzić operację dodawania macierzy i w rezultacie powinniśmy otrzymać macierz rzędu 4 na 2. Zgodnie z definicją operacji dodawania dwóch macierzy dodawanie wykonujemy element po elemencie:

Przykład.

Znajdź sumę dwóch macierzy I których elementami są liczby zespolone.

Rozwiązanie.

Ponieważ rzędy macierzy są równe, możemy wykonać dodawanie.

Przykład.

Wykonaj trzy dodawanie macierzy .

Rozwiązanie.

Najpierw dodaj macierz A z B, następnie dodaj C do powstałej macierzy:

Mamy macierz zerową.

Operacja mnożenia macierzy przez liczbę.

Definicja operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

Operację mnożenia macierzy przez liczbę definiuje się DLA MATRYC DOWOLNEGO ZAMÓWIENIA.

Definicja.

Iloczyn macierzy i liczby rzeczywistej (lub zespolonej). jest macierzą, której elementy otrzymuje się poprzez pomnożenie odpowiednich elementów macierzy pierwotnej przez liczbę, czyli .

Zatem wynikiem pomnożenia macierzy przez liczbę jest macierz tego samego rzędu.

Własności operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

Z właściwości operacji mnożenia macierzy przez liczbę wynika, że ​​pomnożenie macierzy zerowej przez liczbę zero da macierz zerową, a iloczyn dowolnej liczby i macierzy zerowej będzie macierzą zerową.

Mnożenie macierzy przez liczbę - przykłady i ich rozwiązanie.

Przyjrzyjmy się operacji mnożenia macierzy przez liczbę na przykładach.

Przykład.

Znajdź iloczyn liczby 2 i macierzy .

Rozwiązanie.

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć każdy jej element przez tę liczbę:

Przykład.

Wykonaj mnożenie macierzy przez liczbę.

Rozwiązanie.

Mnożymy każdy element danej macierzy przez podaną liczbę:

Operacja mnożenia dwóch macierzy.

Definicja operacji mnożenia dwóch macierzy.

Operację mnożenia dwóch macierzy A i B definiuje się tylko dla przypadku, gdy LICZBA KOLUMNY MACIERZY A JEST RÓWNA LICZBIE WIERSZA MACIERZY B.

Definicja.

Iloczyn macierzy A rzędu i macierzy B rzędu- jest to macierz C rzędu, której każdy element jest równy sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A przez odpowiednie elementy j-tej kolumny macierzy B, czyli

Zatem wynikiem operacji pomnożenia macierzy porządków przez macierz porządków jest macierz porządków.

Mnożenie macierz-macierz - rozwiązania przykładów.

Przyjrzyjmy się mnożeniu macierzy na przykładach, a następnie przejdźmy do wyszczególnienia właściwości operacji mnożenia macierzy.

Przykład.

Znajdź wszystkie elementy macierzy C, którą otrzymujemy poprzez pomnożenie macierzy I .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy A wynosi p=3 przez n=2, rząd macierzy B wynosi n=2 przez q=4, zatem rząd iloczynu tych macierzy będzie wynosił p=3 przez q=4. Skorzystajmy ze wzoru

Przyjmujemy kolejno wartości i od 1 do 3 (ponieważ p=3) dla każdego j od 1 do 4 (ponieważ q=4), a w naszym przypadku n=2, wówczas

W ten sposób oblicza się wszystkie elementy macierzy C, a macierz otrzymana przez pomnożenie dwóch danych macierzy ma postać .

Przykład.

Wykonaj mnożenie macierzy i .

Rozwiązanie.

Rzędy oryginalnych macierzy pozwalają na wykonanie operacji mnożenia. W rezultacie powinniśmy otrzymać macierz rzędu 2 na 3.

Przykład.

Dane macierze i . Znajdź iloczyn macierzy A i B oraz macierzy B i A.

Rozwiązanie.

Ponieważ rząd macierzy A wynosi 3 na 1, a macierz B na 1 na 3, to A⋅B będzie miało rząd 3 na 3, a iloczyn macierzy B i A będzie miał rząd 1 na 1.

Jak widzisz, . Jest to jedna z właściwości operacji mnożenia macierzy.

Własności operacji mnożenia macierzy.

