Zastosowanie równań trygonometrycznych w architekturze. Trygonometria

Trygonometria w medycynie i biologii

Model Borytmu można zbudować za pomocą funkcji trygonometrycznych. Aby zbudować model biorytmów, należy wprowadzić datę urodzenia osoby, datę odniesienia (dzień, miesiąc, rok) oraz czas trwania prognozy (liczba dni).

Formuła serca. W wyniku badania przeprowadzonego przez studenta irańskiego uniwersytetu Shiraz, Wahid-Reza Abbasi, po raz pierwszy lekarze byli w stanie usprawnić informacje związane z elektryczną czynnością serca, czyli elektrokardiografią. Wzór jest złożonym równaniem algebraiczno-trygonometrycznym, składającym się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadku arytmii. Według lekarzy formuła ta znacznie ułatwia opis głównych parametrów czynności serca, przyspieszając tym samym diagnozę i rozpoczęcie właściwego leczenia.

Trygonometria pomaga również naszemu mózgowi określić odległości do obiektów.

1) Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów.

Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Ściśle mówiąc, pomysł „pomiaru kątów” nie jest nowy. Nawet artyści starożytnych Chin malowali odległe obiekty wyżej w polu widzenia, nieco lekceważąc prawa perspektywy. Alhazen, arabski naukowiec z XI wieku, sformułował teorię określania odległości przez szacowanie kątów. Po długim zapomnieniu w połowie ubiegłego wieku pomysł został wskrzeszony przez psychologa Jamesa

2)Ruch ryb w wodzie występuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przyjmuje postać krzywej przypominającej wykres funkcji y=tg(x)
5. Wniosek

W wyniku prac badawczych:

· Zapoznałem się z historią trygonometrii.

· Usystematyzowane metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

· Poznał zastosowania trygonometrii w architekturze, biologii, medycynie.

Sinus, cosinus, tangens – wypowiadając te słowa w obecności licealistów, możesz być pewien, że dwie trzecie z nich straci zainteresowanie dalszą rozmową. Powodem jest to, że podstaw trygonometrii w szkole uczy się w całkowitym oderwaniu od rzeczywistości, przez co uczniowie nie widzą sensu w studiowaniu wzorów i twierdzeń.

W rzeczywistości ta dziedzina wiedzy, po bliższym przyjrzeniu się, okazuje się bardzo interesująca, a także stosowana - trygonometria znajduje zastosowanie w astronomii, budownictwie, fizyce, muzyce i wielu innych dziedzinach.

Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami i wymieńmy kilka powodów, dla których warto studiować tę dziedzinę nauk matematycznych.

Fabuła

Nie wiadomo, w którym momencie ludzkość zaczęła od podstaw tworzyć przyszłą trygonometrię. Udokumentowano jednak, że już w II tysiącleciu pne Egipcjanie znali podstawy tej nauki: archeolodzy znaleźli papirus z zadaniem, w którym wymagane jest znalezienie kąta nachylenia piramidy z dwóch znanych stron.

Naukowcy starożytnego Babilonu odnieśli poważniejsze sukcesy. Od wieków zajmując się astronomią, opanowali szereg twierdzeń, wprowadzili specjalne sposoby mierzenia kątów, których zresztą używamy dzisiaj: stopnie, minuty i sekundy zostały zapożyczone przez naukę europejską w kulturze grecko-rzymskiej, w której te jednostki pochodziły z Babilończyków.

Przypuszcza się, że słynne twierdzenie Pitagorasa, odnoszące się do podstaw trygonometrii, było znane Babilończykom prawie cztery tysiące lat temu.

Nazwa

Dosłownie termin „trygonometria” można przetłumaczyć jako „pomiar trójkątów”. Głównym przedmiotem badań w tej części nauki przez wiele stuleci był trójkąt prostokątny, a raczej związek między wielkościami kątów a długościami jego boków (dziś badanie trygonometrii rozpoczyna się od tego działu od zadrapanie). W życiu nierzadko zdarzają się sytuacje, w których nie da się praktycznie zmierzyć wszystkich wymaganych parametrów obiektu (lub odległości do obiektu), a wtedy konieczne staje się uzyskanie brakujących danych poprzez obliczenia.

Na przykład w przeszłości człowiek nie mógł zmierzyć odległości do obiektów kosmicznych, ale próby obliczenia tych odległości mają miejsce na długo przed naszą erą. Trygonometria również odgrywała ważną rolę w nawigacji: przy pewnej wiedzy kapitan mógł zawsze nawigować nocą w pobliżu gwiazd i korygować kurs.

