Pogląd: ten artykuł został przeczytany 49298 razy

Pdf Wybierz język ... Rosyjski Ukraiński Angielski

Krótka recenzja

Cały materiał jest pobierany powyżej, po wcześniejszym wybraniu języka

Dwa przypadki transformacji ruchu mechanicznego punktu materialnego lub układu punktów:

1. ruch mechaniczny jest przenoszony z jednego układu mechanicznego na drugi jako ruch mechaniczny;
2. ruch mechaniczny zamienia się w inną formę ruchu materii (w formę energii potencjalnej, ciepła, elektryczności itp.).

Gdy rozważamy transformację ruchu mechanicznego bez przejścia do innej formy ruchu, miarą ruchu mechanicznego jest wektor pędu punktu materialnego lub układu mechanicznego. Miarą działania siły w tym przypadku jest wektor impulsu siły.

Kiedy ruch mechaniczny zamienia się w inną formę ruchu materii, energia kinetyczna punktu materialnego lub układu mechanicznego działa jako miara ruchu mechanicznego. Miarą działania siły, gdy ruch mechaniczny jest przekształcany w inną formę ruchu, jest działanie siły

Energia kinetyczna

Energia kinetyczna to zdolność organizmu do pokonywania przeszkód podczas ruchu.

Energia kinetyczna punktu materialnego

Energia kinetyczna punktu materialnego jest wielkością skalarną równą połowie iloczynu masy punktu przez kwadrat jego prędkości.

Energia kinetyczna:

• charakteryzuje ruchy translacyjne i obrotowe;
• nie zależy od kierunku ruchu punktów układu i nie charakteryzuje zmiany w tych kierunkach;
• charakteryzuje działanie zarówno sił wewnętrznych, jak i zewnętrznych.

Energia kinetyczna układu mechanicznego

Energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznych ciał układu. Energia kinetyczna zależy od rodzaju ruchu ciał układu.

Wyznaczanie energii kinetycznej bryły sztywnej dla różnych rodzajów ruchu.

Energia kinetyczna ruchu postępowego
W ruchu translacyjnym energia kinetyczna ciała wynosi T=m V 2/2.

Masa jest miarą bezwładności ciała podczas ruchu postępowego.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego ciała

Podczas ruchu obrotowego ciała energia kinetyczna jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności ciała względem osi obrotu i kwadratu jego prędkości kątowej.

Miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym jest moment bezwładności.

Energia kinetyczna ciała nie zależy od kierunku obrotu ciała.

Energia kinetyczna ruchu ciała płasko-równoległego

W przypadku ruchu płasko-równoległego ciała energia kinetyczna jest równa

Praca siły

Praca siły charakteryzuje działanie siły na ciało przy pewnym przemieszczeniu i określa zmianę modułu prędkości poruszającego się punktu.

Podstawowa praca siły

Pracę elementarną siły definiuje się jako wielkość skalarną równą iloczynowi rzutu siły przez styczną do trajektorii, skierowanego w kierunku ruchu punktu, i nieskończenie małego przemieszczenia punktu, skierowanego wzdłuż tego tangens.

Praca wymusza na ostatecznym przemieszczeniu

Praca siły na przemieszczenie końcowe jest równa sumie jej pracy na odcinkach elementarnych.

Praca siły na przemieszczenie końcowe M 1 M 0 jest równa całce wzdłuż tego przemieszczenia od pracy elementarnej.

Pracę siły na przemieszczenie M 1 M 2 obrazuje obszar figury ograniczony osią odciętych, krzywą i rzędne odpowiadające punktom M 1 i M 0.

Jednostka miary siły roboczej i energii kinetycznej w SI 1 (J).

Twierdzenia o pracy siły

Twierdzenie 1... Praca siły wypadkowej przy pewnym przemieszczeniu jest równa algebraicznej sumie pracy sił składowych przy tym samym przemieszczeniu.

Twierdzenie 2. Praca stałej siły na otrzymane przemieszczenie jest równa algebraicznej sumie pracy tej siły na przemieszczenia składowych.

Moc

Moc to wielkość, która określa pracę siły w jednostce czasu.

Jednostką pomiaru mocy jest 1W = 1 J/s.

Przypadki wyznaczania pracy sił

Praca sił wewnętrznych

Suma pracy sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolne jego przemieszczenie jest równa zeru.

Praca grawitacji

Praca siły sprężystej

Praca z siłą tarcia

Praca sił przyłożonych do obracającego się ciała

Praca elementarna sił przyłożonych do bryły sztywnej obracającej się wokół stałej osi jest równa iloczynowi głównego momentu sił zewnętrznych względem osi obrotu przez przyrost kąta obrotu.

