Wykłady z algebry i geometrii. 1 semestr.
Wykład 9. Podstawy przestrzeni wektorowej.
Streszczenie: układ wektorów, kombinacja liniowa układu wektorów, współczynniki kombinacji liniowej układu wektorów, baza na linii, płaszczyźnie i w przestrzeni, wymiary przestrzeni wektorowych na linii, płaszczyźnie i w przestrzeni, dekompozycja wektor wzdłuż bazy, współrzędne wektora względem bazy, twierdzenie o równości dwa wektory, operacje liniowe na wektorach w zapisie współrzędnych, ortonormalna trójka wektorów, prawa i lewa trójka wektorów, baza ortonormalna, podstawowe twierdzenie algebry wektorów.
Rozdział 9. Baza przestrzeni wektorowej i rozkład wektora względem bazy.
klauzula 1. Bazuje na linii prostej, na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Definicja. Dowolny skończony zbiór wektorów nazywany jest układem wektorów.
Definicja. Wyrażenie gdzie 
nazywa się kombinacją liniową układu wektorów 
i liczby 
nazywane są współczynnikami tej kombinacji liniowej.
Niech L, P i S będą odpowiednio linią prostą, płaszczyzną i przestrzenią punktów, oraz 
. Następnie 
– przestrzenie wektorowe wektorów jako skierowane odcinki odpowiednio na prostej L, na płaszczyźnie P i w przestrzeni S.
wywoływany jest dowolny niezerowy wektor 
, tj. dowolny niezerowy wektor współliniowy z linią L: 
I 
.
Oznaczenie podstawy 
:
- podstawa 
.
Definicja. Podstawa przestrzeni wektorowej 
jest dowolną uporządkowaną parą niewspółliniowych wektorów w przestrzeni 
.
, Gdzie 
,
- podstawa 
.
Definicja. Podstawa przestrzeni wektorowej 
jest dowolną uporządkowaną trójką niewspółpłaszczyznowych wektorów przestrzeni (to znaczy nie leżących w tej samej płaszczyźnie). 
.
- podstawa 
.
Komentarz. Baza przestrzeni wektorowej nie może zawierać wektora zerowego: w przestrzeni 
z definicji w przestrzeni 
dwa wektory będą współliniowe, jeśli co najmniej jeden z nich ma wartość zero w przestrzeni 
trzy wektory będą współpłaszczyznowe, to znaczy będą leżeć w tej samej płaszczyźnie, jeśli przynajmniej jeden z trzech wektorów będzie wynosił zero.
klauzula 2. Rozkład wektora według bazy.
Definicja. Pozwalać 
– dowolny wektor, 
– dowolny układ wektorów. Jeśli zachodzi równość
wtedy mówią, że wektor 
przedstawiane jako kombinacja liniowa zadanego układu wektorów. Jeżeli dany układ wektorów 
jest bazą przestrzeni wektorowej, wówczas równość (1) nazywa się rozkładem wektora 
według podstawy 
. Liniowe współczynniki kombinacji 
nazywane są w tym przypadku współrzędnymi wektora 
w stosunku do podstawy 
.
Twierdzenie. (O rozkładzie wektora względem bazy.)
Dowolny wektor przestrzeni wektorowej można rozwinąć w swoją bazę i to w unikalny sposób.
Dowód. 1) Niech L będzie dowolną linią prostą (lub osią) i 
- podstawa 
. Weźmy dowolny wektor 
. Ponieważ oba wektory 
I 
wówczas współliniowy z tą samą prostą L 
. Skorzystajmy z twierdzenia o współliniowości dwóch wektorów. Ponieważ 
, to istnieje (istnieje) taka liczba 
, Co 
i w ten sposób otrzymaliśmy rozkład wektora 
według podstawy 
Przestrzeń wektorowa 
.
Udowodnijmy teraz wyjątkowość takiego rozkładu. Załóżmy odwrotnie. Niech będą dwa rozkłady wektora 
według podstawy 
Przestrzeń wektorowa 
:
I 
, Gdzie 
. Następnie 
i korzystając z prawa rozdzielności otrzymujemy:
Ponieważ 
, to z ostatniej równości wynika, że 
itp.
