Na ten temat przeczytaj wskazówki na ten temat i dokładnie przeanalizuj rozwiązania do przykładów z tej instrukcji. Wykonaj ćwiczenia sprawdzające.

Elementy teorii prawdopodobieństwa.

Podstawowe pojęcia kombinatoryki. Zadania, w których należy utworzyć różne kombinacje ze skończonej liczby elementów i policzyć wszystkie możliwe takie kombinacje, nazywane są kombinatoryczny.

Ta dziedzina matematyki znajduje szerokie zastosowanie praktyczne w wielu zagadnieniach nauk przyrodniczych i technicznych.

Miejsca docelowe. Niech będzie zbiór zawierający N elementy. Każdy z jego uporządkowanych podzbiorów zawierających M elementy nazywa się umieszczenie z N elementy wg M elementy.

Z definicji wynika, że ​​i z jakich miejsc docelowych N elementy wg M- Ten M-podzbiory elementów różniące się składem elementów lub kolejnością ich występowania.

Liczba miejsc docelowych od N elementy wg M elementy w każdym z nich są wyznaczane i obliczane za pomocą wzoru.

Liczba miejsc docelowych od N elementy wg M elementy w każdym są równe iloczynowi M sukcesywnie malejące liczby naturalne, z których największa to N.

Dla wielokrotności iloczynu pierwszego N liczby naturalne są zwykle oznaczane przez ( N-silnia):

Następnie wzór na liczbę miejsc docelowych z N elementy wg M elementy można zapisać w innej formie: .

Przykład 1. Na ile sposobów można wybrać z grupy 25 uczniów lidera grupy składającego się z dyrektora, jego zastępcy i lidera związku zawodowego?

Rozwiązanie. Skład majątku grupy stanowi uporządkowany zbiór 25 elementów po trzy elementy. Oznacza. Wymagana liczba sposobów jest równa liczbie rozmieszczeń 25 elementów po trzy elementy każdy: , lub .

Przykład 2. Przed maturą grupa 30 uczniów wymieniła się zdjęciami. Ile zdjęć rozdano w sumie?

Rozwiązanie. Przenoszenie fotografii od jednego ucznia do drugiego to układ 30 elementów, po dwa elementy każdy. Wymagana liczba zdjęć równa się liczbie rozmieszczeń 30 elementów, po dwa elementy każdy: .

Przegrupowania. Miejsca docelowe od N elementy wg N elementy nazywane są permutacje z N elementy.

Z definicji wynika, że ​​permutacje są szczególnym przypadkiem rozmieszczenia. Ponieważ każda permutacja zawiera wszystko N elementy zbioru, to różne permutacje różnią się od siebie jedynie kolejnością elementów.

Liczba permutacji z N elementy danego zbioru wyznacza się i oblicza za pomocą wzoru

Przykład 3. Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z liczb 1, 2, 3, 4 bez powtórzeń?

Rozwiązanie. Warunek podaje się zestaw czterech elementów, które należy ułożyć w określonej kolejności. Oznacza to, że musisz znaleźć liczbę permutacji czterech elementów: , tj. z liczb 1, 2, 3, 4 można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe (bez powtarzania się liczb)

Przykład 4. Na ile sposobów można posadzić 10 gości na dziesięciu miejscach przy świątecznym stole?

Rozwiązanie. Wymagana liczba sposobów jest równa liczbie permutacji dziesięciu elementów: .

Kombinacje. Niech będzie zbiór składający się z N elementy. Każdy z jego podzbiorów, składający się z M elementy nazywa się połączenie z N elementy wg M elementy.

Zatem kombinacje N elementy wg M elementy są wszystkim M-podzbiory elementów N-zestaw elementów i tylko te, które mają inny skład elementów, są uważane za różne zbiory.

Podzbiory różniące się między sobą kolejnością elementów nie są uważane za różne.

Liczba podzbiorów według M elementy w każdym, zawarte w zestawie N elementy, tj. liczba kombinacji N elementy wg M elementy w każdym z nich wyznacza się i oblicza według wzoru: Lub .

Liczba kombinacji ma następującą właściwość: ().

Przykład 5. Ile meczów powinno rozegrać 20 drużyn piłkarskich w ramach jednorundowych mistrzostw?

Rozwiązanie. Od gry dowolnej drużyny A z zespołem B pokrywa się z grą drużyny B z zespołem A, to każda gra jest kombinacją 20 elementów po 2. wymagana liczba wszystkich gier jest równa liczbie kombinacji 20 elementów po 2 elementy każda: .

Przykład 6. Na ile sposobów można rozdzielić 12 osób pomiędzy zespoły, jeśli w każdym zespole znajduje się 6 osób?

Rozwiązanie. Skład każdego zespołu to skończony zbiór 12 elementów po 6. Oznacza to, że wymagana liczba metod jest równa liczbie kombinacji 12 elementów po 6:
.

Przypadkowe zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia. Teoria prawdopodobieństwa to nauka matematyczna badająca wzorce zdarzeń losowych. Do podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa zalicza się testy i zdarzenia.

Pod test (doświadczenie) zrozumieć realizację danego zestawu warunków, w wyniku których jakieś zdarzenie będzie stale zachodzić.

Na przykład rzut monetą jest testem; pojawienie się herbu i numerów jest wydarzeniem.

Przypadkowe wydarzenie to zdarzenie związane z danym testem, które może, ale nie musi wystąpić w trakcie testu. Słowo „losowy” jest często pomijane dla zwięzłości i mówi się po prostu „zdarzenie”. Przykładowo, przeżyciem jest strzał do celu, zdarzenia losowe w tym doświadczeniu to trafienie w cel lub chybienie.

Zdarzenie odbywające się w tych warunkach nazywa się niezawodny, jeżeli w wyniku doświadczenia powinno ono stale występować, oraz niemożliwe, jeśli na pewno tak się nie stanie. Na przykład zdobycie nie więcej niż sześciu punktów w rzucie jedną kostką jest pewnym wydarzeniem; zdobycie dziesięciu punktów przy rzucie jedną kostką jest wydarzeniem niemożliwym.