Opory toczenia

W strefie styku nieruchomego walca i płaszczyzny następuje lokalna deformacja ściskania stykowego, naprężenie rozkłada się zgodnie z prawem eliptycznym, a linia działania wypadkowych N tych naprężeń pokrywa się z linią działania obciążenia siła działająca na cylinder Q. Kiedy cylinder toczy się, rozkład obciążenia staje się asymetryczny z maksimum przesuniętym w kierunku ruchu. Wypadkowa N jest przesunięta o wartość k - ramię siły tarcia tocznego, które nazywane jest również współczynnikiem tarcia tocznego i ma wymiar długości (cm)

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej punktu materialnego

Zmiana energii kinetycznej punktu materialnego przy pewnym jego przemieszczeniu jest równa sumie algebraicznej robota wszystkich sił działających na punkt przy tym samym przemieszczeniu.

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu mechanicznego

Zmiana energii kinetycznej układu mechanicznego przy określonym przemieszczeniu jest równa algebraicznej sumie sił wewnętrznych i zewnętrznych robota działających na punkty materialne układu przy tym samym przemieszczeniu.

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej ciała sztywnego

Zmiana energii kinetycznej ciała sztywnego (układu niezmienionego) przy pewnym przemieszczeniu jest równa sumie sił zewnętrznych robota działających na punkty układu o tym samym przemieszczeniu.

Efektywność

Siły działające w mechanizmach

Siły i pary sił (momentów) działające na mechanizm lub maszynę można podzielić na grupy:

1. Siły napędowe i momenty wykonujące pracę dodatnią (dotyczy ogniw napędowych, np. ciśnienie gazu na tłok w silniku spalinowym).

2. Siły i momenty oporu, które wykonują pracę negatywną:

• opór użytkowy (wykonują pracę wymaganą od maszyny i są przykładane do napędzanych ogniw, np. opór ładunku podnoszonego przez maszynę),
• siły oporu (na przykład siły tarcia, opór powietrza itp.).

3. Siły grawitacji i siły sprężystości sprężyn (praca zarówno dodatnia, jak i ujemna, przy czym praca dla pełnego cyklu jest równa zeru).

4. Siły i momenty przyłożone do korpusu lub zębatki z zewnątrz (reakcja fundamentu itp.), które nie wykonują pracy.

5. Siły oddziaływania ogniw działające w parach kinematycznych.

6. Siły bezwładności ogniw wywołane masą i ruchem ogniw z przyspieszeniem mogą wykonywać pracę dodatnią, ujemną i nie działać.

Praca sił w mechanizmach

W ustalonym stanie pracy maszyny jej energia kinetyczna nie zmienia się, a suma pracy przyłożonych do niej sił napędowych i oporów jest równa zeru.

Praca włożona w wprawienie maszyny w ruch jest wydatkowana na pokonanie oporów użytecznych i szkodliwych.

Sprawność mechanizmów

Sprawność mechaniczna w ruchu ustalonym jest równa stosunkowi pracy użytecznej maszyny do pracy poświęconej na wprawienie maszyny w ruch:

Elementy maszyn można łączyć szeregowo, równolegle i mieszać.

Wydajność w połączeniu szeregowym

Przy szeregowym połączeniu mechanizmów, ogólna sprawność jest mniejsza przy najniższej sprawności pojedynczego mechanizmu.

Wydajność przy połączeniu równoległym

Przy równoległym połączeniu mechanizmów sprawność ogólna jest większa niż najniższa i mniejsza niż najwyższa sprawność pojedynczego mechanizmu.

Format: pdf

Język: rosyjski, ukraiński

Przykład obliczenia przekładni czołowej
Przykład obliczenia przekładni czołowej. Dokonano wyboru materiału, obliczenia dopuszczalnych naprężeń, obliczenia wytrzymałości styku i zginania.

Przykład rozwiązania problemu zginania belki
W przykładzie konstruowane są wykresy sił ścinających i momentów zginających, znajduje się niebezpieczny przekrój i wybierany jest dwuteownik. W problemie analizuje się budowę wykresów z wykorzystaniem zależności różniczkowych, przeprowadzana jest analiza porównawcza różnych przekrojów belki.

Przykład rozwiązania problemu skręcania wału
Zadaniem jest sprawdzenie wytrzymałości wału stalowego dla danej średnicy, materiału i dopuszczalnych naprężeń. Podczas rozwiązywania wykreślane są wykresy momentów obrotowych, naprężeń ścinających i kątów skręcania. Nie uwzględnia się ciężaru własnego wału.

Przykład rozwiązania problemu rozciągania-ściskania pręta
Zadaniem jest sprawdzenie wytrzymałości pręta stalowego przy zadanym dopuszczalnym naprężeniu. W trakcie rozwiązywania wykreślane są wykresy sił podłużnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń. Ciężar własny sztangi nie jest brany pod uwagę.

