Oscylacje fizyczne układy opisane nieliniowymi układami równań różniczkowych zwyczajnych

Gdzie zawiera wyrazy co najmniej drugiego stopnia w składowych wektorowych - wektorową funkcję czasu - mały parametr (lub i ). Możliwe uogólnienia związane są z uwzględnieniem układów nieciągłych, uderzeń o charakterystyce nieciągłej (np. histerezy), uderzeń opóźnionych i losowych, równań operatora całkowo-różniczkowego i różniczkowego, układów oscylacyjnych o parametrach rozłożonych opisywanych cząstkowymi równaniami różniczkowymi, a także jak wykorzystanie metod optymalnego sterowania nieliniowymi układami oscylacyjnymi. Główne ogólne zadania N.K.: znajdowanie położeń równowagi, reżimów stacjonarnych, w szczególności okresowych. ruchy, samooscylacje i badanie ich stabilności, problemy synchronizacji i stabilizacji N.K.

Wszystko fizyczne systemy, ściśle mówiąc, są nieliniowe. Jedną z najbardziej charakterystycznych cech NC jest naruszenie przez nie zasady superpozycji oscylacji: wynik każdego z wpływów w obecności drugiego okazuje się inny niż przy braku drugiego wpływu.

Układy quasilinearne - układy (1) dla . Główną metodą badawczą jest metoda małych parametrów. Przede wszystkim jest to metoda Poincarégo-Lindstedta służąca do wyznaczania okresowości. rozwiązania układów quasilinearnych analitycznych w parametrze dla dostatecznie małych wartości, albo w postaci szeregów w potęgach (patrz rozdział IX), albo w postaci szeregów w potęgach i - dodatki do początkowych wartości składowych wektora (patrz rozdział III). Dalszy rozwój tej metody można znaleźć na przykład w -.

Inną metodą małych parametrów jest metoda uśrednianie. Jednocześnie do badania układów quasilinearnych wkroczyły także nowe metody: asymptotyczne. metody (patrz,), metoda funkcji K (patrz), w oparciu o podstawowe wyniki A. M. Lyapunowa - N. G. Chetaevy itp.

Zasadniczo układy nieliniowe, w których nie ma z góry określonego małego parametru. Dla systemów Lapunowa

a wśród wartości własnych macierzy nie ma wielokrotności pierwiastka - analityczne funkcja wektorowa X, rozwinięcie zaczyna się od terminów co najmniej drugiego rzędu i istnieje analityczna całka pierwsza specjalnej postaci A. M. Lyapunov (patrz § 42) zaproponował metodę znajdowania całek okresowych. rozwiązania w postaci szeregu w potęgach dowolnej stałej c (dla której można przyjąć wartość początkową jednej z dwóch zmiennych krytycznych lub).

W przypadku systemów bliskich systemom Lapunowa

gdzie w tej samej postaci co w (2), - analityczny. funkcja wektorowa i mały parametr, ciągły i okresowy T, zaproponowano również metodę wyznaczania okresowości. decyzje (patrz rozdział VIII). Układy typu Lapunowa (2), w których macierz ma l zerowych wartości własnych z prostymi elementarnymi dzielnikami, dwie czysto urojone wartości własne i nie ma wartości własnych będących wielokrotnościami - jak w (2), można sprowadzić do układów Lapunowa (patrz IV.2). N.K. badano także w układach Łapunowa oraz w tzw. Układy Łapunowa z tłumieniem, a także rozwiązały ogólny problem pompowania do nich energii (patrz rozdziały I, III, IV).

Niech zasadniczo nieliniowy układ autonomiczny sprowadzi się do postaci Jordana jego części liniowej

gdzie wektor z założenia ma co najmniej jedną składową niezerową; , są równe odpowiednio zero lub jeden, w przypadku braku lub obecności zespolonych elementarnych dzielników macierzy części liniowej, - współczynniki; Zbiór wartości wektorowych ze składnikami całkowitymi to:

Następnie następuje transformacja normalizująca:

prowadząc do (3) postaci normalnej równań różniczkowych

i takie, że jeśli . Zatem postać normalna (5) zawiera tylko człony rezonansowe, tj. współczynniki mogą być niezerowe tylko dla tych, dla których spełnione jest równanie rezonansowe

odgrywające znaczącą rolę w teorii oscylacji. Zbadano zbieżność i rozbieżność transformacji normalizującej (4) (patrz część I, rozdziały II, III); podano obliczenie współczynników (poprzez ich symetryzację) (patrz § 5.3). W wielu zagadnieniach dotyczących postaci nieliniowej zasadniczo nieliniowych układów autonomicznych skuteczna okazała się metoda form normalnych (patrz rozdziały VI-VIII).

Wśród innych metod badania układów zasadniczo nieliniowych stosowana jest metoda mapowań punktowych (patrz), stroboskonikowa. metodyczną i funkcjonalno-analityczną. metody.

Jakościowe metody nieliniowych równań różniczkowych Punktem wyjścia jest badanie postaci krzywych całkowych nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych przeprowadzone przez A. Poincare'a (N. Poincare, patrz). Zastosowania problemów N.K. opisanych przez systemy autonomiczne II rzędu zob. Zbadano kwestie istnienia okresowości. rozwiązania i ich stabilność w dużych systemach wielowymiarowych; rozważane są prawie okresowe równania nieokresowe.Zastosowania teorii równań różniczkowych zwyczajnych z małym parametrem dla niektórych pochodnych do problemów relaksacji równań nieliniowych, zob.

Ważne aspekty N. k. i lit. zobacz artykuły Teoria zaburzeń, teoria oscylacji.

Oświetlony.: Poincaré A., Izbr. działa, przeł. z języka francuskiego, t. 1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, wyd. 2, M., 1959; Bułhakow B.V., Oscylacje, M., 1954; Malkin I.G., Niektóre problemy teorii oscylacji nieliniowych, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. prace, t. 1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asymptotyczne metody w teorii nieliniowych oscylacji, wyd. 4, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. prace, t. 1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Kolekcja. soch., t. 2, M.-L., 195B, s. 2. 7-263; Starzhinsky V.M., Stosowane metody oscylacji nieliniowych, M., 1977; Bruno A.D., „Tr. Moskiewskie Towarzystwo Matematyczne”, 1971, t. 25, s. 10-10. 119-262; 1972, t. 26, s. 1. 199-239; Neimark Yu.I., Metoda odwzorowań punktów w teorii oscylacji nieliniowych, M., 1972; Minorsky N., Wprowadzenie do mechaniki nieliniowej, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nonlinear prawie periodic oscilations, M., 1970; Poincaré A., O krzywych wyznaczanych za pomocą równań różniczkowych, przeł. z francuskiego, M.-L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Wprowadzenie do teorii oscylacji nieliniowych, M., 1976; Plise V.A., Nielokalne problemy teorii oscylacji, M.-L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Równania różniczkowe z małym parametrem i oscylacjami relaksacyjnymi, M., 1975.

• - ruchy lub procesy, które mają różny stopień powtarzalności w czasie...

  Encyklopedia fizyczna

• - współczynniki tensora łączące nieliniową część polaryzacji Р = Р l + Р nl jednostkowej objętości ośrodka, powstającej pod wpływem silnych pól elektrycznych, o wielkościach...

  Encyklopedia fizyczna

• - zmiany sygnału S out, prowadzące do zniekształcenia przesyłanego komunikatu S in, spowodowane nieliniowością operatora toru transmisji L: S out = LS in...

  Encyklopedia fizyczna

• - procesy w oscylacji. i układy falowe, które nie spełniają zasady superpozycji...

  Encyklopedia fizyczna

• - układy oscylacyjne, których właściwości zależą od procesów w nich zachodzących. Oscylacje takich układów opisywane są równaniami nieliniowymi. Zjawiska nieliniowe: mechaniczne...

  Encyklopedia fizyczna

• - równania, które nie mają właściwości liniowości...

  Encyklopedia fizyczna

• - powstają w wyniku oddziaływania fal, pól i cząstek, w których nie jest spełniona zasada superpozycji fal i które są opisane z uwzględnieniem członów nieliniowych w równaniach kinetyki lub...

  Encyklopedia fizyczna

• - nieliniowy optyczny...

  Encyklopedia fizyczna

• - oscylować oraz układy falowe, których właściwości zależą od procesów w nich zachodzących; są opisane przez różniczki nieliniowe. ur-niyami. Jeden z najbardziej charakterystyczne cechy N.s. - naruszenie zasady superpozycji...

  Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

• - systemy, których właściwości i charakterystyki zależą od ich stanu. Wśród nich mogą znajdować się mechaniczne i elektryczne układy oscylacyjne opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi...

  Początki współczesnych nauk przyrodniczych

• - ruchy lub procesy o różnym stopniu powtarzalności w czasie - trzepotanie - kmitání; kmity – Schwingungen – rezgés – hellbelzel – wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - oscylacje; wibracje - oscylacje...

  Słownik konstrukcyjny

• - Artykułfiber...

  Encyklopedyczny słownik nanotechnologii

• - termin czasami używany na oznaczenie oscylacji w układach nieliniowych...
• - Układy oscylacyjne, których właściwości zależą od procesów w nich zachodzących...

  Wielka encyklopedia radziecka

„FLUKTUACJE” DEFINICJI

Z książki Jak poprawnie mówić: notatki o kulturze rosyjskiej mowy autor Gołowin Borys Nikołajewicz

„FLUKTUACJE” DEFINICJI Podczas lekcji uczniowie otrzymali ćwiczenie: wpiszcie definicję do wyrażenia pięciu pracowników. Studenci szybko podali swoje przykłady: pięciu młodych pracowników, pięciu starych pracowników, pięciu wykwalifikowanych pracowników... Nie było żadnych trudności.