Jeśli macierze A, B i C są odpowiedniego rzędu, wówczas spełnione są następujące warunki: właściwości operacji mnożenia macierzy.

Należy zauważyć, że przy odpowiednich rzędach iloczyn macierzy zerowej O i macierzy A daje macierz zerową. Iloczyn A i O również daje macierz zerową, jeśli rzędy pozwalają na operację mnożenia macierzy.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżnia się tzw macierze permutacji, operacja mnożenia jest dla nich przemienna, to znaczy . Przykładem macierzy permutacji jest para macierzy tożsamości i dowolna inna macierz tego samego rzędu, ponieważ .

Priorytet operacji na macierzach.

Operacje mnożenia macierzy przez liczbę i mnożenia macierzy przez macierz mają równy priorytet. Jednocześnie operacje te mają wyższy priorytet niż operacja dodawania dwóch macierzy. Zatem macierz mnoży się przez liczbę i najpierw mnoży się macierz, a dopiero potem wykonuje się dodawanie macierzy. Można jednak jawnie określić kolejność wykonywania operacji na macierzach za pomocą nawiasów.

Zatem priorytet operacji na macierzach jest podobny do priorytetu przypisywanego operacjom dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

Przykład.

Dane macierze . Wykonaj określone działania na podanych macierzach .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od pomnożenia macierzy A przez macierz B:

Teraz mnożymy macierz tożsamości drugiego rzędu E przez dwa:

Dodajemy dwie powstałe macierze:

Pozostaje wykonać operację pomnożenia otrzymanej macierzy przez macierz A:

Należy zauważyć, że operacja odejmowania macierzy tego samego rzędu A i B jako taka nie istnieje. Różnica między dwiema macierzami jest zasadniczo sumą macierzy A i macierzy B, pomnożoną wcześniej przez minus jeden: .

Operacja podniesienia macierzy kwadratowej do potęgi naturalnej również nie jest niezależna, gdyż jest to sekwencyjne mnożenie macierzy.

Podsumować.

Na zbiorze macierzy zdefiniowane są trzy operacje: dodawanie macierzy tego samego rzędu, mnożenie macierzy przez liczbę i mnożenie macierzy odpowiednich rzędów. Operacja dodawania na zbiorze macierzy danego rzędu generuje grupę Abla.

Matryca wymiar to prostokątna tabela składająca się z elementów znajdujących się w M linie i N kolumny.

Elementy macierzy (pierwszy indeks I− numer wiersza, drugi indeks J− numer kolumny) mogą być liczbami, funkcjami itp. Macierze oznacza się dużymi literami alfabetu łacińskiego.

Macierz nazywa się kwadrat, jeśli ma taką samą liczbę wierszy jak liczba kolumn ( M = N). W tym przypadku numer N nazywa się rządem macierzy, a sama macierz nazywa się macierzą N-ta kolejność.

Elementy o tych samych indeksach formularz główna przekątna macierz kwadratową i elementy (tj. posiadające sumę indeksów równą N+1) − przekątna boczna.

Pojedynczy matryca jest macierzą kwadratową, której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0. Oznacza się ją literą mi.

Zero matryca− jest macierzą, której wszystkie elementy są równe 0. Macierz zerowa może mieć dowolny rozmiar.

Do numeru operacje liniowe na macierzach odnieść się:

1) dodanie macierzy;

2) mnożenie macierzy przez liczbę.

Operację dodawania macierzy definiuje się tylko dla macierzy o tym samym wymiarze.

Suma dwóch macierzy A I W zwaną macierzą Z, którego wszystkie elementy są równe sumie odpowiednich elementów macierzy A I W:

.

Produkt matrixowy A na numer k zwaną macierzą W, którego wszystkie elementy są równe odpowiednim elementom tej macierzy A, pomnożone przez liczbę k:

Operacja mnożenie macierzy wprowadza się dla macierzy spełniających warunek: liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej.

Produkt matrixowy A wymiary do matrixa W wymiar nazywany jest macierzą Z wymiary, element I-ta linia i J której setna kolumna jest równa sumie iloczynów pierwiastków I rząd macierzy A do odpowiednich elementów J kolumna macierzy W:

Iloczyn macierzy (w odróżnieniu od iloczynu liczb rzeczywistych) nie podlega prawu przemienności, tj. ogólnie A W W A.