Podstawowe koncepcje

Aby opanować trygonometrię od podstaw, musisz zrozumieć i zapamiętać kilka podstawowych terminów.

Sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej. Wyjaśnijmy, że przeciwległa noga to strona leżąca naprzeciwko kąta, który rozważamy. Zatem jeśli kąt wynosi 30 stopni, sinus tego kąta będzie zawsze, dla dowolnej wielkości trójkąta, równy ½. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej (lub równoważnie stosunek sinusa do cosinusa). Cotangens to jednostka podzielona przez tangens.

Warto wspomnieć o słynnej liczbie Pi (3,14…), która jest połową długości okręgu o promieniu jednej jednostki.

Popularne błędy

Osoby, które uczą się trygonometrii od podstaw, popełniają szereg błędów – głównie z powodu nieuwagi.

Po pierwsze, przy rozwiązywaniu problemów z geometrii należy pamiętać, że użycie sinusów i cosinusów jest możliwe tylko w trójkącie prostokątnym. Zdarza się, że uczeń „na maszynie” przyjmuje najdłuższy bok trójkąta jako przeciwprostokątną i otrzymuje błędne wyniki obliczeń.

Po drugie, na początku łatwo pomylić wartości sinusa i cosinusa dla wybranego kąta: przypomnijmy, że sinus 30 stopni jest liczbowo równy cosinusowi 60 i na odwrót. Jeśli podstawisz złą liczbę, wszystkie dalsze obliczenia będą błędne.

Po trzecie, dopóki problem nie zostanie całkowicie rozwiązany, nie warto zaokrąglać żadnych wartości, wyciągać pierwiastków, zapisywać zwykłego ułamka jako ułamka dziesiętnego. Często studenci dążą do uzyskania „pięknej” liczby w zadaniu trygonometrii i natychmiast wyodrębniają pierwiastek z trzech, chociaż po dokładnie jednym działaniu pierwiastek ten można zmniejszyć.

Etymologia słowa „sinus”

Historia słowa „sine” jest naprawdę niezwykła. Faktem jest, że dosłowne tłumaczenie tego słowa z łaciny oznacza „pusty”. Dzieje się tak, ponieważ prawidłowe zrozumienie słowa zostało utracone podczas tłumaczenia z jednego języka na inny.

Nazwy podstawowych funkcji trygonometrycznych wywodzą się z Indii, gdzie pojęcie sinusa oznaczano słowem „struna” w sanskrycie – faktem jest, że odcinek wraz z łukiem koła, na którym spoczywał, wyglądał jak łuk . W okresie rozkwitu cywilizacji arabskiej zapożyczono indyjskie osiągnięcia w dziedzinie trygonometrii, a termin przeszedł do języka arabskiego w formie transkrypcji. Tak się złożyło, że język ten miał już podobne słowo na depresję, a jeśli Arabowie rozumieli różnicę fonetyczną między słowem rodzimym a zapożyczonym, to Europejczycy, tłumacząc traktaty naukowe na łacinę, przez pomyłkę dosłownie przetłumaczyli słowo arabskie, które nie miał nic wspólnego z pojęciem sinusa. Używamy ich do dziś.

Tabele wartości

Istnieją tabele zawierające wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów i tangensów wszystkich możliwych kątów. Poniżej przedstawiamy dane dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, których należy się nauczyć jako obowiązkowej części trygonometrii dla „manekinów”, ponieważ łatwo je zapamiętać.

Jeśli zdarzyło się, że wartość liczbowa sinusa lub cosinusa kąta „wyleciała mi z głowy”, istnieje sposób na samodzielne jej wyprowadzenie.

Reprezentacja geometryczna

Narysujmy okrąg, narysujmy odcięte i osie rzędnych przez jego środek. Oś odciętych jest pozioma, oś rzędnych jest pionowa. Zazwyczaj są one podpisane odpowiednio jako „X” i „Y”. Teraz narysujemy prostą linię od środka okręgu w taki sposób, aby uzyskać potrzebny kąt między nią a osią X. Wreszcie od punktu, w którym prosta przecina okrąg, obniżamy prostopadłą do osi X. Długość powstałego odcinka będzie równa liczbowej wartości sinusa naszego kąta.

Ta metoda jest bardzo istotna, jeśli zapomniałeś żądanej wartości, na przykład podczas egzaminu, a nie masz pod ręką podręcznika trygonometrii. Nie uzyskasz w ten sposób dokładnej liczby, ale na pewno zobaczysz różnicę między ½ a 1,73 / 2 (sinus i cosinus kąta 30 stopni).