§ 1 Wahania gospodarcze

Z książki Podstawy ekonomii autor Borysow Jewgienij Filippowicz

§ 1 Wahania gospodarcze Poszukując prawdy, natrafiamy na paradoks (zjawisko nieoczekiwane, które nie odpowiada konwencjonalnym wyobrażeniom). Jak wygląda falowy ruch gospodarki? Aby zobaczyć, co się naprawdę dzieje, przyjrzyjmy się

Kitajgorodski Aleksander Izaakowicz

V. Oscylacje Równowaga W niektórych przypadkach utrzymanie równowagi jest bardzo trudne - spróbuj chodzić po linie. Jednocześnie nikt nie nagradza oklaskami kogoś siedzącego w bujanym fotelu. Ale on też utrzymuje równowagę.Jaka jest w tym różnica

Oscylacje

Z książki Kurs historii Rosji (wykłady XXXIII-LXI) autor Klyuchevsky Wasilij Osipowicz

Oscylacje Odpowiadając na to pytanie, omówimy wszystkie najważniejsze zjawiska naszego życia wewnętrznego. Są bardzo złożone, płyną różnymi, często przecinającymi się, a czasem przeciwprądami. Ale widać ich wspólne

Oscylacje fizyczne układy opisane nieliniowymi układami równań różniczkowych zwyczajnych, gdzie w składowych wektorowych znajdują się wyrazy co najmniej drugiego stopnia – wektorowa funkcja czasu – mały parametr (lub i). Możliwe uogólnienia związane są z uwzględnieniem układów nieciągłych, uderzeń o charakterystyce nieciągłej (np. histerezy), uderzeń opóźnionych i losowych, równań operatora całkowo-różniczkowego i różniczkowego, układów oscylacyjnych o parametrach rozłożonych opisywanych cząstkowymi równaniami różniczkowymi, a także jak wykorzystanie metod optymalnego sterowania nieliniowymi układami oscylacyjnymi. Główne ogólne zadania N.K.: znajdowanie położeń równowagi, reżimów stacjonarnych, w szczególności okresowych. ruchy, samooscylacje i badanie ich stabilności, problemy synchronizacji i stabilizacji N. do. Wszystko fizyczne. systemy, ściśle mówiąc, są nieliniowe. Jedną z najbardziej charakterystycznych cech NC jest naruszenie przez nie zasady superpozycji oscylacji: wynik każdego z wpływów w obecności drugiego okazuje się inny niż przy braku drugiego wpływu. Układy quasilinearne - układy (1) przy. Główną metodą badawczą jest metoda małych parametrów. Przede wszystkim jest to metoda Poincarégo-Lindstedta służąca do wyznaczania okresowości. rozwiązania układów quasilinearnych, analityczne w parametrze dla jego dostatecznie małych wartości, albo w postaci szeregów w potęgach (patrz rozdział IX), albo w postaci szeregów w potęgach i - dodatki do wartości początkowych wektora komponentów (patrz rozdział III). Dalszy rozwój tej metody można znaleźć na przykład w -. Inną metodą małych parametrów jest metoda uśredniania. Jednocześnie do badania układów quasilinearnych wkroczyły także nowe metody: asymptotyczne. metody (patrz,), metoda funkcji K (patrz), oparta na podstawowych wynikach A. M. Lyapunowa - N. G. Chetaeva itp. Zasadniczo systemy nieliniowe, w których nie ma z góry określonego małego parametru. Dla układów Lapunowa, w których i wśród wartości własnych macierzy nie ma wielokrotności pierwiastka - analityczne. funkcja wektorowa x, rozwinięcie zaczyna się od terminów co najmniej drugiego rzędu i istnieje pierwsza całka analityczna specjalnej postaci A. M. Lyapunov (patrz § 42) zaproponował metodę znajdowania funkcji okresowych. rozwiązania w postaci szeregu potęg dowolnej stałej c (dla której można przyjąć wartość początkową jednej z dwóch zmiennych krytycznych). Dla układów bliskich układom Łapunowa, gdzie ta sama postać co w (2) jest analityczna. funkcję wektorową i mały parametr ciągły i -okresowy w t, zaproponowano także metodę wyznaczania okresowości. decyzje (patrz rozdział VIII). Układy typu Lapunowa (2), w których macierz ma l zerowych wartości własnych z prostymi elementarnymi dzielnikami, dwie - czysto urojone wartości własne i nie ma wartości własnych będących wielokrotnościami - tak samo jak w (2), mogą być zredukowane do systemów Lapunowa (patrz IV.2). N.K. badano także w układach Łapunowa oraz w tzw. Układy Łapunowa z tłumieniem, a także rozwiązały ogólny problem pompowania do nich energii (patrz rozdziały I, III, IV). Niech zasadniczo nieliniowy układ autonomiczny zostanie zredukowany do postaci Jordana jego części liniowej, gdzie wektor z założenia ma co najmniej jedną składową niezerową; , są równe odpowiednio zero lub jeden, w przypadku braku lub obecności zespolonych elementarnych dzielników macierzy części liniowej, - współczynniki; zbiór wartości wektora o składnikach całkowitych jest następujący: Następnie następuje transformacja normalizująca: prowadząca (3) do postaci normalnej równań różniczkowych
i co jeśli. Zatem postać normalna (5) zawiera tylko człony rezonansowe, tj. współczynniki mogą być różne od zera tylko dla tych, dla których spełnione jest równanie rezonansowe, co odgrywa znaczącą rolę w teorii oscylacji. Zbadano zbieżność i rozbieżność transformacji normalizującej (4) (patrz część I, rozdziały II, III); podano obliczenie współczynników (poprzez ich symetryzację) (patrz § 5.3). W wielu zagadnieniach dotyczących postaci nieliniowej zasadniczo nieliniowych układów autonomicznych skuteczna okazała się metoda form normalnych (patrz rozdziały VI-VIII). Wśród innych metod badania układów zasadniczo nieliniowych stosowana jest metoda mapowań punktowych (patrz), stroboskonikowa. metodyczną i funkcjonalno-analityczną. metody. Jakościowe metody nieliniowych równań różniczkowych Punktem wyjścia jest badanie postaci krzywych całkowych nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych przeprowadzone przez A. Poincare'a (N. Poincare, patrz). Zastosowania problemów N.K. opisanych przez systemy autonomiczne II rzędu zob. Zbadano kwestie istnienia okresowości. rozwiązania i ich stabilność w dużych systemach wielowymiarowych; rozważane są prawie okresowe równania nieokresowe.Zastosowania teorii równań różniczkowych zwyczajnych z małym parametrem dla niektórych pochodnych do problemów relaksacji równań nieliniowych, zob. Ważne aspekty N. k. i lit. zobacz artykuły Teoria zaburzeń, Teoria oscylacji. Dosł.: Poincaré A., Izbr. działa, przeł. z języka francuskiego, t. 1, M., 1971; Andronov A. A., Witt A. A., Khaikin S. E., Theory of Oscillations, wyd. 2, M., 1959; Bułhakow B.V., Oscylacje, M., 1954; Malkin I.G., Niektóre problemy teorii oscylacji nieliniowych, M., 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. prace, t. 1, K., 1969; [b] Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A., Asymptotyczne metody w teorii nieliniowych oscylacji, wyd. 4, M-, 1974; Kamenkov G.V., Izbr. prace, t. 1-2, M., 1971-72; Lyapunov A. M., Kolekcja. soch., t. 2, M.-L., 195B, s. 2. 7-263; Starzhinsky V.M., Stosowane metody oscylacji nieliniowych, M., 1977; Bruno A.D., „Tr. Moskiewskie Towarzystwo Matematyczne”, 1971, t. 25, s. 10-10. 119-262; 1972, t. 26, s. 1. 199-239; Neimark Yu.I., Metoda odwzorowań punktów w teorii oscylacji nieliniowych, M., 1972; Minorsky N., Wprowadzenie do mechaniki nieliniowej, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky M. A., Burd V. Sh., Kolesov Yu. S., Nonlinear prawie periodic oscilations, M., 1970; Poincaré A., O krzywych wyznaczanych za pomocą równań różniczkowych, przeł. z francuskiego, M.-L., 1947; Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A., Wprowadzenie do teorii oscylacji nieliniowych, M., 1976; Plise V.A., Nielokalne problemy teorii oscylacji, M. -L., 1964; Mishchenko E. F., Rozov N. X., Równania różniczkowe z małym parametrem i oscylacjami relaksacyjnymi, M., 1975. V. M. Starzhinsky.

Zobacz wartość Oscylacje nieliniowe w innych słownikach

Średni dochód plus wahania— EFEKTYWNOŚĆ ŚREDNIEJ Wariancji Model tworzenia optymalnego portfela papierów wartościowych dla inwestorów, oparty na wniosku Harry'ego Markowitza, że
osoba inwestująca
........
Słownik ekonomiczny

Straty kapitałowe, straty kapitałowe spowodowane wahaniami stóp zysku; Strata kapitału z powodu— Kwota, o jaką zysk ze sprzedaży aktywów trwałych jest niższy od kosztu ich nabycia. Przed wprowadzeniem ustawy o reformie podatkowej z 1986 r. 2 dolary...........
Słownik ekonomiczny

Oscylacje— MOVERWzrost lub
spadek cen określonego rodzaju akcji lub cen na rynku jako całości w wyniku korzystnych lub niekorzystnych warunków, a także w wyniku......
Słownik ekonomiczny

Wahania warunków rynkowych— zmiany parametrów ekonomicznych w czasie związane z obiektywnymi realiami gospodarki rynkowej, w tym zmiany sezonowe.
Słownik ekonomiczny

Wahania kursów wymiany
Słownik ekonomiczny

Wahania kursów walut (waluty, papiery wartościowe)- zmiany cen wymiany walut, cennych
papier pod wpływem zmian
popyt,
oferty i inne czynniki.
Słownik ekonomiczny

Maksymalne wahania kursu wymiany- Język angielski maksymalne wahania cen to maksymalna wielkość wahań kursu kontraktu w tę czy inną stronę podczas sesji giełdowej, określona przez regulamin giełdy.
Słownik ekonomiczny