2) Niech teraz P będzie dowolną płaszczyzną i 
- podstawa 
. Pozwalać 
dowolny wektor tej płaszczyzny. Wykreślmy wszystkie trzy wektory z dowolnego punktu tej płaszczyzny. Zbudujmy 4 linie proste. Zróbmy bezpośredni 
, na którym leży wektor 
, prosty 
, na którym leży wektor 
. Do końca wektora 
narysuj linię prostą równoległą do wektora 
i linię równoległą do wektora 
. Te 4 proste linie tworzą równoległobok. Patrz poniżej rys. 3. Zgodnie z zasadą równoległoboku 
, I 
,
,
- podstawa 
,
- podstawa 
.
Otóż, zgodnie z tym, co zostało już udowodnione w pierwszej części tego dowodu, istnieją takie liczby 
, Co
I 
. Stąd otrzymujemy:
i udowodniono możliwość rozbudowy podstawy.
Teraz udowodnimy wyjątkowość rozwinięcia pod względem podstawy. Załóżmy odwrotnie. Niech będą dwa rozkłady wektora 
według podstawy 
Przestrzeń wektorowa 
:
I 
. Otrzymujemy równość
Skąd to pochodzi? 
. Jeśli 
, To 
, i ponieważ 
, To 
a współczynniki rozszerzalności są równe: 
,
. Niech to teraz 
. Następnie 
, Gdzie 
. Z twierdzenia o współliniowości dwóch wektorów wynika, że 
. Otrzymaliśmy sprzeczność z warunkami twierdzenia. Stąd, 
I 
itp.
3) Niech 
- podstawa 
Odpuść sobie 
dowolny wektor. Przeprowadźmy następujące konstrukcje.
Odłóżmy na bok wszystkie trzy wektory bazowe 
i wektor 
z jednego punktu i skonstruuj 6 płaszczyzn: płaszczyznę, w której leżą wektory bazowe 
, samolot 
i samolot 
; dalej do końca wektora 
Narysujmy trzy płaszczyzny równoległe do trzech właśnie skonstruowanych płaszczyzn. Te 6 płaszczyzn rzeźbi równoległościan:
Korzystając z zasady dodawania wektorów otrzymujemy równość:
.
(1)
Według budowy 
. Stąd z twierdzenia o współliniowości dwóch wektorów wynika, że istnieje liczba 
, takie że 
. Podobnie, 
I 
, Gdzie 
. Teraz, podstawiając te równości do (1), otrzymujemy:
i udowodniono możliwość rozbudowy podstawy.
Udowodnijmy wyjątkowość takiego rozkładu. Załóżmy odwrotnie. Niech będą dwa rozkłady wektora 
według podstawy 
:
I . Następnie
Zauważ, że według warunku wektory 
niewspółpłaszczyznowe, dlatego są parami niewspółliniowe.
Istnieją dwa możliwe przypadki: 
Lub 
.
a) Niech 
, to z równości (3) wynika:
.
(4)
Z równości (4) wynika, że wektor 
rozwija się w zależności od podstawy 
, tj. wektor 
leży w płaszczyźnie wektorowej 
i dlatego wektory 
współpłaszczyznowe, co jest sprzeczne z warunkiem.
b) Pozostaje sprawa 
, tj. 
. Następnie z równości (3) otrzymujemy lub
Ponieważ 
jest podstawą przestrzeni wektorów leżących na płaszczyźnie i udowodniliśmy już jednoznaczność rozwinięcia w oparciu o wektory płaszczyzny, to z równości (5) wynika, że 
I 
itp.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Konsekwencja.
1) Istnieje zgodność jeden do jednego pomiędzy zbiorem wektorów w przestrzeni wektorowej 
oraz zbiór liczb rzeczywistych R.
2) Istnieje zgodność jeden do jednego pomiędzy zbiorem wektorów w przestrzeni wektorowej 
i kwadrat kartezjański 
3) Istnieje zgodność jeden do jednego pomiędzy zbiorem wektorów w przestrzeni wektorowej 
i sześcian kartezjański 
zbiór liczb rzeczywistych R.