Zastosowanie twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej
Przykład rozwiązania problemu z zastosowaniem twierdzenia o zachowaniu energii kinetycznej układu mechanicznego

Rozważmy absolutnie sztywne ciało obracające się wokół stałej osi. Rozbijmy mentalnie to ciało na nieskończenie małe kawałki o nieskończenie małych rozmiarach i masach m v t., t 3,... na odległość R v R 0, R 3, ... od osi. Energia kinetyczna wirującego ciała znajdujemy jako sumę energii kinetycznych jej małych części:

- moment bezwładności ciało sztywne względem danej osi 00 ,. Z porównania wzorów na energię kinetyczną ruchów translacyjnych i obrotowych widać, że moment bezwładności w ruchu obrotowym jest analogiczny do masy w ruchu postępowym. Wzór (4.14) jest wygodny do obliczania momentu bezwładności układów składających się z poszczególnych punktów materialnych. Aby obliczyć moment bezwładności ciał stałych, korzystając z definicji całki, można ją przekształcić do postaci

Łatwo zauważyć, że moment bezwładności zależy od wyboru osi i zmienia się wraz z jej równoległym przesunięciem i obrotem. Znajdźmy wartości momentów bezwładności niektórych ciał jednorodnych.

Ze wzoru (4.14) wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest równe

gdzie T - masa punktowa; R - odległość do osi obrotu.

Łatwo obliczyć moment bezwładności i dla pusty cylinder cienkościenny(lub specjalny przypadek butli o małej wysokości - cienki pierścień) promień r wokół osi symetrii. Odległość do osi obrotu wszystkich punktów takiego ciała jest taka sama, równa promieniowi i może być wyjęta spod znaku sumy (4.14):

Ryż. 4,5

Solidny cylinder(lub specjalny przypadek butli o małej wysokości - dysk) promień r obliczenie momentu bezwładności względem osi symetrii wymaga obliczenia całki (4.15). Z góry można zrozumieć, że masa w tym przypadku jest średnio skoncentrowana nieco bliżej osi niż w przypadku pustego cylindra, a wzór będzie podobny do (4,17), ale współczynnik mniejszy niż jeden będzie pojawiają się w nim. Znajdźmy ten współczynnik. Niech pełny cylinder ma gęstość p i wysokość A. Dzielimy go na puste cylindry (cienkie cylindryczne powierzchnie) o grubości dr(Rysunek 4.5 przedstawia rzut prostopadły do ​​osi symetrii). Objętość takiego pustego cylindra o promieniu r jest równa powierzchni pomnożonej przez grubość: dV = 2nrhdr, waga: dm = 2nhrdr, oraz moment bezwładności zgodnie ze wzorem (4.17): dj =

= r 2 dm = 2lr / ?G Wr. Całkowity moment bezwładności pełnego cylindra uzyskuje się przez całkowanie (sumowanie) momentów bezwładności pustych cylindrów:

Podobnie jest wyszukiwane moment bezwładności cienkiego pręta długość L i mas T, jeśli oś obrotu jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek. Rozbijmy to

Biorąc pod uwagę fakt, że masa pełnego cylindra jest związana z gęstością wzorem t = nR 2 KM, w końcu mamy moment bezwładności pełnego cylindra:

Ryż. 4,6

pręt zgodnie z rys. 4.6 na kawałki o grubości dl. Masa takiego kawałka to dm = mdl / L, oraz moment bezwładności zgodnie ze wzorem (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl / L. Całkowity moment bezwładności cienkiego pręta uzyskuje się przez całkowanie (sumowanie) momentów bezwładności elementów:

Wyznaczenie całki elementarnej daje moment bezwładności cienkiego pręta o długości L i mas T

Ryż. 4,7

Całka jest nieco trudniejsza podczas wyszukiwania moment bezwładności jednorodnej kuli promień r i mas / 77 wokół osi symetrii. Niech bryła kuli ma gęstość p. Rozłóżmy to według ryc. 4.7 dla pustych cienkich cylindrów o grubości dr, którego oś symetrii pokrywa się z osią obrotu kuli. Objętość takiego pustego cylindra o promieniu g równa pole powierzchni razy grubość:

gdzie jest wysokość cylindra? h znalezione za pomocą twierdzenia Pitagorasa:

Wtedy łatwo jest znaleźć masę pustego cylindra:

a także moment bezwładności zgodnie ze wzorem (4.15):

Całkowity moment bezwładności kuli pełnej uzyskuje się przez całkowanie (sumowanie) momentów bezwładności pustych cylindrów:

Biorąc pod uwagę fakt, że masa bryły kuli jest powiązana z gęstością kształtu – 4.

loy T = -npR A y w końcu mamy moment bezwładności wokół osi

symetria kuli jednorodnej o promieniu r szerokie rzesze T:

« Fizyka - klasa 10 "

Dlaczego, aby zwiększyć prędkość kątową obrotu, łyżwiarz rozciąga się wzdłuż osi obrotu.
Czy helikopter powinien się obracać, gdy obraca się jego śmigło?

