Treść:

Obwód to całkowita długość granic dwuwymiarowego kształtu. Jeśli chcesz znaleźć obwód trójkąta, musisz dodać długości wszystkich jego boków; Jeśli nie znasz długości przynajmniej jednego boku trójkąta, musisz go znaleźć. W tym artykule dowiesz się: a) jak znaleźć obwód trójkąta, mając znane trzy boki; b) jak obliczyć obwód trójkąta prostokątnego, gdy znane są tylko dwa boki; (c) jak znaleźć obwód dowolnego trójkąta, mając dane dwa boki i kąt między nimi (używając twierdzenia o cosinusie).

Kroki

1 Według tych trzech stron

1. 1 Aby znaleźć obwód, skorzystaj ze wzoru: P = a + b + c, gdzie a, b, c to długości trzech boków, P to obwód.
2. 2 Znajdź długości wszystkich trzech boków. W naszym przykładzie: a = 5, b = 5, c = 5.
   • Jest to trójkąt równoboczny, ponieważ wszystkie trzy boki mają tę samą długość. Ale powyższy wzór dotyczy dowolnego trójkąta.
3. 3 Dodaj długości wszystkich trzech boków, aby znaleźć obwód. W naszym przykładzie: 5 + 5 + 5 = 15, czyli P = 15.
   • Inny przykład: a = 4, b = 3, c = 5. P = 3 + 4 + 5 = 12.
4. 4 Nie zapomnij podać jednostki miary w swojej odpowiedzi. W naszym przykładzie boki mierzone są w centymetrach, więc ostateczna odpowiedź powinna również zawierać centymetry (lub jednostki określone w opisie problemu).
   • W naszym przykładzie każdy bok ma 5 cm, więc ostateczna odpowiedź to P = 15 cm.

2 Dla dwóch danych boków trójkąta prostokątnego

1. 1 Przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie to opisuje zależność między bokami trójkąta prostokątnego i jest jednym z najbardziej znanych i stosowanych twierdzeń w matematyce. Twierdzenie stwierdza, że ​​w dowolnym trójkącie prostokątnym boki są powiązane zależnością: a 2 + b 2 = c 2, gdzie a, b to nogi, c to przeciwprostokątna.
2. 2 Narysuj trójkąt i opisz boki jako a, b, c. Najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego jest przeciwprostokątna. Leży naprzeciwko kąta prostego. Oznacz przeciwprostokątną jako „c”. Oznacz nogi (boki przylegające do kąta prostego) jako „a” i „b”.
3. 3 Zastąp wartości znanych stron twierdzeniem Pitagorasa (a 2 + b 2 = c 2). Zamiast liter zastąp cyfry podane w opisie problemu.
   • Na przykład a = 3 i b = 4. Podstaw te wartości do twierdzenia Pitagorasa: 3 2 + 4 2 = c 2.
   • Inny przykład: a = 6 i c = 10. Wtedy: 6 2 + b 2 = 10 2
4. 4 Rozwiąż powstałe równanie, aby znaleźć nieznaną stronę. Aby to zrobić, najpierw podnieś znane długości boków do kwadratu (wystarczy pomnożyć podaną liczbę przez samą siebie). Jeśli szukasz przeciwprostokątnej, dodaj kwadraty obu boków i weź pierwiastek kwadratowy z powstałej sumy. Jeśli szukasz nogi, odejmij kwadrat znanej nogi od kwadratu przeciwprostokątnej i weź pierwiastek kwadratowy z otrzymanego ilorazu.
   • W pierwszym przykładzie: 3 2 + 4 2 = do 2 ; 9 + 16 = do 2 ; 25= do 2; √25 = s. Zatem c = 25.
   • W drugim przykładzie: 6 2 + b 2 = 10 2 ; 36 + b 2 = 100. Przenieś 36 na prawą stronę równania i otrzymaj: b 2 = 64; b = √64. Zatem b = 8.
5. 5
   • W naszym pierwszym przykładzie: P = 3 + 4 + 5 = 12.
   • W naszym drugim przykładzie: P = 6 + 8 + 10 = 24.