Wydarzenia nazywają się niekompatybilny, jeśli żadne dwa z nich nie mogą pojawić się razem. Na przykład trafienie i chybienie jednym strzałem to zdarzenia niezgodne.

Mówi się, że w danym eksperymencie występuje kilka zdarzeń kompletny system zdarzenia, jeśli przynajmniej jedno z nich musi koniecznie nastąpić w wyniku doświadczenia. Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenia polegające na rzucie jednym, dwoma, trzema, czterema, pięcioma i szóstymi tworzą kompletną grupę zdarzeń.

Wydarzenia nazywają się równie możliwe, jeśli żaden z nich nie jest obiektywnie bardziej możliwy niż pozostałe. Na przykład podczas rzucania monetą równie możliwym zdarzeniem jest pojawienie się herbu lub liczby.

Każde wydarzenie ma pewien stopień możliwości. Liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości zdarzenia jest prawdopodobieństwo zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia A oznaczony przez ROCZNIE).

Wypuść z systemu N niezgodne, równie możliwe wyniki testu M wyniki sprzyjają wydarzeniu A. Następnie prawdopodobieństwo wydarzenia A zwane postawą M liczbę korzystnych dla zdarzenia wyników A, do liczby wszystkich wyników tego testu: .

Wzór ten nazywany jest klasyczną definicją prawdopodobieństwa.

Jeśli B jest zatem wydarzeniem wiarygodnym n=m I P(B)=1; Jeśli Z jest zatem zdarzeniem niemożliwym m=0 I P(C)=0; Jeśli A jest zatem zdarzeniem losowym I .

Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia mieści się w następujących granicach: .

Przykład 7. Kości rzuca się raz. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzeń: A– pojawienie się parzystej liczby punktów; B– pojawienie się co najmniej pięciu punktów; C– pojawienie się nie więcej niż pięciu punktów.

Rozwiązanie. Eksperyment ma sześć równie możliwych niezależnych wyników (pojawienie się jednego, dwóch, trzech, czterech, pięciu i sześciu punktów), tworząc kompletny system.

Wydarzenie A trzy wyniki są korzystne (wyrzucenie dwóch, czterech i sześciu), tzw ; wydarzenie B– zatem dwa wyniki (5 i 6 punktów). ; wydarzenie C– zatem pięć wyników (rzut jeden, dwa, trzy, cztery, pięć punktów). .

Obliczając prawdopodobieństwo, często trzeba korzystać ze wzorów kombinatorycznych.

Spójrzmy na przykłady bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw.

Przykład 8. W urnie jest 7 kul czerwonych i 6 kul niebieskich. Z urny losujemy jednocześnie dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule będą czerwone (zdarzenie A)?

Rozwiązanie. Liczba równie możliwych niezależnych wyników jest równa .

Wydarzenie A przychylność wyniki. Stąd, .

Przykład 9. W partii składającej się z 24 części pięć jest uszkodzonych. Z partii wybieranych jest losowo 6 części. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród tych 6 części znajdą się 2 wadliwe (zdarzenie B)?

Rozwiązanie. Liczba równie możliwych niezależnych wyników jest równa .

Policzmy liczbę wyników M, sprzyjający wydarzeniu B. Spośród sześciu losowo wybranych części powinny znajdować się 2 wadliwe i 4 standardowe. Można wybrać dwie wadliwe części z pięciu sposoby i można wybrać 4 części standardowe z 19 części standardowych
sposoby.

Każdą kombinację wadliwych części można połączyć z każdą kombinacją części standardowych, więc . Stąd,
.

Przykład 10. Na jednej półce ułożonych jest losowo dziewięć różnych książek. Znajdź prawdopodobieństwo, że cztery określone książki zostaną umieszczone obok siebie (zdarzenie Z)?

Rozwiązanie. Tutaj liczba równie możliwych niezależnych wyników wynosi . Policzmy liczbę wyników T, sprzyjający wydarzeniu Z. Wyobraźmy sobie, że cztery konkretne książki są ze sobą powiązane, a następnie całość można ustawić na półce sposoby (dzierganie i pięć pozostałych książek). Cztery książki znajdujące się w zestawie można przestawiać sposoby. Ponadto każdą kombinację w ramach wiązki można łączyć z każdym ze sposobów formowania wiązki, tj. . Stąd, .

WSTĘP

Wiele rzeczy jest dla nas niezrozumiałych nie dlatego, że nasze pojęcia są słabe;
ale dlatego, że te rzeczy nie mieszczą się w zakresie naszych pojęć.
Koźma Prutkow

Głównym celem studiowania matematyki w szkołach średnich specjalistycznych jest wyposażenie uczniów w zestaw wiedzy matematycznej i umiejętności niezbędnych do studiowania innych dyscyplin programowych, które w takim czy innym stopniu wykorzystują matematykę, do umiejętności wykonywania praktycznych obliczeń, do tworzenia i rozwoju logicznego myślenia.

W tej pracy wszystkie podstawowe pojęcia z części matematyki „Podstawy teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”, przewidziane w programie i Państwowych standardach edukacyjnych średniego szkolnictwa zawodowego (Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej. M., 2002 ), są konsekwentnie wprowadzane, formułowane są główne twierdzenia, z których większość nie jest udowodniona. Rozważane są główne problemy i metody ich rozwiązywania oraz technologie stosowania tych metod do rozwiązywania problemów praktycznych. Prezentację opatrzono szczegółowymi komentarzami i licznymi przykładami.

Wskazówki metodyczne mogą służyć do wstępnego zapoznania się z studiowanym materiałem, sporządzania notatek z wykładów, przygotowania do zajęć praktycznych, utrwalenia zdobytej wiedzy, umiejętności i zdolności. Ponadto podręcznik będzie także przydatny dla studentów studiów licencjackich jako narzędzie referencyjne, umożliwiające im szybkie przypomnienie sobie tego, czego uczyli się wcześniej.

Na końcu pracy znajdują się przykłady i zadania, które uczniowie mogą wykonać w trybie samokontroli.

Wytyczne przeznaczone są dla studentów studiów niestacjonarnych i stacjonarnych.