Wahania warunków rynkowych— ZMIANY RYNKOWE Patrz. HUŚTAĆ SIĘ; CYKL KONIUNKTURALNY; CYKL SPEKULACYJNY
Słownik ekonomiczny

Wahania sezonowe— ZMIANY SEZONOWE Mniej lub bardziej regularne
wahania w działalności gospodarczej spowodowane czynnikami sezonowymi. Na przykład,
Ilość środków odpisanych z rachunków bankowych w grudniu wynosi zazwyczaj...........
Słownik ekonomiczny

Zasada wahań kursu— ZASADA ZMIANY Zasada wyboru papierów wartościowych (obligacji lub akcji) w oparciu o amplitudę wahań ich kursów rynkowych w całym okresie gospodarczym. cykl. Zakres takich wahań............
Słownik ekonomiczny

Zmiany sezonowe- awans lub
nachylenie działalność gospodarcza, skala działalności gospodarczej ze względu na zmieniające się pory roku.
Słownik ekonomiczny

Sezonowe wahania cen- ceny różnią się w zależności od pory roku (
ceny produktów rolnych), sezonowość (ceny odzieży i obuwia).
Słownik ekonomiczny

Wahania handlowe— Akcje, do których zaokrąglane są ceny w transakcjach na papierach wartościowych.
Słownik ekonomiczny

Wahania; Oscylacje; Niestabilność; Zmiana— (1) Zmiana cen lub stóp procentowych w kierunku wzrostu lub spadku. Termin „fluktuacja” może odnosić się zarówno do małych, jak i dużych zmian ceny akcji.......
Słownik ekonomiczny

Maksymalna fluktuacja (wahania cen/limity zmian)— Maksymalne dzienne wahania cen dozwolone na niektórych rynkach. Zobacz: limit (limit/limit).
Słownik ekonomiczny

Ujednolicenie (mechanizm łącznego wahania kursów walut/Rewizja kursów walut)— Proces dewaluacji jednej lub większej liczby walut wchodzących w skład Europejskiego Systemu Walutowego. Kurs wymiany każdej waluty europejskiej ustalany jest według kursu wymiany...........
Słownik ekonomiczny

Wahania kursów wymiany— - zmiany cen wymiany walut i papierów wartościowych pod wpływem zmian popytu, podaży i innych czynników.
Słownik prawniczy

Zmiany sezonowe— - wzrost lub spadek poziomu aktywności zawodowej, skali działalności gospodarczej w związku ze zmianą pór roku.
Słownik prawniczy

Oscylacje harmoniczne— , ruch okresowy, taki jak ruch wahadła, wibracje atomowe lub oscylacje w obwodzie elektrycznym. Ciało wykonuje nietłumione drgania harmoniczne, gdy............
Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Wymuszone oscylacje- powstają w układzie pod wpływem okresowych wpływów zewnętrznych (na przykład wymuszone oscylacje wahadła pod wpływem siły okresowej, wymuszone oscylacje......

Oscylacje harmoniczne- charakteryzuje się zmianą wielkości oscylacyjnej x (na przykład odchylenie wahadła od położenia równowagi, napięcie w obwodzie prądu przemiennego itp.) w czasie t zgodnie z prawem:......
Duży słownik encyklopedyczny

Tłumione oscylacje- drgania naturalne, których amplituda A maleje w czasie t zgodnie z prawem wykładniczym A(t) = Аоexp (- ?t) (? - wskaźnik tłumienia na skutek rozproszenia energii pod wpływem sił lepkich.......
Duży słownik encyklopedyczny

Oscylacje- ruchy (zmiany stanu) o różnym stopniu powtarzalności. Najczęściej spotykane: 1) drgania mechaniczne: drgania wahadła, mostu, statku............
Duży słownik encyklopedyczny

Wibracje sieci krystalicznej- drgania atomów lub jonów tworzących kryształ wokół położeń równowagi (węzłów sieci krystalicznej). Amplituda drgań termicznych sieci krystalicznej............
Duży słownik encyklopedyczny

Oscylacje o bardzo wysokiej częstotliwości— (mikrofalowe) oscylacje elektromagnetyczne o częstotliwości od 3108 do 31011 Hz; stosowany w fizjoterapii do miejscowego ogrzewania powierzchniowego tkanek ciała.
Duży słownik medyczny

Wibracje ultradźwiękowe— patrz USG.
Duży słownik medyczny

Systemy nieliniowe— układy oscylacyjne, w których zachodzą procesy opisane nieliniowymi równaniami różniczkowymi. Właściwości i charakterystyki układów nieliniowych zależą od ich stanu.
Duży słownik encyklopedyczny

Normalne oscylacje— naturalne (swobodne) oscylacje harmoniczne układów liniowych parametry stałe, w którym nie ma strat ani dopływu energii z zewnątrz. Każdy jest normalny............
Duży słownik encyklopedyczny

Oscylacje plazmowe— różnego rodzaju drgania wzbudzane i rozchodzące się w plazmie. Należą do nich powolne oscylacje ciężkich jonów w stosunku do szybko oscylujących elektronów.......
Duży słownik encyklopedyczny

Nieciągłe oscylacje- oscylacje relaksacyjne, w których proces oscylacyjny jest sekwencją powolnych (w porównaniu z okresem oscylacji) zmian stanu......
Duży słownik encyklopedyczny

Pechenkin A.A. Paradygmat i ideologia: doświadczenie filozoficznej rekonstrukcji historii teorii oscylacji nieliniowych // Filozofia nauki. Tom. 7: Kształtowanie się współczesnego paradygmatu nauk przyrodniczych – M.: , 2001

A.A.Pieczenkin

Paradygmat i ideologia: doświadczenie filozoficznej rekonstrukcji historii teorii

oscylacje nieliniowe*

Uwagi wstępne

Aby pokazać wprowadzone pojęcia „w działaniu”, rozważmy kilka fragmentów z historii teorii oscylacji nieliniowych. Terminu „teoria oscylacji nieliniowych” używamy w socjologicznym sensie Kuhna. To nie jest tylko system dedukcyjny (lub próba jego sformułowania), ale zjawisko społeczne - idee rozwinięte pod koniec lat 20. XX wieku. XX wieku i w latach 30. społeczność naukowców, zwana potocznie szkołą L.I. Mandelstama. Tak rozumiana teoria oscylacji nieliniowych zastąpiła nieliniową teorię oscylacji elektrycznych holenderskiego fizyka i inżyniera radiowego B. Van der Pola, nad którą pracował już na początku lat 20. XX wieku. W 1927 r. L.I. Mandelstam postawił przed swoim absolwentem A.A. Andronowem zadanie, w wyniku którego powstał szereg podstawowych prac przeprowadzonych przy udziale dwóch innych doktorantów L.I. Mandelstama - A.A. Vitta i S.E. Khaikina. Jednocześnie L.I. Mandelstam nie tylko był inicjatorem powstania teorii oscylacji nieliniowych, ale wraz ze swoim przyjacielem i współautorem N.D. Papaleksim przyczynił się do rozwoju tej teorii. W rozwoju tym wzięli udział także inni uczniowie L.I. Mandelstama, pracownicy N.D. Papaleksi, studenci i pracownicy A.A. Andronow, którzy po przeprowadzce z Moskwy do Gorkiego (obecnie Niżny Nowogród) w 1931 r. założyli tam własną szkołę, którą można uważany za filię szkoły Mandelstama.

Teoria oscylacji nieliniowych nie została od razu rozpoznana za granicą. Pełne uznanie nastąpiło już w latach powojennych, kiedy N. Minorsky napisał swoją książkę, w której przedstawił główne osiągnięcia szkoły L.I. Mandelstama. Wydany w 1949 roku angielskie tłumaczenie książka A.A. Andronowa, A.A. Witta i S.E. Khaikina „Teoria oscylacji”, wydana w ZSRR w 1937 r. (od czasu aresztowania Witta, jego nazwisko zostało usunięte z tytułu tej książki), książka przedstawiająca główne treści i program teorii oscylacji nieliniowych (tak w każdym razie mówi Mandelsztam we wstępie do tej książki). W 1966 roku ukazało się angielskie tłumaczenie drugiego wydania tej książki (1959), przygotowanego przez ucznia Andronowa N.A. Zheleztsova. Następnie prace nad teorią oscylacji nieliniowych rozpłynęły się w ogólnym nurcie publikacji na temat dynamiki nieliniowej.

W artykule planuje się wykazać, że nie tylko paradygmat, ale także ideologia kierowała powstawaniem i rozwojem teorii oscylacji nieliniowych i to właśnie ideologia doprowadziła do nietrywialnych koncepcji, które okazały się w latach 70. XX wieku. w obszarze zainteresowań synergetyki - teoria samoorganizacji. W następnym akapicie

Porozmawiamy o paradygmacie, w ramach którego ukształtowała się teoria oscylacji nieliniowych. W trzecim akapicie przyjrzymy się temu paradygmatowi „w akcji”, tj. Omówmy szereg osiągnięć teorii oscylacji nieliniowych (30s), uzyskanych na ścieżce, którą T. Kuhn nazwał „rozwiązywaniem zagadek”. W czwartym akapicie zostanie opisana ideologia oscylacji nieliniowych i prześledzone zostanie, jak „działała” ona poza granicami problemów rozwiązanych w ramach paradygmatu.

Paradygmat teorii oscylacji nieliniowych

Jak zauważono powyżej, teoria oscylacji nieliniowych zastąpiła nieliniową teorię oscylacji elektrycznych van der Pola. To ostatnie z kolei jest genetycznie związane z rozwojem teorii urządzenia radiotechnicznego – generatora lampowego. W tym urządzeniu, które jak każde rzeczywiste urządzenie działa na zasadzie „tarcia” (czyli jest układem niekonserwatywnym), powstają nietłumione oscylacje. Oznacza to oczywiście, że układ zawiera źródło energii (lub energia wchodzi do układu z zewnątrz). Nie mówimy jednak o wymuszonych oscylacjach. Generator lampowy sam generuje nietłumione oscylacje. Jest to układ autonomiczny (równania różniczkowe takich układów nie zawierają wprost czasu), tj. układ z nieokresowym źródłem energii. Ciągłe oscylacje powstają dzięki specjalnej konstrukcji oscylatora lampowego, który oprócz obwodu oscylacyjnego zawiera wzmacniacz (lampę elektroniczną) połączony z obwodem oscylacyjnym za pomocą sprzężenia zwrotnego.