3 Według dwóch podanych boków i kąta między nimi

1. 1 Dowolny bok trójkąta można znaleźć, korzystając z twierdzenia cosinusów, jeśli istnieją dwa boki i kąt między nimi. Twierdzenie to ma zastosowanie do każdego trójkąta i jest bardzo przydatnym wzorem. Twierdzenie cosinus: c 2 = a 2 + b 2 - 2abcos(C), gdzie a, b, c to boki trójkąta, A, B, C to kąty leżące naprzeciw odpowiednich boków trójkąta.
2. 2 Narysuj trójkąt i oznacz boki jako a, b, c; oznacz kąty przeciwne do odpowiednich boków jako A, B, C (to znaczy kąt naprzeciw boku „a”, oznacz go jako „A” i tak dalej).
   • Na przykład, biorąc pod uwagę trójkąt o bokach 10 i 12 i kąt między nimi 97°, czyli a = 10, b = 12, C = 97°.
3. 3 Zastąp podane wartości we wzorze i znajdź nieznaną stronę „c”. Najpierw podnieś długości znanych boków do kwadratu i dodaj otrzymane wartości. Następnie znajdź cosinus kąta C (używając kalkulatora lub kalkulatora internetowego). Pomnóż długości znanych boków przez cosinus podanego kąta i przez 2 (2abcos(C)). Odejmij wynikową wartość od sumy kwadratów dwóch boków (a 2 + b 2), a otrzymasz c 2. Weź pierwiastek kwadratowy z tej wartości, aby znaleźć długość nieznanego boku „c”. W naszym przykładzie:
   • do 2 = 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos(97)
   • do 2 = 100 + 144 – (240 × -0,12187)
   • do 2 = 244 – (-29,25)
   • do 2 = 244 + 29,25
   • do 2 = 273,25
   • c = 16,53
4. 4 Dodaj długości trzech boków, aby znaleźć obwód. Przypomnijmy, że obwód oblicza się ze wzoru: P = a + b + c.
   • W naszym przykładzie: P = 10 + 12 + 16,53 = 38,53.

Jednym z podstawowych kształtów geometrycznych jest trójkąt. Powstaje na przecięciu trzech prostych odcinków. Te odcinki linii tworzą boki figury, a ich punkty przecięcia nazywane są wierzchołkami. Każdy student studiujący geometrię musi umieć znaleźć obwód tej figury. Zdobyta umiejętność przyda się wielu osobom w dorosłym życiu, np. przyda się uczniowi, inżynierowi, budowniczemu,

Istnieją różne sposoby obliczania obwodu trójkąta. Wybór potrzebnej formuły zależy od dostępnych danych źródłowych. Aby zapisać tę wartość w terminologii matematycznej, stosuje się specjalny zapis - P. Zastanówmy się, jaki jest obwód, główne metody jego obliczania dla figur trójkątnych różnych typów.

Najprostszym sposobem znalezienia obwodu figury jest sprawdzenie danych ze wszystkich stron. W tym przypadku stosowana jest następująca formuła:

Litera „P” oznacza sam obwód. Z kolei „a”, „b” i „c” to długości boków.

Znając wielkość trzech wielkości, wystarczy obliczyć ich sumę, czyli obwód.

Alternatywna opcja

W problemach matematycznych rzadko znane są wszystkie podane długości. W takich przypadkach zaleca się skorzystanie z alternatywnej metody poszukiwania wymaganej wartości. Gdy warunki wskazują długość dwóch prostych oraz kąt między nimi, obliczenia przeprowadza się poprzez wyszukiwanie trzeciej. Aby znaleźć tę liczbę, musisz znaleźć pierwiastek kwadratowy, korzystając ze wzoru:

.

Obwód po obu stronach

Aby obliczyć obwód, nie jest konieczna znajomość wszystkich danych figury geometrycznej. Rozważmy metody obliczeń po obu stronach.

Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny to taki, w którym co najmniej dwa boki mają tę samą długość. Nazywa się je bocznymi, a trzecia strona nazywana jest podstawą. Równe linie proste tworzą kąt wierzchołkowy. Szczególną cechą trójkąta równoramiennego jest obecność jednej osi symetrii. Oś jest pionową linią rozciągającą się od kąta wierzchołkowego i kończącą się w środku podstawy. W swej istocie oś symetrii obejmuje następujące pojęcia:

• dwusieczna kąta wierzchołkowego;
• mediana do podstawy;
• wysokość trójkąta;
• mediana prostopadła.