Zadawane pytania sugerują, że jeśli siły zewnętrzne nie działają na ciało lub ich działanie jest kompensowane i jedna część ciała zaczyna się obracać w jednym kierunku, to druga część powinna obracać się w drugą stronę, tak jak przy wyrzucaniu paliwa z rakieta, sama rakieta porusza się w przeciwnym kierunku.

Moment impulsu.

Jeśli weźmiemy pod uwagę obracający się dysk, staje się oczywiste, że całkowity impuls dysku jest równy zeru, ponieważ każda cząstka ciała odpowiada cząstce poruszającej się z prędkością równą wielkości, ale w przeciwnym kierunku (ryc. 6.9) .

Ale dysk się porusza, prędkość kątowa obrotu wszystkich cząstek jest taka sama. Jest jednak jasne, że im dalej cząsteczka znajduje się od osi obrotu, tym większy jest jej pęd. Dlatego dla ruchu obrotowego konieczne jest wprowadzenie jeszcze jednej cechy zbliżonej do pędu - momentu pędu.

Moment pędu cząstki poruszającej się po okręgu nazywamy iloczynem pędu cząstki przez odległość od niej do osi obrotu (ryc. 6.10):

Prędkości liniowa i kątowa są powiązane zależnością v = ωr, to

Wszystkie punkty ciała stałego poruszają się względem ustalonej osi obrotu z tą samą prędkością kątową. Bryłę można przedstawić jako zbiór punktów materialnych.

Moment pędu ciała sztywnego jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej obrotu:

Moment pędu jest wielkością wektorową, zgodnie ze wzorem (6.3) moment pędu jest skierowany w taki sam sposób jak prędkość kątowa.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego w postaci impulsowej.

Przyspieszenie kątowe ciała jest równe zmianie prędkości kątowej podzielonej przez przedział czasu, w którym nastąpiła ta zmiana: Zastąp to wyrażenie podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego stąd I (ω 2 - ω 1) = MΔt, lub IΔω = MΔt.

W ten sposób,

ΔL = MΔt. (6.4)

Zmiana momentu pędu jest równa iloczynowi całkowitego momentu sił działających na ciało lub układ przez czas działania tych sił.

Prawo zachowania momentu pędu:

Jeżeli łączny moment sił działających na ciało lub układ ciał o ustalonej osi obrotu wynosi zero, to zmiana momentu pędu jest również równa zeru, tzn. moment pędu układu pozostaje stały.

ΔL = 0, L = const.

Zmiana impulsu układu jest równa łącznemu impulsowi sił działających na układ.

Obrotowy łyżwiarz rozkłada ręce na boki, zwiększając w ten sposób moment bezwładności w celu zmniejszenia prędkości kątowej obrotu.

Prawo zachowania momentu pędu można zademonstrować za pomocą następującego eksperymentu, zwanego „eksperymentem z ławką Żukowskiego”. Osoba stoi na ławce z pionową osią obrotu przechodzącą przez jej środek. Mężczyzna trzyma w rękach hantle. Jeśli ławka ma się obracać, to osoba może zmienić prędkość rotacji, naciskając hantle na klatkę piersiową lub opuszczając ramiona, a następnie rozkładając je. Rozchylając ręce, zwiększa moment bezwładności, a kątowa prędkość obrotu maleje (ryc. 6.11, a), opuszczając ręce, zmniejsza moment bezwładności, a kątowa prędkość obrotu ławki wzrasta (ryc. 6.11 , b).

Osoba może również sprawić, że ławka zacznie się obracać, idąc wzdłuż krawędzi. W takim przypadku ławka będzie się obracać w przeciwnym kierunku, ponieważ całkowity moment pędu musi pozostać równy zero.

Zasada działania urządzeń zwanych żyroskopami opiera się na prawie zachowania momentu pędu. Główną właściwością żyroskopu jest zachowanie kierunku osi obrotu, jeśli siły zewnętrzne nie działają na tę oś. W XIX wieku. żyroskopy były używane przez żeglarzy do orientacji na morzu.

Energia kinetyczna wirującej bryły.

Energia kinetyczna wirującego ciała stałego jest równa sumie energii kinetycznych jej poszczególnych cząstek. Podzielmy ciało na małe elementy, z których każdy można uznać za punkt materialny. Wtedy energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych punktów materialnych, z których się ono składa:

Prędkość kątowa obrotu wszystkich punktów ciała jest więc taka sama,

Wartość w nawiasie, jak już wiemy, to moment bezwładności bryły sztywnej. Wreszcie wzór na energię kinetyczną ciała sztywnego o ustalonej osi obrotu ma postać

W ogólnym przypadku ruchu ciała sztywnego, gdy oś obrotu jest swobodna, jego energia kinetyczna jest równa sumie energii ruchu postępowego i obrotowego. Tak więc energia kinetyczna koła, którego masa jest skoncentrowana na obręczy toczącej się po drodze ze stałą prędkością, jest równa

W tabeli porównano wzory mechaniki ruchu postępowego punktu materialnego z podobnymi wzorami na ruch obrotowy ciała sztywnego.

