Piramida to wielościan przestrzenny lub wielościan występujący w problemach geometrycznych. Głównymi właściwościami tej figury są jej objętość i pole powierzchni, które oblicza się na podstawie znajomości dowolnych dwóch jej charakterystyk liniowych. Jedną z tych cech jest apotem piramidy. Zostanie to omówione w artykule.
Postać piramidy
Zanim podamy definicję apotema piramidy, zapoznajmy się z samą figurą. Piramida jest wielościanem utworzonym przez jedną n-gonalną podstawę i n trójkątów tworzących powierzchnię boczną figury.
Każda piramida ma wierzchołek - punkt połączenia wszystkich trójkątów. Prostopadła poprowadzona z tego wierzchołka do podstawy nazywa się wysokością. Jeśli wysokość przecina się w środek geometryczny podstawy, wówczas figurę nazywa się linią prostą. Prostą piramidę o równobocznej podstawie nazywa się regularną. Rysunek przedstawia piramidę o podstawie sześciokątnej, oglądaną z boków i krawędzi.
Apothem regularnej piramidy
Nazywa się go także apotemem. Rozumie się przez to prostopadłą poprowadzoną od szczytu piramidy do boku podstawy figury. Z definicji ta prostopadła odpowiada wysokości trójkąta tworzącego boczną ścianę piramidy.
Ponieważ rozważamy regularną piramidę o podstawie n-gonalnej, wówczas wszystkie n apotemów dla niej będą takie same, ponieważ są to trójkąty równoramienne powierzchni bocznej figury. Należy pamiętać, że identyczne apotemy są właściwością regularnej piramidy. Dla figury ogólnego typu (skośnej z nieregularnym n-kątem) wszystkie n apotemów będzie różnych.
Inną właściwością apotema regularnej piramidy jest to, że jest to jednocześnie wysokość, mediana i dwusieczna odpowiedniego trójkąta. Oznacza to, że dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne.
oraz wzory na określenie jego apotemu
W każdej regularnej piramidzie ważnymi cechami liniowymi są długość boku jej podstawy, krawędź boczna b, wysokość h i apotem hb. Wielkości te są ze sobą powiązane odpowiednimi wzorami, które można uzyskać, rysując piramidę i biorąc pod uwagę niezbędne trójkąty prostokątne.
Regularna trójkątna piramida składa się z 4 trójkątnych ścian, a jedna z nich (podstawa) musi być równoboczna. Reszta to w ogólnym przypadku równoramienne. Apothem piramidy trójkątnej można wyznaczyć w innych wielkościach, korzystając z następujących wzorów:
h b = √(b 2 - a 2 /4);
godz b = √(za 2/12 + godz 2)
Pierwsze z tych wyrażeń jest prawdziwe dla piramidy o dowolnej regularnej podstawie. Drugie wyrażenie jest typowe wyłącznie dla piramidy trójkątnej. Pokazuje, że apotem jest zawsze większy niż wysokość figury.
Apothem piramidy nie należy mylić z wielościanem. W tym drugim przypadku apotemem jest odcinek prostopadły pociągnięty do boku wielościanu od jego środka. Na przykład apotem trójkąta równobocznego to √3/6*a.
Problem z obliczeniem apothemu
Otrzymamy regularną piramidę z trójkątem u podstawy. Konieczne jest obliczenie jego apotema, jeśli wiadomo, że powierzchnia tego trójkąta wynosi 34 cm 2, a sama piramida składa się z 4 identycznych ścian.
Zgodnie z warunkami zadania mamy do czynienia z czworościanem składającym się z trójkątów równobocznych. Wzór na obszar jednej twarzy to:
Skąd obliczamy długość boku a:
Aby wyznaczyć apotem h b, używamy wzoru zawierającego krawędź boczną b. W rozpatrywanym przypadku jego długość jest równa długości podstawy, mamy:
h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a
Zastępując wartość od a do S, otrzymujemy ostateczny wzór:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Otrzymaliśmy prosty wzór, w którym apotem piramidy zależy tylko od pola jej podstawy. Jeśli podstawimy wartość S z warunków problemowych, otrzymamy odpowiedź: h b ≈ 7,674 cm.
Tutaj znajdziesz podstawowe informacje o piramidach oraz związanych z nimi wzorach i pojęciach. Wszystkie uczą się pod okiem nauczyciela matematyki w ramach przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.
Rozważmy płaszczyznę, wielokąt 
, leżący w nim i punkt S, nie leżący w nim. Połączmy S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są żebrami bocznymi. 
Wielokąt nazywany jest podstawą, a punkt S jest wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n, piramida nazywana jest trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. Alternatywna nazwa piramidy trójkątnej to czworościan. Wysokość piramidy to prostopadła schodząca z jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy. 
Piramidę nazywamy regularną jeśli wielokąt foremny, a podstawa wysokości piramidy (podstawa prostopadłej) jest jej środkiem.