Aby określić obwód trójkąta równoramiennego, użyj wzoru.

W tym przypadku wystarczy znać tylko dwie wielkości: podstawę i długość jednego boku. Oznaczenie „2a” oznacza pomnożenie długości boku przez 2. Do powstałej liczby należy dodać wartość podstawy - „b”.

W wyjątkowym przypadku, gdy długość podstawy trójkąta równoramiennego jest równa jego linii bocznej, można zastosować prostszą metodę. Wyraża się to w następującym wzorze:

Aby uzyskać wynik, po prostu pomnóż tę liczbę przez trzy. Wzór ten służy do obliczania obwodu trójkąta równobocznego.

Przydatne wideo: problemy na obwodzie trójkąta

Trójkąt prostokątny

Główną różnicą między trójkątem prostokątnym a innymi kształtami geometrycznymi w tej kategorii jest obecność kąta 90°. Na podstawie tej funkcji określa się rodzaj figury. Przed ustaleniem, jak znaleźć obwód trójkąta prostokątnego, warto zauważyć, że ta wartość dla dowolnej płaskiej figury geometrycznej jest sumą wszystkich boków. Zatem w tym przypadku najłatwiejszym sposobem sprawdzenia wyniku jest zsumowanie trzech wielkości.

W terminologii naukowej boki sąsiadujące z kątem prostym nazywane są „nogami”, a strony przeciwne do kąta 90° nazywane są przeciwprostokątną. Cechy tej figury badał starożytny grecki naukowiec Pitagoras. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

.

Na podstawie tego twierdzenia wyprowadzono kolejny wzór wyjaśniający, jak znaleźć obwód trójkąta, korzystając z dwóch znanych boków. Obwód określonej długości nóg można obliczyć w następujący sposób.

.

Aby poznać obwód, mając informacje o wielkości jednej nogi i przeciwprostokątnej, musisz określić długość drugiej przeciwprostokątnej. W tym celu stosuje się następujące formuły:

.

Również obwód opisanego typu figury określa się bez danych o wymiarach nóg.

Będziesz musiał znać długość przeciwprostokątnej oraz kąt do niej przylegający. Znając długość jednej z nóg, jeśli przylega do niej kąt, obwód figury oblicza się za pomocą wzoru:

.

Definicja trójkąta

Trójkąt jest figurą geometryczną składającą się z trzech punktów połączonych szeregowo.

Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty.

Istnieje wiele rodzajów trójkątów i każdy z nich ma inne właściwości. Podajemy główne typy trójkątów:

1. Wszechstronny(wszystkie boki mają różną długość);
2. Równoramienny(dwa boki są równe, dwa kąty u podstawy są równe);
3. Równoboczny(wszystkie boki i wszystkie kąty są równe).

Jednak dla wszystkich typów trójkątów istnieje jeden uniwersalny wzór na znalezienie obwodu trójkąta - jest to suma długości wszystkich boków trójkąta.

Kalkulator internetowy

Wzór na obwód trójkąta

P = za + b + do P = za + b + do P=+b+C

A, b, c, b, c a, b, c- długości boków trójkąta.

Przyjrzyjmy się problemom znalezienia obwodu trójkąta.

Zadanie

Trójkąt ma boki: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm Jaki jest obwód trójkąta?

Rozwiązanie
Skorzystajmy ze wzoru na znalezienie obwodu trójkąta i podstawmy go a a A, b b B I c C ich wartości liczbowe:
P = za + b + do P = za + b + do P=+b+C
P = 28 + 46 + 51 = 125 cm P = 28 + 46 + 51 = 125\text( cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Odpowiedź:
P = 125 cm P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Zadanie

Trójkąt jest równoboczny i ma bok 23 cm. Jaki jest obwód tego trójkąta?

Rozwiązanie

P = za + b + do P = za + b + do P=+b+C

Ale zgodnie z warunkiem mamy trójkąt równoboczny, to znaczy wszystkie jego boki są równe. W takim przypadku formuła przyjmie następującą postać:

P = za + za + za = 3 za P = za + za + za = 3aP=++a =3a

Podstawiamy wartość liczbową do wzoru i obliczamy obwód trójkąta:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Odpowiedź
P = 69 cm P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Zadanie

W trójkącie równoramiennym bok b ma długość 14 cm, a podstawa a ma długość 9 cm. Oblicz obwód trójkąta.