Rozważmy najpierw ciało sztywne obracające się wokół stałej osi OZ z prędkością kątową ω (Rysunek 5.6). Rozbijmy ciało na masy elementarne. Prędkość liniowa masy elementarnej jest równa, gdzie jest jej odległością od osi obrotu. Energia kinetyczna i-ta masa elementarna będzie równa

.

Energia kinetyczna całego ciała składa się więc z energii kinetycznych jego części, dlatego

.

Biorąc pod uwagę, że suma po prawej stronie tego stosunku reprezentuje moment bezwładności ciała względem osi obrotu, w końcu otrzymujemy

. (5.30)

Wzory na energię kinetyczną wirującego ciała (5.30) są podobne do odpowiednich wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego ciała. Uzyskuje się je z ostatniego formalnego podstawienia .

W ogólnym przypadku ruch ciała sztywnego można przedstawić jako sumę ruchów - translacyjny z prędkością równą prędkości środka masy ciała oraz obrotowy z prędkością kątową wokół osi chwilowej przechodzącej przez środek masy. W tym przypadku wyrażenie na energię kinetyczną ciała przyjmuje postać

.

Znajdźmy teraz pracę wykonaną przez moment sił zewnętrznych podczas obrotu ciała sztywnego. Podstawowa praca sił zewnętrznych w czasie dt będzie równa zmianie energii kinetycznej ciała

Biorąc różniczkę energii kinetycznej ruchu obrotowego, znajdujemy jej przyrost

.

Zgodnie z podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego

Biorąc pod uwagę te proporcje, wnosimy do formy wyraz pracy elementarnej

gdzie jest rzutem wypadkowego momentu sił zewnętrznych na kierunek osi obrotu OZ, jest kątem obrotu ciała dla rozpatrywanego przedziału czasu.

Całkując (5.31) otrzymujemy wzór na pracę sił zewnętrznych działających na obracające się ciało

Jeśli, to formuła jest uproszczona

Zatem praca sił zewnętrznych podczas obrotu ciała sztywnego względem osi stałej jest zdeterminowana działaniem rzutu momentu tych sił na tę oś.

Żyroskop

Żyroskop to szybko obracający się symetryczny korpus, którego oś obrotu może zmieniać kierunek w przestrzeni. Aby oś żyroskopu mogła się swobodnie obracać w przestrzeni, żyroskop umieszcza się w tak zwanym gimbalu (rysunek 5.13). Koło zamachowe żyroskopu obraca się w wewnętrznej klatce pierścieniowej wokół osi C 1 C 2 przechodzącej przez jego środek ciężkości. Z kolei klatka wewnętrzna może obracać się w klatce zewnętrznej wokół osi B 1 B 2, prostopadłej do C 1 C 2. Wreszcie zewnętrzna klatka może swobodnie obracać się w łożyskach zębatki wokół osi A 1 A 2, prostopadle do osi C 1 C 2 i B 1 B 2. Wszystkie trzy osie przecinają się w pewnym stałym punkcie O, zwanym środkiem zawieszenia lub punktem podparcia żyroskopu. Żyroskop w gimbalu ma trzy stopnie swobody i dlatego może wykonywać dowolne skręty wokół środka gimbala. Jeżeli środek zawieszenia żyroskopu pokrywa się z jego środkiem ciężkości, to wypadkowy moment ciężkości wszystkich części żyroskopu względem środka zawieszenia wynosi zero. Taki żyroskop nazywa się zrównoważonym.

Rozważmy teraz najważniejsze właściwości żyroskopu, które znalazły dla niego szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach.

1) Stabilność.

Dla dowolnych obrotów licznika wyważonego żyroskopu jego oś obrotu pozostaje niezmieniona w stosunku do laboratoryjnego układu odniesienia. Wynika to z faktu, że moment wszystkich sił zewnętrznych, równy momentowi sił tarcia, jest bardzo mały i praktycznie nie powoduje zmiany momentu pędu żyroskopu, tj.

Ponieważ moment pędu jest skierowany wzdłuż osi obrotu żyroskopu, jego orientacja musi pozostać niezmieniona.

Jeżeli siła zewnętrzna działa przez krótki czas, to całka określająca przyrost momentu pędu będzie mała

. (5.34)

Oznacza to, że pod krótkotrwałym wpływem nawet dużych sił ruch zrównoważonego żyroskopu zmienia się niewiele. Żyroskop niejako opiera się wszelkim próbom zmiany wielkości i kierunku swojego momentu pędu. To jest powód niezwykłej stabilności, jaką uzyskuje ruch żyroskopu po wprowadzeniu go w szybki obrót. Ta właściwość żyroskopu jest szeroko stosowana do automatycznego sterowania ruchem samolotów, statków, pocisków i innych pojazdów.