Komentarz nauczyciela:
Nie należy mylić pojęć „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. W regularnej piramidzie krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w regularnym czworościanie wszystkie 6 krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika, że środek P wielokąta pokrywa się o wysokości podstawy, więc czworościan foremny jest piramidą regularną.
Co to jest apotem?
Apothem piramidy to wysokość jej ściany bocznej. Jeśli piramida jest regularna, wówczas wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą. 
Korepetytor matematyki o swojej terminologii: 80% pracy z piramidami opiera się na dwóch rodzajach trójkątów:
1) Zawierający apotem SK i wysokość SP
2) Zawierający krawędź boczną SA i jej występ PA 
Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest nauczycielowi matematyki wywołać pierwszy z nich apotemiczny, i drugi żebrowy. Niestety tej terminologii nie znajdziesz w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.
Wzór na objętość piramidy:
1) 
, gdzie jest polem podstawy piramidy i jest wysokością piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli i jest polem całkowitej powierzchni piramidy.
3) 
, gdzie MN jest odległością między dowolnymi dwoma przecinającymi się krawędziami i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez środki czterech pozostałych krawędzi.
Własność podstawy wysokości piramidy:
Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie ściany boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie apothemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych
Komentarz nauczyciela matematyki: Należy pamiętać, że wszystkie punkty łączy jedna wspólna właściwość: tak czy inaczej, ściany boczne są wszędzie zaangażowane (apothemy są ich elementami). Dlatego nauczyciel może zaproponować mniej precyzyjne, ale wygodniejsze w nauce sformułowanie: punkt P pokrywa się ze środkiem wpisanego koła, podstawą piramidy, jeśli istnieją równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że wszystkie trójkąty apotemów są równe.
Punkt P pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone do wysokości
- apotem- wysokość bocznej powierzchni regularnej piramidy, która jest rysowana z jej wierzchołka (dodatkowo apothem jest długością prostopadłej, która jest obniżona ze środka wielokąta foremnego na jeden z jego boków);
- boczne twarze (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty spotykające się w wierzchołku;
- żebra boczne ( JAK , B.S. , CS , DS ) — wspólne strony ścian bocznych;
- szczyt piramidy (t.S) - punkt łączący żebra boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
- wysokość ( WIĘC ) - odcinek prostopadły poprowadzony przez wierzchołek piramidy do płaszczyzny jej podstawy (końcami takiego odcinka będzie wierzchołek piramidy i podstawa prostopadłej);
- przekątna piramidy- część piramidy przechodząca przez górę i przekątną podstawy;
- baza (ABCD) - wielokąt nienależący do wierzchołka piramidy.
Właściwości piramidy.
1. Gdy wszystkie krawędzie boczne mają ten sam rozmiar, to:
- łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
- żebra boczne tworzą kąt równy z płaszczyzną podstawy;
- Co więcej, prawdą jest również coś odwrotnego, tj. gdy żebra boczne tworzą kąt równy z płaszczyzną podstawy, lub gdy wokół podstawy piramidy można opisać okrąg, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu, oznacza to, że wszystkie krawędzie boczne piramidy są tej samej wielkości.
2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, to:
- łatwo jest opisać okrąg w pobliżu podstawy piramidy, a wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego okręgu;
- wysokości ścian bocznych są równej długości;
- powierzchnia powierzchni bocznej jest równa ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości ściany bocznej.
3. Kulę można opisać wokół piramidy, jeśli u podstawy piramidy znajduje się wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki prostopadłych do nich krawędzi piramidy. Z tego twierdzenia wnioskujemy, że kulę można opisać zarówno wokół dowolnego trójkąta, jak i wokół dowolnej regularnej piramidy.
4. W ostrosłup można wpisać kulę, jeżeli dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych ostrosłupa przecinają się w pierwszym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się środkiem kuli.
Najprostsza piramida.
Na podstawie liczby kątów podstawa piramidy jest podzielona na trójkątną, czworokątną i tak dalej.
Będzie piramida trójkątny, czworokątny i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokątny - pięciokątny i tak dalej.
Definicja. Krawędź boczna- jest to trójkąt, w którym jeden kąt leży na szczycie piramidy, a przeciwny bok pokrywa się z bokiem podstawy (wielokąt).
Definicja. Boczne żebra- są to wspólne strony ścian bocznych. Piramida ma tyle krawędzi, ile kątów wielokąta.
Definicja. Wysokość piramidy- jest to prostopadłość obniżona od góry do podstawy piramidy.
Definicja. Apotem- jest to prostopadłość do bocznej ściany piramidy, obniżona od szczytu piramidy do boku podstawy.
Definicja. Przekrój ukośny- jest to przekrój piramidy przez płaszczyznę przechodzącą przez wierzchołek piramidy i przekątną podstawy.
Definicja. Poprawna piramida to piramida, której podstawą jest wielokąt foremny, a wysokość schodzi do środka podstawy.