Rozwiązanie
Skorzystajmy ze wzoru na obliczenie obwodu trójkąta:

P = za + b + do P = za + b + do P=+b+C

Ale zgodnie z warunkiem mamy trójkąt równoramienny, to znaczy jego boki są równe. W takim przypadku formuła przyjmie następującą postać:

P = za + b + b = 2 b + za P = a + b + b = 2b + aP=+b+b =2 b +A

Podstawiamy wartości liczbowe do wzoru i znajdujemy obwód trójkąta:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Odpowiedź
P = 37 cm P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Obwód to wielkość określająca długość wszystkich boków płaskiej (dwuwymiarowej) figury geometrycznej. W przypadku różnych kształtów geometrycznych istnieją różne sposoby znalezienia obwodu.

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obwód figury na różne sposoby, w zależności od jej znanych ścian.

W kontakcie z

Możliwe metody:

• znane są wszystkie trzy boki równoramiennego lub dowolnego innego trójkąta;
• jak znaleźć obwód trójkąta prostokątnego, biorąc pod uwagę jego dwie znane ściany;
• znane są dwie ściany i kąt znajdujący się między nimi (wzór cosinus) bez linii środkowej i wysokości.

Metoda pierwsza: znane są wszystkie boki figury

Jak znaleźć obwód trójkąta, gdy znane są wszystkie trzy ściany, należy skorzystać ze wzoru: P = a + b + c, gdzie a,b,c to znane długości wszystkich boków trójkąta, P to obwód figury.

Na przykład znane są trzy boki figury: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Jest to regularna figura równoramienna, do obliczenia obwodu używamy wzoru: P = 24 + 24 + 24 = 72cm.

Wzór ten dotyczy każdego trójkąta., wystarczy znać długości wszystkich jego boków. Jeśli przynajmniej jeden z nich jest nieznany, należy zastosować inne metody, które omówimy poniżej.

Inny przykład: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Oblicz obwód: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

Bardzo ważne jest, aby w otrzymanej odpowiedzi zaznaczyć jednostkę miary. W naszych przykładach długości boków podano w centymetrach (cm), jednak istnieją różne zadania, w których obecne są inne jednostki miary.

Metoda druga: trójkąt prostokątny i jego dwa znane boki

W przypadku, gdy zadanie do rozwiązania ma postać prostokątną, której długości dwóch ścian są znane, ale trzeciej nie, konieczne jest skorzystanie z twierdzenia Pitagorasa.

Opisuje relację między ścianami trójkąta prostokątnego. Wzór opisany tym twierdzeniem jest jednym z najbardziej znanych i najczęściej używanych twierdzeń w geometrii. Zatem samo twierdzenie:

Boki dowolnego trójkąta prostokątnego opisuje równanie: a^2 + b^2 = c^2, gdzie a i b to nogi figury, a c to przeciwprostokątna.

• Przeciwprostokątna. Znajduje się zawsze naprzeciwko kąta prostego (90 stopni) i jest jednocześnie najdłuższą krawędzią trójkąta. W matematyce zwyczajowo oznacza się przeciwprostokątną literą c.
• Nogi- są to krawędzie trójkąta prostokątnego należące do kąta prostego i oznaczone literami a i b. Jedna z nóg jest jednocześnie wysokością sylwetki.

Zatem jeśli warunki zadania określają długości dwóch z trzech ścian takiej figury geometrycznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa należy znaleźć wymiar trzeciej ściany, a następnie skorzystać ze wzoru z pierwszej metody.

Przykładowo znamy długość 2 nóg: a = 3 cm, b = 5 cm Podstaw wartości do twierdzenia: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c ^2 => c = 5 cm Zatem przeciwprostokątna takiego trójkąta wynosi 5 cm Nawiasem mówiąc, ten przykład jest najczęstszy i nazywa się go. Innymi słowy, jeśli dwie nogi figury mają długość 3 cm i 4 cm, to przeciwprostokątna będzie miała odpowiednio 5 cm.

Jeżeli długość jednej z nóg nie jest znana, należy przekształcić wzór w następujący sposób: c^2 - a^2 = b^2. I odwrotnie dla drugiej nogi.

