Zmienna losowa jest zmienną, która może przybierać określone wartości w zależności od różnych okoliczności, oraz zmienna losowa nazywana jest ciągłą , jeśli może przyjąć dowolną wartość z pewnego ograniczonego lub nieograniczonego przedziału. Dla zmiennej losowej ciągłej nie można określić wszystkich możliwych wartości, dlatego oznacza się przedziały tych wartości, które są związane z pewnymi prawdopodobieństwami.
Przykładami ciągłych zmiennych losowych są: średnica części obróconej do danego rozmiaru, wzrost osoby, zasięg pocisku itp.
Ponieważ dla ciągłych zmiennych losowych funkcja F(x), W odróżnieniu dyskretne zmienne losowe, nie ma nigdzie skoków, to prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnej pojedynczej wartości ciągłej zmiennej losowej jest równe zeru.
Oznacza to, że dla ciągłej zmiennej losowej nie ma sensu mówić o rozkładzie prawdopodobieństwa między jej wartościami: każda z nich ma zerowe prawdopodobieństwo. Jednak w pewnym sensie wśród wartości ciągłej zmiennej losowej znajdują się „bardziej i mniej prawdopodobne”. Np. mało prawdopodobne jest, aby ktokolwiek wątpił, że wartość zmiennej losowej - wzrost przypadkowo napotkanej osoby - 170 cm - jest bardziej prawdopodobna niż 220 cm, chociaż w praktyce może wystąpić jedna i druga wartość.
Rozkład funkcji ciągłej zmiennej losowej i gęstości prawdopodobieństwa
Jako prawo rozkładu, które ma sens tylko dla ciągłych zmiennych losowych, wprowadza się pojęcie gęstości rozkładu lub gęstości prawdopodobieństwa. Podejdźmy do tego porównując znaczenie funkcji rozkładu dla ciągłej zmiennej losowej i dla dyskretnej zmiennej losowej.
Tak więc funkcja dystrybucji zmiennej losowej (zarówno dyskretnej, jak i ciągłej) lub integralna funkcja nazywana jest funkcją, która określa prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej X mniejsza lub równa wartości granicznej X.
Dla dyskretnej zmiennej losowej w punktach jej wartości x1 , x 2 , ..., x i ,... skupione masy prawdopodobieństw p1 , p 2 , ..., p i ,..., a suma wszystkich mas jest równa 1. Przenieśmy tę interpretację do przypadku ciągłej zmiennej losowej. Wyobraź sobie, że masa równa 1 nie jest skoncentrowana w oddzielnych punktach, ale jest stale „rozmazana” wzdłuż osi x Wół z pewną nierówną gęstością. Prawdopodobieństwo trafienia w zmienną losową w dowolnej witrynie Δ x będzie interpretowana jako masa przypadająca na ten odcinek, a średnia gęstość na tym odcinku - jako stosunek masy do długości. Właśnie wprowadziliśmy ważne pojęcie w teorii prawdopodobieństwa: gęstość rozkładu.
Gęstości prawdopodobieństwa f(x) ciągłej zmiennej losowej jest pochodną jej dystrybuanty:
.
Znając funkcję gęstości, możemy znaleźć prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej ciągłej należy do przedziału domkniętego [ a; b]:
prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie dowolną wartość z przedziału [ a; b], jest równa pewnej całce jej gęstości prawdopodobieństwa w zakresie od a zanim b:
.
W tym przypadku ogólna formuła funkcji F(x) rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, który można wykorzystać, jeśli znana jest funkcja gęstości f(x) :
.
Wykres gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej nazywamy jej krzywą rozkładu (rys. poniżej).
Obszar figury (zacieniony na rysunku), ograniczony krzywą, linie proste wykreślone z punktów a oraz b prostopadła do osi odciętej i osi Oh, graficznie wyświetla prawdopodobieństwo, że wartość ciągłej zmiennej losowej X mieści się w zakresie a zanim b.
Własności funkcji gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej
1. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie dowolną wartość z przedziału (i obszaru figury, który jest ograniczony wykresem funkcji f(x) i oś Oh) jest równy jeden:
2. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie może przyjmować wartości ujemnych:
a poza istnieniem rozkładu jego wartość wynosi zero
Gęstość dystrybucji f(x), a także funkcję dystrybucji F(x), jest jedną z postaci prawa rozkładu, ale w przeciwieństwie do funkcji rozkładu nie jest uniwersalna: gęstość rozkładu istnieje tylko dla ciągłych zmiennych losowych.