Dowód. Udowodnimy trzecie twierdzenie. Pierwsze dwa dowodzi się w podobny sposób.
Wybierz i napraw w przestrzeni 
jakąś podstawę 
i zorganizuj wystawę 
zgodnie z następującą zasadą:
te. Każdemu wektorowi kojarzymy uporządkowany zbiór jego współrzędnych.
Ponieważ przy stałej podstawie każdy wektor ma pojedynczy zestaw współrzędnych, zgodność określona regułą (6) jest w rzeczywistości odwzorowaniem.
Z dowodu twierdzenia wynika, że różne wektory mają różne współrzędne względem tej samej podstawy, tj. mapowanie (6) to zastrzyk.
Pozwalać 
dowolny uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych.
Rozważmy wektor 
. Ten wektor ze względu na konstrukcję ma współrzędne 
. W konsekwencji odwzorowanie (6) jest surjekcją.
Odwzorowanie, które jest zarówno injektywne, jak i surjektywne, jest bijektywne, tj. jeden na jednego itp.
Dochodzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie. (O równości dwóch wektorów.)
Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współrzędne względem tej samej podstawy są równe.
Dowód wynika bezpośrednio z poprzedniego wniosku.
klauzula 3. Wymiar przestrzeni wektorowej.
Definicja. Liczba wektorów znajdujących się w bazie przestrzeni wektorowej nazywana jest jej wymiarem.
Przeznaczenie: 
– wymiar przestrzeni wektorowej V.
Zatem zgodnie z tą i poprzednimi definicjami mamy:
1)
– przestrzeń wektorowa wektorów linii L.
- podstawa 
,
,
,
– rozkład wektorowy 
według podstawy 
,
– współrzędna wektorowa 
w stosunku do podstawy 
.
2)
– przestrzeń wektorowa wektorów płaszczyzny R.
- podstawa 
,
,
,
– rozkład wektorowy 
według podstawy 
,
– współrzędne wektorowe 
w stosunku do podstawy 
.
3)
– przestrzeń wektorowa wektorów w przestrzeni punktów S.
- podstawa 
,
,
– rozkład wektorowy 
według podstawy 
,
– współrzędne wektorowe 
w stosunku do podstawy 
.
Komentarz. Jeśli 
, To 
i możesz wybrać podstawę 
przestrzeń 
Więc 
- podstawa 
I 
- podstawa 
. Następnie 
, I 
,
.
Zatem dowolny wektor linii L, płaszczyzny P i przestrzeni S można rozwinąć zgodnie z bazą 
:
Przeznaczenie. Na mocy twierdzenia o równości wektorów możemy zidentyfikować dowolny wektor z uporządkowaną trójką liczb rzeczywistych i zapisać:
Jest to możliwe tylko wtedy, gdy podstawa 
zamocowane i nie ma ryzyka zaplątania się.
Definicja. Zapisanie wektora w postaci uporządkowanej trójki liczb rzeczywistych nazywa się formą współrzędnych zapisu wektora: 
.
klauzula 4. Operacje liniowe na wektorach w zapisie współrzędnych.
Pozwalać 
– podstawa przestrzeni 
I 
są dwoma jego dowolnymi wektorami. Pozwalać 
I 
– zapis tych wektorów w postaci współrzędnych. Niech dalej, 
jest dowolną liczbą rzeczywistą. Stosując tę notację, zachodzi następujące twierdzenie.
Twierdzenie. (O operacjach liniowych na wektorach w formie współrzędnych.)
2)
.
Innymi słowy, aby dodać dwa wektory, należy dodać odpowiadające im współrzędne, a aby pomnożyć wektor przez liczbę, należy pomnożyć każdą współrzędną danego wektora przez podaną liczbę.
Dowód. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia , to korzystając z aksjomatów przestrzeni wektorowej, które rządzą operacjami dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, otrzymujemy:
Oznacza to .