PODSTAWOWE KONCEPCJE

Teoria prawdopodobieństwa bada obiektywne wzorce masowych zdarzeń losowych. Stanowi teoretyczną podstawę statystyki matematycznej, która zajmuje się rozwojem metod gromadzenia, opisywania i przetwarzania wyników obserwacji. Poprzez obserwacje (testy, eksperymenty), tj. Doświadczenie w szerokim tego słowa znaczeniu, następuje poznanie zjawisk świata realnego.

W naszych praktycznych działaniach często spotykamy się ze zjawiskami, których wyniku nie można przewidzieć, a których wynik zależy od przypadku.

Zjawisko losowe można scharakteryzować stosunkiem liczby jego wystąpień do liczby prób, w których, w tych samych warunkach wszystkich prób, może wystąpić lub nie wystąpić.

Teoria prawdopodobieństwa to dziedzina matematyki, w której bada się zjawiska losowe (zdarzenia) i identyfikuje wzorce, gdy są one masowo powtarzane.

Statystyka matematyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem metod gromadzenia, systematyzowania, przetwarzania i wykorzystywania danych statystycznych w celu wyciągania wniosków naukowych i podejmowania decyzji.

W tym przypadku dane statystyczne są rozumiane jako zbiór liczb, które reprezentują ilościowe cechy charakterystyczne cech badanych obiektów, które nas interesują. Dane statystyczne uzyskuje się w wyniku specjalnie zaprojektowanych eksperymentów i obserwacji.

Dane statystyczne ze swojej istoty zależą od wielu czynników losowych, dlatego statystyka matematyczna jest ściśle związana z teorią prawdopodobieństwa, która jest jej podstawą teoretyczną.

I. PRAWdopodobieństwo. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw

1.1. Podstawowe pojęcia kombinatoryki

W dziale matematyki, który nazywa się kombinatoryką, rozwiązuje się niektóre problemy związane z rozpatrywaniem zbiorów i składaniem różnych kombinacji elementów tych zbiorów. Na przykład, jeśli weźmiemy 10 różnych liczb 0, 1, 2, 3,: , 9 i zrobimy ich kombinację, otrzymamy różne liczby, na przykład 143, 431, 5671, 1207, 43 itd.

Widzimy, że niektóre z tych kombinacji różnią się tylko kolejnością cyfr (na przykład 143 i 431), inne - zawartymi w nich cyframi (na przykład 5671 i 1207), a inne różnią się także liczbą cyfr (na przykład 143 i 43).

Zatem powstałe kombinacje spełniają różne warunki.

W zależności od zasad kompozycji można wyróżnić trzy rodzaje kombinacji: permutacje, rozmieszczenia, kombinacje.

Najpierw zapoznajmy się z koncepcją silnia.

Nazywa się iloczynem wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie n-silnia i napisz.

Oblicz: a) ; B) ; V) .

Rozwiązanie. A) .

b) Od , to możemy wyjąć to z nawiasów

Wtedy otrzymamy

V) .

Przegrupowania.

Permutacją nazywamy kombinację n elementów różniących się od siebie jedynie kolejnością elementów.

Permutacje są oznaczone symbolem P. n , gdzie n jest liczbą elementów zawartych w każdej permutacji. ( R- pierwsza litera francuskiego słowa permutacja- przegrupowanie).

Liczbę permutacji można obliczyć za pomocą wzoru

lub używając silni:

Pamiętajmy o tym 0!=1 i 1!=1.

Przykład 2. Na ile sposobów można ustawić sześć różnych książek na jednej półce?

Rozwiązanie. Wymagana liczba sposobów jest równa liczbie permutacji 6 elementów, tj.

Miejsca docelowe.

Wpisy z M elementy w N w każdym z nich nazywane są takie związki, które różnią się od siebie samymi elementami (co najmniej jednym) lub kolejnością ich ułożenia.

Miejsca docelowe są oznaczone symbolem gdzie M- ilość wszystkich dostępnych elementów, N- liczba elementów w każdej kombinacji. ( A- pierwsza litera francuskiego słowa układ, co oznacza „umieszczenie, uporządkowanie”).

Jednocześnie uważa się, że nm.

Liczbę miejsc docelowych można obliczyć za pomocą wzoru

,

te. liczba wszystkich możliwych miejsc docelowych z M elementy wg N równa się produktowi N kolejne liczby całkowite, z których największa to M.

Zapiszmy ten wzór w postaci silni:

Przykład 3. Ile opcji dystrybucji trzech bonów do sanatoriów o różnych profilach można skompilować dla pięciu wnioskodawców?

Rozwiązanie. Wymagana liczba opcji jest równa liczbie umieszczenia 5 elementów po 3 elementy, tj.

.

Kombinacje.

Kombinacje to wszystkie możliwe kombinacje M elementy wg N, które różnią się od siebie co najmniej jednym elementem (tutaj M I N- liczby naturalne i n m).

Liczba kombinacji M elementy wg N są oznaczone ( Z-pierwsza litera francuskiego słowa połączenie- kombinacja).

Ogólnie rzecz biorąc, liczba M elementy wg N równa liczbie miejsc docelowych z M elementy wg N, podzielone przez liczbę permutacji z N elementy:

Korzystając ze wzorów silniowych na liczbę miejsc docelowych i permutacji, otrzymujemy:

Przykład 4. W 25-osobowym zespole musisz przydzielić cztery osoby do pracy w określonym obszarze. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Ponieważ kolejność czterech wybranych osób nie ma znaczenia, istnieją sposoby, aby to zrobić.

Znajdujemy, korzystając z pierwszej formuły

.

Ponadto przy rozwiązywaniu problemów stosuje się następujące wzory wyrażające podstawowe właściwości kombinacji:

(z definicji zakładają i);

.

1.2. Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych

Zadanie 1. Na wydziale studiuje się 16 przedmiotów. Musisz umieścić 3 przedmioty w swoim planie zajęć na poniedziałek. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie. Sposobów zaplanowania trzech elementów z 16 jest tyle, ile można rozmieścić 16 elementów po 3.

Zadanie 2. Spośród 15 obiektów musisz wybrać 10 obiektów. Na ile sposobów można to zrobić?

