„Nie możesz dzielić przez zero!” - Większość dzieci w wieku szkolnym uczy się tej zasady na pamięć, bez zadawania pytań. Wszystkie dzieci wiedzą, co to jest „nie możesz” i co się stanie, jeśli w odpowiedzi zapytasz: „Dlaczego?” Ale w rzeczywistości bardzo interesujące i ważne jest wiedzieć, dlaczego nie jest to możliwe.

Rzecz w tym, że cztery operacje arytmetyczne – dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie – w rzeczywistości są nierówne. Matematycy uznają za prawidłowe tylko dwa z nich – dodawanie i mnożenie. Operacje te i ich właściwości zawarte są w samej definicji pojęcia liczby. Wszystkie inne działania są zbudowane w ten czy inny sposób z tych dwóch.

Rozważmy na przykład odejmowanie. Co znaczy 5 – 3 ? Uczeń odpowie na to prosto: musisz wziąć pięć przedmiotów, zabrać (usunąć) trzy z nich i zobaczyć, ile ich pozostało. Ale matematycy patrzą na ten problem zupełnie inaczej. Nie ma odejmowania, jest tylko dodawanie. Dlatego wpis 5 – 3 oznacza liczbę, która po dodaniu do liczby 3 poda numer 5 . To jest 5 – 3 jest po prostu skróconą wersją równania: x + 3 = 5. W tym równaniu nie ma odejmowania. Jest tylko zadanie - znaleźć odpowiednią liczbę.

To samo dotyczy mnożenia i dzielenia. Nagrywać 8: 4 można rozumieć jako wynik podzielenia ośmiu obiektów na cztery równe stosy. Ale w rzeczywistości jest to po prostu skrócona forma równania 4x = 8.

Tutaj staje się jasne, dlaczego nie da się (a raczej nie da się) podzielić przez zero. Nagrywać 5: 0 jest skrótem od 0 x = 5. Oznacza to, że zadaniem tym jest znalezienie liczby, która po pomnożeniu przez 0 da 5 . Ale wiemy to po pomnożeniu przez 0 to zawsze się sprawdza 0 . Jest to nieodłączna właściwość zera, ściśle mówiąc, część jego definicji.

Taka liczba, która po pomnożeniu przez 0 da coś innego niż zero, to po prostu nie istnieje. Oznacza to, że nasz problem nie ma rozwiązania. (Tak, to się zdarza; nie każdy problem ma rozwiązanie.) Co oznacza zapisy 5: 0 nie odpowiada żadnej konkretnej liczbie i po prostu nic nie znaczy, a zatem nie ma żadnego znaczenia. Bezsens tego wpisu można w skrócie wyrazić stwierdzeniem, że nie można dzielić przez zero.

Najbardziej uważni czytelnicy w tym miejscu z pewnością zapytają: czy można podzielić zero przez zero? Rzeczywiście, równanie 0 x = 0 pomyślnie rozwiązany. Możesz na przykład wziąć x = 0, a potem otrzymamy 0 0 = 0. Okazało się 0: 0=0 ? Ale nie spieszmy się. Spróbujmy wziąć x = 1. Dostajemy 0 1 = 0. Prawidłowy? Oznacza, 0: 0 = 1 ? Ale możesz wziąć dowolną liczbę i otrzymać 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itp.

Ale jeśli jakakolwiek liczba jest odpowiednia, to nie mamy powodu wybierać któregokolwiek z nich. Oznacza to, że nie możemy powiedzieć, któremu numerowi odpowiada wpis 0: 0 . A jeśli tak, to zmuszeni jesteśmy przyznać, że ten wpis również nie ma sensu. Okazuje się, że nawet zera nie można podzielić przez zero. (W analizie matematycznej zdarzają się przypadki, gdy ze względu na dodatkowe warunki problemu można preferować jedno z możliwych rozwiązań równania 0 x = 0; W takich przypadkach matematycy mówią o „rozwijającej się niepewności”, ale takie przypadki nie występują w arytmetyce).

Na tym polega specyfika operacji dzielenia. Dokładniej, operacja mnożenia i związana z nią liczba mają zero.

Cóż, najbardziej skrupulatni, doczytawszy aż do tego momentu, mogą zapytać: dlaczego tak się dzieje, że nie można dzielić przez zero, ale można zero odjąć? W pewnym sensie tu zaczyna się prawdziwa matematyka. Odpowiedź na to pytanie można uzyskać jedynie zapoznając się z formalnymi matematycznymi definicjami zbiorów liczbowych i operacjami na nich. Nie jest to takie trudne, ale z jakiegoś powodu nie uczy się tego w szkole. Ale na wykładach z matematyki na uniwersytecie tego właśnie będziesz się uczyć przede wszystkim.

Dlaczego nie można dzielić przez zero? Kto zakazał? Szkoła uparcie zabrania nam dzielenia przez 0, ale gdy tylko przekroczymy próg uczelni, udzielany jest odpust. To, co w szkole uważano za tabu, teraz jest możliwe. Możesz podzielić przez zero i otrzymać nieskończoność. Wyższa matematyka... No prawie. Można to wytłumaczyć prościej.

Historia i filozofia zera

W rzeczywistości historia dzielenia przez zero prześladowała jego wynalazców (a). Hindusi są jednak filozofami przyzwyczajonymi do abstrakcyjnych problemów. Co to znaczy dzielić przez nic? Dla ówczesnych Europejczyków takie pytanie w ogóle nie istniało, ponieważ nie wiedzieli ani o zera, ani o liczbach ujemnych (które na skali znajdują się na lewo od zera).