1.2. Determinanty. Właściwości wyznaczników

Pojęcie wyznacznika wprowadza się tylko dla macierzy kwadratowych.

Wyznacznikiem macierzy drugiego rzędu jest liczba obliczona według poniższej reguły

.

Wyznacznik macierzy trzeciego rzędu to liczba obliczona według następującej reguły:

Pierwszy z wyrazów ze znakiem „+” jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej macierzy (). Pozostałe dwa zawierają elementy znajdujące się na wierzchołkach trójkątów o podstawie równoległej do głównej przekątnej (i). Znak „-” obejmuje iloczyny elementów drugiej przekątnej () oraz elementów tworzących trójkąty o podstawach równoległych do tej przekątnej (i).

Ta reguła obliczania wyznacznika trzeciego rzędu nazywana jest regułą trójkąta (lub regułą Sarrusa).

Właściwości wyznaczników Spójrzmy na przykład wyznaczników trzeciego rzędu.

1. Zastępując wszystkie wiersze wyznacznika kolumnami o tych samych liczbach co wiersze, wyznacznik nie zmienia swojej wartości, tj. wiersze i kolumny wyznacznika są równe

.

2. Po przestawieniu dwóch wierszy (kolumn) wyznacznik zmienia swój znak.

3. Jeśli wszystkie elementy danego wiersza (kolumny) są zerami, to wyznacznik wynosi 0.

4. Wspólny czynnik wszystkich elementów wiersza (kolumny) można wyciągnąć poza znak wyznacznika.

5. Wyznacznik zawierający dwa identyczne wiersze (kolumny) jest równy 0.

6. Wyznacznik zawierający dwa proporcjonalne wiersze (kolumny) jest równy zero.

7. Jeżeli każdy element pewnej kolumny (wiersza) wyznacznika reprezentuje sumę dwóch wyrazów, to wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników, z których jeden zawiera pierwsze wyrazy w tej samej kolumnie (wierszu), a drugi zawiera drugie. Pozostałe elementy obu wyznaczników są takie same. Więc,

.

8. Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) zostaną dodane do elementów którejkolwiek z jej kolumn (wierszy) i pomnożone przez tę samą liczbę.

Kolejna właściwość wyznacznika związana jest z pojęciami dopełnienia molowego i dopełnienia algebraicznego.

Drobny elementem wyznacznika jest wyznacznik uzyskany z danego elementu poprzez przekreślenie wiersza i kolumny, na przecięciu którego ten element się znajduje.

Na przykład drugorzędny element wyznacznika nazywa się wyznacznikiem.

Dopełnienie algebraiczne element wyznacznikowy nazywany jest jego mniejszym pomnożonym przez, gdzie I− numer linii, J− numer słupa, na przecięciu którego znajduje się element. Zwykle oznacza się dopełnienie algebraiczne. Dla elementu wyznacznika trzeciego rzędu dopełnienie algebraiczne

9. Wyznacznik jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez odpowiadające im uzupełnienia algebraiczne.

Na przykład wyznacznik można rozwinąć na elementy pierwszego rzędu

,

lub druga kolumna

Do ich obliczenia wykorzystywane są właściwości wyznaczników.

Wykład 1. „Macierze i podstawowe operacje na nich. Determinanty

Definicja. Matryca rozmiar M N, Gdzie M- Liczba linii, N- liczba kolumn, zwana tabelą liczb ułożonych w określonej kolejności. Liczby te nazywane są elementami macierzy. Położenie każdego elementu jest jednoznacznie określone przez numer wiersza i kolumny, na przecięciu których się znajduje. Wyznacza się elementy macierzyA ja, Gdzie I- numer linii i J- numer kolumny.

A =

Podstawowe operacje na macierzach.

Macierz może składać się z jednego wiersza lub jednej kolumny. Ogólnie rzecz biorąc, macierz może składać się nawet z jednego elementu.

Definicja. Jeżeli liczba kolumn macierzy jest równa liczbie wierszy (m=n), wówczas nazywa się macierz kwadrat.

Definicja. Zobacz macierz:

= mi ,

zwany macierz jednostkowa.

Definicja. Jeśli A mn = A nm , wówczas nazywa się macierz symetryczny.