Drugą równość dowodzi się w podobny sposób.
Twierdzenie zostało udowodnione.
klauzula 5. Wektory ortogonalne. Baza ortonormalna.
Definicja. Dwa wektory nazywane są ortogonalnymi, jeśli kąt między nimi jest równy kątowi prostemu, tj. 
.
Przeznaczenie: 
– wektory 
I 
prostokątny.
Definicja. Trójka wektorów 
nazywa się ortogonalnym, jeśli wektory te są względem siebie ortogonalne parami, tj. 
,
.
Definicja. Trójka wektorów 
nazywa się ortonormalnym, jeśli jest ortogonalny, a długości wszystkich wektorów są równe jeden: 
.
Komentarz. Z definicji wynika, że ortogonalna, a zatem ortonormalna trójka wektorów nie jest współpłaszczyznowa.
Definicja. Uporządkowana trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych 
wykreślony z jednego punktu nazywa się prawym (zorientowanym w prawo), jeśli obserwuje się go od końca trzeciego wektora 
do płaszczyzny, w której leżą pierwsze dwa wektory 
I 
, najkrótszy obrót pierwszego wektora 
do drugiego 
następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W przeciwnym razie trójka wektorów nazywana jest lewą (zorientowaną w lewo).
Tutaj, na ryc. 6, pokazano prawe trzy wektory 
. Poniższy rysunek 7 przedstawia lewe trzy wektory 
:
Definicja. Podstawa 
Przestrzeń wektorowa 
nazywa się ortonormalnym jeśli 
ortonormalna trójka wektorów.
Przeznaczenie. W dalszej części będziemy używać właściwej bazy ortonormalnej 
, patrz poniższy rysunek.
Zależność liniowa i liniowa niezależność wektorów.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych
Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwa działy wyższej matematyki i zobaczymy, jak współistnieją one w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie zdobędę punktów, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.
Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dowodów nie trzeba szukać daleko, spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej 
. Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: odpowiednio temperatura i ciśnienie atmosferyczne. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, niemniej jednak nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...
Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy także niektóre typowe problemy algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?
Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych
Rozważmy płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie składać się z następujących działań:
1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.
2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.
Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić lewy palec wskazujący na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce prawy mały palec na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.
Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.
Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe przemieszczają się tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.
Takie wektory nazywane są liniowo zależne.
Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach i wyrażeniach matematycznych nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).
Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.
Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości
Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy: 
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.
Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.
Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.
Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.
Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. Bazy 
– to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.
Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:
Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:
Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.
Z drugiej strony wydaje się, że prostokątny układ współrzędnych można całkowicie zdefiniować w oparciu o bazę ortonormalną. I to prawie prawda. Sformułowanie jest następujące:
pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w zadaniach geometrycznych często (ale nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.
Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.
Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa wektory ortogonalne o dowolnej niezerowej długości:
Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych ogólnie mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.
! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni, uwzględniane są jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, a jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.
Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.
Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :
Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory: 
Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, nie działają w nim wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie segmentu w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.
Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)
Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.
Jak określić współliniowość wektorów płaskich?
Typowa rzecz. Aby uzyskać dwa wektory płaskie 
były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to szczegółowy opis oczywistej relacji współrzędna po współrzędnej.
Przykład 1
a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe 
.
b) Czy wektory tworzą bazę? 
?
Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje dla wektorów 
współczynnik proporcjonalności, taki, że równości są spełnione: 
Na pewno opowiem Wam o „fantastycznej” wersji stosowania tej zasady, która w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:
Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:
Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem
Zależność można odwrócić; jest to opcja równoważna:
Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W tym przypadku zachodzą równości 
. Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach: 
b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem kolinearności 
. Stwórzmy system: 
Z pierwszego równania wynika, że , z drugiego równania wynika, że , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.
Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.
Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:
Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów 
:
, co oznacza, że wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.
Zwykle opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: 
. Lub tak: 
. Lub tak: 
. Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.
Odpowiedź: a), b) forma.
Mały kreatywny przykład własnego rozwiązania:
Przykład 2
Przy jakiej wartości parametru znajdują się wektory 
czy będą współliniowe?