Aplikacja

Jednymi z pierwszych specjalistów stosujących trygonometrię byli żeglarze, którzy na pełnym morzu nie mieli innego punktu odniesienia niż niebo nad ich głowami. Dziś kapitanowie statków (samolotów i innych środków transportu) nie szukają najkrótszej drogi przez gwiazdy, ale aktywnie korzystają z nawigacji GPS, co bez zastosowania trygonometrii byłoby niemożliwe.

W prawie każdym dziale fizyki znajdziesz obliczenia przy użyciu sinusów i cosinusów: czy jest to zastosowanie siły w mechanice, obliczenia drogi obiektów w kinematyce, drgania, propagacja fali, załamanie światła - po prostu nie możesz się obejść bez podstawowej trygonometrii w formułach.

Innym zawodem, który jest nie do pomyślenia bez trygonometrii, jest geodeta. Za pomocą teodolitu i niwelatora lub bardziej wyrafinowanego urządzenia - obrotomierza, ludzie ci mierzą różnicę wysokości między różnymi punktami na powierzchni Ziemi.

Powtarzalność

Trygonometria zajmuje się nie tylko kątami i bokami trójkąta, chociaż tam właśnie zaczęła się jego istnienie. We wszystkich obszarach, w których występuje cykliczność (biologia, medycyna, fizyka, muzyka itp.), napotkasz wykres, którego nazwa prawdopodobnie jest ci znana - jest to sinusoida.

Taki wykres jest kołem rozłożonym wzdłuż osi czasu i wygląda jak fala. Jeśli kiedykolwiek pracowałeś z oscyloskopem na zajęciach z fizyki, wiesz o czym mówię. Zarówno korektor muzyczny, jak i pulsometr wykorzystują w swojej pracy wzory trygonometrii.

Wreszcie

Myśląc o tym, jak nauczyć się trygonometrii, większość gimnazjalistów i licealistów zaczyna uważać to za naukę trudną i niepraktyczną, ponieważ zapoznają się tylko z nudnymi informacjami podręcznikowymi.

Jeśli chodzi o niepraktyczność, widzieliśmy już, że w takim czy innym stopniu umiejętność posługiwania się sinusami i stycznymi jest wymagana w prawie każdej dziedzinie działalności. A co do złożoności… Pomyśl: gdyby ludzie korzystali z tej wiedzy ponad dwa tysiące lat temu, kiedy dorosły miał mniej wiedzy niż dzisiejszy uczeń liceum, czy naprawdę możesz osobiście studiować ten obszar nauka na poziomie podstawowym? Kilka godzin przemyślanej praktyki z rozwiązywaniem problemów - a osiągniesz swój cel, ucząc się kursu podstawowego, tzw. trygonometrii dla „manekinów”.

TRYGONOMETRIA W NASZYM ŻYCIU

Wiele osób zadaje pytania: po co nam trygonometria? Jak jest używany w naszym świecie? Z czym wiąże się trygonometria? A oto odpowiedzi na te pytania. Funkcje trygonometrii lub trygonometryczne są wykorzystywane w astronomii (zwłaszcza do obliczania pozycji ciał niebieskich), gdy wymagana jest trygonometria sferyczna, w żegludze morskiej i powietrznej, w teorii muzyki, w akustyce, w optyce, w analizie rynków finansowych, w elektronice , w teorii prawdopodobieństwa, w statystyce, biologii, obrazowaniu medycznym, takim jak tomografia komputerowa i USG, apteki, chemia, teoria liczb, sejsmologia, meteorologia, oceanografia, wiele nauk fizycznych, geodezja i geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektrotechnika , inżynieria mechaniczna, inżynieria lądowa, grafika komputerowa, kartografia, krystalografia, tworzenie gier i wiele innych dziedzin.

Geodezja

Często geodeci mają do czynienia z sinusami i cosinusami. Posiadają specjalne narzędzia do dokładnego pomiaru kątów. Za pomocą sinusów i cosinusów kąty można zamienić na długości lub współrzędne punktów na powierzchni ziemi.

starożytna astronomia

Początki trygonometrii można znaleźć w rękopisach matematycznych starożytnego Egiptu, Babilonu i starożytnych Chin. 56. problem z papirusu Rinda (II tysiąclecie pne) proponuje znalezienie nachylenia piramidy, której wysokość wynosi 250 łokci, a długość boku podstawy 360 łokci.