Przykład.
- macierz symetryczna

Definicja. Macierz kwadratowa postaci
zwany przekątna matryca.

Dodawanie i odejmowanie macierzy sprowadza się do odpowiednich operacji na ich elementach. Najważniejszą właściwością tych operacji jest to, że zdefiniowane tylko dla macierzy o tym samym rozmiarze. W ten sposób można zdefiniować operacje dodawania i odejmowania na macierzy:

Definicja. Suma (różnica) macierze to macierz, której elementy są odpowiednio sumą (różnicą) elementów macierzy pierwotnych.

do ij = a ij  b ij

C = A + B = B + A.

Operacja mnożenie (dzielenie) macierz dowolnej wielkości przez dowolną liczbę sprowadza się do pomnożenia (podzielenia) każdego elementu macierzy przez tę liczbę.

 (A+B) =  ZA   b ZA( ) =  ZA   A

Przykład. Dane macierze A =
; B=
, znajdź 2A + B.

2A =
, 2A + B =
.

Operacja mnożenia macierzy.

Definicja: Praca macierze to macierz, której elementy można obliczyć za pomocą następujących wzorów:

A B = C;
.

Z powyższej definicji jasno wynika, że ​​operację mnożenia macierzy definiuje się tylko dla macierzy liczba kolumn pierwszego z nich jest równa liczbie wierszy drugiego.

Własności operacji mnożenia macierzy.

1) Mnożenie macierzynie przemienne , tj. AB  VA, nawet jeśli oba produkty są zdefiniowane. Jeżeli jednak dla dowolnej macierzy spełniona jest relacja AB = BA, wówczas wywoływane są takie macierzezmienne.

Najbardziej typowym przykładem jest macierz, która dojeżdża do dowolnej innej macierzy o tym samym rozmiarze.

Przemienne mogą być tylko macierze kwadratowe tego samego rzędu.

A E = E A = A

Oczywiście dla dowolnej macierzy zachodzi następująca własność:

A O = O; O A = O,

gdzie O – zero matryca.

2) Operacja mnożenia macierzy asocjacyjny, te. jeśli zdefiniowano iloczyny AB i (AB)C, to zdefiniowano BC i A(BC) i zachodzi równość:

(AB)C=A(BC).

3) Operacja mnożenia macierzy dystrybucyjny w związku z dodawaniem, tj. jeśli wyrażenia A(B+C) i (A+B)C mają sens, to odpowiednio:

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC.

4) Jeżeli iloczyn AB jest zdefiniowany, to dla dowolnej liczby prawidłowy jest następujący stosunek:

(AB) = ( A) B = A( B).

5) Jeżeli zdefiniowany jest iloczyn AB, to zdefiniowany jest iloczyn B T A T i zachodzi równość:

(AB) T = B T ZA T, gdzie

indeks T oznacza transponowane matryca.

6) Zauważ też, że dla dowolnej macierzy kwadratowej det (AB) = detA detB.

Co się stało det zostanie omówione poniżej.

Definicja . Nazywa się macierz B transponowane macierz A i przejście z A do B transpozycja, jeśli elementy każdego wiersza macierzy A są zapisane w tej samej kolejności w kolumnach macierzy B.

A =
; B = ZA T =
;

innymi słowy b ji = a ij .

W konsekwencji poprzedniej własności (5) możemy napisać, że:

(ABC ) T = do T b T ZA T ,

pod warunkiem, że iloczyn macierzy ABC jest zdefiniowany.

Przykład. Dane macierze A =
, B = , C =
i numer = 2. Znajdź A T B+  C.

A T =
; A T B =
 =
=
;

C =
; ZA T B +  do =
+
=
.

Przykład. Znajdź iloczyn macierzy A = i B =
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Przykład. Znajdź iloczyn macierzy A=
, B =

AB =

=
=
.

Determinanty(determinanty).

Definicja. Wyznacznik macierz kwadratowa A=
to liczba, którą można obliczyć z elementów macierzy za pomocą wzoru:

de A =
, gdzie (1)

M 1 do– wyznacznik macierzy otrzymany z macierzy pierwotnej poprzez usunięcie pierwszego wiersza i k-tej kolumny. Należy zaznaczyć, że wyznaczniki mają wyłącznie macierze kwadratowe, tj. macierze, w których liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.