W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.
Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzenia wektorów pod kątem kolinearności.Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy ją jako piąty punkt:
Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.
Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.
Naprawdę mam nadzieję, że już rozumiesz wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotkałeś.
Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie 
są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Aby zastosować tę funkcję, oczywiście musisz to zrobić znaleźć determinanty.
Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:
a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów 
:
, co oznacza, że wektory te są współliniowe.
b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych 
:
, co oznacza, że wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.
Odpowiedź: a), b) forma.
Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.
Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.
Przykład 3
Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.
Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok
Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.
Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.
Udowodnimy:
1) Znajdź wektory: 
2) Znajdź wektory: 
Wynikiem jest ten sam wektor („według szkoły” – wektory równe). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych: 
, co oznacza, że wektory te są współliniowe, oraz .
Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są równoległe parami, co oznacza, że z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.
Więcej dobrych i różnych liczb:
Przykład 4
Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.
Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.
To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie na końcu lekcji.
A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:
Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?
Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.
Przykład 5
Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
A) ;
B)
V) 
Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:
Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że wektory nie są współliniowe.
„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że wektory nie są współliniowe.
Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.
b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.
Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu; metoda ta została omówiona w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.
Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.
Witamy w drugiej części:
Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych
Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie dotyczyć przestrzeni kosmicznej. Starałem się zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacji została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.
Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.
I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę do góry i rozłożyć ją w różnych kierunkach kciuk, palec wskazujący i środkowy. Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają między sobą różne kąty. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrowania tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)
Następnie zadajmy sobie ważne pytanie: czy dowolne trzy wektory tworzą podstawę przestrzeni trójwymiarowej? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.
Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą leżeć w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, zrobił to tylko Salvador Dali =)).
Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.
Trzy wektory współpłaszczyznowe są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli np. wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor wyraża się przez nie w unikalny sposób: 
(i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów w poprzedniej sekcji).
Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.
Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie
Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.
Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:
pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej
:
Oczywiście siatka współrzędnych jest „ukośna” i niewygodna, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.
Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:
Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni
. Znajomy obrazek: 
Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:
Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.
Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.
Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostałe zadania praktyczne będą miały wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:
Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: 
.
Chciałbym zwrócić uwagę na mały niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się z tego powodu - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.
Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?
Przykład 6
Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:
Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.
a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu): 
, co oznacza, że wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.
Odpowiedź: te wektory tworzą bazę
b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Spotkaj się i zadania twórcze:
Przykład 7
Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?
Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru: 
Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów: 
Dokonujemy dalszych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równania liniowego: 
Odpowiedź: Na
Tutaj łatwo to sprawdzić, w tym celu należy podstawić uzyskaną wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że 
, otwierając je ponownie.
Podsumowując, rozważymy inny typowy problem, który ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniany w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:
Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora
Przykład 8
Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej bazie współrzędne wektora.
Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są rzeczywiście liniowo niezależne:
Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych: 
, co oznacza, że wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.
! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.
Definicja podstawy. Układ wektorów stanowi bazę, jeśli:
1) jest liniowo niezależny,
2) można przez niego wyrazić liniowo dowolny wektor przestrzeni.
Przykład 1. Baza przestrzenna: .
2.
W systemie wektorowym 
podstawą są wektory: , ponieważ 
wyrażone liniowo w postaci wektorów.
Komentarz. Aby znaleźć bazę danego układu wektorów należy:
1) zapisz współrzędne wektorów do macierzy,
2) stosując przekształcenia elementarne doprowadź macierz do postaci trójkątnej,
3) podstawą układu będą niezerowe wiersze macierzy,
4) liczba wektorów w bazie jest równa rangi macierzy.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego
Twierdzenie Kroneckera – Capelliego daje kompleksową odpowiedź na pytanie o zgodność dowolnego układu równań liniowych z niewiadomymi
Twierdzenie Kroneckera–Capelliego. Układ liniowych równań algebraicznych jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd rozszerzonej macierzy układu jest równy rządowi macierzy głównej, .