Jeżeli jednak na żyroskop działamy przez długi czas z momentem sił zewnętrznych stałych w kierunku, to oś żyroskopu jest ostatecznie ustawiona w kierunku momentu sił zewnętrznych. Zjawisko to jest wykorzystywane w żyrokompasie. To urządzenie to żyroskop, którego oś można swobodnie obracać w płaszczyźnie poziomej. Ze względu na dobowy obrót Ziemi i działanie momentu sił odśrodkowych oś żyroskopu obraca się tak, że kąt między i staje się minimalny (rysunek 5.14). Odpowiada to położeniu osi żyroskopu w płaszczyźnie południka.

2). Efekt żyroskopowy.

Jeśli para sił zostanie przyłożona do obracającego się żyroskopu i ma tendencję do obracania go wokół osi prostopadłej do osi obrotu, wówczas zacznie obracać się wokół trzeciej osi prostopadłej do dwóch pierwszych (rysunek 5.15). To niezwykłe zachowanie żyroskopu nazywamy efektem żyroskopowym. Tłumaczy się to tym, że moment pary sił jest skierowany wzdłuż osi О 1 О 1 i zmiana wektora o wartość będzie miała ten sam kierunek w czasie. W rezultacie nowy wektor obróci się wokół osi О 2 О 2. Tym samym zachowanie żyroskopu, na pierwszy rzut oka nienaturalne, w pełni odpowiada prawom dynamiki ruchu obrotowego

3). Precesja żyroskopu.

Precesja żyroskopu to ruch w kształcie stożka jego osi. Występuje, gdy moment sił zewnętrznych, pozostając stałą wielkością, obraca się jednocześnie z osią żyroskopu, tworząc z nią cały czas pod kątem prostym. Aby zademonstrować precesję, można wykorzystać koło rowerowe z wysuniętą osią, zredukowaną do szybkiego obrotu (rysunek 5.16).

Jeśli koło jest zawieszone na wysuniętym końcu osi, wówczas jego oś zacznie poruszać się wokół osi pionowej pod własnym ciężarem. Szybko obracający się blat może również służyć jako demonstracja precesji.

Poznajmy przyczyny precesji żyroskopów. Rozważ niezrównoważony żyroskop, którego oś może swobodnie obracać się wokół pewnego punktu O (rysunek 5.16). Moment grawitacji przyłożony do żyroskopu jest równy co do wielkości

gdzie jest masa żyroskopu, jest odległością od punktu O do centa masy żyroskopu, jest kątem utworzonym przez oś żyroskopu z pionem. Wektor skierowany jest prostopadle do płaszczyzny pionowej przechodzącej przez oś żyroskopu.

Pod wpływem tego momentu moment pędu żyroskopu (jego początek znajduje się w punkcie O) będzie się zwiększał w czasie, a płaszczyzna pionowa przechodząca przez oś żyroskopu będzie się obracać o kąt. Wektor jest cały czas prostopadły, dlatego bez zmiany wielkości wektor zmienia się tylko w kierunku. W tym przypadku po chwili względne położenie wektorów i będzie takie samo jak w momencie początkowym. W rezultacie oś żyroskopu będzie się obracać w sposób ciągły wokół pionu, opisując stożek. Ten ruch nazywa się precesją.

Wyznaczmy prędkość kątową precesji. Zgodnie z ryc. 5.16 kąt obrotu płaszczyzny przechodzącej przez oś stożka i oś żyroskopu wynosi

gdzie jest moment pędu żyroskopu i jego przyrost w czasie.

Dzieląc przez, biorąc pod uwagę zanotowane zależności i przekształcenia, otrzymujemy prędkość kątową precesji

. (5.35)

W przypadku żyroskopów stosowanych w technologii prędkość kątowa precesji jest miliony razy mniejsza niż prędkość obrotowa żyroskopu.

Podsumowując, zauważamy, że zjawisko precesji obserwuje się również w atomach z powodu ruchu orbitalnego elektronów.

Przykłady zastosowania praw dynamiki

Ruch obrotowy

1. Rozważ kilka przykładów prawa zachowania momentu pędu, które można wdrożyć za pomocą ławki Żukowskiego. W najprostszym przypadku ławka Żukowskiego jest platformą (krzesłem) w kształcie dysku, która może swobodnie obracać się wokół osi pionowej na łożyskach kulkowych (rysunek 5.17). Demonstrant siada lub staje na ławce, po czym zostaje wprowadzony w ruch obrotowy. Ze względu na to, że siły tarcia wynikające z zastosowania łożysk są bardzo małe, moment pędu układu składającego się z ławki i demonstratora względem osi obrotu nie może zmieniać się w czasie, jeśli układ jest pozostawiony sam sobie . Jeśli demonstrant trzyma w rękach ciężkie hantle i rozkłada ręce na boki, to zwiększy moment bezwładności układu, a zatem prędkość kątowa obrotu musi się zmniejszyć, aby moment pędu pozostał niezmieniony.