Zadanie 3. W zawodach wzięły udział cztery drużyny. Ile jest możliwych opcji podziału miejsc pomiędzy nimi?

.

Zadanie 4. Na ile sposobów można utworzyć patrol składający się z trzech żołnierzy i jednego oficera, jeżeli jest 80 żołnierzy i 3 oficerów?

Rozwiązanie. Możesz wybrać żołnierza na patrolu

sposoby i oficerowie na sposoby. Ponieważ każdy oficer może towarzyszyć każdej drużynie żołnierzy, sposobów jest tylko kilka.

Zadanie 5. Znajdź , jeśli wiadomo, że .

Ponieważ , otrzymujemy

,

,

Z definicji kombinacji wynika, że ​​, . To. .

1.3. Pojęcie zdarzenia losowego. Rodzaje wydarzeń. Prawdopodobieństwo zdarzenia

Każde działanie, zjawisko, obserwacja z kilkoma różnymi wynikami, zrealizowane w danych warunkach, będzie nazywane test.

Wynik tego działania lub obserwacji nazywa się wydarzenie .

Jeśli zdarzenie w danych warunkach może się wydarzyć lub nie, wówczas nazywa się je losowy . Kiedy zdarzenie jest pewne, następuje jego wywołanie niezawodny , a w przypadku, gdy jest to oczywiście niemożliwe, - niemożliwe.

Wydarzenia nazywają się niekompatybilny , jeśli za każdym razem możliwe jest wystąpienie tylko jednego z nich.

Wydarzenia nazywają się wspólny , jeżeli w danych warunkach wystąpienie jednego z tych zdarzeń nie wyklucza wystąpienia drugiego w czasie tego samego badania.

Wydarzenia nazywają się naprzeciwko , jeżeli w warunkach testowych one, jako jedyne wyniki, są niezgodne.

Wydarzenia są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, D, : .

Kompletny układ zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 , : , An jest zbiorem zdarzeń niezgodnych, z których wystąpienie przynajmniej jednego jest obowiązkowe podczas danego testu.

Jeśli kompletny system składa się z dwóch niezgodnych ze sobą zdarzeń, wówczas takie zdarzenia nazywane są przeciwstawnymi i oznaczane A i .

Przykład. W pudełku znajduje się 30 ponumerowanych piłek. Określ, które z poniższych zdarzeń są niemożliwe, wiarygodne lub sprzeczne:

wyciągnął numerowaną piłkę (A);

dostałem kulę o parzystej liczbie (W);

dostałem piłkę z liczbą nieparzystą (Z);

dostałem piłkę bez numeru (D).

Które z nich tworzą kompletną grupę?

Rozwiązanie . A- wiarygodne wydarzenie; D- wydarzenie niemożliwe;

W I Z- zdarzenia przeciwne.

Kompletna grupa wydarzeń składa się z A I D, V I Z.

Prawdopodobieństwo zdarzenia uważa się za miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia losowego.

1.4. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia nazywa się prawdopodobieństwo tego zdarzenia i jest oznaczone symbolem R(A).

Definicja. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby wyników m, które sprzyjają zaistnieniu danego zdarzenia A, do numeru N wszystkie wyniki (niespójne, tylko możliwe i równie możliwe), tj. .

Dlatego, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu obliczyć wszystkie możliwe niespójne wyniki N, wybierz liczbę wyników m, które nas interesują i oblicz stosunek M Do N.

Z tej definicji wynikają następujące właściwości:

Prawdopodobieństwo dowolnego testu jest liczbą nieujemną i nie przekracza jeden.

Rzeczywiście, liczba m wymaganych zdarzeń mieści się w zakresie . Podział obu części na N, otrzymujemy

2. Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden, ponieważ .

3. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero, ponieważ .

Zadanie 1. W loterii składającej się z 1000 losów jest 200 zwycięskich. Losowo wydawany jest jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten bilet będzie zwycięzcą?

Rozwiązanie. Całkowita liczba różnych wyników wynosi N=1000. Liczba wyników sprzyjających wygranej wynosi m=200. Zgodnie ze wzorem otrzymujemy

.

Problem 2. W partii 18 części znajdują się 4 wadliwe. 5 części wybieranych jest losowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwie z tych 5 części będą wadliwe.

Rozwiązanie. Liczba wszystkich równie możliwych niezależnych wyników N równa liczbie kombinacji 18 na 5, tj.

Policzmy liczbę m, która sprzyja zdarzeniu A. Wśród 5 losowo wybranych części powinny znaleźć się 3 dobre i 2 wadliwe. Liczba sposobów wyboru dwóch wadliwych części z 4 istniejących wadliwych jest równa liczbie kombinacji 4 na 2:

Liczba sposobów wyboru trzech części jakościowych z 14 dostępnych części jakościowych jest równa

.

Dowolną grupę dobrych części można połączyć z dowolną grupą wadliwych części, a więc całkowita liczba kombinacji M wynosi

Wymagane prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby wyników m korzystnych dla tego zdarzenia do liczby n wszystkich równie możliwych niezależnych wyników:

.

Suma skończonej liczby zdarzeń to zdarzenie składające się z wystąpienia co najmniej jednego z nich.

Suma dwóch zdarzeń jest oznaczona symbolem A+B i sumą N zdarzenia o symbolu A 1 +A 2 + : +A n.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo sumy dwóch niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Wniosek 1. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2, :,A n tworzą kompletny system, to suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa jeden.

Wniosek 2. Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń i jest równa jeden.

.

Zadanie 1. Jest 100 losów na loterię. Wiadomo, że 5 biletów wygrywa 20 000 rubli, 10 biletów wygrywa 15 000 rubli, 15 biletów wygrywa 10 000 rubli, 25 biletów wygrywa 2000 rubli. i nic do reszty. Znajdź prawdopodobieństwo, że zakupiony los przyniesie wygraną w wysokości co najmniej 10 000 rubli.