Algorytm znajdowania wszystkich rozwiązań jednoczesnego układu równań liniowych wynika z twierdzenia Kroneckera – Capelliego i poniższych twierdzeń.
Twierdzenie. Jeśli ranga wspólnego systemu równa liczbie niewiadomych, wówczas system ma unikalne rozwiązanie.
Twierdzenie. Jeśli stopień wspólnego układu jest mniejszy niż liczba niewiadomych, to układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.
Algorytm rozwiązywania dowolnego układu równań liniowych:
1. Znajdź szeregi macierzy głównej i rozszerzonej układu. Jeżeli nie są one równe (), to układ jest niespójny (nie ma rozwiązań). Jeżeli stopnie są równe ( , to system jest spójny.
2. Dla układu wspólnego znajdujemy jakiś drugorzędny, którego kolejność określa rangę macierzy (taki drugorzędny nazywa się podstawowym). Komponujmy nowy system Z równań, w których współczynniki niewiadomych są zawarte w mollu podstawowym (niewiadome te nazywane są niewiadomymi głównymi), pozostałe równania odrzucamy. Niewiadome główne ze współczynnikami pozostawimy po lewej stronie, a pozostałe niewiadome (nazywamy je wolnymi niewiadomymi) przesuniemy na prawą stronę równań.
3. Znajdźmy wyrażenia na główne niewiadome w kategoriach wolnych. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne układu.
4. Podając dowolne wartości wolnym niewiadomym, otrzymujemy odpowiadające im wartości głównych niewiadomych. W ten sposób znajdujemy częściowe rozwiązania pierwotnego układu równań.
Programowanie liniowe. Podstawowe koncepcje
Programowanie liniowe to dziedzina programowania matematycznego badająca metody rozwiązywania problemów ekstremalnych, które charakteryzują się liniową zależnością między zmiennymi i kryterium liniowym.
Warunkiem koniecznym postawienia problemu programowania liniowego są ograniczenia dostępności zasobów, wielkości popytu, możliwości produkcyjnych przedsiębiorstwa i innych czynników produkcji.
Istotą programowania liniowego jest znalezienie punktów o największej lub najmniejszej wartości danej funkcji przy pewnym zestawie ograniczeń nałożonych na argumenty i generatory system ograniczeń , które z reguły ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Każdy zestaw wartości zmiennych (argumenty funkcji F ), które spełniają układ więzów, nazywa się ważny plan problemy programowania liniowego. Funkcjonować F , którego maksimum lub minimum jest określone, nazywa się funkcja docelowa zadania. Wykonalny plan, w którym osiągane jest maksimum lub minimum funkcji F , zwany optymalnego planu zadania.
System ograniczeń determinujący wiele planów podyktowany jest warunkami produkcji. Problem programowania liniowego ( ZLP ) to wybór najbardziej opłacalnego (optymalnego) z zestawu wykonalnych planów.
W ogólnym sformułowaniu problem programowania liniowego wygląda następująco:
Czy są jakieś zmienne? x = (x 1, x 2, ... x n) oraz funkcję tych zmiennych f(x) = fa (x 1, x 2, ... x n) , który jest nazywany cel Funkcje. Zadanie jest postawione: znaleźć ekstremum (maksimum lub minimum) funkcji celu k(x) pod warunkiem, że zmienne X należą do jakiegoś obszaru G :
W zależności od rodzaju funkcji k(x)
i regiony G
i rozróżniać sekcje programowania matematycznego: programowanie kwadratowe, programowanie wypukłe, programowanie liczb całkowitych itp. Programowanie liniowe charakteryzuje się tym, że
funkcja k(x)
jest funkcją liniową zmiennych x 1, x 2, … x n
b) regionu G
zdeterminowany przez system liniowy
równości lub nierówności.
Liniowa kombinacja wektorów jest wektorem 
, gdzie λ 1, ..., λ m są dowolnymi współczynnikami.
System wektorowy 
nazywa się liniowo zależnym, jeśli istnieje jego kombinacja liniowa równa 
, który ma co najmniej jeden niezerowy współczynnik.