Kontynuujmy przykład. Teraz musisz przejść do standardowego wzoru na znalezienie obwodu figury: P = a + b + c. W naszym przypadku: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Trzecia metoda: na dwóch ścianach i kącie między nimi

W szkole średniej, a także na uniwersytecie najczęściej trzeba skorzystać z tej metody znajdowania obwodu. Jeżeli warunki zadania określają długości dwóch boków, a także wymiar kąta między nimi, to musisz skorzystać z twierdzenia cosinus.

Twierdzenie to dotyczy absolutnie każdego trójkąta, co czyni go jednym z najbardziej przydatnych w geometrii. Samo twierdzenie wygląda następująco: c^2 = a^2 + b^2 - (2 * a * b * cos(C)), gdzie a,b,c to standardowe długości ścian, a A,B i C to kąty leżące naprzeciw odpowiednich ścian trójkąta. Oznacza to, że A jest kątem przeciwnym do boku a i tak dalej.

Wyobraźmy sobie, że opisano trójkąt, którego boki a i b mają odpowiednio 100 cm i 120 cm, a kąt zawarty między nimi wynosi 97 stopni. Oznacza to, że a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 stopni.

Wszystko, co musisz w tym przypadku zrobić, to zastąpić wszystkie znane wartości twierdzeniem cosinus. Długości znanych ścian są podnoszone do kwadratu, po czym znane boki są mnożone między sobą przez dwa i mnożone przez cosinus kąta między nimi. Następnie musisz dodać kwadraty twarzy i odjąć drugą uzyskaną z nich wartość. Z wartości końcowej pobierany jest pierwiastek kwadratowy - będzie to trzeci, nieznany wcześniej bok.

Po poznaniu wszystkich trzech boków figury pozostaje zastosować standardowy wzór na znalezienie obwodu opisywanej figury z pierwszej metody, którą już kochamy.

Obwód dowolnego trójkąta to długość linii ograniczającej figurę. Aby to obliczyć, musisz znaleźć sumę wszystkich boków tego wielokąta.

Obliczenia na podstawie podanych długości boków

Kiedy już znane jest ich znaczenie, jest to łatwe. Oznaczając te parametry literami m, n, k, a obwód literą P, otrzymujemy wzór do obliczeń: P = m+n+k. Zadanie: Wiadomo, że trójkąt ma boki o długości 13,5 decymetra, 12,1 decymetra i 4,2 decymetra. Znajdź obwód. Rozwiązujemy: Jeśli boki tego wielokąta wynoszą a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, to P = 29,8 dm. Odpowiedź: P = 29,8 dm.

Obwód trójkąta, który ma dwa równe boki

Taki trójkąt nazywa się równoramiennym. Jeśli te równe boki mają długość centymetra, a trzeci bok ma długość b centymetrów, to obwód jest łatwy do ustalenia: P = b + 2a. Zadanie: trójkąt ma dwa boki o długości 10 decymetrów, a podstawa ma 12 decymetrów. Znajdź P. Rozwiązanie: Niech bok a = c = 10 dm, podstawa b = 12 dm. Suma boków P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Odpowiedź: P = 32 decymetry.

Obwód trójkąta równobocznego

Jeśli wszystkie trzy boki trójkąta mają tę samą liczbę jednostek miary, nazywa się to równobocznym. Inna nazwa jest poprawna. Obwód trójkąta foremnego oblicza się ze wzoru: P = a+a+a = 3·a. Problem: Mamy działkę w kształcie trójkąta równobocznego. Jeden bok ma 6 metrów. Znajdź długość płotu, który można wykorzystać do ogrodzenia tego obszaru. Rozwiązanie: Jeśli bok tego wielokąta wynosi a = 6 m, to długość ogrodzenia wynosi P = 3 · 6 = 18 (m). Odpowiedź: P = 18 m.