W Indiach odjęcie większej liczby od mniejszej i otrzymanie liczby ujemnej nie stanowiło problemu. W końcu co oznacza 3-5=-2 w życiu codziennym? Oznacza to, że ktoś jest komuś winien 2. Wywołano liczby ujemne długi.

Zajmijmy się teraz kwestią dzielenia przez zero równie prosto. W 598 r. (pomyślcie tylko, jak dawno temu, ponad 1400 lat temu!) w Indiach urodził się matematyk Brahmagupta, który również zastanawiał się nad dzieleniem przez zero.

Zasugerował, że jeśli weźmiemy cytrynę i zaczniemy dzielić ją na części, to prędzej czy później dojdziemy do tego, że plasterki będą bardzo małe. W naszej wyobraźni możemy dojść do punktu, w którym wycinki stają się równe zeru. Pytanie więc brzmi: jeśli podzielisz cytrynę nie na 2, 4 czy 10 części, ale na nieskończoną liczbę części - jaki rozmiar będą miały plasterki? Otrzymasz nieskończoną liczbę „zero plasterków”. Wszystko jest dość proste, cytrynę pokrój bardzo drobno, otrzymamy kałużę z nieskończoną liczbą części - sok z cytryny.

Po prostu zadaj sobie pytanie:

Jeśli dzielenie przez nieskończoność daje zero, to dzielenie przez zero musi dać nieskończoność.

x/ ∞=0 oznacza x/0=∞

Co się stanie, jeśli podzielisz przez zero?

Ale jeśli zajmiesz się matematyką, okaże się to w jakiś sposób nielogiczne:

a*0=0? Co jeśli b*0=0? Oznacza to: a*0=b*0

I stąd: a=b

Oznacza to, że każda liczba jest równa dowolnej liczbie. Pierwsza niepoprawność dzielenia przez zero, przejdźmy dalej. W matematyce dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Oznacza to, że jeśli podzielimy 4 przez 2, musimy znaleźć liczbę, która pomnożona przez 2 daje 4.

Podziel 4 przez zero - musisz znaleźć liczbę, która pomnożona przez zero da 4. Czyli x*0=4? Ale x*0=0! Znowu pech. Więc pytamy: „Ile zer trzeba odjąć, aby otrzymać 4?” Nieskończoność? Nieskończona liczba zer będzie nadal sumować się do zera.

A dzielenie 0 przez 0 generalnie daje niepewność, ponieważ 0*x=0, gdzie x to w zasadzie wszystko. Oznacza to, że istnieje niezliczona ilość rozwiązań. Co więc stanie się ostatecznie?

Proste wyjaśnienie z życia

Oto problem z fizyki i prawdziwe życie. Załóżmy, że chcemy obliczyć, ile czasu zajmie nam przejście 10 kilometrów. Oznacza to prędkość * czas = odległość (S=Vt). Aby obliczyć czas, podziel odległość przez prędkość (t=S/V). Co się stanie, jeśli nasza prędkość wyniesie 0? t=10/0. Będzie nieskończoność!

Stoimy w miejscu, prędkość wynosi zero i przy tej prędkości już zawsze dotrzemy do granicy 10 km. Zatem czas będzie... t=∞. Mamy więc nieskończoność!

I w tym przykładzie możliwe jest dzielenie przez zero, pozwala na to doświadczenie życiowe. Szkoda, że ​​nauczyciele w szkole nie potrafią tak prosto wytłumaczyć takich rzeczy.

Kolejne wyjaśnienie

Zdefiniujmy, czym jest podział? Na przykład 8/4 oznacza pytanie „ile czwórek zmieści się w ósemce?” Odpowiedź: „dwie czwórki”, czyli matematycznie 8/4 = 2.

A co jeśli zadasz sobie pytanie 5/0=? Ile zer zmieści się w cyfrze 5? Tak, ile chcesz. Nieskończona ilość.

Ale jeśli zamiast liczb abstrakcyjnych weźmiemy rzeczy materialne, na przykład jabłko. 6/3 - „Jeśli umieścisz 6 jabłek 3 w pudełkach, to ile pudełek będzie potrzebnych?” Odpowiedź: „2 pudełka”. Przejdźmy do 4/0 – „jeśli włożysz do pudełek 4 jabłka, zero(!) sztuk, to ile…” Okazuje się, że pudełka nie są potrzebne, niczego nie wkładamy nigdzie!

Bardzo proste wyjaśnienie

10/2 =5 10/4 =2,5 10/8 =1,25….Im większa liczba w mianowniku, tym mniejszy wynik

10/2 =5 10/1 =10 10/1,5 =20….Im mniejsza liczba w mianowniku, tym większy wynik, ale co, jeśli weźmiesz bardzo małą liczbę? Na przykład 0,0000001 równa się 1 00 000 000. A jeśli pójdziemy dalej w naszym myśleniu i sprowadzimy mianownik do zera? W efekcie otrzymamy coś tak ogromnego, że nazwiemy to „nieskończonością”.

Czy zatem można dzielić przez zero?

Wszystko zależy od tego, dlaczego tego potrzebujesz i na jakich zasadach zdecydowałeś się na „rozdzielenie”. Jeśli to jest algebra, to wszystko jest po prostu „nie można dzielić przez zero”, ponieważ nie ma czegoś takiego jak „nieskończoność” (właściwie to w ogóle nie jest liczba) i nie jest jasne, co powinno się ostatecznie wydarzyć.

Czy w wyższej matematyce można dzielić przez zero - tak, proszę. Przecież zero może być reprezentowane przez liczbę zero (liczba oznacza liczbę o wartości „0”, czyli w ogóle nic), a może przez jakąś nieskończenie małą (to znaczy zmierzającą do zera, prawie nic, ale mimo to - nie nic). Wtedy nic nie stoi na przeszkodzie, aby spokojnie dzielić się na „nieskończenie małe”.