Wymieńmy dwa najważniejsze w praktyce rozkłady zmiennej losowej ciągłej.
Jeśli funkcja gęstości rozkładu f(x) ciągła zmienna losowa w pewnym skończonym przedziale [ a; b] przyjmuje stałą wartość C, a poza przedziałem przyjmuje wartość równą zero, to to rozkład nazywa się równomiernym .
Jeżeli wykres funkcji gęstości rozkładu jest symetryczny względem środka, wartości średnie są skoncentrowane w pobliżu środka, a oddalając się od środka zbierane są bardziej różne od średnich (wykres funkcji przypomina przekrój dzwonek), wtedy to rozkład nazywa się normalnym .
Przykład 1 Znana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej:
Znajdź funkcję f(x) gęstość prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej. Wykresy wykresów dla obu funkcji. Znajdź prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie dowolną wartość z zakresu od 4 do 8: .
Rozwiązanie. Otrzymujemy funkcję gęstości prawdopodobieństwa, znajdując pochodną funkcji rozkładu prawdopodobieństwa:
Wykres funkcji F(x) - parabola:
Wykres funkcji f(x) - linia prosta:
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie dowolną wartość z zakresu od 4 do 8:
Przykład 2 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej jest podawana jako:
Oblicz współczynnik C. Znajdź funkcję F(x) rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej. Wykresy wykresów dla obu funkcji. Znajdź prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie dowolną wartość z zakresu od 0 do 5: .
Rozwiązanie. Współczynnik C znajdujemy, korzystając z właściwości 1 funkcji gęstości prawdopodobieństwa:
Zatem funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej wynosi:
Integrując, znajdujemy funkcję F(x) rozkłady prawdopodobieństwa. Jeśli x < 0 , то F(x) = 0 . Jeśli 0< x < 10 , то
.
x> 10 , to F(x) = 1 .
Zatem pełny zapis funkcji rozkładu prawdopodobieństwa to:
Wykres funkcji f(x) :
Wykres funkcji F(x) :
Znajdźmy prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie dowolną wartość z zakresu od 0 do 5:
Przykład 3 Gęstość prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X jest dana przez równość , podczas gdy . Znajdź współczynnik ALE, prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmuje pewną wartość z przedziału ]0, 5[, dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej X.
Rozwiązanie. Pod warunkiem dochodzimy do równości
Dlatego skąd . Więc,
.
Teraz znajdujemy prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie dowolną wartość z przedziału ]0, 5[:
Teraz otrzymujemy dystrybuant tej zmiennej losowej:
Przykład 4 Znajdź gęstość prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, który przyjmuje tylko wartości nieujemne, oraz jego dystrybuantę 
.
Ciągłą zmienną losową można określić nie tylko za pomocą funkcji rozkładu. Wprowadźmy pojęcie gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej.
Rozważ prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa mieści się w przedziale [ X, X + Δ X]. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia
P(X ≤ X ≤ X + Δ X) = F(X+ Δ X) – F(X),
tych. równy przyrostowi funkcji rozkładu F(X) w tej okolicy. Następnie prawdopodobieństwo na jednostkę długości, tj. średnia gęstość prawdopodobieństwa w obszarze od X zanim X+ Δ X, jest równe
Przejście do limitu Δ X→ 0, otrzymujemy gęstość prawdopodobieństwa w punkcie X:
reprezentująca pochodną funkcji dystrybucji F(X). Przypomnij sobie, że dla ciągłej zmiennej losowej F(X) jest funkcją różniczkowalną.
Definicja. Gęstości prawdopodobieństwa (gęstość dystrybucji ) f(x) ciągła zmienna losowa X jest pochodną jej dystrybuanty
| f(x) = F′( x). | (4.8) |
O zmiennej losowej X mówi się, że ma rozkład o gęstości f(x) na pewnej części osi X.
Gęstości prawdopodobieństwa f(x), a także funkcję dystrybucji F(x) jest formą prawa dystrybucyjnego. Ale w przeciwieństwie do funkcji rozkładu istnieje tylko dla ciągłych zmiennych losowych.
Gęstość prawdopodobieństwa jest czasami nazywana funkcja różnicowa lub prawo dystrybucji różniczkowej. Wykres gęstości prawdopodobieństwa nazywa się krzywa rozkładu.