Pozostawiając kwestię paradygmatu teorii van der Pola otwartą, opiszemy paradygmat, który wyłonił się w pracach Mandelstama, Andronowa i ich współpracowników pod koniec lat dwudziestych. Będziemy kierować się „elementami matrycy dyscyplinarnej” wymienionymi przez Kuhna w Suplemencie z 1969 r. do swojej książki „Struktura rewolucji naukowych”.

Jako pierwszy element Kuhn wskazuje na „symboliczne uogólnienia” – wzory matematyczne wyrażające uniwersalne prawa naukowe. We współczesnej fizyce są to głównie równania różniczkowe. „Uogólnienia symboliczne” muszą być na tyle pojemne, aby formułowanie konkretnych zadań następowało poprzez „rozszyfrowanie” tych „uogólnień”.

Van der Pol pracował głównie w oparciu o równanie, które obecnie nosi jego imię, opisujące zasadę działania prostego oscylatora lampowego:

d 2 x/dt 2 –μ(1–2x 2)dx/dt+x=0 (1)

Tutaj X– współrzędna uogólniona (w przypadku generatora lampowego – natężenie prądu), T to czas, a elementem nieliniowym jest 2x 2 dx/dt wyraża działanie wzmacniacza (lampy elektronowej).

W pracach Andronowa i innych przedstawicieli szkoły Mandelstama równanie różniczkowe staje się „symbolicznym uogólnieniem”, w stosunku do którego równanie van der Pola jest przypadkiem szczególnym. Jest to następujące równanie:

d 2 x/dt 2 +2δdx/dt+ω 2 x=f(x,dx/dt) (2)

Gdzie x i t, tak jak poprzednio, uogólniona współrzędna i czas, δ to współczynnik tłumienia, ω to częstotliwość drgań własnych, tj. częstotliwość cykliczna procesu, jaki zachodziłby przy braku tarcia i siły zewnętrznej, f(x, dx/dt) – funkcja nieliniowa opisująca działanie źródła energii wchodzącego w skład układu sterowania zapewniającego ciągłe oscylacje. Równanie (2) można każdorazowo zapisać na swój sposób dla różnych nieliniowych problemów radiotechniki i mechaniki - do opisu generatora lampowego, zegara, wahadła ciernego (tzw. wahadło Frouda, które jest zwykłym wahadłem zamontowanym na tarcie na wale obracającym się ze stałą prędkością) itp.

Na drugim miejscu po „symbolicznych uogólnieniach” Kuhn ma „ogólnie przyjęte recepty”, takie jak „ciepło jest energia kinetyczna części, z których składa się ciało.” Dla Mandelstama, Andronowa, ich współpracowników i uczniów taka instrukcja była przede wszystkim następująca: „skonstruować portret fazowy układu oscylacyjnego – jego trajektorię na płaszczyźnie fazowej (gdzie osie współrzędnych to x, dx/dt)”. Równania (2) ogólnie rzecz biorąc nie można całkować ani rozwiązywać w funkcjach elementarnych. Van der Pol rozwiązując równanie (1) zastosował wymyśloną przez siebie metodę przybliżoną – metodę wolnozmiennych amplitud (µ interpretował przez niego jako mały parametr). Konstrukcję portretu fazowego można również uznać za integrację. Ponieważ portret fazowy jest zgodny ze ścisłymi prawami teorii równań różniczkowych, skonstruowanie portretu fazowego zapewnia dokładne rozwiązanie równania różniczkowego. Ponieważ sam portret fazowy nie niesie ilościowej informacji o amplitudzie, fazie i częstotliwości oscylacji, rozwiązanie to ma charakter jakościowy. Stąd popularnym w kręgu Andronowa terminem jest „integracja jakościowa”.

Van der Pol zbliżył się do problemu skonstruowania portretu fazowego w 1926 roku. Metodą izokliny nakreślił kontury tzw. portretu fazowego równania (1). Jednak jego „portret fazowy” nie był przedmiotem jakościowej teorii równań różniczkowych sformułowanej przez A. Poincarégo w ostatnich dziesięcioleciach XIX wieku. To był raczej obraz, ilustracja graficzna.

Portrety fazowe równań (1) i (2) Andronow skonstruował w swoich pracach z lat 1928–1929, co stało się podstawą jego pracy doktorskiej. Andronow wykazał, że nietłumione oscylacje występujące w oscylatorze lampowym, zegarze itp. (nazwał je samooscylacjami), są przedstawione na płaszczyźnie fazowej w postaci cykli granicznych Poincarégo – zamkniętych krzywych, do których asymptotycznie zbliżają się wszystkie pobliskie krzywe. Cykl graniczny otacza punkt osobliwy, symbolizujący stan równowagi. W kolejnych pracach Andronow badał procesy przejściowe - przypadki „twardego” i „miękkiego” wzbudzenia oscylacji w generatorze lampowym - i znalazł ich obrazy geometryczne na płaszczyźnie fazowej.

„Integracja jakościowa” polega na analizie stabilności oscylacji. Andronow wykazał, że samooscylacje odpowiadają stabilnym cyklom granicznym Poincarégo. W tym przypadku istotne okazują się dwa rodzaje stabilności: stabilność Lapunowa i stabilność strukturalna (chropowatość) układu oscylacyjnego. Stabilność Lapunowa oznacza stabilność w odniesieniu do małych zmian warunków początkowych. Termin „chropowatość układu dynamicznego” Andronow wprowadził już w swoich pierwszych pracach poświęconych cyklom granicznym. Jednak prawidłowego sformułowania tej koncepcji dokonał on wraz z L.S. Pontryaginem w 1937 roku. Układ nazywa się szorstkim, którego portret fazowy jest stabilny ze względu na niewielkie zmiany równania różniczkowego opisującego ten układ. Aby dokładniej sformułować „chropowatość”, równanie (2) należy przepisać w następujący sposób:

d 2 x/dt 2 +ω 2 x=f(x,dx/dt) (3)

gdzie funkcja nieliniowa f(x, dx/dt) stanowi nie tylko nieokresowe źródło energii, ale także czynnik tłumiący (jest ku temu powód, ponieważ tarcie może być nieliniowe). Ruch zgrubny to taki, który jest stabilny pod względem małych zmian po prawej stronie równania (3).

Kierując się teorią stabilności opracowaną przez A.M. Lapunowa na początku XX wieku, Andronow wraz z A.A. Wittem wykazali, że przy chropowatości układu charakterystyczne wykładniki Lapunowa można wykorzystać do oceny stabilności cyklu granicznego i dlatego obecność samooscylacji.

automatyczna regulacja. Andronow napisał, że w tych latach rozwiązał problem stabilności ruchów, postawiony mu przez Mandelstama w 1927 r.

Stosując metodę dopasowania portretu fazowego poszukuje się poprzez sporządzenie rozwiązania nie równanie liniowe typ (2) od fragmentów rozwiązań do równań liniowych aproksymujących poszczególne odcinki tego rozwiązania oraz „zszywania” rozwiązań liniowych w oparciu o wymóg ciągłości rozwiązania do równania nieliniowego. W takim przypadku stałą integracji rozwiązania liniowego odpowiadającego kolejnemu elementowi liniowemu wyznacza się poprzez „dopasowanie” tej sekcji do poprzedniej: wartości początkowe charakteryzujące tę sekcję muszą pokrywać się z wartościami końcowymi charakteryzującymi poprzednią sekcję .

Szkic portretu fazowego, jaki daje metoda dopasowania, silnie zależy od wartości początkowych, przy których otrzymano rozwiązanie pierwszego równania liniowego, słowem, od warunków, w jakich rozpoczęło się „dopasowywanie”. Stosując metodę mapowania punktów, tę wadę można częściowo przezwyciężyć: można uwzględnić zakres możliwych wartości początkowych. Tak czy inaczej, metoda dopasowania pozwala ocenić charakter portretu fazowego rozwiązywanego problemu i ocenić ilościowe cechy tego portretu. Wydaje się, że otwiera drzwi do przestrzeni fazowej, w której trzeba się już poruszać według innych praw - nie według praw obserwacji i reguł empirycznych, ale według praw ścisłej teorii matematycznej - jakościowej teorii różniczkowej równania.

Powyżej wspomniano o innej metodzie przybliżonej - metodzie wolnozmiennych amplitud, opracowanej przez van der Pola. Metodę tę wykorzystano także do rozważań heurystycznych dotyczących portretu fazowego. W 1930 roku Andronow i Witt, stosując metodę wolnozmiennych amplitud, badali zjawisko „wychwytywania” zachodzące w układzie nieautonomicznym (w odróżnieniu od równań (1) i (2), które opisują układy autonomiczne, w równaniach dla układów nieautonomicznych istnieje termin uwzględniający okresową siłę zewnętrzną)*. Jednocześnie otrzymali taki obraz

* Dla układów nieautonomicznych typowe są „dudnienia”, oscylacje charakteryzujące się dwiema częstotliwościami (częstotliwość ω – patrz równanie (2) i częstotliwość siły zewnętrznej). „Przechwytywanie” nazywa się wymuszoną synchronizacją: zmieniając częstotliwość siły zewnętrznej, obserwujemy, że przy pewnej wartości tego parametru powstają jednorodne oscylacje z tą częstotliwością.

zjawiska w przestrzeni fazowej, tj. prześledził zmianę portretu fazowego układu samooscylującego wraz ze zmianą częstotliwości siły zewnętrznej.