Nielogiczność i abstrakcyjność operacji na zera nie jest dopuszczalna w wąskich ramach algebry, a ściślej jest to operacja na czas nieokreślony. Wymaga poważniejszego aparatu - wyższej matematyki. Zatem w pewnym sensie nie można dzielić przez zero, ale jeśli naprawdę chcesz, możesz dzielić przez zero... Ale musisz być przygotowany na zrozumienie takich rzeczy jak funkcja delta Diraca i inne trudne do zrozumienia rzeczy. Udostępnij dla swojego zdrowia.

Każdy z nas nauczył się ze szkoły co najmniej dwóch niezachwianych zasad: „zhi i shi - pisz literą I” oraz „ Nie możesz dzielić przez zero„. A jeśli pierwszą zasadę można wytłumaczyć specyfiką języka rosyjskiego, to druga rodzi całkowicie logiczne pytanie: „Dlaczego?”

Dlaczego nie można dzielić przez zero?

Nie jest do końca jasne, dlaczego nie mówi się o tym w szkole, ale z arytmetycznego punktu widzenia odpowiedź jest bardzo prosta.

Weźmy liczbę 10 i podziel to przez 2 . Oznacza to, że wzięliśmy 10 dowolne przedmioty i ułożyć je według 2 równe grupy, tj 10: 2 = 5 (Przez 5 elementy w grupie). Ten sam przykład można zapisać za pomocą równania x * 2 = 10(I X tutaj będzie równa 5 ).

A teraz wyobraźmy sobie na chwilę, że można podzielić przez zero i spróbujmy 10 dzielić przez 0 .

Otrzymasz następujące informacje: 10: 0 = x, stąd x * 0 = 10. Ale nasze obliczenia nie mogą być poprawne, ponieważ przy mnożeniu dowolnej liczby przez 0 to zawsze się sprawdza 0 . W matematyce nie ma takiej liczby, która po pomnożeniu przez 0 dałby coś innego niż 0 . Dlatego równania 10: 0 = x I x * 0 = 10 nie mam rozwiązania. W związku z tym mówią, że nie można dzielić przez zero.

Kiedy można dzielić przez zero?

Istnieje opcja, w której dzielenie przez zero nadal ma jakiś sens. Jeśli podzielimy samo zero, otrzymamy następujący wynik 0: 0 = x, co znaczy x * 0 = 0.

Udawajmy, że x=0, to równanie nie rodzi żadnych pytań, wszystko pasuje idealnie 0: 0 = 0 , i dlatego 0 * 0 = 0 .

Ale co gdyby X≠ 0 ? Udawajmy, że x = 9? Następnie 9 * 0 = 0 I 0: 0 = 9 ? I jeśli x=45, To 0: 0 = 45 .

Naprawdę potrafimy się dzielić 0 NA 0 . Ale to równanie będzie miało nieskończoną liczbę rozwiązań, ponieważ 0: 0 = cokolwiek.

Dlaczego 0: 0 = NaN

Czy kiedykolwiek próbowałeś dzielić? 0 NA 0 na smartfonie? Ponieważ zero podzielone przez zero daje absolutnie dowolną liczbę, programiści musieli szukać wyjścia z tej sytuacji, ponieważ kalkulator nie może zignorować twoich żądań. I znaleźli wyjątkowe wyjście: dzieląc zero przez zero, otrzymasz NaN (nie liczba).

Dlaczego x: 0 =∞ A X: -0 = — ∞

Jeśli spróbujesz podzielić dowolną liczbę przez zero na swoim smartfonie, odpowiedź będzie równa nieskończoności. Rzecz w tym, że w matematyce 0 czasami postrzegane nie jako „nic”, ale jako „nieskończona ilość”. Dlatego jeśli jakakolwiek liczba zostanie podzielona przez nieskończenie małą wartość, wynikiem będzie nieskończenie duża wartość (∞) .

Czy zatem można dzielić przez zero?

Odpowiedź, jak to często bywa, jest niejednoznaczna. W szkole najlepiej to sobie zanotować na nosie Nie możesz dzielić przez zero- to uchroni Cię od niepotrzebnych komplikacji. Ale jeśli zapiszesz się na wydział matematyki na uniwersytecie, nadal będziesz musiał dzielić przez zero.

Liczbę 0 można sobie wyobrazić jako pewną granicę oddzielającą świat liczb rzeczywistych od urojonych lub ujemnych. Ze względu na niejednoznaczne położenie wiele operacji na tej wartości liczbowej nie jest zgodnych z logiką matematyczną. Najlepszym tego przykładem jest niemożność dzielenia przez zero. Dozwolone operacje arytmetyczne z zerem można wykonywać przy użyciu ogólnie przyjętych definicji.

Historia zera

Zero jest punktem odniesienia we wszystkich standardowych systemach liczbowych. Europejczycy zaczęli używać tej liczby stosunkowo niedawno, ale mędrcy starożytnych Indii używali zera tysiąc lat, zanim europejscy matematycy zaczęli regularnie używać pustej liczby. Jeszcze przed Indianami zero było wartością obowiązkową w systemie liczbowym Majów. Ci Amerykanie używali dwunastkowego systemu liczbowego, a pierwszy dzień każdego miesiąca zaczynał się od zera. Co ciekawe, wśród Majów znak oznaczający „zero” całkowicie pokrywał się ze znakiem oznaczającym „nieskończoność”. Zatem starożytni Majowie doszli do wniosku, że wielkości te są identyczne i niepoznawalne.