Rozwiązanie. Niech A, B i C będą zdarzeniami polegającymi na tym, że zakupiony los otrzyma wygraną odpowiednio 20 000, 15 000 i 10 000 rubli. ponieważ zdarzenia A, B i C są zatem niezgodne

Zadanie 2. Dział korespondencyjny technikum otrzymuje testy z matematyki z miast A, B I Z. Prawdopodobieństwo otrzymania pracy testowej z miasta A równy 0,6, od miasta W- 0,1. Znajdź prawdopodobieństwo, że następny test nadejdzie z miasta Z.

dla studentów II roku wszystkich specjalności

Katedra Matematyki Wyższej

Część wprowadzająca

Drodzy studenci!

Zwracamy uwagę na wykład poglądowy (wstępny) profesora N.Sh Kremera na temat dyscypliny „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna” dla studentów drugiego roku VZFEI.

Wykład omawia zadania studiuje teorię prawdopodobieństwa i statystykę matematyczną na uniwersytecie ekonomicznym oraz jej miejsce w systemie kształcenia współczesnego ekonomisty organizacja niezależny prowadzona jest praca uczniów z wykorzystaniem komputerowego systemu szkoleniowego (CTS) i tradycyjnych podręczników przegląd głównych przepisów tego kursu, a także zalecenia metodologiczne dotyczące jego studiowania.

Wśród dyscyplin matematycznych studiowanych na uczelni ekonomicznej szczególne miejsce zajmuje teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Po pierwsze, stanowi podstawę teoretyczną dyscyplin statystycznych. Po drugie, w badaniu bezpośrednio wykorzystuje się metody teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej agregaty masowe obserwowanych zjawisk, przetwarzanie wyników obserwacji i identyfikowanie wzorców zjawisk losowych. Wreszcie teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna mają istotne znaczenie metodologiczne proces poznawczy podczas identyfikowania ogólnego wzorca zbadane procesów, pełni funkcję logiczną podstawa rozumowanie indukcyjno-dedukcyjne.

Każdy student drugiego roku musi posiadać następujący zestaw (przypadek) z dyscypliny „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna”:

1. Ogólny wykład orientacyjny w tej dyscyplinie.

2. Podręcznik N.Sh. Kremer „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna” - M.: UNITY - DANA, 2007 (w dalszej części będziemy go nazywać po prostu „podręcznikiem”).

3. Podręcznik edukacyjno-metodyczny„Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna” / wyd. N.Sh. Kremera. – M.: Podręcznik uniwersytecki, 2005 (zwany dalej „podręcznikiem”).

4. Program szkolenia komputerowego COPR dla dyscypliny (zwany dalej „programem komputerowym”).

Na stronie internetowej instytutu w zakładce „Zasoby korporacyjne” zamieszczona jest wersja internetowa programu komputerowego KOPR2, wykład poglądowy oraz elektroniczna wersja podręcznika. Dodatkowo program komputerowy i instrukcja znajdują się na stronie płyta CD - ROM ach, dla studentów drugiego roku. Zatem w „formie papierowej” student musi posiadać jedynie podręcznik.

Wyjaśnijmy, jakie jest przeznaczenie każdego z materiałów edukacyjnych wchodzących w skład wskazanego zestawu (etui).

W podręczniku zaprezentowano główne założenia materiału edukacyjnego dyscypliny, zilustrowane odpowiednio dużą liczbą rozwiązanych problemów.

W korzyści Podano zalecenia metodologiczne dotyczące samodzielnego studiowania materiałów edukacyjnych, podkreślono najważniejsze koncepcje kursu i typowe zadania, podano pytania testowe do samodzielnego sprawdzenia w tej dyscyplinie, opcje testów domowych, które student musi zaliczyć, a także metodologiczne podano instrukcje dotyczące ich wykonania.

Program komputerowy ma na celu zapewnienie maksymalnej pomocy w opanowaniu kursu w trybie dialog program zajęć z uczniem, aby w jak największym stopniu zrekompensować brak zajęć lekcyjnych i odpowiedniego kontaktu z nauczycielem.

Dla studenta studiującego w systemie kształcenia na odległość pierwszorzędne i decydujące znaczenie ma organizacja pracy samodzielnej.

Rozpoczynając studiowanie tej dyscypliny, przeczytaj do końca ten wykład przeglądowy (wprowadzający). Pozwoli ci to uzyskać ogólne pojęcie o podstawowych pojęciach i metodach stosowanych na kursie „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna” oraz wymaganiach dotyczących poziomu wyszkolenia studentów VZFEI.

Przed studiowaniem każdego tematu Przeczytaj wskazówki dotyczące studiowania tego tematu zawarte w podręczniku. Tutaj znajdziesz listę pytań edukacyjnych na ten temat, które będziesz studiować; dowiedz się, które pojęcia, definicje, twierdzenia, problemy są najważniejsze i wymagają przestudiowania i opanowania w pierwszej kolejności.

Następnie kontynuuj naukę podstawowe materiały edukacyjne zgodnie z podręcznikiem, zgodnie z otrzymanymi zaleceniami metodycznymi. Radzimy robić notatki w osobnym zeszycie na temat głównych definicji, stwierdzeń twierdzeń, diagramów ich dowodów, wzorów i rozwiązań typowych problemów. Wskazane jest zapisanie wzorów w specjalnych tabelach dla każdej części kursu: teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Regularne korzystanie z notatek, zwłaszcza tabel wzorów, sprzyja ich zapamiętywaniu.

Dopiero po przepracowaniu podstawowego materiału edukacyjnego każdego tematu zawartego w podręczniku można przystąpić do nauki tego tematu z wykorzystaniem komputerowego programu szkoleniowego (KOPR2).

Zwróć uwagę na strukturę programu komputerowego dla każdego tematu. Po nazwie tematu znajduje się lista głównych pytań edukacyjnych dotyczących tematu w podręczniku, wskazująca liczbę akapitów i stron, które należy przestudiować. (Pamiętaj, że lista pytań do każdego tematu jest również podana w podręczniku).

Następnie w krótkiej formie podano materiały referencyjne na ten temat (lub poszczególne akapity tego tematu) - podstawowe definicje, twierdzenia, właściwości i cechy, wzory itp. Studiując dany temat, możesz także wyświetlić na ekranie te fragmenty materiałów źródłowych (na ten lub poprzedni temat), które są w danej chwili potrzebne.