Metoda wolnozmiennych amplitud polega na zastąpieniu równania (1) prostszymi „skróconymi” równaniami, których rozwiązanie jest przybliżone do rozwiązania pierwotnego równania dla małych wartości parametru μ. Książka Andronowa, Witta i Khaikina wyjaśnia związek między portretami fazowymi pierwotnego równania a portretem fazowym „skróconych równań”. Układ współrzędnych pierwotnego równania, umieszczony na płaszczyźnie fazowej „skróconych” równań, obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara z prędkością kątową równą 1. Cykle graniczne pierwotnego równania odpowiadają okręgom stanów równowagi na portrecie fazowym układu „skrócone” równania, a spirale owijające się wokół cykli granicznych są trajektoriami linii prostych na tym pomocniczym portrecie fazowym.

Oczywiście te zależności prowadzą jedynie do hipotetycznego portretu fazowego pierwotnego równania. Założenie to zostaje jednak wprowadzone w kontekście rygorystycznej teorii matematycznej – jakościowej teorii równań różniczkowych. Tym samym zyskuje wyższy status w strukturze fizyki. Wszystkie teorie fizyczne są hipotetyczne. Istnieją jednak wśród nich zamknięte systemy pojęciowe, które operują ścisłymi pojęciami i prawami. Rygor ten nadawany jest im przez rygorystyczny aparat matematyczny, w ramach którego są formułowane. Dzięki jakościowej teorii równań różniczkowych teoria taka staje się teorią oscylacji nieliniowych.

Już w swoich pierwszych pracach nad cyklami granicznym Poincarégo Andronow zastosował inną metodę asymptotyczną - metodę małych parametrów, wprowadzoną przez Poincarégo w „Nowych metodach mechaniki niebieskiej” (metoda ta nazywana jest także metodą Poincarégo). W latach 30. XX wieku we współpracy z Wittem zastosował tę metodę w obszarze wykraczającym poza zakres badań prowadzonych w oparciu o jakościową teorię równań różniczkowych.

Porównując modele „ontologiczny” i „heurystyczny” dotknęliśmy już trzeciego elementu matrycy „dyscyplinarnej” Kuhna – wartości. Szkołę Mandelstama cechował fundamentalizm - preferowano ogólne teorie fizyczne, a nie modele „produktywne”. Zarówno sam Andronow, jak i Mandelstam zinterpretowali prace Andronowa dotyczące cykli granicznych Poincarégo jako fundamentalne w teorii oscylacji nieliniowych. Uważali, że dzięki tej pracy zyskała teoria oscylacji nieliniowych

rygorystycznym aparatem matematycznym i tym samym zbliża się swoim statusem do teorii fundamentalnej (takiej jak mechanika, elektrodynamika itp.). Van der Pol, który opracował teorię oscylacji elektrycznych i opublikował swoje badania jednocześnie z Mandelstamem i Andronowem, nie tylko stosował metody przybliżone, ale deklarował fundamentalne znaczenie tych metod. Mandelstam i Andronow, składając hołd skuteczności metod van der Pola, zauważyli, że nie stworzył on teorii „adekwatnej” do rozważanego tematu i prowadzącej do daleko idących przewidywań jakościowych.

We wstępie do książki Andronowa, Witta i Khaikina Mandelstam podkreślił koncepcyjne znaczenie tego dzieła. Nie tylko zbadano metody uwzględniające nieliniowość w formie poprawki do obliczeń liniowych, ale także stworzono specyficzny język fizyki nieliniowej. „W złożonym obszarze oscylacji nieliniowych” – przewidywał Mandelstam – „ich specyficzność Pojęcia ogólne, przepisy i metody, z których będzie korzystał fizyk, staną się znajome i oczywiste, pozwolą mu zrozumieć złożony zespół zjawisk i staną się potężną bronią heurystyczną dla nowych badań.”... Fizyk zainteresowany współczesnymi problemami fizyki oscylacje powinny już teraz uczestniczyć w rozwoju tych sposobów.”

Nie oznacza to, że Mandelstam, Andronow, ich współpracownicy i studenci nie docenili metod przybliżonych. Wręcz przeciwnie, prawie wszystkie ich dzieła pochodziły z lat 30. XX wieku. związane ze stosowaniem metod przybliżonych. Preferowanie metod precyzyjnych było swego rodzaju ideą regulacyjną. Decydowała o prezentacji materiału w podręcznikach i artykułach poglądowych. Dodatkowo ta preferencja stymulowała prace nad uzasadnieniem przybliżonej metody wolno zmieniających się amplitud (L.I. Mandelstam i N.D. Papaleksi, 1935). I wreszcie (i to jest chyba najważniejsze), stawiając na pierwszy plan jakościową teorię równań różniczkowych, Andronow we współpracy z szeregiem swoich współpracowników i studentów opracował teorię ewolucji portretu fazowego układu ma to miejsce, gdy zmienia się parametr systemu. Rozwój ten rozpoczął się od wspomnianych powyżej badań „miękkiego” i „twardego” wzbudzenia oscylatora lampowego i doprowadził do wzbogacenia teorii oscylacji nieliniowych o pojęcia „zmiany stabilności” i punktów bifurkacji,

jakaś metoda asymptotyczna, jakaś zasada korespondencji” – powiedział Mandelstam. Jednak później nie tylko aprobował prace swoich uczniów, którzy stosowali metodę małych parametrów, ale sam wraz z N.D. Papaleksim zastosował tę metodę w artykule na temat zjawiska rezonansu drugiego rodzaju (1934–35). Andronow i Witt zastosowali metodę małych parametrów do obliczenia układu o dwóch stopniach swobody. Sami zauważyli, że układ ten jest wciąż zbyt skomplikowany, aby rozpatrywać go z punktu widzenia jakościowej teorii równań różniczkowych. Niemniej jednak, kierując się skalą wartości przyjętą w szkole Mandelstama, G.S. Gorelik, jeden z ostatnich absolwentów Mandelstama i współpracownik Andronowa, napisał, że „metoda małych parametrów zajmuje w jego (Andronowie) twórczości miejsce zupełnie drugorzędne. Najważniejsze w nich jest zastosowanie do badania oscylacji nieliniowych jakościowej teorii równań różniczkowych i powiązanych metod topologicznych.

I wreszcie czwarty element „matrycy dyscyplinarnej” to przykłady, na których ćwiczy się formułowanie i rozwiązywanie problemów, przykłady pokazujące, jak konkretyzować „symboliczne uogólnienia” i stosować do nich „przepisy”, jak „modele heurystyczne” pozwalają zbudować „model ontologiczny”. Jak zauważono powyżej, teoria oscylacji nieliniowych początkowo rozwinęła się jako teoria prostego urządzenia radiotechnicznego - oscylatora lampowego. Urządzenie to posłużyło jako „wspólny przykład”, na którym wyjaśniono w podręcznikach koncepcję samooscylacji i zastosowanie cykli granicznych Poincarégo do opisu samooscylacji. W swoich Wykładach o oscylacjach Mandelstam podaje inny przykład - wahadło Frouda; w książce Andronowa, Witta i Khaikina generator lampowy sąsiaduje z zegarem.

Paradygmat „w pracy”

Aby wyjaśnić rolę, jaką paradygmat odegrał w rozwoju teorii oscylacji nieliniowych, zastanówmy się, jak rozwiązano dwa problemy: problem oscylacji w multiwibratorze Abrahama i Blocha (układ, który nie zawiera zauważalnych indukcyjności) oraz problem drgań struny skrzypiec. Pierwszy problem (1930) doprowadził do powstania doktryny oscylacji relaksacyjnych, czyli oscylacji silnie niesinusoidalnych składających się z ruchów szybkich i wolnych. Drugi (1936) oznaczał przełom w dziedzinie systemów rozproszonych i środowisk ciągłych. W swoich pierwszych pracach zainicjował

Andronowo, stosując cykle graniczne Poincarégo, Mandelstam, jego współpracownicy i studenci zajmowali się wyłącznie układami skupionymi, których oscylacje są ruchami przestrzennymi – wahadłami wahadła, ruchami ładunku elektrycznego. Chociaż parametry określające zachowanie takich układów – masa wahadła, indukcyjność i pojemność w obwodzie oscylacyjnym – praktycznie nie mają charakteru punktowego, lecz są rozłożone w swoich własnych obszarach przestrzennych, można abstrahować od tej niepunktowości. Układy skupione opisano równaniami różniczkowymi zwyczajnymi, natomiast układy rozproszone opisano równaniami różniczkowymi cząstkowymi.

Sam Andronow tak opisał tę historię: „W roku 1929 stoję, jak zobaczymy później, w pewnym sensie zbyt prosto, z punktu widzenia, że ​​matematyczny obraz nietłumionych oscylacji, czyli samooscylacji, jest Cykl graniczny Poincarégo. Przyglądam się różnym systemom i wszędzie szukam cykli granicznych. Biorę jednak zwykły wyidealizowany obwód multiwibratora Abrahama-Blocha, zawierający tylko pojemności, ale wykazujący samooscylacje. Piszę równania różniczkowe dynamiki, szukając cyklu, ale bez rezultatów. Ponadto udało mi się wykazać, że rozważane równania różniczkowe nie mogą mieć cyklu granicznego. Zamiast cyklu znalazłem konkretną krzywą pokazującą, że prędkość fazowa staje się nieskończona. Obecność takiej krzywej nie pozwala na jednoznaczne ustalenie ruchu reprezentowanego punktu. Okazuje się paradoks: samooscylacje oznaczają cykle, nie ma cykli, ale system

wykonuje samooscylacje. Z tym paradoksem przyszedłem do Mandelstama, który od razu zrozumiał, o co chodzi. Po krótkiej dyskusji doszedł do wniosku: „Jeśli udowodniono, że nie ma cykli, to już jest coś. Ponieważ system oscyluje, albo twoja idealizacja jest nieprawidłowa, albo nie wiesz, jak z nią pracować. Dodał, że wyjeżdża do Leningradu i tam będzie próbował przemyśleć ten paradoks. Po powrocie z Leningradu powiedział, co następuje: „N.D. Papaleksi i ja uważamy, że możemy popracować nad twoją idealizacją i znaleźć okresowe rozwiązanie, które będzie interesujące z fizycznego punktu widzenia. Ale to rozwiązanie nie będzie należeć do rozwiązań ciągłych, których szukasz. Będzie to rozwiązanie nieciągłe, tj. odpowiedni ruch reprezentującego punktu spowoduje natychmiastowe skoki. Uważamy, że możliwe jest znalezienie rozwiązania okresowego, jeśli postawimy dodatkową hipotezę, że wraz z tymi zmianami energia zmagazynowana w kondensatorach zmienia się w sposób ciągły. Wkrótce wraz z Wittem próbowałem wdrożyć pomysły Mandelstama. Pokonawszy pewne trudności obliczeniowe, znaleźliśmy nieciągłe, okresowe rozwiązanie.”