Dalszy rozwój trygonometrii wiąże się z nazwiskiem astronoma Aristarchus Samos (III wiek p.n.e.). W jego traktacie „O jasnościach i odległościach Słońca i Księżyca” zadaniem było określenie odległości do ciała niebieskie; to zadanie wymagało obliczenia stosunku boków trójkąta prostokątnegoze znaną wartością jednego z kątów. Arystarch rozważał trójkąt prostokątny utworzony przez Słońce, Księżyc i Ziemię podczas kwadratury. Musiał obliczyć wartość przeciwprostokątnej (odległość od Ziemi do Słońca) przez nogę (odległość od Ziemi do Księżyca) o znanej wartości kąta zawartego (87°), co jest równoznaczne z obliczeniem wartościkąt grzechu 3. Według Arystarcha wartość ta mieści się w przedziale od 1/20 do 1/18, czyli odległość do Słońca jest 20 razy większa niż do Księżyca; w rzeczywistości Słońce jest prawie 400 razy dalej niż Księżyc, co jest błędem wynikającym z niedokładności pomiaru kąta.

Kilkadziesiąt lat później Klaudiusz Ptolemeusz w swoich pracach „Geografia”, „Analemma” i „Planispherium” szczegółowo przedstawia zastosowania trygonometryczne w kartografii, astronomii i mechanice. Między innymi opisanew rzucie stereograficznym bada się kilka praktycznych problemów, na przykład: określenie wysokości i azymutuniebiański luminarz przez jego deklinacja i kąt godzinowy. Z punktu widzenia trygonometrii oznacza to, że musisz znaleźć bok trójkąta sferycznego, biorąc pod uwagę pozostałe dwa boki i przeciwny kąt.

Ogólnie można powiedzieć, że trygonometria służyła do:

· dokładne określenie pory dnia;

· obliczanie przyszłego położenia ciał niebieskich, momentów ich wschodu i zachodu słońca, zaćmień Słońca i księżyc;

Znalezienie współrzędnych geograficznych aktualnej lokalizacji;

· obliczanie odległości między miastami o znanych współrzędne geograficzne.

Gnomon - najstarszy instrument astronomiczny, obiekt pionowy (stela, kolumna, słup),

pozwalając na najmniej

długość jego cienia (w południe) określa kątową wysokość słońca.

Tak więc przez cotangens rozumiano długość cienia od pionowego gnomonu o wysokości 12 (czasem 7) jednostek; Początkowo te pojęcia służyły do obliczania zegara słonecznego. Styczna była cieniem poziomego gnomonu. Cosecans i secans były przeciwprostokątnymi odpowiednich trójkątów prostokątnych (segmenty AO na rysunku po lewej stronie)

Architektura

Trygonometria jest szeroko stosowana w budownictwie, a zwłaszcza w architekturze. Większość rozwiązań kompozycyjnych i konstrukcji

Rysunki odbywały się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Chcę podać przykład budowy jednej rzeźby przez francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

dużo obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie widzenia, czyli przybliżonym pomiarze okiem. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Znając więc przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do oczu osoby oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania spojrzenia za pomocą stół (możemy zrobić to samo z dolnym punktem widzenia), tym samym odnajdując punkt widzenia

Sytuacja zmienia się, gdy posąg jest podnoszony do wysokości, więc odległość od szczytu posągu do oczu osoby wzrasta, a tym samym wzrasta sinus kąta padania. Porównując zmiany odległości od wierzchołka posągu do ziemi w pierwszym i drugim przypadku, możemy znaleźć współczynnik proporcjonalności. Następnie otrzymamy rysunek, a następnie rzeźbę, po podniesieniu postać będzie wizualnie zbliżona do ideału.

Medycyna i biologia.

Formuła serca. W wyniku badania przeprowadzonego przez studenta irańskiego uniwersytetu Shiraz Wahid-Reza Abbasi, po raz pierwszy lekarze byli w stanie usprawnić informacje związane z elektryczną czynnością serca, czyli innymi słowy elektrokardiografią. Wzór jest złożonym równaniem algebraiczno-trygonometrycznym, składającym się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadku arytmii. Według lekarzy formuła ta znacznie ułatwia opis głównych parametrów czynności serca, przyspieszając tym samym diagnozę i rozpoczęcie właściwego leczenia.

Trygonometria pomaga również naszemu mózgowi określić odległości do obiektów.

Gibson (James Gibson), który swoje wnioski oparł na doświadczeniach z pilotami wojskowymi. Jednak po rozmowie o teorii

znowu zapomniany.

Ruch ryb w woda występuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera formę

krzywa przypominająca wykres funkcji y=tgx.

Pomiar pracy

Historia trygonometrii jest nierozerwalnie związana z astronomią, ponieważ to właśnie w celu rozwiązania problemów tej nauki starożytni naukowcy zaczęli badać stosunki różnych wielkości w trójkącie.