Działania matematyczne na zera

Standardowe działania matematyczne z zerem można sprowadzić do kilku reguł.

Dodawanie: jeśli dodasz zero do dowolnej liczby, nie zmieni to jej wartości (0+x=x).

Odejmowanie: Podczas odejmowania zera od dowolnej liczby wartość odejmowania pozostaje niezmieniona (x-0=x).

Mnożenie: dowolna liczba pomnożona przez 0 daje 0 (a*0=0).

Dzielenie: Zero można podzielić przez dowolną liczbę różną od zera. W takim przypadku wartość takiego ułamka będzie wynosić 0. Dzielenie przez zero jest zabronione.

Potęgowanie. Tę akcję można wykonać z dowolną liczbą. Dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej da 1 (x 0 = 1).

Zero do dowolnej potęgi jest równe 0 (0 a = 0).

W tym przypadku natychmiast pojawia się sprzeczność: wyrażenie 0 0 nie ma sensu.

Paradoksy matematyki

Wiele osób wie ze szkoły, że dzielenie przez zero jest niemożliwe. Ale z jakiegoś powodu nie można wyjaśnić przyczyny takiego zakazu. Właściwie dlaczego wzór na dzielenie przez zero nie istnieje, ale inne działania z tą liczbą są całkiem rozsądne i możliwe? Odpowiedzi na to pytanie udzielają matematycy.

Rzecz w tym, że zwykłe działania arytmetyczne, których uczą się uczniowie w szkole podstawowej, w rzeczywistości nie są tak równe, jak nam się wydaje. Wszystkie proste operacje na liczbach można sprowadzić do dwóch: dodawania i mnożenia. Działania te stanowią istotę samego pojęcia liczby, a inne operacje budowane są na wykorzystaniu tych dwóch.

Dodawanie i mnożenie

Weźmy standardowy przykład odejmowania: 10-2=8. W szkole uważają to za proste: jeśli odejmie się dwa od dziesięciu przedmiotów, zostaje osiem. Ale matematycy patrzą na tę operację zupełnie inaczej. W końcu taka operacja jak odejmowanie nie istnieje dla nich. Przykład ten można zapisać jeszcze inaczej: x+2=10. Dla matematyków nieznana różnica to po prostu liczba, którą należy dodać do dwóch, aby otrzymać osiem. I nie jest tu wymagane żadne odejmowanie, wystarczy znaleźć odpowiednią wartość liczbową.

Mnożenie i dzielenie traktuje się tak samo. W przykładzie 12:4=3 można zrozumieć, że mówimy o podzieleniu ośmiu obiektów na dwa równe stosy. Ale w rzeczywistości jest to po prostu odwrócony wzór na zapisanie 3x4 = 12. Takie przykłady dzielenia można podawać w nieskończoność.

Przykłady dzielenia przez 0

W tym miejscu staje się trochę jasne, dlaczego nie można dzielić przez zero. Mnożenie i dzielenie przez zero rządzą się swoimi własnymi zasadami. Wszystkie przykłady dzielenia tej wielkości można sformułować jako 6:0 = x. Jest to jednak odwrócony zapis wyrażenia 6 * x = 0. Ale, jak wiadomo, dowolna liczba pomnożona przez 0 daje w iloczynie tylko 0. Ta właściwość jest nieodłącznie związana z samą koncepcją wartości zerowej.

Okazuje się, że nie ma takiej liczby, która pomnożona przez 0 dałaby jakąkolwiek namacalną wartość, to znaczy ten problem nie ma rozwiązania. Tej odpowiedzi nie należy się bać, jest to naturalna odpowiedź na problemy tego typu. Tyle, że rekord 6:0 nie ma żadnego sensu i nie jest w stanie niczego wytłumaczyć. Krótko mówiąc, wyrażenie to można wytłumaczyć nieśmiertelnym „dzielenie przez zero jest niemożliwe”.

Czy istnieje operacja 0:0? Rzeczywiście, jeśli operacja mnożenia przez 0 jest legalna, czy zero można podzielić przez zero? W końcu równanie w postaci 0x 5=0 jest całkiem legalne. Zamiast cyfry 5 możesz wpisać 0, produkt się nie zmieni.

Rzeczywiście, 0x0=0. Ale nadal nie możesz dzielić przez 0. Jak już wspomniano, dzielenie jest po prostu odwrotnością mnożenia. Zatem jeśli w przykładzie 0x5=0 trzeba określić drugi czynnik, otrzymamy 0x0=5. Lub 10. Lub nieskończoność. Dzielenie nieskończoności przez zero – jak Ci się podoba?

Ale jeśli do wyrażenia pasuje jakakolwiek liczba, to nie ma to sensu, nie możemy wybrać tylko jednej z nieskończonej liczby liczb. A jeśli tak, to znaczy, że wyrażenie 0:0 nie ma sensu. Okazuje się, że nawet samego zera nie można podzielić przez zero.

Wyższa matematyka

Dzielenie przez zero przyprawia o ból głowy szkolną matematykę. Analiza matematyczna studiowana na uczelniach technicznych nieco poszerza pojęcie problemów, które nie mają rozwiązania. Przykładowo do znanych już wyrażeń 0:0 dodawane są nowe, które nie mają rozwiązań na szkolnych kursach matematyki:

• nieskończoność podzielona przez nieskończoność: ?:?;
• nieskończoność minus nieskończoność: ???;
• jednostka podniesiona do nieskończonej potęgi: 1 ? ;
• nieskończoność pomnożona przez 0: ?*0;
• jacyś inni.