Tak więc problem multiwibratora Abrahama-Blocha Andronow rozwiązał w dwóch etapach.

Andronow rygorystycznie wykazał, że ten układ równań „nie dopuszcza żadnych ciągłych rozwiązań okresowych”. Jednocześnie problemy paradygmatyczne powiedziały mu, że system jest samooscylujący, tj. wykonuje ciągły ruch okresowy.

II. Po omówieniu tej kwestii z Mandelstamem Andronow we współpracy z Wittem rozwiązał „zagadkę”. Utrzymując tę ​​samą idealizację, przyjął zaproponowaną mu przez Mandelstama i Papaleksiego „hipotezę przeskoku”. Hipoteza ta, polegająca na tym, że napięcia na kondensatorach są ciągłe, pozwala „dokończyć” trajektorię fazową równań multiwibratora do cyklu granicznego w czterowymiarowej przestrzeni fazowej. Reprezentowany punkt po osiągnięciu wartości krytycznej (szybkość zmian napięcia w sieci osiąga nieskończoność) wykonuje skok do punktu krzywej wyznaczonego przez wskazane warunki ciągłości, a następnie ponownie porusza się po trajektorii fazowej tych równania,

zmienia się w nieskończoność), wykonuje skok do punktu na krzywej wyznaczonego przez wskazane warunki ciągłości, a następnie ponownie porusza się po trajektorii fazowej tych równań.

Problem drgań struny skrzypcowej rozwiązał Witt, który już w 1934 roku opublikował artykuł na temat „rozproszonych układów samooscylujących”. W tej pracy jednak, jak sam Witt stwierdza, działał przy użyciu bardzo prymitywnych metod przybliżonych. Po pierwsze, uważa układy nieliniowe za słabo nieliniowe, co daje mu możliwość stosowania metody małoparametrowej oraz w jej najprostszej wersji, gdzie uwzględniany jest tylko pierwszy wyraz szeregu w potęgach parametru μ. Po drugie, Witt zakłada, że ​​twierdzenie o stabilności Lapunowa, które jest ważne dla systemów skoncentrowanych, obowiązuje również dla systemów rozproszonych.

Witt w swoim artykule na temat drgań struny skrzypcowej porusza się już w paradygmacie teorii drgań nieliniowych. Matematycznie problem ten formułuje się w postaci układu równań różniczkowych cząstkowych: równania falowego oraz równań wyrażających warunki brzegowe – jedno z nich jest nieliniowe. Aby sprowadzić problem do postaci odpowiadającej „symbolicznemu uogólnieniu” (1)–(2), Witt stosuje metodę odwzorowań punktowych (patrz wyżej). Innymi słowy, z równań różniczkowych cząstkowych uzyskał „równanie funkcjonalne”, do którego zgodnie z metodą odwzorowań punktowych sprowadzają się problemy równań różniczkowych zwyczajnych. „Aby uzyskać uniwersalne zależności, użyjemy wielkości bezwymiarowych” – pisze Witt. – Będziemy mierzyć położenie punktu na strunie wartością y=x/l, gdzie X– odległość rozpatrywanego punktu struny od nieruchomego końca, / – długość połowy struny, czas będziemy mierzyć stosunkiem τ=tc/l=4t/T , Gdzie Z - prędkość propagacji drgań w strunie, T - czas, T – okres tonu podstawowego drgań swobodnych. Oznaczmy przez ty stosunek v/l, gdzie v jest przemieszczeniem struny. Według d'Alemberta:

u=φ 1 (τ-у)+φ 2 (τ+у) (a)

dla y=0: u=0 i dlatego ъ=0 (dla τ>0) (b)

ϕ(τ+ Τ )=ψ(ϕ(τ))

o wartościach początkowych ϕ(t)=ϕ 0 (τ), 0<τ<Τ.

Przestudiował to równanie, które definiuje mapowania punktów za pomocą iteracji. Jednocześnie wprowadził pojęcie ciągu stacjonarnego; przykładami takich ciągów są ciągi, których wszystkie człony są identyczne, oraz ciągi okresowe. Wprowadził także koncepcję ciągu stabilnego Koenigsa. Analogia do cykli granicznych pojawia się, gdy ciągi te nanosi się na diagramy Lemereya (wykresy funkcji ψ(ϕ(τ)) we współrzędnych kartezjańskich ϕ(τ)=х i ϕ(τ+Т)=ψ).

Witt rozważał przykład bardzo prostego rozproszonego układu nieliniowego: jego nieliniowość skupiała się w punkcie styku łuku ze struną. Systematyczne badania nad oscylacjami nieliniowymi układów rozproszonych rozpoczęły się później, w latach 50. XX wieku. I nie odbywało się to już w ramach „paradygmatu samooscylacji”, ale „ideologii samooscylacji”.

Ideologia teorii oscylacji nieliniowych

Ideologia teorii oscylacji nieliniowych to przede wszystkim koncepcja samooscylacji, wprowadzona, jak zauważono powyżej, przez Andronowa w artykułach z lat 1928–1929. W rzeczywistości van der Pol również zajmował się samooscylacjami, opisując nietłumione oscylacje w oscylatorze lampowym, ale nie wprowadził dla nich specjalnego określenia. Andronow nie tylko wprowadził specjalny termin, ale nadał temu zjawisku teoretyczną głębię, łącząc samooscylacje z cyklami granicznymi na płaszczyźnie fazowej. A przed Andronowem inżynierowie radiowi i fizycy radiowi wiedzieli, że generator lampowy charakteryzuje się nietłumionymi oscylacjami, charakteryzującymi się określoną amplitudą, niezależną od warunków wzbudzenia tych oscylacji. Andronow jednak uczynił tę koncepcję teoretyczną. On pokazał,

że stabilność samooscylacji można rozumieć w sensie matematycznym i wyjaśnia się ją jako stabilność Lapunowa i szorstkość układu oscylacyjnego.

Koncepcja samooscylacji zaczęła zyskiwać na popularności po Pierwszej Ogólnounijnej Konferencji na temat Oscylacji (1931), która odbyła się w szkole L.I. Mandelstama. Tematem tej konferencji były samooscylacje. W jednym z artykułów z 1936 roku czytamy, że „obecnie istnieje matematycznie rygorystyczna i fizycznie adekwatna teoria szerokiej klasy zjawisk samooscylacyjnych, która udowodniła swoją skuteczność w dużej liczbie badań”. „Zjawisko samooscylacji... występuje w przyrodzie na każdym kroku” – pisze w swoim podręczniku G.S. Gorelik, którego podejście do metody małych parametrów omawialiśmy powyżej. „Radzieccy naukowcy” – czytamy w jednej z recenzji – „w zasadzie stworzyli nową dziedzinę nauki o oscylacjach - dziedzinę samooscylacji, która jest obecnie uzupełniana nowymi badaniami i wynikami”.

W latach powojennych ukazały się książki poświęcone samooscylacjom. W 1944 r. ukazała się książka K.F. Teodorczyka, który objął to stanowisko w 1939 r. i o. Kierownik Katedry Oscylacji założonej przez L.I. Mandelstama. Książka nosiła tytuł „Systemy samooscylacyjne” i doczekała się trzech wydań. Książka „Samooscylacje” A.A. Charkiewicza, wybitnego specjalisty w dziedzinie zagadnień automatycznego sterowania, również doczekała się trzech wydań. We wstępie do tej książki, napisanym „bez ani jednej formuły matematycznej w tekście głównym”, stwierdzono „szerokie znaczenie samooscylacji nie tylko dla technologii, ale także w ogóle dla nauk przyrodniczych”.

Ideologia powstaje wraz z paradygmatem, można też powiedzieć, że paradygmat niesie ze sobą pewną ideologię. Jednak ideologia wykracza poza paradygmat. Powyżej scharakteryzowaliśmy cztery składniki paradygmatów według Kuhna: „symboliczne uogólnienia” (zwykle są to równania różniczkowe), „przepisy” (zwykle są to metody rozwiązywania równań różniczkowych), wartości ustalające hierarchię między zaleceniami oraz wspólne przykłady, dość proste problemy, pozwalające wyjaśnić, w jaki sposób „przepisy” zapewniają stosowanie „symbolicznych uogólnień”. Zarówno „symboliczne uogólnienia”, jak i „przepisy” są uwarunkowane pewnymi regułami (na przykład regułami matematyki). Ideologia to słowa i wyrażenia, których znaczenie wyjaśniono na przykładach (analogiach i ilustracjach). Używając tych słów i wyrażeń, kierujemy się intuicją. Oczywiście każde środowisko naukowe ma swoją intuicję. Ale intuicja

może wykraczać poza zasady, a nawet powodować problemy wymagające przeglądu zasad. Znaczenia słów i wyrażeń mogą się rozwijać, tworząc to, co L. Wittgenstein nazwał „podobieństwami rodzinnymi”. Na przykład znaczenie słowa „gra”, które Wittgenstein bierze za wzór, pozwala na takie przykłady, jak szachy, pasjans, taniec okrągły. Znaczenie słowa „samooscylacja” można rozwinąć na szeregu ilustracji, począwszy od generatora lampowego, wahadła Frouda i zegara mechanicznego, po strunę skrzypiec wzbudzaną smyczkiem, gwiazdy o zmiennej jasności (cefeidy), serce i „zegar biologiczny”. Jeśli przejdziemy do takiego predykatu, jak „być uwarunkowanym właściwościami samego układu, a nie warunkami początkowymi”, wówczas szereg ten zostanie uzupełniony takimi obiektami, jak fale automatyczne i struktury rozpraszające.