F Wzór (1) umożliwia obliczenie wyznacznika macierzy z pierwszego wiersza, obowiązuje także wzór na obliczenie wyznacznika z pierwszej kolumny:

de A =
(2)

Ogólnie rzecz biorąc, wyznacznik można obliczyć z dowolnego wiersza lub kolumny macierzy, tj. formuła jest poprawna:

deA =
, i = 1,2,…,n. (3)

Oczywiście różne macierze mogą mieć te same wyznaczniki.

Wyznacznikiem macierzy tożsamości jest 1.

Dla określonej macierzy A wywoływana jest liczba M 1k dodatkowy drobny element macierzy a 1 k . Możemy zatem stwierdzić, że każdy element macierzy ma swój dodatkowy element pomocniczy. Dodatkowe molle istnieją tylko w macierzach kwadratowych.

Definicja. Dodatkowe drobne dowolnego elementu macierzy kwadratowej a ij jest równy wyznacznikowi macierzy otrzymanej z macierzy pierwotnej poprzez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Właściwość 1. Ważną właściwością wyznaczników jest następująca zależność:

det A = det ZA T;

Nieruchomość 2. det (A B) = det A de B.

Własność 3. det (AB) = deA detB

Właściwość 4. Jeśli zamienisz dowolne dwa wiersze (lub kolumny) w macierzy kwadratowej, wyznacznik macierzy zmieni znak bez zmiany wartości bezwzględnej.

Własność 5. Kiedy mnożysz kolumnę (lub wiersz) macierzy przez liczbę, jej wyznacznik jest mnożony przez tę liczbę.

Własność 6. Jeżeli w macierzy A wiersze lub kolumny są liniowo zależne, to jej wyznacznik jest równy zero.

Definicja: Nazywa się kolumny (wiersze) macierzy liniowo zależne, jeśli istnieje ich kombinacja liniowa równa zeru, która ma nietrywialne (niezerowe) rozwiązania.

Własność 7. Jeżeli macierz zawiera kolumnę zerową lub wiersz zerowy, to jej wyznacznikiem jest zero. (To stwierdzenie jest oczywiste, ponieważ wyznacznik można obliczyć dokładnie na podstawie zerowego wiersza lub kolumny.)

Właściwość 8. Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli do elementów jednego z jej wierszy (kolumn) dodamy (odejmiemy) elementy innego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera.

Właściwość 9. Jeżeli dla elementów dowolnego wiersza lub kolumny macierzy zachodzi następująca zależność:D = D 1  D 2 , mi = mi 1  mi 2 , F = det(AB).

Pierwsza metoda: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

druga metoda: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Zagadnienia algebry liniowej. Pojęcie macierzy. Rodzaje macierzy. Operacje na macierzach. Rozwiązywanie problemów transformacji macierzy.

Rozwiązując różne problemy matematyczne, często masz do czynienia z tablicami liczb zwanymi macierzami. Za pomocą macierzy wygodnie jest rozwiązywać układy równań liniowych, wykonywać wiele operacji na wektorach, rozwiązywać różne problemy grafiki komputerowej i inne problemy inżynieryjne.

Macierz nazywa się prostokątna tabela liczb zawierająca ilość M linie i określoną liczbę P kolumny. Liczby T I P nazywane są porządkami macierzowymi. Jeśli T = P, macierz nazywa się kwadratem, a liczbą m = n - jej zamówienie.

W przyszłości do zapisywania macierzy będą używane podwójne myślniki lub nawiasy:

Lub

Aby krótko oznaczyć macierz, często używana będzie pojedyncza wielka litera (na przykład A) lub symbol || ij ||, a czasem z wyjaśnieniem: A = || ij || = (a ij), Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n).

Liczby Aij, zawarte w tej macierzy nazywane są jej elementami. W nagraniu ij pierwszy indeks і oznacza numer linii i drugi indeks J- numer kolumny. W przypadku macierzy kwadratowej

(1.1)

Wprowadzono pojęcia przekątnych głównych i drugorzędnych. Główną przekątną macierzy (1.1) nazywamy przekątną 11 i 12 … anna przechodząc od lewego górnego rogu tej macierzy do jej prawego dolnego rogu. Boczna przekątna tej samej macierzy nazywana jest przekątną za n 1 za (n -1)2… a 1 n, przechodząc od lewego dolnego rogu do prawego górnego rogu.