Zgodnie z prawem zachowania momentu pędu układamy równanie dla tego przypadku

gdzie jest moment bezwładności osoby i ławki, a jest momentem bezwładności hantli w pozycji pierwszej i drugiej oraz prędkościami kątowymi układu.

Prędkość kątowa obrotu układu przy odciąganiu hantli na bok będzie równa

.

Pracę wykonaną przez osobę podczas poruszania hantlami można określić poprzez zmianę energii kinetycznej układu

2. Przeprowadźmy jeszcze jeden eksperyment z ławką Żukowskiego. Demonstrant siedzi lub stoi na ławce i otrzymuje szybko obracające się koło z pionowo zorientowaną osią (rysunek 5.18). Następnie demonstrant kręci kołem o 180 0. W tym przypadku zmiana momentu impulsu koła jest całkowicie przenoszona na ławkę i demonstrator. W efekcie ławka wraz z demonstratorem wchodzi w ruch obrotowy z prędkością kątową określoną na podstawie zasady zachowania momentu pędu.

Moment pędu układu w stanie początkowym jest określony tylko przez moment pędu koła i jest równy

gdzie jest moment bezwładności koła, to prędkość kątowa jego obrotu.

Po obróceniu koła o kąt 180 0, moment pędu układu będzie już określony przez sumę momentu pędu ławki z osobą i momentu pędu koła. Biorąc pod uwagę, że wektor momentu pędu koła zmienił kierunek na przeciwny, a jego rzut na oś pionową stał się ujemny, otrzymujemy

,

gdzie jest moment bezwładności układu „człowiek-platforma”, to prędkość kątowa obrotu ławki z człowiekiem.

Zgodnie z prawem zachowania momentu pędu

oraz .

W rezultacie znajdujemy prędkość obrotową ławki

3. Cienki pręt z masą m i długość ja obraca się z prędkością kątową ω = 10 s -1 w płaszczyźnie poziomej wokół osi pionowej przechodzącej przez środek pręta. W dalszym ciągu obracając się w tej samej płaszczyźnie, pręt przesuwa się tak, że oś obrotu przechodzi teraz przez koniec pręta. Znajdź prędkość kątową w drugim przypadku.

W tym problemie, ze względu na to, że zmienia się rozkład masy pręta względem osi obrotu, zmienia się również moment bezwładności pręta. Zgodnie z prawem zachowania momentu pędu układu izolowanego mamy

Oto moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek pręta; - moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jej koniec i wyznaczony przez twierdzenie Steinera.

Podstawiając te wyrażenia do prawa zachowania momentu pędu, otrzymujemy

,

.

4. Długość pręta L= 1,5 m i masa m 1= 10 kg zawieszone obrotowo na górnym końcu. Kula masy uderza w środek pręta m 2= 10 g, lecąc poziomo z prędkością 500 m/s i utknął w pręcie. Pod jakim kątem wędka ugnie się po uderzeniu?

Zaprezentujmy się na ryc. 5.19. system oddziałujących na siebie ciał „rod-pocisk”. Momenty sił zewnętrznych (grawitacja, reakcja osi) w momencie uderzenia są równe zeru, dlatego możemy skorzystać z prawa zachowania momentu pędu

Moment pędu układu przed uderzeniem jest równy momentowi pędu pocisku względem punktu zawieszenia

Moment impulsu układu po uderzeniu niesprężystym określa wzór

,

gdzie jest momentem bezwładności pręta względem punktu zawieszenia, jest momentem bezwładności pocisku i jest prędkością kątową pręta z pociskiem bezpośrednio po uderzeniu.

Rozwiązując otrzymane równanie po podstawieniu, znajdujemy

.

Skorzystajmy teraz z prawa zachowania energii mechanicznej. Zrównajmy energię kinetyczną pręta po trafieniu pociskiem jego energii potencjalnej w najwyższym punkcie podniesienia:

,

gdzie jest wysokość wzniesienia środka masy danego układu.

Po dokonaniu niezbędnych przekształceń otrzymujemy

Kąt ugięcia pręta jest powiązany z wartością przez współczynnik

.

Po przeliczeniu otrzymujemy = 0,1p = 18 0.

5. Wyznacz przyspieszenie ciał i naprężenie nici na maszynie Atwood, zakładając tak (rysunek 5.20). Moment bezwładności bloku względem osi obrotu wynosi i, promień bloku r... Zignoruj ​​ciężar nici.