Przykład 4.4. Korzystając z danych z przykładu 4.3, znajdź gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Rozwiązanie. Znajdziemy gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej jako pochodną jej dystrybuanty f(x) = F"(x).
◄
Odnotowujemy właściwości gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej.
1. Gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją nieujemną, tj.
Geometrycznie prawdopodobieństwo wpadnięcia do przedziału [ α , β ,] jest równa powierzchni figury ograniczonej od góry krzywą rozkładu i na podstawie odcinka [ α , β ,] (Rysunek 4.4).
Ryż. 4.4 Rys. 4,5
3. Rozkład funkcji ciągłej zmiennej losowej można wyrazić w postaci gęstości prawdopodobieństwa wzorem:
Właściwości geometryczne 1 oraz 4 Gęstości prawdopodobieństwa oznaczają, że jego wykres - krzywa rozkładu - nie leży poniżej osi odciętej, a całkowity obszar figury ograniczony krzywą rozkładu i osią odciętych jest równy jeden.
Przykład 4.5. Funkcjonować f(x) jest podane jako:
Znajdź: a) wartość ALE; b) wyrażenie funkcji dystrybucji F(X); c) prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość w przedziale .
Rozwiązanie. a) W celu: f(x) była gęstością prawdopodobieństwa jakiejś zmiennej losowej X, musi być nieujemna, dlatego wartość ALE. Z zastrzeżeniem własności 4 znaleźliśmy:
, gdzie ALE = .
b) Funkcja dystrybucji znajdujemy za pomocą właściwości 3 :
Jeśli x≤ 0, to f(x) = 0, a zatem F(x) = 0.
Jeśli 0< x≤ 2, to f(x) = X/2, a zatem
Jeśli X> 2, to f(x) = 0, a zatem
c) Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartość na segmencie, znajdujemy za pomocą właściwości 2 .
Prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej można określić za pomocą funkcji rozkładu całkowego. Dystrybuanta nazywana funkcją F(X), dla każdej wartości X co określa prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmuj mniejszą wartość...Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej
Funkcjonować F(X) istnieje zarówno dla dyskretnych, jak i ciągłych zmiennych losowych. Zwróćmy uwagę na najważniejsze własności funkcji rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej. 1. Dla wartości funkcji rozkładu F(x) ma miejsce 2. F(x) jest funkcją nie malejącą, tj. 3. Prawdopodobieństwo...(TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNE)
Ciągła zmienna losowa. Gęstość dystrybucji
Definicja 3.6. południowy zachód % nazywa ciągły, jeśli istnieje taka funkcja p(x) nazywa gęstości prawdopodobieństwa lub gęstość rozkładu prawdopodobieństwa, co to jest FR SV?, jest równe Jeśli w punkcie X gęstość p(x) jest więc ciągła, różnicująca lewą i prawą...4.3. Ciągła dwuwymiarowa zmienna losowa. Rozkład gęstości połączeń
Przez analogię do n-wymiarowej zmiennej losowej podajemy następującą definicję. Definicja 4.8. Dwuwymiarowy wektor losowy (?, p) nazywa się ciągły, jeśli taka nieujemna funkcja istnieje p(x, y), nazywa wspólna gęstość dystrybucji zmienne losowe? i p, że ...(PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKI MATEMATYCZNE DLA EKONOMISTÓW)
Gęstość dystrybucji
Ryż. 1.9. Główne cechy rozkładu normalnego dla różnych wartości odchylenia standardowego: a- gęstości prawdopodobieństwa /(/); b- prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy р(/); w- wskaźnik awaryjności X(/) Rozkład ma dwa niezależne parametry: matematyczny ...(NIEZAWODNOŚĆ SYSTEMÓW TECHNICZNYCH)
Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dla dyskretnej dwuwymiarowej zmiennej losowej
prawo dystrybucyjne Dyskretna dwuwymiarowa zmienna losowa to lista możliwych wartości tej zmiennej, tj. pary liczb (x. i ich prawdopodobieństwa /? (x., u.)(?= 1,2....."; j= 1,2,...,"?). Zazwyczaj prawo podziału podawane jest w formie tabeli dwuwejściowej (tabela 2). Pierwsza linia...(TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNE)
Wyznaczanie gęstości prawdopodobieństwa składników dwuwymiarowej zmiennej losowej
Niech będzie znana gęstość łącznego rozkładu prawdopodobieństwa układu dwóch zmiennych losowych. Znajdźmy gęstość rozkładu każdego ze składników. Znajdźmy najpierw gęstość rozkładu składnika x. Oznacz przez Fx(x) funkcja dystrybucji składników x. Zgodnie z definicją...(TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNE)
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej, jej definicja, własności i wykres.