Nie da się rozwiązać takich wyrażeń metodami elementarnymi. Ale wyższa matematyka, dzięki dodatkowym możliwościom szeregu podobnych przykładów, dostarcza ostatecznych rozwiązań. Jest to szczególnie widoczne przy rozpatrywaniu zagadnień z teorii granic.

Odblokowanie niepewności

W teorii granic wartość 0 zastępuje się zmienną warunkową nieskończenie małą. Konwertowane są wyrażenia, w których po podstawieniu żądanej wartości uzyskuje się dzielenie przez zero. Poniżej znajduje się standardowy przykład rozszerzenia granicy za pomocą zwykłych przekształceń algebraicznych:

Jak widać na przykładzie, samo zmniejszenie ułamka prowadzi do uzyskania całkowicie racjonalnej odpowiedzi.

Biorąc pod uwagę limity funkcje trygonometryczne ich ekspresja jest zwykle zredukowana do pierwszej niezwykłej granicy. Rozważając granice, w których mianownik staje się 0 po podstawieniu granicy, stosuje się drugą niezwykłą granicę.

Metoda L'Hopitala

W niektórych przypadkach granice wyrażeń można zastąpić granicami ich pochodnych. Guillaume L'Hopital to francuski matematyk, założyciel francuskiej szkoły analizy matematycznej. Udowodnił, że granice wyrażeń są równe granicom pochodnych tych wyrażeń. W zapisie matematycznym jego reguła wygląda następująco.

Obecnie metoda L'Hopitala jest z powodzeniem stosowana do rozwiązywania niepewności typu 0:0 lub ?:?.

Jak dzielić i mnożyć przez 0,1; 0,01; 0,001 itd.?

Napisz zasady dzielenia i mnożenia.

Aby pomnożyć liczbę przez 0,1, wystarczy przesunąć przecinek dziesiętny.

Na przykład tak było 56 , stało się 5,6 .

Aby podzielić przez tę samą liczbę, należy przesunąć przecinek w przeciwnym kierunku:

Na przykład tak było 56 , stało się 560 .

Z liczbą 0,01 wszystko jest takie samo, ale trzeba to przenieść na 2 cyfry, a nie na jedną.

Ogólnie rzecz biorąc, przenieś tyle zer, ile potrzebujesz.

Na przykład istnieje liczba 123456789.

Musisz pomnożyć przez 0,000000001

W liczbie 0,000000001 jest dziewięć zer (liczymy też zero po lewej stronie przecinka), co oznacza, że ​​przesuwamy liczbę 123456789 o 9 cyfr:

Było 123456789, a teraz jest 0,123456789.

Aby nie mnożyć, ale dzielić przez tę samą liczbę, przesuwamy się w innym kierunku:

Było 123456789, a teraz jest 123456789000000000.

Aby przesunąć liczbę całkowitą w ten sposób, po prostu dodajemy do niej zero. A w ułamku ułamkowym przesuwamy przecinek.

Dzielenie liczby przez 0,1 odpowiada pomnożeniu tej liczby przez 10

Dzielenie liczby przez 0,01 odpowiada pomnożeniu tej liczby przez 100

Dzielenie przez 0,001 jest pomnożeniem przez 1000.

Aby ułatwić zapamiętanie, odczytujemy liczbę, przez którą musimy podzielić od prawej do lewej, nie zwracając uwagi na przecinek, i pomnożyć przez otrzymaną liczbę.

Przykład: 50: 0,0001. To tyle samo, co 50 pomnożone przez (czytaj od prawej do lewej bez przecinka - 10000) 10000. Okazuje się, że 500000.

To samo z mnożeniem, tylko w odwrotnej kolejności:

400 x 0,01 to to samo, co dzielenie 400 przez (czytaj od prawej do lewej bez przecinka - 100) 100: 400: 100 = 4.

Dla tych, którym wygodniej jest przesuwać przecinki w prawo podczas dzielenia i w lewo podczas mnożenia podczas mnożenia i dzielenia przez takie liczby, możesz to zrobić.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Dzielenie po przecinku

I. Aby podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny, należy przesunąć przecinki w dzielnej i dzielniku o tyle cyfr w prawo, ile jest po przecinku w dzielniku, a następnie podzielić przez liczbę naturalną.

Głównyry.

Wykonaj dzielenie: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Rozwiązanie.

Przykład 1) 16,38: 0,7.

W rozdzielaczu 0,7 po przecinku jest jedna cyfra, zatem przesuńmy przecinki w dzielnej i dzielniku o jedną cyfrę w prawo.

Wtedy będziemy musieli się podzielić 163,8 NA 7 .

Dzielenie wykonajmy zgodnie z zasadą dzielenia ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną.

Dzielimy się tak, jak dzielą się liczby naturalne. Jak usunąć numer 8 - pierwsza cyfra po przecinku (czyli cyfra na miejscu dziesiątek), czyli od razu wstaw przecinek w iloraz i kontynuuj dzielenie.

Odpowiedź: 23,4.

Przykład 2) 15,6: 0,15.

W dzielnej przesuwamy przecinki ( 15,6 ) i dzielnik ( 0,15 ) dwie cyfry w prawo, ponieważ w dzielniku 0,15 po przecinku są dwie cyfry.

Pamiętamy, że możesz dodać dowolną liczbę zer do ułamka dziesiętnego po prawej stronie i nie zmieni to ułamka dziesiętnego.

15,6:0,15=1560:15.

Wykonujemy dzielenie liczb naturalnych.

Odpowiedź: 104.

Przykład 3) 3,114: 4,5.

Przesuń przecinki w dzielnej i dzielniku o jedną cyfrę w prawo i podziel 31,14 NA 45 zgodnie z zasadą dzielenia ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną.

3,114:4,5=31,14:45.