Dziś trygonometria to mikrosekcja matematyki zajmująca się badaniem relacji między wartościami kątów i długościami boków trójkątów, a także analizą tożsamości algebraicznych funkcji trygonometrycznych.

Termin „trygonometria”

Sam termin, który dał swoją nazwę tej gałęzi matematyki, został po raz pierwszy odkryty w tytule książki przez niemieckiego matematyka Pitiscusa w 1505 roku. Słowo „trygonometria” ma pochodzenie greckie i oznacza „mierzę trójkąt”. Mówiąc dokładniej, nie mówimy o dosłownym pomiarze tej figury, ale o jej rozwiązaniu, czyli wyznaczeniu wartości jej nieznanych elementów za pomocą znanych.

Ogólne informacje o trygonometrii

Historia trygonometrii rozpoczęła się ponad dwa tysiące lat temu. Początkowo jego występowanie wiązało się z koniecznością wyjaśnienia stosunku kątów i boków trójkąta. W trakcie badań okazało się, że matematyczne wyrażenie tych zależności wymaga wprowadzenia specjalnych funkcji trygonometrycznych, które pierwotnie sporządzono jako tablice liczbowe.

Dla wielu nauk związanych z matematyką to właśnie historia trygonometrii stała się impulsem do rozwoju. Pochodzenie jednostek miary kątów (stopni), związanych z badaniami naukowców starożytnego Babilonu, opiera się na rachunku sześćdziesiątkowym, który dał początek współczesnemu dziesiętnemu, używanemu w wielu naukach stosowanych.

Przypuszcza się, że trygonometria pierwotnie istniała jako część astronomii. Następnie zaczęto go wykorzystywać w architekturze. Z czasem pojawiła się celowość zastosowania tej nauki w różnych dziedzinach ludzkiej działalności. Są to w szczególności astronomia, nawigacja morska i powietrzna, akustyka, optyka, elektronika, architektura i inne.

Trygonometria we wczesnych wiekach

Kierując się danymi o zachowanych reliktach naukowych, badacze doszli do wniosku, że historia pojawienia się trygonometrii jest związana z pracą greckiego astronoma Hipparcha, który jako pierwszy pomyślał o znalezieniu sposobów rozwiązywania (sferycznych) trójkątów. Jego pisma sięgają II wieku p.n.e.

Jednym z najważniejszych osiągnięć tamtych czasów jest również określenie stosunku nóg i przeciwprostokątnej w trójkątach prostokątnych, które później stało się znane jako twierdzenie Pitagorasa.

Historia rozwoju trygonometrii w starożytnej Grecji związana jest z imieniem astronoma Ptolemeusza, autora systemu geocentrycznego, jaki panował przed Kopernikiem.

Greccy astronomowie nie znali sinusów, cosinusów i tangensów. Użyli tabel, które pozwoliły im znaleźć wartość cięciwy koła za pomocą łuku subtraktywnego. Jednostkami pomiaru akordu były stopnie, minuty i sekundy. Jeden stopień był równy jednej sześćdziesiątej promienia.

Również badania starożytnych Greków przyczyniły się do rozwoju trygonometrii sferycznej. W szczególności Euklides w swoich „Zasadach” podaje twierdzenie o regularnościach stosunków objętości kulek o różnych średnicach. Jego prace w tym zakresie stały się swego rodzaju impulsem w rozwoju pokrewnych dziedzin wiedzy. Jest to w szczególności technologia instrumentów astronomicznych, teoria rzutów kartograficznych, układ współrzędnych niebieskich itp.

Średniowiecze: badania indyjskich uczonych

Średniowieczni astronomowie indyjscy odnieśli znaczący sukces. Śmierć starożytnej nauki w IV wieku doprowadziła do przeniesienia centrum rozwoju matematyki do Indii.

Historia pojawienia się trygonometrii jako odrębnego działu doktryny matematycznej rozpoczęła się w średniowieczu. To wtedy naukowcy zastąpili akordy sinusami. Odkrycie to umożliwiło wprowadzenie funkcji związanych z badaniem boków i kątów, to znaczy, że wtedy trygonometria zaczęła oddzielać się od astronomii, stając się działem matematyki.

Pierwsze tablice sinusów znajdowały się w Aryabhacie, rysowano je przez 3o, 4o, 5o. Później pojawiły się szczegółowe wersje tabel: w szczególności Bhaskara podał tabelę sinusów do 1 o.

Pierwszy specjalistyczny traktat o trygonometrii pojawił się w X-XI wieku. Jej autorem był środkowoazjatycki naukowiec Al-Biruni. A w swoim głównym dziele „Canon Masud” (księga III) średniowieczny autor jeszcze głębiej zagłębia się w trygonometrię, podając tablicę sinusów (w krokach co 15 ”) i tablicę stycznych (w krokach co 1 °).