Jedną z ważnych oznak ideologicznego zastosowania pojęcia jest erozja jego treści. Koncepcja wydaje się wykraczać poza swój zakres. W istocie oznacza to, że formułowane są analogie tego pojęcia, że ​​pod tym samym terminem powstają nowe koncepcje i koncepcje, które nie są jasno zdefiniowane.

Pierwszym takim progiem, jaki przekroczyło pojęcie samooscylacji, był próg pomiędzy samooscylacjami a oscylacjami wymuszonymi. „W związku z odkryciem nowych zasad generowania samooscylacji i rozwojem już znanych, koncepcja samooscylacji po drugiej wojnie światowej uległa znacznemu rozszerzeniu. W szczególności do samooscylacji zaczęto zaliczać nie tylko te nietłumione oscylacje, których energia jest pobierana ze stałego źródła, ale także te oscylacje, które są wspierane energią innego wystarczająco silnego procesu oscylacyjnego, wzbudzonego z zewnątrz... ( takie oscylacje można całkowicie wygasić, zmieniając jaki parametr systemu, powiedzmy, tłumienie lub rozstrojenie)”.

Kontynuacją tego procesu erozji jest replikacja koncepcji w postaci analogów językowych. W odniesieniu do samooscylacji było to pojawienie się koncepcji autofali i autostruktury. Pierwszą z nich wprowadził R.V. Chochłow w recenzji rozprawy doktorskiej A.M. Żabotyńskiego na temat oscylacyjnych reakcji chemicznych (1972). Chochlow miał na myśli, że Żabotyński opisał nie tylko same chemiczne samooscylacje, ale także podobne procesy falowe, podobne w sensie ich suwerenności – niezależności od warunków początkowych i w pewnym stopniu brzegowych oraz definiowalności przez parametry układu.

Koncepcja autostruktur pojawia się we wspólnym artykule dwóch autorów utożsamiających się ze szkołą Mandelstama – A.V. Gaponowa-Grechowa (byłego studenta Andronowa) i M.I. Rabinowicza. Przez autostrukturę rozumie się stabilny porządek przestrzenny lub czasowy powstający w systemie rozproszonym o wyraźnie wyrażonej nieliniowości i położonym daleko od stanu równowagi. Właściwością autostruktur jest znowu ich względna niezależność od warunków początkowych i brzegowych.

Łatwo zauważyć, że formułując pojęcia takie jak autofale i autostruktury, stosuje się nie jakąkolwiek definicję autooscylacji, ale formy językowe właściwe tym definicjom. Te formy językowe przekazują nie tylko intuicję cyklu granicznego, którą niosą definicje samooscylacji, ale raczej intuicję atraktora w ogóle.

Artykuł Gaponowa-Grechowa i Rabinowicza, w którym wprowadzono „autostruktury”, został wspomniany powyżej. W wywiadzie udzielonym autorowi tych słów (22.05.1992) w odpowiedzi na pytanie: „Czy można powiedzieć, że istotna jest dla Pana pewna „samooscylująca ideologia”?” – M.I. Rabinowicz powiedział: „Tak, zdecydowanie. Właściwie to nawet nie chodzi o słowo. Tylko samooscylacje, jak fale automatyczne wynalezione przez R.V. Khokhlova. Nie wymyślił samych fal, ale słowo, bardzo udane sformułowanie... Ale, wiesz, bardzo udane słowo. Prawie przez całe życie pracowałem z nieliniowymi, rozpraszającymi, nierównowagowymi systemami. Mogą to być środy. Z reguły pracuję nad problemami z falami lub turbulencjami, ale zawsze jest tam rozproszenie. Mam układy Hamiltona, układy bez tarcia, bez rozpraszania, zawsze przypadek ograniczający. Mnie zawsze bardziej interesowały układy z atraktorami, w których w t→∞ zawsze coś się ustala: chaos, taki chaos, okresowe oscylacje, czyli okresowe oscylacje, struktury stochastyczne - na litość boską. W tym sensie dla mnie struktury i chaos dynamiczny to po prostu różne typy atraktorów, które powstają, gdy t dąży do nieskończoności podczas ewolucji zachowania systemu. Zawsze interesowały mnie systemy, w których coś jest ustalone, w których istnieje coś obiektywnego, niezależnego od warunków początkowych.

Tak więc M.I. Rabinowicz jest zafascynowany nie tyle samą koncepcją samooscylacji, ile zawartą w niej ideą suwerenności, która niesie ze sobą intuicję atraktora.

Wniosek

Dokonując filozoficznej kwalifikacji teorii naukowej, nacisk kładzie się zwykle albo na jej możliwości opisowe, albo na narzędzia wyjaśniające. W artykule uwzględniono obie te hipostazy wiedzy teoretycznej. Paradygmat jest przewodnikiem po rozwiązywaniu problemów oraz konstruowaniu naukowych wyjaśnień i przewidywań. Ideologia jest językiem, aparatem opisu naukowego, który z reguły wykracza poza granice zasobów wyjaśniających.

Notatki

Kun T. Struktura rewolucji naukowych z angielskiego I. Z. Naletova. wyd. S.R. Mikulinsky i L.A. Markova. M. 1975. s. 70.

Minorski N. Wprowadzenie do mechaniki nieliniowej. Michigan: JW Edwards, 1947.

Andronov A.A., Chaikin S.E. Teoria oscylacji. Princeton: Uniwersytet Princeton. Prasa., 1949.

Van der Pol B. O oscylacjach relaksacyjnych // Philos. Mag. Ser. 7. tom 2, 1926. s. 978–992.

Andronow A.A. Cykle graniczne Poincarégo i teoria oscylacji // IV Kongres Fizyków Rosyjskich. M., N.-Nowogród, Kazań, Saratów (5–16 sierpnia 1928). Lista raportów zaprezentowanych na kongresie wraz z krótkim streszczeniem ich zawartości. M.-L., 1928. s. 23–24; On jest taki sam. Lescycles limites de Poincaré et la théorie des oscillations autoentrenues // C.r. Acad science. Paryż. T. 189, 1929. s. 559–561. Przedruk: Andronow A.A. Kolekcja tr. M., 1956. S. 32–33, 41–43.

Andronov A.A., Vitt A.A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Archiv fuer Elektrotechnik. Bd. 24, 1930. S. 99–110. Przedruk: Gorelik G.S. Oscylacje i fale. M.; L.: GTTI, 1950. s. 105.

Kryłow N.N. Drogi rozwoju teorii oscylacji nieliniowych w ZSRR na przestrzeni 50 lat // Radiotechnika. 1969. T. 24, nr 5. s. 10.

Charkiewicz A.A. Samooscylacje. M., 1950. S. 5.

Kaplan A. Samooscylacje (niepublikowane). 1979. s. 5.

Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I.. L.I. Mandelstam i współczesna teoria nieliniowych oscylacji i fal // Postępy w naukach fizycznych. T. 128, 1979. s. 579–624.

Profesor, doktor fizyki N.

1. Wstęp

Zmienne stanu. Operator ewolucji. Układy dynamiczne (DS). DS z parametrami skupionymi i rozproszonymi (DSSP i DSRP). Model matematyczny DSSP. Liczba stopni swobody. Uogólnione współrzędne i prędkości. Przestrzenie fazowe. Krzywe całkowe i trajektorie fazowe. Klasyfikacja układów dynamicznych. Metody teorii oscylacji nieliniowych (klasyfikacja).

2. Oscylacje w układach liniowych

Liniowe autonomiczne układy dynamiczne o jednym stopniu swobody (oscylator liniowy). Portrety fazowe takich układów. Modele Lomki i Volterry. Płaszczyzna parametrów systemu. Krzywe bifurkacyjne. Systemy nieautonomiczne. Rezonans. Normalne współrzędne. Oscylacje w układach liniowych o dwóch stopniach swobody (oscylatory sprzężone). Współczynniki rozkładu, łączność i komunikacja, wykresy Wiena, rezonans wewnętrzny. Oscylacje wymuszone w takich układach. Uogólnienie na n stopni swobody. Oscylacje we współrzędnych normalnych. Oscylacje parametryczne. Modele Hilla i Mathieu. Twierdzenie Floqueta.

3. Teoria stabilności DS.

Pojęcie stabilności według Lapunowa. Stabilność stanu równowagi. Stabilność ruchu okresowego. Metoda bezpośrednia Lapunowa. Pierwsza metoda aproksymacyjna. Stabilność układów liniowych. Kryteria stabilności Routha, Hurwitza, Michajłowa, Nyquista. Stabilność układów nieautonomicznych.

4. Metody analityczne

Cechy metod analitycznych. Metoda małych parametrów Poincarego. Nierezonansowe oscylacje wymuszone. Problem z dufowaniem. Oscylacje podczas rezonansu na harmonicznej podstawowej i podharmonicznej. Model Duffinga i rezonans nieliniowy. Nieliniowe oscylacje fazowe w cyklicznych urządzeniach do przechowywania elektronów. Naturalne drgania okresowe układów nieliniowych. Metody wariacyjne. Metoda Galerkina. Metoda zmienności parametrów. Metody asymptotyczne. Metoda U dla systemów autonomicznych. Model Van der Pol. Generator triodowy. Obracająca się płaszczyzna fazowa. Metoda asymptotyczna dla układów nieautonomicznych. Linearyzacja równoważna układów nieliniowych. Metoda uśredniania. Ruch Van der Pol. Rezonans nieliniowy. Nakładające się rezonanse nieliniowe. Samooscylacje w układach wieloczęstotliwościowych. Wymuszona synchronizacja. Konkurs. Wzajemna synchronizacja trybów.