Mówi się, że zmienna losowa X ma rozkład (rozłożony) o gęstości 
na pewnej części osi x. Gęstości prawdopodobieństwa 
, podobnie jak dystrybuanta F(x), jest jedną z postaci prawa dystrybucji, ale w przeciwieństwie do dystrybuanty, istnieje tylko dla ciągłego
zmienne losowe
. Gęstość prawdopodobieństwa jest czasami nazywana funkcja różnicowa
lub prawo dystrybucji różniczkowej
. Wykres gęstości prawdopodobieństwa 
nazywa krzywa rozkładu
.
Własności gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej.
☺
jako pochodna monotonicznie nie malejącej funkcji F(x).
☺ 
Zgodnie z własnością 4 funkcji dystrybucji . Ponieważ F(x) jest funkcją pierwotną dla gęstości prawdopodobieństwa 
(dlatego 
, to zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza przyrost funkcji pierwotnej na odcinku [a,b] jest całką oznaczoną 
.
☻
Uzyskane geometrycznie prawdopodobieństwo jest równe powierzchni figury ograniczonej od góry krzywą rozkładu i na podstawie odcinka [a, b] (ryc. 3.8).
Rozkład funkcji ciągłej zmiennej losowej można wyrazić w postaci gęstości prawdopodobieństwa za pomocą wzoru:
.
Geometrycznie funkcja rozkładu jest równa powierzchni figury ograniczonej od góry krzywą rozkładu i leżącej na lewo od punktu x (ryc. 3.9).
Geometrycznie właściwości 1 i 4 gęstości prawdopodobieństwa oznaczają, że jej wykres - krzywa rozkładu - nie leży poniżej osi odciętej, a całkowity obszar figury ograniczony krzywą rozkładu i osią odciętych jest równy jeden.
Zmienna losowa o rozkładzie zgodnie z prawem dwumianowym, jej matematyczne oczekiwanie i wariancja. Prawo dystrybucji Poissona.
Definicja. Dyskretna zmienna losowa X ma prawo rozkładu dwumianowego z parametrami npq jeśli przyjmuje wartości 0, 1, 2,..., m,..., n z prawdopodobieństwami
gdzie 0<р Jak widać, prawdopodobieństwa P(X=m) znajdują się za pomocą wzoru Bernoulliego, zatem prawo rozkładu dwumianowego jest prawem rozkładu liczby X=m wystąpień zdarzenia A w n niezależnych próbach, w każdej z których może wystąpić z takim samym prawdopodobieństwem p . Szereg dystrybucyjny prawa dwumianowego ma postać: Oczywiście definicja prawa dwumianowego jest poprawna, ponieważ główna właściwość serii dystrybucyjnej Wartość oczekiwana
zmienna losowa X, rozłożona zgodnie z prawem dwumianu, Definicja.
Dyskretna zmienna losowa X ma Prawo dystrybucji Poissona
z parametrem λ > 0 jeśli przyjmuje wartości 0, 1, 2,..., m,... (nieskończony, ale przeliczalny zbiór wartości) z prawdopodobieństwami Szereg dystrybucji prawa Poissona ma postać: Oczywiście definicja prawa Poissona jest poprawna, ponieważ główna własność szeregu rozdzielczego Na ryc. 4.1 przedstawia wielokąt (wielokąt) rozkładu zmiennej losowej rozłożony zgodnie z prawem Poissona Р(Х=m)=Р m (λ) o parametrach λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5. Twierdzenie.
Matematyczne oczekiwanie i wariancja
zmienna losowa rozłożona zgodnie z prawem Poissona pokrywa się i jest równa parametrowi λ tego prawa, tj. Podano definicje funkcji dystrybucji zmiennej losowej oraz gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej. Te pojęcia są aktywnie wykorzystywane w artykułach dotyczących statystyk witryn. Rozważono przykłady obliczania funkcji rozkładu i gęstości prawdopodobieństwa przy użyciu funkcji MS EXCEL..