Następnie otrzymujesz materiały szkoleniowe i oczywiście standardowe zadania ( przykłady), którego rozwiązanie jest rozważane w trybie dialog programy z uczniem. Funkcje szeregu przykładów ograniczają się do wyświetlania na ekranie etapów prawidłowego rozwiązania na życzenie studenta. Jednocześnie podczas przeglądania większości przykładów zostaną zadane pytania tego czy innego rodzaju. Odpowiedzi na niektóre pytania należy wpisać za pomocą klawiatury. odpowiedź numeryczna, do innych - wybierz poprawną odpowiedź (lub odpowiedzi) z kilku proponowanych.

W zależności od wprowadzonej odpowiedzi program potwierdza jej poprawność lub sugeruje, po zapoznaniu się z podpowiedzią zawierającą niezbędne zasady teoretyczne, ponowną próbę podania prawidłowego rozwiązania i odpowiedzi. Wiele zadań ma ograniczenie liczby prób rozwiązania (w przypadku przekroczenia tego limitu na ekranie koniecznie wyświetlany jest prawidłowy postęp rozwiązania). Istnieją również przykłady, w których ilość informacji zawartej w podpowiedzi wzrasta w miarę powtarzania nieudanych prób odpowiedzi.

Po zapoznaniu się z teoretycznymi zapisami materiałów edukacyjnych i przykładami, do których opatrzona jest szczegółowa analiza rozwiązania, należy wykonać ćwiczenia samokontroli, aby utrwalić swoje umiejętności rozwiązywania typowych problemów z każdego tematu. Zadania samokontroli zawierają także elementy dialogu z uczniem. Po zakończeniu rozwiązania możesz spojrzeć na poprawną odpowiedź i porównać ją z tą, którą podałeś.

Na zakończenie pracy nad każdym tematem należy wykonać zadania kontrolne. Prawidłowe odpowiedzi na nie nie są Ci wyświetlane, a Twoje odpowiedzi są zapisywane na dysku komputera w celu późniejszej analizy przez nauczyciela-konsultanta (opiekuna).

Po przestudiowaniu tematów 1–7 należy zaliczyć sprawdzian domowy nr 3, a po przerobieniu tematów 8–11 sprawdzian domowy nr 4. Warianty tych testów podane są w instrukcji (jej wersji elektronicznej). Numer realizowanej opcji musi odpowiadać ostatniej cyfrze numeru akt osobowych (dziennika ocen, legitymacji studenckiej). Do każdego testu należy przejść rozmowę kwalifikacyjną, podczas której należy wykazać się umiejętnością rozwiązywania problemów oraz znajomością podstawowych pojęć (definicje, twierdzenia (bez dowodu), wzory itp.) na temat testu. Studiowanie dyscypliny kończy się egzaminem kursowym.

Teoria prawdopodobieństwa jest nauką matematyczną badającą wzorce zjawisk losowych.

Dyscyplina oferowana do studiowania składa się z dwóch części „Teoria prawdopodobieństwa” i „Statystyka matematyczna”.

Mama umyła ramę

Pod koniec długich wakacji czas powoli powrócić do wyższej matematyki i uroczyście otworzyć pusty plik Verdova, aby rozpocząć tworzenie nowej sekcji - . Przyznam, że pierwsze linijki nie są łatwe, ale pierwszy krok to połowa drogi, dlatego sugeruję każdemu dokładne przestudiowanie artykułu wprowadzającego, po którym opanowanie tematu będzie 2 razy łatwiejsze! Wcale nie przesadzam. …W przeddzień następnego 1 września pamiętam pierwszą klasę i elementarz…. Litery tworzą sylaby, sylaby tworzą słowa, słowa tworzą krótkie zdania – Mama umyła ramkę. Opanowanie statystyki obrotu i matematyki jest tak proste, jak nauka czytania! Jednak do tego trzeba znać kluczowe terminy, pojęcia i oznaczenia, a także pewne szczegółowe zasady, które są przedmiotem tej lekcji.

Ale najpierw proszę przyjąć moje gratulacje z okazji rozpoczęcia (kontynuacji, ukończenia, odpowiedniego zaznaczenia) roku szkolnego i przyjąć prezent. Najlepszym prezentem jest książka, a do samodzielnej pracy polecam następującą literaturę:

1) Gmurman VE Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

Legendarny podręcznik, który doczekał się ponad dziesięciu wznowień. Wyróżnia się przystępnością i niezwykle prostym przedstawieniem materiału, a pierwsze rozdziały są w pełni przystępne, jak sądzę, już dla uczniów klas 6-7.

2) Gmurman VE Przewodnik po rozwiązywaniu problemów z teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej

Książka z rozwiązaniami tego samego Władimira Efimowicza ze szczegółowymi przykładami i problemami.

KONIECZNIE pobierz obie książki z Internetu lub zdobądź ich papierowe oryginały! Sprawdzi się także wersja z lat 60. i 70., która jest jeszcze lepsza dla manekinów. Chociaż sformułowanie „teoria prawdopodobieństwa dla manekinów” brzmi dość absurdalnie, ponieważ prawie wszystko ogranicza się do elementarnych operacji arytmetycznych. Miejscami jednak przeskakują pochodne I całki, ale to tylko miejscami.

Postaram się osiągnąć tę samą klarowność prezentacji, ale muszę ostrzec, że mój kurs ma na celu rozwiązywanie problemów a obliczenia teoretyczne ograniczono do minimum. Tak więc, jeśli potrzebujesz szczegółowej teorii, dowodów twierdzeń (twierdzeń-twierdzeń!), Sięgnij do podręcznika. No kto chce nauczyć się rozwiązywać problemy w teorii prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej w możliwie najkrótszym czasie, chodź za mną!

Na początek wystarczy =)

W trakcie lektury artykułów wskazane jest zapoznanie się (przynajmniej pobieżnie) z dodatkowymi zadaniami rozważanych typów. Na stronie Gotowe rozwiązania dla matematyki wyższej Odpowiednie pliki pdf z przykładami rozwiązań zostaną opublikowane. Zapewniona zostanie również znacząca pomoc IDZ 18.1 Ryabuszka(prostsze) i rozwiązał IDZ według kolekcji Chudesenko(trudniejsze).