Trójkąt, który ma kąt 90°

Nazywa się to prostokątnym. Obecność kąta prostego umożliwia znalezienie nieznanych boków, korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa. Najdłuższy bok nazywany jest przeciwprostokątną i jest oznaczony c. Są jeszcze dwie strony, a i b. Zgodnie z twierdzeniem nazwanym na cześć Pitagorasa mamy c 2 = a 2 + b 2 . Nogi a = √ (c 2 - b 2) i b = √ (c 2 - a 2). Znając długość dwóch nóg a i b, obliczamy przeciwprostokątną. Następnie znajdujemy sumę boków figury, dodając te wartości. Zadanie: Ramiona trójkąta prostokątnego mają długości 8,3 centymetra i 6,2 centymetra. Trzeba obliczyć obwód trójkąta. Rozwiązanie: Oznaczmy nogi a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa przeciwprostokątna c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107,33 = 10,4 (cm ). P = 24,9 (cm). Lub P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Odpowiedź: P = 24,9 cm Wartości pierwiastków przyjęto z dokładnością do dziesiątych. Jeśli znamy wartości przeciwprostokątnej i nogi, wówczas wartość P uzyskujemy, obliczając P = √ (c 2 - b 2) + b + c. Zadanie 2: Kawałek ziemi leżący naprzeciw kąta 90 stopni ma długość 12 km, a jedna z jego odnóg ma długość 8 km. Ile czasu zajmie obejście całego obszaru, jeśli będziesz poruszać się z prędkością 4 kilometrów na godzinę? Rozwiązanie: jeśli największy odcinek ma długość 12 km, mniejszy b = 8 km, to długość całej trasy będzie wynosić P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Czas znajdziemy dzieląc drogę przez prędkość. 28,9:4 = 7,225 (godz.). Odpowiedź: można to obejść w 7,3 godziny. Wartość pierwiastków kwadratowych i odpowiedź bierzemy z dokładnością do dziesiątych. Sumę boków trójkąta prostokątnego można znaleźć, jeśli podany jest jeden z boków i wartość jednego z kątów ostrych. Znając długość ramienia b i wartość kąta β leżącego naprzeciw niego, znajdujemy nieznany bok a = b/ tan β. Znajdź przeciwprostokątną c = a: sinα. Obwód takiej figury znajdujemy, dodając otrzymane wartości. P = a + a/ sinα + a/ tan α, lub P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Zadanie: W prostokącie Δ ABC o kącie prostym C ramię BC ma długość 10 m, a kąt A wynosi 29 stopni. Musimy znaleźć sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Oznaczmy znany bok BC = a = 10 m, kąt leżący naprzeciw niego ∟A = α = 30°, następnie bok AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), przeciwprostokątna AB = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Albo P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m. Mamy: P = 47,2 m. Wartość funkcji trygonometrycznych przyjmujemy z dokładnością do setnych, zaokrąglając długość boków i obwód do dziesiątych. Mając wartość nogi α i przyległego kąta β, dowiadujemy się, ile wynosi druga noga: b = a tan β. Przeciwprostokątna w tym przypadku będzie równa nodze podzielonej przez cosinus kąta β. Obwód obliczamy ze wzoru P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Zadanie: Noga trójkąta o kącie 90 stopni wynosi 18 cm, kąt przyległy ma 40 stopni. Znajdź P. Rozwiązanie: Oznaczmy znany bok BC = 18 cm, ∟β = 40°. Wtedy nieznana strona AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), przeciwprostokątna AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Suma boków figury wynosi P = 56,3 (cm). Lub P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm Odpowiedź: P = 56,3 cm Jeśli znana jest długość przeciwprostokątnej c i jakiś kąt α, wówczas nogi będą równe iloczynowi przeciwprostokątnej dla pierwszy - sinusem, a drugi - cosinusem tego kąta. Obwód tej figury wynosi P = (sin α + 1+ cos α)*c. Zadanie: Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego AB = 9,1 centymetra, a kąt wynosi 50 stopni. Znajdź sumę boków tej figury. Rozwiązanie: Oznaczmy przeciwprostokątną: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, wówczas jedna z nóg BC ma długość a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), noga AC = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Oznacza to, że obwód tego wielokąta wynosi P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Lub P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odpowiedź: P = 21,9 centymetra.

Dowolny trójkąt, którego jeden z boków jest nieznany

Jeśli mamy wartości dwóch boków a i c oraz kąt między tymi bokami γ, trzeci znajdujemy na podstawie twierdzenia o cosinusie: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, gdzie β jest kątem leżącego pomiędzy bokami a i c. Następnie znajdujemy obwód. Zadanie: Δ ABC ma odcinek AB o długości 15 dm i odcinek AC o długości 30,5 dm. Kąt między tymi bokami wynosi 35 stopni. Oblicz sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Korzystając z twierdzenia cosinus, obliczamy długość trzeciego boku. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Mamy: P = 65,6 dm.