W ilorazie stawiamy przecinek, gdy tylko usuniemy liczbę 1 na dziesiątym miejscu. Następnie kontynuujemy dzielenie.

Aby dokończyć podział, musieliśmy przypisać zero do numeru 9 - różnice między liczbami 414 I 405 . (wiemy, że zera można dodać po prawej stronie ułamka dziesiętnego)

Odpowiedź: 0,692.

Przykład 4) 53,84: 0,1.

Przesuń przecinki w dzielnej i dzielniku na 1 numer po prawej stronie.

Otrzymujemy: 538,4:1=538,4.

Przeanalizujmy równość: 53,84:0,1=538,4. Zwróć uwagę na przecinek w dywidendzie w tym przykładzie i przecinek w wynikowym ilorazu. Zauważamy, że przecinek w dywidendzie został przesunięty 1 liczbę po prawej stronie, jakbyśmy mnożyli 53,84 NA 10. (Zobacz film „Mnożenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itd.”) Stąd zasada dzielenia ułamka dziesiętnego przez 0,1; 0,01; 0,001 itp.

II. Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 0,1; 0,01; 0,001 itd. należy przesunąć przecinek w prawo o 1, 2, 3 itd. cyfry. (Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 0,1, 0,01, 0,001 itd. jest równoznaczne z pomnożeniem tego ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000 itd.)

Przykłady.

Wykonaj dzielenie: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Rozwiązanie.

Przykład 1) 617,35: 0,1.

Zgodnie z zasadą II podział przez 0,1 jest równoważne pomnożeniu przez 10 i przesuń przecinek w dzielnej 1 cyfra w prawo:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Przykład 2) 0,235: 0,01.

Podział przez 0,01 jest równoważne pomnożeniu przez 100 , co oznacza, że ​​przesuwamy przecinek w dzielnej NA 2 cyfry w prawo:

2) 0,235:0,01=23,5.

Przykład 3) 2,7845: 0,001.

Ponieważ podział przez 0,001 jest równoważne pomnożeniu przez 1000 , a następnie przesuń przecinek 3 cyfry w prawo:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Przykład 4) 26,397: 0,0001.

Podziel ułamek dziesiętny przez 0,0001 - to to samo, co pomnożenie przez 10000 (przesuń przecinek o 4 cyfry Prawidłowy). Otrzymujemy:

www.mathematics-repetition.com

Mnożenie i dzielenie przez liczby w postaci 10, 100, 0,1, 0,01

Ten samouczek wideo jest dostępny w ramach subskrypcji

Masz już subskrypcję? Wejść

W tej lekcji omówimy, jak wykonywać mnożenie i dzielenie przez liczby w postaci 10, 100, 0,1, 0,001. Zostaną również zdecydowane różne przykłady w tym temacie.

Mnożenie liczb przez 10, 100

Ćwiczenia. Jak pomnożyć liczbę 25,78 przez 10?

Zapis dziesiętny danej liczby jest skrótowym zapisem kwoty. Konieczne jest opisanie tego bardziej szczegółowo:

Dlatego musisz pomnożyć kwotę. Aby to zrobić, możesz po prostu pomnożyć każdy wyraz:

Okazało się, że...

Możemy stwierdzić, że pomnożenie ułamka dziesiętnego przez 10 jest bardzo proste: należy przesunąć przecinek dziesiętny o jedną pozycję w prawo.

Ćwiczenia. Pomnóż 25,486 przez 100.

Mnożenie przez 100 jest równoznaczne z dwukrotnym pomnożeniem przez 10. Innymi słowy, musisz dwukrotnie przesunąć przecinek w prawo:

Dzielenie liczb przez 10, 100

Ćwiczenia. Podziel 25,78 przez 10.

Podobnie jak w poprzednim przypadku, musisz przedstawić liczbę 25,78 jako sumę:

Ponieważ musisz podzielić sumę, jest to równoznaczne z podzieleniem każdego wyrazu:

Okazuje się, że aby podzielić przez 10, należy przesunąć przecinek o jedną pozycję w lewo. Na przykład:

Ćwiczenia. Podziel 124,478 przez 100.

Dzielenie przez 100 jest równoznaczne z dwukrotnym dzieleniem przez 10, zatem przecinek dziesiętny przesuwa się w lewo o 2 miejsca:

Zasada mnożenia i dzielenia przez 10, 100, 1000

Jeśli trzeba pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle pozycji, ile jest zer w mnożniku.

I odwrotnie, jeśli ułamek dziesiętny wymaga podzielenia przez 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w lewo o tyle pozycji, ile jest zer w mnożniku.

Przykłady, gdy trzeba przesunąć przecinek, ale nie ma już więcej liczb

Mnożenie przez 100 oznacza przesunięcie przecinka o dwa miejsca w prawo.

Po przesunięciu można stwierdzić, że po przecinku nie ma już cyfr, co oznacza, że ​​brakuje części ułamkowej. Wtedy nie ma potrzeby stosowania przecinka, liczba jest liczbą całkowitą.

Musisz przesunąć się o 4 pozycje w prawo. Ale po przecinku są tylko dwie cyfry. Warto pamiętać, że istnieje równoważny zapis dla ułamka 56,14.

Teraz mnożenie przez 10 000 jest łatwe:

Jeśli nie jest zbyt jasne, dlaczego w poprzednim przykładzie można dodać dwa zera do ułamka, wówczas może w tym pomóc dodatkowy film pod linkiem.

Równoważne zapisy dziesiętne

Pozycja 52 oznacza, co następuje:

Jeśli na początku umieścimy 0, otrzymamy wpis 052. Te wpisy są równoważne.