Historia rozwoju trygonometrii w Europie

Po przetłumaczeniu traktatów arabskich na łacinę (XII-XIII wiek) większość pomysłów indyjskich i perskich naukowców została zapożyczona przez naukę europejską. Pierwsza wzmianka o trygonometrii w Europie pochodzi z XII wieku.

Według badaczy historia trygonometrii w Europie związana jest z imieniem Anglika Richarda z Wallingford, który stał się autorem pracy „Cztery traktaty o akordach prostych i odwróconych”. To właśnie jego praca stała się pierwszą pracą całkowicie poświęconą trygonometrii. Do XV wieku wielu autorów w swoich pismach wspomina o funkcjach trygonometrycznych.

Historia trygonometrii: czasy nowożytne

W czasach nowożytnych większość naukowców zaczęła zdawać sobie sprawę z ogromnego znaczenia trygonometrii nie tylko w astronomii i astrologii, ale także w innych dziedzinach życia. To przede wszystkim artyleria, optyka i nawigacja w dalekich rejsach morskich. Dlatego w drugiej połowie XVI wieku temat ten zainteresował wielu wybitnych ówczesnych ludzi, m.in. Mikołaja Kopernika, Francois Vieta. Kopernik poświęcił kilka rozdziałów trygonometrii w swoim traktacie O rotacji sfery niebieskie» (1543). Nieco później, w latach 60. XVI wieku, Retik, uczeń Kopernika, w swojej pracy „Optyczna część astronomii” przytacza piętnastocyfrowe tablice trygonometryczne.

W „Kanienie Matematycznym” (1579) podaje szczegółową i systematyczną, choć nieudowodnioną, charakterystykę trygonometrii płaskiej i sferycznej. A Albrecht Dürer stał się tym, dzięki któremu narodziła się sinusoida.

Zasługi Leonharda Eulera

Nadanie trygonometrii nowoczesnej treści i formy było zasługą Leonharda Eulera. Jego traktat Wprowadzenie do analizy nieskończoności (1748) zawiera definicję terminu „funkcje trygonometryczne”, która jest równoznaczna z definicją współczesną. Tak więc naukowiec ten był w stanie określić Ale i to nie wszystko.

Definiowanie funkcji trygonometrycznych na całej osi liczbowej stało się możliwe dzięki badaniom Eulera nie tylko dopuszczalnych kątów ujemnych, ale także kątów większych niż 360 °. To on jako pierwszy udowodnił w swoich pracach, że cosinus i tangens kąta prostego są ujemne. Zasługą tego naukowca stało się również rozszerzenie potęg całkowitych cosinusa i sinusa. Ogólna teoria szeregów trygonometrycznych i badanie zbieżności szeregów wynikowych nie były przedmiotem badań Eulera. Jednak pracując nad rozwiązywaniem pokrewnych problemów dokonał wielu odkryć w tej dziedzinie. To dzięki jego pracy ciągnęła się historia trygonometrii. Pokrótce w swoich pismach poruszył także kwestie trygonometrii sferycznej.

Zastosowania trygonometrii

Trygonometria nie ma zastosowania do nauk stosowanych, w codziennym życiu jej problemy są rzadko wykorzystywane. Fakt ten nie umniejsza jednak jego znaczenia. Bardzo ważna jest na przykład technika triangulacji, która pozwala astronomom dokładnie mierzyć odległość do pobliskich gwiazd i sterować systemami nawigacji satelitarnej.

Trygonometria znajduje również zastosowanie w nawigacji, teorii muzyki, akustyce, optyce, analizie rynków finansowych, elektronice, rachunku prawdopodobieństwa, statystyce, biologii, medycynie (np. w dekodowaniu ultradźwięków, ultradźwięków i tomografii komputerowej), farmacji, chemii, teorii liczb, sejsmologii meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia i geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, inżynieria mechaniczna, grafika komputerowa, krystalografia itp. Historia trygonometrii i jej rola w nauce nauk przyrodniczych i matematycznych są badane do dziś. Być może w przyszłości obszarów jego zastosowania będzie jeszcze więcej.

Historia powstania podstawowych pojęć

Historia powstania i rozwoju trygonometrii ma ponad sto lat. Wprowadzenie pojęć, które stanowią podstawę tego działu nauk matematycznych, również nie nastąpiło od razu.