1) Kwota dwa zdarzenia i nazywa się je wydarzeniem, które oznacza, że ​​to się stanie Lub wydarzenie Lub wydarzenie Lub oba wydarzenia w tym samym czasie. W przypadku takich wydarzeń niekompatybilny, ostatnia opcja znika, czyli może wystąpić Lub wydarzenie Lub wydarzenie .

Reguła dotyczy również większej liczby terminów, np. wydarzenie to się stanie przynajmniej jeden z wydarzeń , A jeśli zdarzenia są niezgodne – wtedy jedna rzecz i tylko jedna rzecz wydarzenie od tej kwoty: Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie , Lub wydarzenie .

Istnieje mnóstwo przykładów:

Pojawią się zdarzenia (przy rzucie kostką nie pojawi się 5 punktów). Lub 1, Lub 2, Lub 3, Lub 4, Lub 6 punktów.

Wydarzenie (spadnie już nie dwa punkty) oznacza, że ​​pojawi się 1 Lub 2zwrotnica.

Wydarzenie (będzie parzysta liczba punktów) – oto co się pojawi Lub 2 Lub 4 Lub 6 punktów.

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie wylosowana czerwona karta (serce). Lub tamburyn) i wydarzenie – że „obrazek” zostanie wyodrębniony (jack Lub dama Lub król Lub as).

Nieco ciekawiej jest w przypadku wspólnych wydarzeń:

Wydarzenie polega na tym, że z talii zostanie losowany kij Lub siedem Lub siedem klubów Zgodnie z definicją podaną powyżej, Przynajmniej coś- lub dowolny trefl lub dowolna siódemka lub ich „przecięcie” - siódemka trefl. Łatwo policzyć, że temu wydarzeniu odpowiada 12 wyników elementarnych (9 kart klubowych + 3 pozostałe siódemki).

Wydarzenie jest takie, że jutro o 12.00 nadejdzie CO NAJMNIEJ JEDNO z możliwych do zsumowania wspólnych wydarzeń, a mianowicie:

– albo będzie tylko deszcz / tylko burza / tylko słońce;
– lub nastąpi tylko para zdarzeń (deszcz + burza / deszcz + słońce / burza + słońce);
– lub wszystkie trzy zdarzenia pojawią się jednocześnie.

Oznacza to, że wydarzenie obejmuje 7 możliwych wyników.

Drugi filar algebry zdarzeń:

2) Praca dwa zdarzenia i wywołać zdarzenie, które polega na wspólnym wystąpieniu tych zdarzeń, czyli mnożenie oznacza, że ​​w pewnych okolicznościach nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie . Podobne stwierdzenie odnosi się do większej liczby wydarzeń, np. dzieło sugeruje, że pod pewnymi warunkami to nastąpi I wydarzenie , I wydarzenie , I wydarzenie , …, I wydarzenie .

Rozważmy test, w którym rzuca się dwiema monetami oraz następujące wydarzenia:

– na pierwszej monecie pojawią się reszki;
– pierwsza moneta wyrzuci reszkę;
– na drugiej monecie pojawią się reszki;
– druga moneta wyrzuci reszkę.

Następnie:
I na 2.) pojawią się głowy;
– zdarzenie jest takie, że na obu monetach (1 I po 2) będą to głowy;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I druga moneta to reszka;
– zdarzenie jest takie, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł.

Łatwo jest zobaczyć te wydarzenia niekompatybilny (bo np. nie mogą być jednocześnie 2 orły i 2 reszki) i forma pełna grupa (ponieważ wzięto pod uwagę Wszystko możliwe wyniki rzutu dwiema monetami). Podsumujmy te wydarzenia: . Jak interpretować ten wpis? Bardzo proste - mnożenie oznacza spójnik logiczny I i dodatek – LUB. Dzięki temu kwotę można łatwo odczytać w zrozumiałym dla człowieka języku: „pojawią się dwie głowy Lub dwie głowy Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na 2. ogonach Lub pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugiej monecie orzeł”

To był przykład kiedy w jednym teście w grę wchodzi kilka obiektów, w tym przypadku dwie monety. Innym powszechnym schematem w problemach praktycznych jest ponowne testowanie , gdy na przykład rzucimy tą samą kostką 3 razy z rzędu. Jako demonstrację rozważ następujące zdarzenia:

– w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty;
– w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów;
– w trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów.

Potem wydarzenie jest to, że w pierwszym rzucie otrzymasz 4 punkty I w drugim rzucie otrzymasz 5 punktów I przy trzecim rzucie otrzymasz 6 punktów. Oczywiście w przypadku kostki będzie znacznie więcej kombinacji (wyników) niż gdybyśmy rzucali monetą.

...Rozumiem, że być może analizowane przykłady nie są zbyt ciekawe, ale to są rzeczy, które często spotyka się w problemach i nie ma od nich ucieczki. Oprócz monety, kostki i talii kart czekają na Ciebie urny z wielobarwnymi kulkami, kilka anonimowych osób strzelających do celu i niestrudzony robotnik, który ciągle dopracowuje pewne szczegóły =)

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest centralną koncepcją teorii prawdopodobieństwa. ...Zabójczo logiczna rzecz, ale od czegoś trzeba było zacząć =) Istnieje kilka podejść do jej definicji:

;
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa ;
Statystyczna definicja prawdopodobieństwa .

W tym artykule skupię się na klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która jest najczęściej stosowana w zadaniach edukacyjnych.

Oznaczenia. Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia jest oznaczone dużą literą łacińską, a samo wydarzenie jest ujęte w nawiasy, pełniąc rolę pewnego rodzaju argumentu. Na przykład:

Ponadto mała litera jest powszechnie używana do oznaczania prawdopodobieństwa. W szczególności można zrezygnować z uciążliwego oznaczania zdarzeń i ich prawdopodobieństw na rzecz następującego stylu:

– prawdopodobieństwo, że w rzucie monetą wypadnie orzeł;
– prawdopodobieństwo, że rzut kostką zakończy się wynikiem 5 punktów;
– prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze treflowym.