Podstawowe operacje na macierzach i ich własności.

Przejdźmy do zdefiniowania podstawowych operacji na macierzach.

Dodawanie macierzy. Suma dwóch macierzy A = || ij || , Gdzie I B = || b ij || , Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n) te same zamówienia T I P zwana macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) te same zamówienia T I P, elementy z ij które są określone przez wzór

, Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.2)

Aby oznaczyć sumę dwóch macierzy, stosuje się notację C = A + B. Operację składania sumy macierzy nazywamy ich dodawaniem. Zatem z definicji:

+ =

Z definicji sumy macierzy, a dokładniej ze wzorów (1.2), od razu wynika, że ​​operacja dodawania macierzy ma te same właściwości, co operacja dodawania liczb rzeczywistych, a mianowicie:

1) własność przemienna: A + B = B + A,

2) właściwość asocjacyjna: ( A + B) + C = A + (B + C).

Te właściwości pozwalają nie martwić się o kolejność składników macierzy podczas dodawania dwóch lub więcej macierzy.

Mnożenie macierzy przez liczbę. Iloczyn macierzy A = || ij || , gdzie (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) przez liczbę rzeczywistą l, nazywa się macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), którego elementy określa wzór:

, Gdzie (i = 1, 2, ..., t, j=1, 2, ..., n)(1.3)

Aby oznaczyć iloczyn macierzy i liczby, stosuje się notację C = l A Lub C = A l. Operację składania iloczynu macierzy przez liczbę nazywa się mnożeniem macierzy przez tę liczbę.

Bezpośrednio ze wzoru (1.3) wynika, że ​​mnożenie macierzy przez liczbę ma następujące właściwości:

1) własność asocjacyjna dotycząca mnożnika liczbowego: (l m) ZA = l (m A);

2) własność rozkładu dotycząca sumy macierzy: l (A + B) = l ZA + l B;

3) własność rozdzielcza dotycząca sumy liczb: (l + m) ZA = l ZA + m A

Komentarz. Różnica dwóch macierzy A I W identyczne zamówienia T I P naturalne jest wywołanie takiej matrycy Z te same zamówienia T I P, co sumuje się z macierzą B daje macierz A. Do oznaczenia różnicy dwóch macierzy stosuje się notację naturalną: C = A - B.

Bardzo łatwo jest sprawdzić tę różnicę Z dwie matryce A I W można uzyskać według reguły C = A + (–1) W.

Iloczyn macierzy Lub mnożenie macierzy.

Produkt matrixowy A = || ij || , gdzie (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) mając odpowiednio równe zamówienia T I N, do matrixa B = || b ij || , Gdzie (i = 1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., p), mając odpowiednio równe zamówienia N I R, zwaną macierzą C = || c ij || (i =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), mając odpowiednio równe rzędy T I R których elementy określa wzór:

Gdzie (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Aby oznaczyć iloczyn macierzy A do matrixa W użyj nagrania C = A × B. Operacja komponowania produktu matrycowego A do matrixa W nazywa się mnożeniem tych macierzy.

Z definicji sformułowanej powyżej wynika, że Macierzy A nie można pomnożyć przez każdą macierz B, konieczne jest podanie liczby kolumn macierzy A była równa liczbie wierszy macierzy W.

Wzór (1.4) jest regułą komponowania elementów macierzy C, która jest iloczynem macierzy A do matrixa W. Zasadę tę można sformułować ustnie: element c i j znajdujący się na przecięciu i-tego rzędu i j-tej kolumny macierzy C = A B jest równy sumie iloczynów parami odpowiednich elementów i-tego rzędu macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.

Jako przykład zastosowania tej reguły podajemy wzór na mnożenie macierzy kwadratowych drugiego rzędu.

× =

Ze wzoru (1.4) wynikają następujące właściwości produktu macierzowego: A na matrixie W:

1) właściwość asocjacyjna: (A B) do = A (B C);

2) własność rozdzielcza względem sumy macierzy:

(A + B) C = A C + B C lub A (B + C) = A B + A C.