Czy można postawić dwa zera na początku? Tak, te wpisy są równoważne.

Teraz spójrzmy na ułamek dziesiętny:

Jeśli przypiszesz zero, otrzymasz:

Te wpisy są równoważne. Podobnie możesz przypisać wiele zer.

Zatem każda liczba może mieć kilka zer po części ułamkowej i kilka zer przed częścią całkowitą. Będą to równorzędne wpisy o tym samym numerze.

Ponieważ następuje dzielenie przez 100, konieczne jest przesunięcie przecinka o 2 pozycje w lewo. Po lewej stronie przecinka dziesiętnego nie pozostały żadne liczby. Brakuje całej części. Notacja ta jest często używana przez programistów. W matematyce, jeśli nie ma całej części, wówczas w jej miejsce wstawia się zero.

Musisz przesunąć go w lewo o trzy pozycje, ale są tylko dwie pozycje. Jeśli napiszesz kilka zer przed liczbą, będzie to zapis równoważny.

Oznacza to, że podczas przesuwania w lewo, jeśli liczby się skończą, należy je wypełnić zerami.

W tym przypadku warto pamiętać, że po całej części zawsze stawiamy przecinek. Następnie:

Mnożenie i dzielenie przez 0,1, 0,01, 0,001

Mnożenie i dzielenie przez liczby 10, 100, 1000 jest bardzo prostą procedurą. Sytuacja jest dokładnie taka sama w przypadku liczb 0,1, 0,01, 0,001.

Przykład. Pomnóż 25,34 przez 0,1.

Zapiszmy ułamek dziesiętny 0,1 jako ułamek zwykły. Ale mnożenie przez oznacza dzielenie przez 10. Dlatego musisz przesunąć przecinek dziesiętny o 1 pozycję w lewo:

Podobnie mnożenie przez 0,01 jest dzieleniem przez 100:

Przykład. 5,235 podzielone przez 0,1.

Rozwiązanie tego przykładu jest skonstruowane w podobny sposób: 0,1 wyraża się jako ułamek zwykły, a dzielenie przez oznacza pomnożenie przez 10:

Oznacza to, że aby podzielić przez 0,1, należy przesunąć przecinek dziesiętny o jedną pozycję w prawo, co jest równoznaczne z pomnożeniem przez 10.

Zasada mnożenia i dzielenia przez 0,1, 0,01, 0,001

Mnożenie przez 10 i dzielenie przez 0,1 to to samo. Przecinek należy przesunąć w prawo o 1 pozycję.

Dzielenie przez 10 i mnożenie przez 0,1 to to samo. Przecinek należy przesunąć w prawo o 1 pozycję:

Rozwiązywanie przykładów

Wniosek

Na tej lekcji zbadano zasady dzielenia i mnożenia przez 10, 100 i 1000. Ponadto zbadano zasady mnożenia i dzielenia przez 0,1, 0,01, 0,001.

Przykłady zastosowania tych zasad zostały sprawdzone i rozwiązane.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya. Matematyka: podręcznik. dla 5 klasy. ogólne wykształcenie uchr. wyd. 17. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Szewkin A.V. Zadania tekstowe z matematyki: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Gołoborodko V.V. Cała matematyka szkolna w niezależnych i testy. Matematyka 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V. Kształtowanie umiejętności informatycznych na lekcjach matematyki. Klasy 5–9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Portal internetowy „Festiwal Idei Pedagogicznych” (Źródło)

2. Portal internetowy „Matematika-na.ru” (źródło)

3. Portal internetowy „School.xvatit.com” (źródło)

Praca domowa

3. Porównaj znaczenie wyrażeń:

Działania z zerem

Liczba w matematyce zero zajmuje szczególne miejsce. Faktem jest, że w istocie oznacza „nic”, „pustkę”, ale jego znaczenie jest naprawdę trudne do przecenienia. Aby to zrobić, wystarczy przynajmniej pamiętać, z czym dokładnie znak zerowy i rozpoczyna się zliczanie współrzędnych położenia punktu w dowolnym układzie współrzędnych.

Zero powszechnie stosowany w ułamkach dziesiętnych do określenia wartości „pustych” miejsc, zarówno przed, jak i po przecinku. Dodatkowo wiąże się z tym jedna z podstawowych zasad arytmetyki, która stanowi, że zero nie można podzielić. Jej logika, ściśle rzecz biorąc, wynika z samej istoty tej liczby: wręcz nie sposób sobie wyobrazić, aby jakaś odmienna od niej (i ona sama) wartość została podzielona na „nic”.

Z zero przeprowadzane są wszystkie operacje arytmetyczne, a jako ich „partnerzy” mogą używać liczb całkowitych, ułamków zwykłych i dziesiętnych, a wszystkie z nich mogą mieć zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Podajmy przykłady ich realizacji i kilka wyjaśnień do nich.

Podczas dodawania zero do określonej liczby (zarówno całkowitej, jak i ułamkowej, zarówno dodatniej, jak i ujemnej), jej wartość pozostaje absolutnie niezmieniona.

dwadzieścia cztery plusy zero równa się dwadzieścia cztery.

Siedemnaście i trzy ósme plus zero równa się siedemnaście i trzy ósme.