Objętość i powierzchnia piramidy
Formuła. Objętość piramidy przez powierzchnię podstawy i wysokość:
Właściwości piramidy
Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe, można narysować okrąg wokół podstawy piramidy, a środek podstawy pokrywa się ze środkiem okręgu. Również prostopadła opuszczona z góry przechodzi przez środek podstawy (okrąg).
Jeżeli wszystkie krawędzie boczne są równe, to są one nachylone do płaszczyzny podstawy pod tymi samymi kątami.
Krawędzie boczne są równe, gdy tworzą kąty równe z płaszczyzną podstawy lub jeśli wokół podstawy piramidy można opisać okrąg.
Jeżeli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, wówczas w podstawę piramidy można wpisać okrąg, a wierzchołek piramidy rzutuje się na jej środek.
Jeżeli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, to apotemy ścian bocznych są równe.
Właściwości regularnej piramidy
1. Szczyt piramidy jest w równej odległości od wszystkich rogów podstawy.
2. Wszystkie krawędzie boczne są równe.
3. Wszystkie żebra boczne są nachylone pod równym kątem do podstawy.
4. Apotemy wszystkich ścian bocznych są równe.
5. Pola wszystkich ścian bocznych są równe.
6. Wszystkie ściany mają te same kąty dwuścienne (płaskie).
7. Wokół piramidy można opisać kulę. Środek opisanej kuli będzie punktem przecięcia prostopadłych przechodzących przez środki krawędzi.
8. Można zmieścić kulę w piramidzie. Środek wpisanej kuli będzie punktem przecięcia dwusiecznych wychodzących z kąta między krawędzią a podstawą.
9. Jeżeli środek kuli wpisanej pokrywa się ze środkiem sfery opisanej, to suma kątów płaskich w wierzchołku jest równa π lub odwrotnie, jeden kąt jest równy π/n, gdzie n jest liczbą kątów u podstawy piramidy.
Połączenie piramidy i kuli
Kulę można opisać wokół piramidy, gdy u podstawy piramidy znajduje się wielościan, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących prostopadle przez środki bocznych krawędzi piramidy.
Zawsze można opisać kulę wokół dowolnej trójkątnej lub regularnej piramidy.
W ostrosłup można wpisać kulę, jeśli dwusieczne kąty wewnętrzne piramidy przecinają się w jednym punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt będzie środkiem kuli.
Połączenie piramidy ze stożkiem
Stożek nazywa się wpisanym w piramidę, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest wpisana w podstawę piramidy.
W ostrosłup można wpisać stożek, jeżeli apotemy piramidy są sobie równe.
Mówi się, że stożek jest opisany wokół piramidy, jeśli ich wierzchołki pokrywają się, a podstawa stożka jest opisana wokół podstawy piramidy.
Stożek można opisać wokół piramidy, jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są sobie równe.
Związek piramidy z cylindrem
Piramidę nazywamy wpisaną w cylinder, jeżeli wierzchołek piramidy leży na jednej podstawie walca, a podstawa piramidy jest wpisana w inną podstawę walca.
Walec można opisać wokół piramidy, jeśli można opisać okrąg wokół podstawy piramidy.
Czworościan ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi, przy czym dowolne dwie krawędzie nie mają wspólnych wierzchołków, ale się nie stykają.
Każdy wierzchołek składa się z trzech ścian i krawędzi, które się tworzą kąt trójkątny.
Nazywa się odcinek łączący wierzchołek czworościanu ze środkiem przeciwległej ściany środkowa czworościanu(GM).
Bimedian nazywany odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi, które się nie stykają (KL).
Wszystkie bimediany i środkowe czworościanu przecinają się w jednym punkcie (S). W tym przypadku bimediany dzieli się na pół, a środkowe dzieli się w stosunku 3:1, zaczynając od góry.
Definicja. Ostra piramida kątowa- piramida, w której apotem jest dłuższy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Tępa piramida- piramida, w której apotem jest mniejszy niż połowa długości boku podstawy.
Definicja. Regularny czworościan- czworościan, w którym wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi. Jest to jeden z pięciu wielokątów foremnych. W czworościanie foremnym wszystkie kąty dwuścienne (między ścianami) i kąty trójścienne (w wierzchołku) są równe.
Definicja. Prostokątny czworościan nazywa się czworościanem, w którym pomiędzy trzema krawędziami na wierzchołku istnieje kąt prosty (krawędzie są prostopadłe). Tworzą się trzy twarze prostokątny kąt trójkątny a ściany są trójkątami prostokątnymi, a podstawą jest dowolny trójkąt. Apothem dowolnej ściany jest równy połowie boku podstawy, na którą apotem spada.
Definicja. Czworościan izoedryczny nazywa się czworościanem, którego ściany boczne są sobie równe, a podstawą jest trójkąt foremny. Taki czworościan ma ściany będące trójkątami równoramiennymi.
Definicja. Ortocentryczny czworościan nazywa się czworościanem, w którym wszystkie wysokości (prostopadłe) obniżone od góry do przeciwnej ściany przecinają się w jednym punkcie.
Definicja. Gwiazdowa piramida zwany wielościanem, którego podstawą jest gwiazda.