Suma boków dowolnego trójkąta, w którym długości dwóch boków są nieznane

Znając długość tylko jednego odcinka i wartość dwóch kątów, możemy obliczyć długość dwóch nieznanych boków, korzystając z twierdzenia o sinusie: „w trójkącie boki są zawsze proporcjonalne do wartości sinusów przeciwne kąty.” Gdzie b = (a* sin β)/ sin a. Podobnie c = (a sin γ): grzech a. Obwód w tym przypadku będzie wynosił P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a. Zadanie: Mamy Δ ABC. W nim długość boku BC wynosi 8,5 mm, wartość kąta C wynosi 47°, a kąt B wynosi 35 stopni. Znajdź sumę boków tej figury. Rozwiązanie: Oznaczmy długości boków BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. Z zależności uzyskanych z twierdzenia o sinusie znajdujemy nogi AC = b = (8,5 · 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 · 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Zatem suma boków tego wielokąta wynosi P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odpowiedź: P = 23,5 mm. W przypadku, gdy istnieje tylko długość jednego odcinka i wartości dwóch sąsiednich kątów, najpierw obliczamy kąt przeciwny do znanego boku. Wszystkie kąty tej figury sumują się do 180 stopni. Zatem ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Następnie znajdujemy nieznane segmenty, korzystając z twierdzenia o sinusie. Zadanie: Mamy Δ ABC. Ma odcinek BC równy 10 cm, wartość kąta B wynosi 48 stopni, kąt C wynosi 56 stopni. Znajdź sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Najpierw znajdź wartość kąta A po przeciwnej stronie BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Teraz, korzystając z twierdzenia o sinusach, obliczamy długość boku AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm). AB = BC* grzech C/ grzech A = 8,6. Obwód trójkąta wynosi P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Wynik: P = 26,2 cm.

Obliczanie obwodu trójkąta na podstawie promienia okręgu w niego wpisanego

Czasami żadna ze stron problemu nie jest znana. Ale istnieje wartość pola trójkąta i promienia wpisanego w niego koła. Wielkości te są ze sobą powiązane: S = r p. Znając obszar trójkąta i promień r, możemy znaleźć półobwód p. Znajdujemy p = S: r. Problem: Działka ma powierzchnię 24 m2, promień r wynosi 3 m. Znajdź liczbę drzew, które należy równomiernie posadzić wzdłuż linii otaczającej tę działkę, jeśli odległość między dwoma sąsiednimi drzewami powinna wynosić 2 metry . Rozwiązanie: Sumę boków tej figury obliczamy następująco: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Następnie podziel przez dwa. 16:2= 8. Razem: 8 drzew.

Suma boków trójkąta we współrzędnych kartezjańskich

Wierzchołki Δ ABC mają współrzędne: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Znajdźmy kwadraty każdego boku AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Aby znaleźć obwód, po prostu dodaj wszystkie segmenty. Zadanie: Współrzędne wierzchołków Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Znajdź sumę boków tej figury. Rozwiązanie: wstawiając wartości odpowiednich współrzędnych do wzoru na obwód, otrzymujemy P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Mamy: P = 16,6. Jeśli figura nie znajduje się na płaszczyźnie, ale w przestrzeni, wówczas każdy z wierzchołków ma trzy współrzędne. Dlatego wzór na sumę boków będzie miał jeszcze jeden wyraz.

Metoda wektorowa

Jeżeli figurę wyznaczają współrzędne jej wierzchołków, obwód można obliczyć metodą wektorową. Wektor to odcinek, który ma kierunek. Jego moduł (długość) jest oznaczony symbolem ǀᾱǀ. Odległość między punktami to długość odpowiedniego wektora lub wartość bezwzględna wektora. Rozważmy trójkąt leżący na płaszczyźnie. Jeżeli wierzchołki mają współrzędne A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3), to długość każdego boku wyznaczamy ze wzorów: ǀAMǀ = √ ((x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3 ) 2 + ( r 1 - r 3) 2). Obwód trójkąta obliczamy dodając długości wektorów. Podobnie znajdź sumę boków trójkąta w przestrzeni.

Dziecko