Uporządkujmy wszystkie siły działające na obciążenia i klocek i ułóżmy dla nich równania dynamiki

Jeżeli nie ma poślizgu nici wzdłuż bloku, to przyspieszenie liniowe i kątowe są powiązane ze sobą stosunkiem

Rozwiązując te równania, otrzymujemy

Następnie znajdujemy T 1 i T 2.

6. Do koła pasowego krzyża Oberbecka (ryc. 5.21) przymocowana jest nitka, na której zawieszony jest ciężarek m= 0,5 kg. Określ, jak długo trwa schodzenie ładunku z wysokości h= 1 m do dolnej pozycji. Promień koła pasowego r= 3 cm Ważenie czterech odważników m= 250 g każdy na odległość r= 30 cm od swojej osi. Moment bezwładności krzyża i samego krążka należy pominąć w porównaniu z momentem bezwładności obciążników.

Energia mechaniczna są nazywane zdolność organizmu lub układu organizmu do wykonywania pracy... Istnieją dwa rodzaje energii mechanicznej: energia kinetyczna i potencjalna.

Energia kinetyczna ruchu postępowego

Kinetyczny nazywa energia z powodu ruchu ciała. Jest mierzona pracą, jaką siła wypadkowa wykonuje, aby przyspieszyć ciało ze spoczynku do określonej prędkości.

Niech masa ciała m zaczyna się poruszać pod wpływem siły wypadkowej. Potem podstawowa praca dA jest równe dA = F· dl· cos. W tym przypadku kierunek siły i ruchu jest taki sam. Zatem = 0, cos = 1 i dl=  · dt, gdzie  - prędkość, z jaką ciało się porusza w danym momencie. Ta siła nadaje ciału przyspieszenie.
Zgodnie z drugim prawem Newtona F = ma =
Więc
i pełna praca A w drodze ja jest równe:
Zgodnie z definicją, W k = A, Dlatego

(6)

Ze wzoru (6) wynika, że ​​wartość energii kinetycznej zależy od wyboru układu odniesienia, ponieważ prędkości ciał w różnych układach są różne.

Obrotowa energia kinetyczna

Niech ciało z chwilą bezwładności i z obraca się wokół osi z z pewną prędkością kątową. Następnie ze wzoru (6), korzystając z analogii między ruchem translacyjnym i obrotowym, otrzymujemy:

(7)

Twierdzenie o energii kinetycznej

Niech masa ciała T porusza się progresywnie. Pod wpływem przyłożonych do niego różnych sił prędkość ciała zmienia się z zanim
Potem pracuj A z tych sił jest

(8)

gdzie W k 1 i W k 2 to energia kinetyczna ciała w stanie początkowym i końcowym. Relacja (8) nazywa się twierdzenie o energii kinetycznej. Jego brzmienie: praca wszystkich sił działających na ciało jest równa zmianie jego energii kinetycznej. Jeżeli ciało uczestniczy jednocześnie w ruchach translacyjnych i obrotowych, na przykład toczy się, to jego energia kinetyczna jest równa sumie energii kinetycznej podczas tych ruchów.

Siły konserwatywne i niekonserwatywne

Jeśli siła działa na ciało w każdym punkcie przestrzeni, to kombinacja tych sił nazywa się pole siłowe lub pole ... Istnieją dwa rodzaje pól - potencjalne i niepotencjalne (lub wirowe). W polach potencjalnych na umieszczone w nich ciała działają siły zależne tylko od współrzędnych tych ciał. Te siły nazywają się konserwatywny lub potencjał ... Posiadają niezwykłe właściwości: praca sił zachowawczych nie zależy od drogi przenoszenia ciała i jest determinowana jedynie jego początkową i końcową pozycją... Z tego wynika, że ​​gdy ciało porusza się po zamkniętej ścieżce (ryc. 1), praca nie jest wykonywana. Rzeczywiście, praca A na całej ścieżce jest równa ilości pracy A 1B2 w drodze 1B2, i praca A 2C1 w drodze 2C1, tj. A = A 1B2 + A 2C1. Ale praca A 2K1 = - A 1C2, ponieważ ruch odbywa się w przeciwnym kierunku i A 1B2 = A 1C2. Następnie A = A 1B2 - A 1C2 = 0, zgodnie z wymaganiami. Równość do zera pracy na zamkniętej ścieżce można zapisać w postaci

(9)

Znak „” na całce oznacza, że ​​całkowanie odbywa się wzdłuż zamkniętej krzywej długości ja... Równość (9) jest matematyczną definicją sił zachowawczych.

W makrokosmosie istnieją tylko trzy rodzaje sił potencjalnych - siły grawitacyjne, sprężyste i elektrostatyczne. Siły niezachowawcze obejmują siły tarcia zwane rozpraszający ... W tym przypadku kierunek siły oraz są zawsze przeciwne. Dlatego działanie tych sił na dowolnej ścieżce jest negatywne, w wyniku czego ciało stale traci energię kinetyczną.

Przemówienie