Ta opcja jest popularna przy rozwiązywaniu problemów praktycznych, ponieważ pozwala znacznie ograniczyć rejestrację rozwiązania. Podobnie jak w pierwszym przypadku, wygodnie jest tutaj zastosować „mówiące” indeksy dolne/górne.

Wszyscy od dawna zgadli liczby, które właśnie zapisałem powyżej, a teraz dowiemy się, jak się potoczyły:

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonym teście nazywa się współczynnikiem, gdzie:

– łączna liczba wszystkich równie możliwe, podstawowy wyniki tego testu, które tworzą pełen zespół wydarzeń;

- ilość podstawowy wyniki, korzystny wydarzenie.

Podczas rzucania monetą mogą wypaść orzeł lub reszka - powstają te zdarzenia pełna grupa, a zatem całkowita liczba wyników; jednocześnie każdy z nich podstawowy I równie możliwe. Wydarzeniu sprzyja wynik (reszki). Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa: .

Podobnie w wyniku rzutu kostką mogą pojawić się elementarne, równie możliwe wyniki, tworzące kompletną grupę, a zdarzeniu sprzyja pojedynczy wynik (wyrzucenie piątki). Dlatego: NIE JEST TO DOPUSZCZONE (chociaż nie jest zabronione szacowanie procentów w głowie).

Zwyczajowo używa się ułamków jednostki i, oczywiście, prawdopodobieństwo może się różnić w obrębie . Co więcej, jeśli , to zdarzenie jest niemożliwe, Jeśli - niezawodny, a jeśli , to mówimy o losowy wydarzenie.

! Jeśli podczas rozwiązywania dowolnego problemu otrzymasz inną wartość prawdopodobieństwa, poszukaj błędu!

W klasycznym podejściu do wyznaczania prawdopodobieństwa wartości ekstremalne (zero i jeden) uzyskuje się dokładnie w ten sam sposób. Z urny zawierającej 10 kul czerwonych losujemy 1 kulę. Rozważ następujące zdarzenia:

w pojedynczej próbie nie wystąpi zdarzenie o niskim prawdopodobieństwie.

Dlatego nie trafisz głównej wygranej na loterii, jeśli prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi, powiedzmy, 0,00000001. Tak, tak, to Ty – z jedynym biletem w danym obiegu. Jednak większa liczba biletów i większa liczba rysunków niewiele Ci pomoże. ...Kiedy opowiadam o tym innym, prawie zawsze słyszę w odpowiedzi: „ale ktoś wygrywa”. OK, w takim razie zróbmy następujący eksperyment: proszę dzisiaj lub jutro kupić los na dowolną loterię (nie zwlekaj!). A jeśli wygrasz... cóż, przynajmniej ponad 10 kilorubli, koniecznie zarejestruj się - wyjaśnię, dlaczego tak się stało. Oczywiście procentowo =) =)

Ale nie ma co się smucić, bo obowiązuje zasada odwrotna: jeśli prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia jest bardzo bliskie jedności, to w jednej próbie tak się stanie prawie pewien stanie się. Dlatego przed skokiem ze spadochronem nie ma się czego bać, wręcz przeciwnie – uśmiechaj się! Przecież muszą zaistnieć zupełnie nie do pomyślenia i fantastyczne okoliczności, aby oba spadochrony uległy awarii.

Choć to wszystko jest liryzmem, gdyż w zależności od treści wydarzenia pierwsza zasada może okazać się wesoła, a druga – smutna; lub nawet oba są równoległe.

Może na razie wystarczy, na zajęciach Klasyczne problemy prawdopodobieństwa maksymalnie wykorzystamy tę formułę. W końcowej części tego artykułu rozważymy jedno ważne twierdzenie:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń tworzących pełną grupę jest równa jeden. Z grubsza rzecz biorąc, jeśli zdarzenia tworzą kompletną grupę, to ze 100% prawdopodobieństwem jedno z nich nastąpi. W najprostszym przypadku kompletną grupę tworzą przeciwne zdarzenia, na przykład:

– w wyniku rzutu monetą pojawią się reszki;
– wynikiem rzutu monetą będą reszki.

Zgodnie z twierdzeniem:

Jest całkowicie jasne, że zdarzenia te są jednakowo możliwe, a ich prawdopodobieństwa są takie same .

Ze względu na równość prawdopodobieństw często nazywane są zdarzeniami równie możliwymi równie prawdopodobne . A oto łamacz języka do określenia stopnia zatrucia =)

Przykład z sześcianem: zdarzenia są zatem odwrotne .

Rozważane twierdzenie jest wygodne, ponieważ pozwala szybko znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Jeśli więc znane jest prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka, łatwo jest obliczyć prawdopodobieństwo, że wypadnie piątka:

Jest to znacznie prostsze niż zsumowanie prawdopodobieństw pięciu elementarnych wyników. Nawiasem mówiąc, dla wyników elementarnych to twierdzenie jest również prawdziwe:
. Na przykład, jeśli jest prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel, to jest prawdopodobieństwo, że spudłuje.

! W teorii prawdopodobieństwa niepożądane jest używanie liter do jakichkolwiek innych celów.

Na cześć Dnia Wiedzy nie zadam pracy domowej =), ale bardzo ważne jest, abyś odpowiedział na następujące pytania:

– Jakie rodzaje wydarzeń istnieją?
– Czym jest szansa i równość zdarzenia?
– Jak rozumiesz pojęcie zgodności/niekompatybilności zdarzeń?
– Co to jest kompletna grupa zdarzeń, zdarzeń przeciwstawnych?
– Co oznacza dodawanie i mnożenie zdarzeń?
– Jaka jest istota klasycznej definicji prawdopodobieństwa?
– Dlaczego twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę jest przydatne?

Nie, nie trzeba niczego wkuwać, to tylko podstawy teorii prawdopodobieństwa – swego rodzaju elementarz, który szybko wpadnie Ci do głowy. Aby stało się to jak najszybciej, sugeruję zapoznanie się z lekcjami

Dziecko