5. Metody jakościowe

5.1. Portrety fazowe systemów konserwatywnych. Konstruowanie trajektorii fazowych w oparciu o bilans energetyczny. Trajektorie fazowe w pobliżu stanu równowagi. Rodzaje ruchów w układach konserwatywnych. Stabilność orbity. Nonizochronizm i anharmoniczność oscylacji nieliniowych. Ruchy pojedynczych cząstek w pułapce magnetycznej (elektron w polu podłużnym). Model Volterry. Zespół oscylatorów nieliniowych. Portret fazowy nakładania się rezonansu nieliniowego.

5.2. Okresowe samooscylacje. Ogranicz cykle na płaszczyźnie fazowej. Zależność postaci samooscylacji od parametrów układu. Samooscylacje relaksacyjne. Ruchy „szybkie” i „wolne”. Badania jakościowe drgań nieciągłych. Model generatora relaksacji.

5.3. Portrety fazowe równowagowych układów rozpraszających. Chropowatość układu dynamicznego. Prawa współistnienia punktów osobliwych. Podstawowe rozwidlenia na płaszczyźnie. Wskaźniki Poincarégo. Uogólniony obwód elektroniczny z elementem nieliniowym. Obwody kriotronowe. Wyzwalanie komórek pamięci. Oscylacje w solenoidach nadprzewodzących.

6. Metoda transformacji punktowej.

Metoda transformacji punktowych w badaniu układów samooscylujących. Generator kriotronu. Oscylator harmoniczny z tłumieniem nieliniowym.

7. Zastosowanie metod jakościowych do badania układów nieautonomicznych.

Synchroniczna wieloarkuszowa płaszczyzna fazowa. Drgania subharmoniczne w folii ferromagnetycznej. Niestabilność parametryczna. Oscylacje Betatronu w akceleratorach przy ścisłym ogniskowaniu. Zasada autofazowania i oscylacji synchrotronowych w akceleratorach i urządzeniach magazynujących elektrony.

8. Dynamika stochastyczna układów prostych.

Mapowania punktów. Rozwidlenie ruchów okresowych. Struktury homokliniczne. Losowość w układzie dynamicznym. Stochastyczna dynamika odwzorowań jednowymiarowych. Generator szumu, jego opis statystyczny. Drogi powstawania dziwnych atraktorów.

Literatura

1. Mandelstam o wibracjach. M.: Nauka, 1972.

2. , Wibracje Heikina. M.: Nauka, 1964.

3. Strelkov w teorii oscylacji. M.: Nauka, 1964.

4. , Metody Mitropolskiego w teorii oscylacji nieliniowych. M.: Nauka, 1974.

5. Teoria Fomela oscylacji nieliniowych. Nowosybirsk: Wydawnictwo NSU, 1970.

6. Akceleratory Goldina. M.: Nauka, 1983.

7. , Trubieckow w teorii oscylacji i fal. M.: Nauka, 1984.

Nieliniowy skutki mogą objawiać się na wiele różnych sposobów. Klasycznym przykładem jest sprężyna nieliniowa, w której siła przywracająca zmienia się nieliniowo wraz z rozciąganiem. W przypadku symetrycznej nieliniowości (taka sama reakcja na ściskanie i rozciąganie) równanie ruchu przyjmuje postać

Jeżeli nie ma tłumienia i , istnieją rozwiązania okresowe, w których przy częstotliwości własnej wzrasta wraz z amplitudą. Model ten nazywany jest często równaniem Duffing pod nazwiskiem matematyka, który go badał (rysunek 1.54).

Jeśli na układ działa siła okresowa, to w teorii klasycznej uważa się, że reakcja będzie również okresowa. Na rysunku pokazano rezonans nieliniowej sprężyny przy częstotliwości odpowiedzi odpowiadającej częstotliwości siły.

Rysunek 1.54 - Klasyczna krzywa rezonansu nieliniowy oscylator ze sztywną sprężyną w przypadku, gdy oscylacje są okresowe i mają taki sam okres jak siła napędowa (a i b są określone w równaniu)

Przy stałej amplitudzie siły napędowej istnieje zakres częstotliwości sterujących, w ramach którego możliwe są trzy różne amplitudy odpowiedzi. Można wykazać, że linia przerywana jest niestabilna, a wraz ze wzrostem i spadkiem częstotliwości histereza. Zjawisko to nazywa się przenosić, i obserwuje się to w eksperymentach z wieloma układami mechanicznymi i elektrycznymi.

Istnieją inne rozwiązania okresowe, takie jak podharmoniczna I nadharmoniczna wahania.

Jeżeli siła napędowa ma postać , wówczas oscylacje subharmoniczne mogą mieć postać plus wyższe harmoniczne ( –integer).

Teoria rezonansu nieliniowego opiera się na założeniu, że bodziec okresowy wywołuje reakcję okresową. Jednak to właśnie ten postulat jest kwestionowany przez nową teorię oscylacji chaotycznych.

Oscylacje samowzbudne - kolejna ważna klasa zjawisk nieliniowych. Są to ruchy oscylacyjne występujące w układach bez okresowych wpływów zewnętrznych i sił okresowych (rysunek 1.55).

Rysunek 1.55 - Przykłady oscylacji samowzbudnych: A - tarcie suche pomiędzy masą a poruszającym się pasem;

B - siły aeroelastyczne działające na cienkie skrzydło

W pierwszym przykładzie drgania powstają w wyniku tarcia powstałego w wyniku względnego ruchu masy i poruszającego się pasa.

Drugi przykład ilustruje całą klasę drgań aerosprężystych, w których drgania stacjonarne powstają w wyniku stacjonarnego przepływu płynu za ciałem stałym na zawieszeniu sprężystym.

W tych przykładach system zawiera stacjonarne źródło energii i źródło rozpraszania, czyli nieliniowy mechanizm tłumiący. Model matematyczny tego obwodu uwzględnia źródło energii w postaci ujemnego oporu (równanie Van der Pol):

Energia może przedostać się do układu z małymi amplitudami, ale wraz ze wzrostem amplitudy jej wzrost jest ograniczony przez nieliniowe tłumienie.

Analizując równanie Van der Pol, wygodnie jest przejść do zmiennych bezwymiarowych, normalizując zmienną przestrzenną do i czas do , tak aby równanie przybrało postać

,

Rozwiązując równanie, przedstawia się je jako układ równań pierwszego rzędu

Często nazywane są ruchami oscylacyjnymi takich układów cykle graniczne. Rysunek 1.56 przedstawia trajektorie oscylatora van der Pol w płaszczyźnie fazowej. Małe oscylacje rozwijają się po spirali, zbliżając się do zamkniętej asymptotycznej trajektorii, a ruchy o dużej amplitudzie zawężają się po spirali do tego samego cyklu granicznego (gdzie ) .

Rysunek 1.56 – Rozwiązanie cyklu granicznego dla oscylatora Van der Pol, przedstawione na płaszczyźnie fazowej

Badając takie problemy, często pojawiają się dwa pytania. Jaka jest amplituda i częstotliwość oscylacji w cyklu granicznym? Dla jakich wartości parametrów istnieją stabilne cykle graniczne?

Dla małego cyklem granicznym jest okrąg o promieniu 2 na płaszczyźnie fazowej, tj. gdzie + ... oznacza harmoniczne trzeciego i wyższego rzędu.

Kiedy jest duży, ruch przybiera formę wibracje relaksacyjne, pokazany na rysunku 1.57 z bezwymiarowym okresem około 1,61 w .

Rysunek 1.57 Drgania relaksacyjne oscylatora Van der Pol

Problem siły okresowej w układzie van der Pol jest bardziej złożony:

Ponieważ układ jest nieliniowy, zasada superpozycji drgań swobodnych i wymuszonych nie ma zastosowania. Zamiast tego wynikający z tego ruch okresowy złapany przy częstotliwości sterującej, gdy jest ona bliska częstotliwości granicznej cyklu.

Przy słabym wpływie zewnętrznym istnieją trzy rozwiązania okresowe, ale tylko jedno z nich jest stabilne (patrz rysunek). W przypadku dużych amplitud sił istnieje tylko jedno rozwiązanie. W każdym przypadku, w miarę wzrostu rozstrojenia, wychwycone rozwiązanie okresowe staje się niestabilne i możliwe stają się inne rodzaje ruchu.

Przy dużych różnicach pomiędzy częstotliwościami napędowymi i naturalnymi w systemie Van der Pol pojawia się nowe zjawisko - wibracje kombinowane, czasami nazywane rozwiązaniami prawie okresowymi lub quasi-okresowymi, w postaci

Gdy częstotliwości i są niewspółmierne, tj. jest liczbą niewymierną, nazywa się rozwiązanie quasiokresowy. Dla równania van der Pol , gdzie jest częstotliwością cyklu granicznego swobodnych oscylacji (rysunek 1.58).

Rysunek 1.58 – Krzywe amplitudy dla wymuszonego

ruchy oscylatora van der Pol

Poniżej porozmawiamy więcej o oscylacjach quasi-okresowych, ale ponieważ nie są one okresowe, można je pomylić z rozwiązaniami chaotycznymi, którymi nie są. (Dla nich widmo Fouriera rozwiązania składa się z dwóch pików w , )

Kiedy , i są niewspółmierne, portret fazowy rozwiązania jest trajektorią otwartą i do graficznego przedstawienia funkcji quasi-okresowych stosuje się inną metodę.

Pobieranie próbek stroboskopowych odbywa się w określonych odstępach czasu; wstawmy i oznaczmy , .

Następnie stosunek zmniejsza się do

Dziecko