System wektorowy 
nazywa się liniowo niezależnym, jeśli w którejkolwiek z jego kombinacji liniowych jest równy 
, wszystkie współczynniki wynoszą zero.
Podstawa systemu wektorowego 
nazywa się jego niepusty liniowo niezależny podsystem, za pomocą którego można wyrazić dowolny wektor układu.
Przykład 2. Znajdź podstawę układu wektorów 
=
(1, 2, 2, 4),
=
(2, 3, 5, 1),
=
(3, 4, 8, -2),
= (2, 5, 0, 3) i wyrażamy pozostałe wektory poprzez bazę.
Rozwiązanie: Budujemy macierz, w której współrzędne tych wektorów ułożone są w kolumny. Doprowadzamy to do formy etapowej.
~
~
~
.
Podstawą tego układu są wektory 
,
,
, które odpowiadają wiodącym elementom linii, zaznaczonym w kółkach. Aby wyrazić wektor 
rozwiązać równanie x 1 
+x 2 
+ x 4 
=
. Sprowadza się do układu równań liniowych, którego macierz otrzymuje się z pierwotnej permutacji kolumny odpowiadającej 
, zamiast kolumny wolnych członków. Dlatego do rozwiązania układu używamy powstałej macierzy w formie krokowej, dokonując w niej niezbędnych przegrupowań.
Konsekwentnie znajdujemy:
x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;
=
-
+2
.
Uwaga 1. Jeśli konieczne jest wyrażenie przez bazę kilku wektorów, wówczas dla każdego z nich konstruowany jest odpowiedni układ równań liniowych. Systemy te będą się różnić jedynie kolumnami wolnych członków. Dlatego, aby je rozwiązać, możesz utworzyć jedną macierz, która będzie miała kilka kolumn wolnych terminów. Co więcej, każdy system jest rozwiązywany niezależnie od pozostałych.
Uwaga 2. Aby wyrazić dowolny wektor, wystarczy użyć tylko wektorów bazowych układu, który go poprzedza. W tym przypadku nie ma potrzeby ponownego formatowania macierzy, wystarczy umieścić pionową linię w odpowiednim miejscu.
Ćwiczenie 2. Znajdź bazę układu wektorów i wyraż pozostałe wektory poprzez bazę:
A) 
=
(1, 3, 2, 0),
=
(3, 4, 2, 1),
=
(1, -2, -2, 1),
=
(3, 5, 1, 2);
B) 
=
(2, 1, 2, 3),
=
(1, 2, 2, 3),
=
(3, -1, 2, 2),
=
(4, -2, 2, 2);
V) 
=
(1, 2, 3),
=
(2, 4, 3),
=
(3, 6, 6),
=
(4, -2, 1);
=
(2, -6, -2).
3. Podstawowy system rozwiązań
Układ równań liniowych nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie jego wolne wyrazy są równe zero.
Podstawowy układ rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest podstawą zbioru jego rozwiązań.
Dany nam będzie niejednorodny układ równań liniowych. System jednorodny powiązany z danym jedynką to system otrzymany z danego jedynki poprzez zastąpienie wszystkich wolnych wyrazów zerami.
Jeżeli układ niejednorodny jest spójny i nieokreślony, to jego dowolne rozwiązanie ma postać f n + 1 f o1 + ... + k fo k, gdzie f n jest rozwiązaniem szczególnym układu niejednorodnego, a f o1, ... , fo k jest podstawowe rozwiązania systemowe powiązanego układu jednorodnego.
Przykład 3. Znajdź konkretne rozwiązanie układu niejednorodnego z Przykładu 1 i podstawowy układ rozwiązań powiązanego układu jednorodnego.
Rozwiązanie Zapiszmy rozwiązanie uzyskane w przykładzie 1 w postaci wektorowej i rozłóż powstały wektor na sumę obecnych w nim wolnych parametrów i ustalonych wartości liczbowych:
= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).
Otrzymujemy f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).
Komentarz. Podobnie rozwiązuje się problem znalezienia podstawowego układu rozwiązań układu jednorodnego.