Tak więc pojęcie „sinus” ma bardzo długą historię. W pracach naukowych datowanych na III wiek p.n.e. można znaleźć wzmianki o różnych proporcjach segmentów trójkątów i okręgów. Prace takich wielkich starożytnych naukowców jak Euklides, Archimedes, Apoloniusz z Pergi zawierają już pierwsze badania tych związków. Nowe odkrycia wymagały pewnych wyjaśnień terminologicznych. Tak więc indyjski naukowiec Aryabhata nadaje akordowi nazwę „jiva”, co oznacza „cięciwa”. Kiedy arabskie teksty matematyczne zostały przetłumaczone na łacinę, termin ten został zastąpiony przez sinus (tj. „zgięcie”) o zbliżonym znaczeniu.

Słowo „cosinus” pojawiło się znacznie później. Termin ten jest skróconą wersją łacińskiego wyrażenia „sinus dodatkowy”.

Pojawienie się stycznych wiąże się z dekodowaniem problemu określenia długości cienia. Termin „styczna” został wprowadzony w X wieku przez arabskiego matematyka Abul-Wafę, który opracował pierwsze tablice do wyznaczania tangensów i cotangensów. Ale europejscy naukowcy nie wiedzieli o tych osiągnięciach. Niemiecki matematyk i astronom Regimontan ponownie odkrywa te koncepcje w 1467 roku. Dowód twierdzenia o stycznej jest jego zasługą. I ten termin jest tłumaczony jako „dotyczący”.

Praca matematyczna
« Trygonometria i jej praktyczne zastosowanie »

Wykonywane:

student II roku

grupa KD-207

Suworowa Elena Wiktorowna
Kierownik:

nauczyciel matematyki

Orłowa Galina Nikołajewna

Wprowadzenie 3

Historia trygonometrii 5

Architektura 6

Biologia. Medycyna 7

Wniosek 11

Wprowadzenie 3

Historia trygonometrii 5

Sinus, cosinus, tangens, cotangens 5

Architektura 6

Biologia. Medycyna 7

Określanie odległości do niedostępnego punktu 8

Wniosek 11

Wstęp

Trygonometria - jedna z najstarszych i najciekawszych nauk, zajmująca się badaniem kształtów geometrycznych. Nie można sobie wyobrazić naszego świata bez ich istnienia. Ta nauka ma ogromny zasób różnych twierdzeń, które są stale stosowane zarówno w rozwiązywaniu problemów matematycznych, jak iw życiu.

Wielu zadaje pytania Dlaczego potrzebujesz trygonometrii? Jak jest używany w naszym świecie? Z czym wiąże się trygonometria? A oto odpowiedzi na te pytania. Funkcje trygonometrii lub trygonometryczne są wykorzystywane w astronomii (zwłaszcza do obliczania pozycji ciał niebieskich), gdy wymagana jest trygonometria sferyczna, w żegludze morskiej i powietrznej, w teorii muzyki, w akustyce, w optyce, w analizie rynków finansowych, w elektronice w teorii prawdopodobieństwa, w statystyce, biologii, obrazowaniu medycznym, np. tomografii komputerowej i USG, aptekach, chemii, teorii liczb, meteorologii, oceanografii, wielu naukach fizycznych, geodezji i geodezji, architekturze, fonetyce, ekonomii, elektrotechnice, mechanice inżynieria, inżynieria lądowa, grafika komputerowa, kartografia, krystalografia, tworzenie gier i wiele innych dziedzin.

Cel : umieć udowodnić twierdzenia o cosinusach i sinusach, zastosować je w rozwiązywaniu problemów, wybrać właściwy przebieg rozwiązania podczas ich stosowania, wiedzieć, gdzie te twierdzenia mają zastosowanie w życiu, rozważać problemy z treścią praktyczną.

Historia trygonometrii

Słowo trygonometria po raz pierwszy pojawia się w 1505 roku w tytule książki niemieckiego matematyka Pitiscusa. Trygonometria to greckie słowo i dosłownie oznacza pomiar trójkątów („trigonan” – trójkąt, „metreo” – mierzę). Pojawienie się trygonometrii wiąże się z geodezji, astronomii i budownictwa. Największy bodziec do rozwoju trygonometrii powstał w związku z rozwiązywaniem problemów astronomicznych (do rozwiązywania problemów określania położenia statku, przewidywania zaciemnienia itp.) Począwszy od XVII wieku. Funkcje trygonometryczne zaczęto stosować do rozwiązywania równań, problemów mechaniki, optyki, elektryczności, inżynierii radiowej, do opisu procesów oscylacyjnych, propagacji fal, ruchu różnych mechanizmów, do badania przemiennego prądu elektrycznego itp.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens

Zatoka Ostry kąt trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

cosinus Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywa się stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

tangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem sąsiedniej nogi do sąsiedniej nogi.

Cotangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

Architektura

Popularne trygonometria w budownictwie, a zwłaszcza w architekturze. Większość decyzji kompozycyjnych i konstrukcji rysunków odbywała się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Chcę podać przykład budowy jednej rzeźby przez francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

Proporcjonalność w konstrukcji posągu była idealna. Jednak kiedy posąg został podniesiony na wysoki piedestał, wyglądał brzydko. Rzeźbiarz nie wziął pod uwagę, że wiele detali jest redukowanych perspektywicznie ku horyzoncie, a patrząc od dołu do góry, nie powstaje wrażenie jego idealności. Przeprowadzono wiele obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie widzenia, czyli przybliżonym pomiarze okiem. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Znając więc przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do oczu osoby oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania spojrzenia za pomocą stół (możemy zrobić to samo z dolnym punktem widzenia), tym samym odnajdując punkt widzenia

Biologia. Medycyna

Ruch ryb w wodzie odbywa się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej, która przypomina wykres funkcji y=tgx.

Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów. Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Ściśle mówiąc, pomysł „pomiaru kątów” nie jest nowy. Nawet artyści starożytnych Chin malowali odległe obiekty wyżej w polu widzenia, nieco lekceważąc prawa perspektywy. Alhazen, arabski naukowiec z XI wieku, sformułował teorię określania odległości przez szacowanie kątów. Po długim zapomnieniu w połowie ubiegłego wieku do pomysłu powrócił psycholog James Gibson (James Gibson), który swoje wnioski zbudował na podstawie doświadczeń z pilotami wojskowymi. Jednak po tym teoria została ponownie zapomniana.

Określanie odległości do niedostępnego punktu

Załóżmy, że musimy znaleźć odległość od punktu A do niedostępnego punktu B. Aby to zrobić, wybierz punkt C na ziemi, zawieś odcinek AC i zmierz go. Następnie za pomocą astrolabium mierzymy kąty A i C. Na kartce papieru budujemy jakiś trójkąt A1B1C1, dla którego mierzymy długości boków A1B1 i AC1 tego trójkąta. Ponieważ trójkąt ABC jest proporcjonalny do trójkąta A1B1C1, to ze znanych odległości AC, A1C1 i A1B1 znajdujemy odległość AB. Aby uprościć obliczenia, wygodnie jest skonstruować trójkąt A1B1C1 tak, aby A1C1:AC=1:1000. Na przykład, jeśli AC=130m, to przyjmujemy odległość A1C1 równą 130 mm. W tym przypadku

dlatego mierząc odległość A1B1 w milimetrach, natychmiast otrzymujemy odległość AB w metrach. PRZYKŁAD. Zbudujmy trójkąt A1B1C1 tak, aby zmierzyć odcinek A1B1. Jest to 153 mm, więc pożądana odległość to 153 m.

Zadania

Zadanie 1

Łódź przepływa przez rzekę. Aktualna prędkość v1, prędkość łodzi względem wody v2. Pod jakim kątem α do brzegu powinna płynąć łódź, aby przepłynąć rzekę w jak najkrótszym czasie; najkrótsza droga?

Rozwiązanie:

Wniosek

W trakcie badań stwierdzono, że badanie trygonometrii jest interesujące i przydatne, ponieważ często spotykamy się z trygonometrią w życiu.

Rozwiązywanie problemów obliczeniowych przyczynia się do rozwoju myślenia konstruktywnego, analitycznego i logicznego – niezbędnego we współczesnym życiu.

Ustalono, że systematyczna praca nad kształtowaniem umiejętności rozwiązywania problemów z geometrii za pomocą trygonometrii przyczynia się do rozwoju ogólnego rozwoju intelektualnego uczniów, ich zdolności twórczych, potencjału ucznia, umiejętności rozumienia sytuacji, dokonywania niezbędne wnioski, podczas gdy głównym celem nie jest uzyskanie wyniku rozwiązania problemu, a samo rozwiązanie problemu, jako zestaw logicznych kroków prowadzących do odpowiedzi. Bardzo ważne jest, aby nauczyć się korzystać z optymalnych metod rozwiązywania problemów, wśród których najprostsza jest metoda trygonometryczna.

Cel osiągnięty : Nauczyłem się udowadniać twierdzenia o cosinusach i sinusach, stosować je w rozwiązywaniu problemów, dobierać właściwy kierunek rozwiązania podczas ich stosowania, dowiedziałem się, gdzie te twierdzenia mają zastosowanie w życiu, rozważałem problemy z treścią praktyczną.

Nowo narodzony