Pytanie o przemienność iloczynu macierzy A do matrixa W sensowne jest ustawienie go tylko dla macierzy kwadratowych A i B ta sama kolejność.

Przedstawmy ważne szczególne przypadki macierzy, dla których spełniona jest również własność permutacji. Dwie macierze, których iloczyn ma właściwość komutacji, nazywane są zwykle komutacją.

Wśród macierzy kwadratowych wyróżniamy klasę tzw. macierzy diagonalnych, z których każda ma elementy znajdujące się poza główną przekątną równe zeru. Każda diagonalna macierz rzędu P wygląda jak

D= (1.5)

Gdzie d 1, d 2,… , dn- dowolne liczby. Łatwo zauważyć, że jeśli wszystkie te liczby są sobie równe, tj. re 1 = re 2 =… = d n następnie dla dowolnej macierzy kwadratowej A zamówienie P równość jest prawdą ZA D = D A.

Spośród wszystkich macierzy diagonalnych (1,5) z pokrywającymi się elementami re 1 = re 2 =… = dn= = D Szczególnie ważną rolę odgrywają dwie macierze. Pierwszą z tych macierzy otrzymujemy metodą d = 1, zwaną macierzą tożsamości N MI. Drugą macierz uzyskuje się, gdy re = 0, nazywana jest macierzą zerową N-tego rzędu i jest oznaczone symbolem O. Zatem,

E= O=

Ze względu na to, co zostało udowodnione powyżej AE = EA I A O = O A. Co więcej, łatwo to wykazać

ZA E = mi ZA = A, ZA O = O A = 0. (1.6)

Pierwszy ze wzorów (1.6) charakteryzuje szczególną rolę macierzy tożsamości MI, podobny do roli, jaką odgrywa cyfra 1 przy mnożeniu liczb rzeczywistych. Jeśli chodzi o szczególną rolę macierzy zerowej O, wówczas ujawnia to nie tylko drugi ze wzorów (1.7), ale także elementarna sprawdzalna równość

ZA + 0 = 0 + A = A.

Podsumowując, zauważamy, że pojęcie macierzy zerowej można wprowadzić również dla macierzy niekwadratowych (zero nazywa się każdy macierz, której wszystkie elementy są równe zero).

Macierze blokowe

Załóżmy, że jakaś macierz A = || ij || za pomocą linii poziomych i pionowych dzieli się go na osobne prostokątne komórki, z których każda jest macierzą o mniejszych rozmiarach i nazywana jest blokiem macierzy pierwotnej. W takim przypadku możliwe staje się rozważenie oryginalnej macierzy A jako jakaś nowa (tzw. blokowa) macierz A = || A za b ||, którego elementami są wskazane bloki. Elementy te oznaczamy dużą literą, aby podkreślić, że są to, ogólnie rzecz biorąc, macierze, a nie liczby i (podobnie jak zwykłe elementy liczbowe) podajemy dwa indeksy, z których pierwszy wskazuje numer linii „bloku”, a drugi - numer kolumny „blok” ».

Na przykład macierz

można uznać za macierz blokową

którego elementami są następujące bloki:

Godny uwagi jest fakt, że główne operacje na macierzach blokowych wykonywane są według tych samych zasad, według których wykonuje się je na zwykłych macierzach numerycznych, jedynie bloki pełnią rolę elementów.

Pojęcie wyznacznika.

Rozważmy dowolną macierz kwadratową dowolnego rzędu P:

A= (1.7)

Z każdą taką macierzą kojarzymy dobrze określoną cechę liczbową, zwaną wyznacznikiem, odpowiadającą tej macierzy.

Jeśli zamówienie N macierz (1.7) jest równa jeden, to macierz ta składa się z jednego elementu i ja j wyznacznik pierwszego rzędu odpowiadający takiej macierzy nazwiemy wartością tego elementu.

wówczas wyznacznikiem drugiego rzędu odpowiadającym takiej macierzy jest liczba równa od 11 do 22 - od 12 do 21 i oznaczone jednym z symboli:

Tak z definicji

(1.9)

Wzór (1.9) jest regułą konstruowania wyznacznika drugiego rzędu z elementów odpowiedniej macierzy. Słowne sformułowanie tej reguły jest następujące: wyznacznik drugiego rzędu odpowiadający macierzy (1.8) jest równy różnicy iloczynu elementów na głównej przekątnej tej macierzy i iloczynu elementów na jej drugiej przekątnej. Wyznaczniki drugiego i wyższych rzędów znajdują szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu układów równań liniowych.