• Formularze deklaracji podatkowych Zwracamy uwagę na formularze deklaracji dla wszystkich rodzajów podatków i opłat: 1. Podatek dochodowy. Uwaga, od dnia 10 lutego 2014 r. deklaracje podatku dochodowego składa się na podstawie nowych wzorów deklaracji zatwierdzonych Zarządzeniem Ministra Skarbu nr 872 z dnia 30 grudnia 2013 r.1. 1. Zeznanie podatkowe za […]
• Reguły różnicy kwadratowej sumy kwadratowej Cel: Wydedukowanie wzorów na podniesienie do kwadratu sumy i różnicy wyrażeń. Planowane rezultaty: naucz się korzystać ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Typ lekcji: lekcja przedstawiająca problem. I. Przekazanie tematu i celu lekcji II. Pracuj nad tematem lekcji Przy mnożeniu [...]
• Jaka jest różnica pomiędzy prywatyzacją mieszkania z małoletnimi dziećmi a prywatyzacją bez dzieci? Specyfika ich udziału, dokumenty Wszelkie transakcje dotyczące nieruchomości wymagają szczególnej uwagi uczestników. Zwłaszcza jeśli planujesz sprywatyzować mieszkanie z małoletnimi dziećmi. Aby zostało uznane za ważne i [...]
• Wysokość opłaty państwowej za paszport międzynarodowy w starym stylu dla dziecka poniżej 14 roku życia i gdzie ją uiścić.Składając wniosek do agencji rządowych o skorzystanie z jakiejkolwiek usługi, zawsze towarzyszy uiszczenie opłaty państwowej. Aby uzyskać paszport zagraniczny, należy również uiścić opłatę federalną. Ile wynosi rozmiar [...]
• Jak wypełnić formularz wniosku o wymianę paszportu w wieku 45 lat Paszporty Rosjan należy wymienić po osiągnięciu wieku 20 lub 45 lat. Aby otrzymać usługę publiczną, należy złożyć wniosek na ustalonym formularzu, załączyć niezbędne dokumenty i zapłacić państwu […]
• Jak i gdzie sformalizować akt podarunkowy na udział w mieszkaniu Wielu obywateli staje przed taką procedurą prawną, jak darowizna nieruchomości będącej współwłasnością. Istnieje sporo informacji na temat prawidłowego sporządzenia aktu podarunkowego na udział w mieszkaniu i nie zawsze jest to wiarygodne. Zanim zaczniesz, [...]

Na szkolnym kursie arytmetyki wszystkie operacje matematyczne przeprowadza się na liczbach rzeczywistych. Zbiór tych liczb (lub ciągłe pole uporządkowane) ma szereg właściwości (aksjomatów): przemienność i łączność mnożenia i dodawania, istnienie elementów zerowych, jedynkowych, przeciwnych i odwrotnych. Również aksjomaty porządku i ciągłości, stosowane w analizie porównawczej, pozwalają określić wszystkie właściwości liczb rzeczywistych.

Ponieważ dzielenie jest odwrotną operacją mnożenia, przy dzieleniu liczb rzeczywistych przez zero nieuchronnie pojawiają się dwa nierozwiązywalne problemy. Po pierwsze, sprawdzenie wyniku dzielenia przez zero za pomocą mnożenia nie ma wyrażenia numerycznego. Bez względu na liczbę iloraz, jeśli zostanie pomnożony przez zero, nie będzie możliwe uzyskanie dywidendy. Po drugie, w przykładzie 0:0 odpowiedzią może być absolutnie dowolna liczba, która pomnożona przez dzielnik zawsze daje zero.

Dzielenie przez zero w wyższej matematyce

Wymienione trudności w dzieleniu przez zero doprowadziły do ​​narzucenia tej operacji tabu, przynajmniej w ramach programu szkolnego. Jednak w matematyce wyższej znajdują sposoby na obejście tego zakazu.

Na przykład konstruując inną strukturę algebraiczną, różniącą się od znanej osi liczbowej. Przykładem takiej konstrukcji jest koło. Obowiązują tu prawa i zasady. W szczególności dzielenie nie jest powiązane z mnożeniem i zmienia się z operacji binarnej (z dwoma argumentami) w operację jednoargumentową (z jednym argumentem), oznaczoną symbolem /x.

Rozszerzenie pola liczb rzeczywistych następuje w wyniku wprowadzenia liczb hiperrzeczywistych, które obejmują wielkości nieskończenie duże i nieskończenie małe. Takie podejście pozwala nam traktować termin „nieskończoność” jako pewną liczbę. Co więcej, gdy oś liczbowa się rozszerza, liczba ta traci swój znak, zamieniając się w wyidealizowany punkt łączący dwa końce tej linii. Podejście to można porównać do linii daty, gdy poruszając się pomiędzy dwiema strefami czasowymi UTC+12 i UTC-12, można znaleźć się w dniu następnym lub w poprzednim. W tym przypadku stwierdzenie x/0=∞ dla dowolnego x≠0 staje się prawdziwe.

Aby wyeliminować niepewność 0/0, dla koła wprowadza się nowy element ⏊=0/0. Jednocześnie ta struktura algebraiczna ma swoje własne niuanse: 0 x≠0; x-x≠0 w przypadku ogólnym. Również x·/x≠1, ponieważ dzielenie i mnożenie nie są już uważane za operacje odwrotne. Ale te cechy koła można dobrze wyjaśnić za pomocą tożsamości prawa rozdzielności, które w takiej strukturze algebraicznej działa nieco inaczej. Bardziej szczegółowe wyjaśnienia można znaleźć w literaturze specjalistycznej.

Algebra, do której wszyscy są przyzwyczajeni, jest w rzeczywistości szczególnym przypadkiem bardziej złożonych układów, na przykład tego samego koła. Jak widać, dzielenie przez zero jest możliwe w wyższej matematyce. Wymaga to wyjścia poza granice konwencjonalnych wyobrażeń o liczbach, operacjach algebraicznych i prawach, którym one podlegają. Chociaż jest to całkowicie naturalny proces, który towarzyszy każdemu poszukiwaniu nowej wiedzy.

Rozwój