Ćwiczenie 3.1 Znajdź podstawowy system rozwiązań układu jednorodnego:
A) 
B) 
c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.
Ćwiczenie 3.2. Znajdź rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego i podstawowy układ rozwiązań powiązanego układu jednorodnego:
A) 
B) 
Wyrażenie formy zwany liniowa kombinacja wektorów A 1 , A 2 ,...,A n z szansami λ 1, λ 2 ,..., λ n.
Wyznaczanie zależności liniowej układu wektorów
System wektorowy A 1 , A 2 ,...,A n zwany liniowo zależne, jeśli istnieje niezerowy zbiór liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n, w którym liniowa kombinacja wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n równy wektorowi zerowemu, czyli układ równań: ma niezerowe rozwiązanie.
Zestaw liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n jest różna od zera, jeśli co najmniej jedna z liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n różny od zera.
Wyznaczanie liniowej niezależności układu wektorów
Przykład 29.1System wektorowy A 1 , A 2 ,...,A n zwany liniowo niezależny, jeżeli jest to kombinacja liniowa tych wektorów λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n równy wektorowi zerowemu tylko dla zerowego zbioru liczb λ 1, λ 2 ,..., λ n , czyli układ równań: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ma unikalne rozwiązanie zerowe.
Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo zależny
Rozwiązanie:
1. Tworzymy układ równań:
2. Rozwiązujemy to metodą Gaussa. Transformacje Jordanano układu przedstawiono w tabeli 29.1. Przy obliczeniach nie zapisuje się prawych stron układu, gdyż są one równe zeru i nie zmieniają się podczas przekształceń Jordana.
3. Z trzech ostatnich wierszy tabeli zapisz rozwiązany system równoważny oryginalnemu system:
4. Otrzymujemy rozwiązanie ogólne układu:
5. Po ustawieniu wartości zmiennej wolnej x 3 =1 według własnego uznania, otrzymujemy szczególne niezerowe rozwiązanie X=(-3,2,1).
Odpowiedź: Zatem dla niezerowego zbioru liczb (-3,2,1) liniowa kombinacja wektorów jest równa wektorowi zerowemu -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Stąd, układ wektorowy liniowo zależny.
Właściwości układów wektorowych
Nieruchomość (1)
Jeżeli układ wektorów jest liniowo zależny, to co najmniej jeden z wektorów jest rozwijany względem pozostałych i odwrotnie, jeśli przynajmniej jeden z wektorów układu jest rozwijany względem pozostałych, to układ wektorów jest liniowo zależna.
Nieruchomość (2)
Jeśli dowolny podukład wektorów jest liniowo zależny, to cały układ jest liniowo zależny.
Nieruchomość (3)
Jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to każdy z jego podukładów jest liniowo niezależny.
Nieruchomość (4)
Dowolny układ wektorów zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.
Nieruchomość (5)
Układ m-wymiarowych wektorów jest zawsze liniowo zależny, jeśli liczba wektorów n jest większa niż ich wymiar (n>m)
Podstawa układu wektorowego
Podstawa systemu wektorowego A 1 , A 2 ,..., An taki podsystem B 1 , B 2 ,...,B r nazywa się(każdy z wektorów B 1, B 2,..., B r jest jednym z wektorów A 1, A 2,..., An), co spełnia następujące warunki:
1. B 1 , B 2 ,..., B r liniowo niezależny układ wektorów;
2. dowolny wektor A j układ A 1 , A 2 ,..., An wyraża się liniowo poprzez wektory B 1 , B 2 ,..., B rR— liczba wektorów zawartych w bazie.
Twierdzenie 29.1 Na bazie jednostkowej układu wektorów.Jeżeli układ m-wymiarowych wektorów zawiera m różnych wektorów jednostkowych E 1 E 2 ,..., Em , to stanowią one podstawę układu.
Algorytm znajdowania bazy układu wektorów
Aby znaleźć bazę układu wektorów A 1 , A 2 ,...,A n należy:
- Utwórz odpowiedni układ wektorowy układ jednorodny równania A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
- Przynieś ten system