Przyjrzyjmy się, jak są wykonywane operacje na macierzach w systemie MathCad . Najprostsze operacje algebry macierzowej zaimplementowano w programie MathCad w postaci operatorów. Zapis operatorów jest możliwie najbliższy ich matematycznemu działaniu. Każdy operator jest wyrażony odpowiednim symbolem. Rozważmy operacje na macierzach i wektorach w programie MathCad 2001. Wektory są szczególnym przypadkiem macierzy wymiarów n x 1, dlatego obowiązują dla nich wszystkie te same operacje, co na macierzach, chyba że wyraźnie określono ograniczenia (na przykład niektóre operacje mają zastosowanie tylko do macierzy kwadratowych n x n). Niektóre akcje obowiązują tylko dla wektorów (na przykład iloczyn skalarny), a niektóre, pomimo tej samej pisowni, działają inaczej na wektorach i macierzach.

W wyświetlonym oknie dialogowym określ liczbę wierszy i kolumn macierzy.

q Po naciśnięciu przycisku OK otwiera się pole do wpisania elementów matrycy. Aby wprowadzić element macierzy, należy ustawić kursor w zaznaczonym miejscu i wpisać liczbę lub wyrażenie z klawiatury.

Aby wykonać jakąkolwiek operację przy użyciu paska narzędzi należy:

q wybierz matrycę i kliknij przycisk operacji w panelu,

q lub kliknij przycisk w panelu i w zaznaczonej pozycji wpisz nazwę macierzy.

Menu „Symbole” zawiera trzy operacje - transpozycja, inwersja, wyznacznik.

Oznacza to na przykład, że możesz obliczyć wyznacznik macierzy, uruchamiając polecenie Symbole/Macierze/Wyznacznik.

MathCAD przechowuje numer pierwszego wiersza (i pierwszej kolumny) macierzy w zmiennej ORIGIN. Domyślnie liczenie rozpoczyna się od zera. W notacji matematycznej częściej liczy się od 1. Aby MathCAD liczył liczby wierszy i kolumn od 1, należy ustawić wartość zmiennej ORIGIN:=1.

Funkcje przeznaczone do pracy z problemami algebry liniowej zebrane są w sekcji „Wektory i macierze” okna dialogowego „Wstaw funkcję” (przypominamy, że wywołuje się ją przyciskiem na panelu „Standard”). Główne z tych funkcji zostaną opisane później.

Transponować

Ryc.2 Transpozycja macierzy

W MathCAD możesz zarówno dodawać macierze, jak i odejmować je od siebie. Symbole używane dla tych operatorów to <+> Lub <-> odpowiednio. Macierze muszą mieć ten sam wymiar, w przeciwnym razie zostanie wygenerowany komunikat o błędzie. Każdy element sumy dwóch macierzy jest równy sumie odpowiednich elementów macierzy-rozkazów (przykład na rys. 3).
Oprócz dodawania macierzy MathCAD obsługuje operację dodawania macierzy o wielkości skalarnej, tj. numer (przykład na ryc. 4). Każdy element wynikowej macierzy jest równy sumie odpowiedniego elementu macierzy pierwotnej i wielkości skalarnej.
Aby wprowadzić symbol mnożenia, należy nacisnąć klawisz gwiazdki<*>lub użyj paska narzędzi Matryca naciskając na nim przycisk Iloczyn skalarny (mnożenie)(ryc. 1). Mnożenie macierzy domyślnie oznacza się kropką, jak pokazano w przykładzie na rysunku 6. Symbol mnożenia macierzy można wybrać analogicznie jak w wyrażeniach skalarnych.
Inny przykład mnożenia wektora przez macierz wierszową i odwrotnie wiersza przez wektor pokazano na ryc. 7. Druga linia tego przykładu pokazuje, jak wygląda formuła po wybraniu opcji wyświetlania operatora mnożenia Bez przestrzeni (razem). Jednak ten sam operator mnożenia działa inaczej na dwóch wektorach .

Powiązana informacja.

Planowanie