Przedstawmy podstawowe pojęcia statystyki, bez których nie da się wyjaśnić bardziej złożonych pojęć. Pozwól nam mieć populacja(populacja) obiektów N, z których każdy ma określoną wartość jakiejś cechy liczbowej X. Przykładem populacji ogólnej (GS) jest zestaw odważników tego samego typu części, które są produkowane przez maszynę. Ponieważ w statystyce matematycznej wszelkie wnioski są wyciągane tylko na podstawie cechy X (abstrahując z samych obiektów), to z tego punktu widzenia populacja reprezentuje liczby N, wśród których w ogólnym przypadku może być to samo. W naszym przykładzie WB to po prostu numeryczna tablica wartości masy części. X to waga jednej z części. Jeżeli z danego GS wybierzemy losowo jeden obiekt o charakterystyce X, to wartość X wynosi zmienna losowa. Z definicji każdy wartość losowa To ma funkcja dystrybucyjna, który jest zwykle oznaczany przez F(x). funkcja dystrybucyjna prawdopodobieństwa zmienna losowa X to funkcja F(x), której wartość w punkcie x jest równa prawdopodobieństwu zdarzenia X F(x) = P(X Wyjaśnijmy na przykładzie naszej maszyny. Chociaż zakłada się, że nasza maszyna produkuje tylko jeden rodzaj części, oczywiste jest, że waga produkowanych części będzie się nieznacznie różnić od siebie. Jest to możliwe dzięki temu, że do produkcji mogą być użyte różne materiały, warunki obróbki również mogą się nieznacznie różnić itp. Niech najcięższa część wyprodukowana przez maszynę waży 200 g, a najlżejsza 190 g. Prawdopodobieństwo, że przypadkowo wybrana część X będzie ważyć mniej niż 200 g wynosi 1. Prawdopodobieństwo, że będzie ważyć mniej niż 190 g wynosi 0. Wartości pośrednie określa postać funkcji rozkładu. Na przykład, jeśli proces jest ustawiony na produkcję części ważących 195 g, to rozsądne jest założenie, że prawdopodobieństwo wybrania części lżejszej niż 195 g wynosi 0,5. Typowy wykres Funkcje dystrybucji dla zmiennej losowej ciągłej pokazano na poniższym rysunku (krzywa fioletowa, patrz przykładowy plik): Pomoc MS EXCEL funkcja dystrybucyjna nazywa całka funkcja dystrybucyjna (Łącznydystrybucjafunkcjonować,
CDF). Oto kilka właściwości Funkcje dystrybucji: Odwołaj to gęstość dystrybucji jest pochodną funkcje dystrybucyjne, tj. "prędkość" jego zmiany: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx przy Dx dążącym do 0, gdzie Dx=x2-x1. Tych. fakt, że gęstość dystrybucji>1 oznacza tylko, że funkcja rozkładu rośnie wystarczająco szybko (jest to oczywiste w przykładzie ). Notatka: Obszar całkowicie zawarty pod całą krzywą reprezentującą gęstość dystrybucji, jest równy 1. Notatka: Przypomnijmy, że funkcja rozkładu F(x) jest wywoływana w funkcjach MS EXCEL Dystrybuanta. Termin ten pojawia się w parametrach funkcji, takich jak ROZKŁ.NORMALNY(x; średnia; odchylenie standardowe; całka). Jeśli funkcja MS EXCEL powinna powrócić? funkcja dystrybucyjna, następnie parametr całka, or.ar. ustaw na PRAWDA. Jeśli chcesz obliczyć gęstości prawdopodobieństwa, to parametr całka, or.ar. FAŁSZYWY. Notatka: Do dyskretna dystrybucja prawdopodobieństwo przyjęcia określonej wartości przez zmienną losową jest często nazywane funkcją masy prawdopodobieństwa (pmf). Pomoc MS EXCEL gęstości prawdopodobieństwa może nawet nazwać to "funkcją miary prawdopodobieństwa" (zobacz funkcję ROZKŁ.DWUM()). Oczywiste jest, że aby obliczyć gęstości prawdopodobieństwa dla pewnej wartości zmiennej losowej trzeba znać jej rozkład. Znajdźmy gęstości prawdopodobieństwa dla N(0;1) przy x=2. Aby to zrobić, musisz napisać formułę =ROZKŁ.NORMALNY(2,FAŁSZ)=0,054 lub =ROZKŁ.NORMALNY(2,0,1,FAŁSZ). Odwołaj to prawdopodobieństwoże ciągła zmienna losowa przyjmie określoną wartość x równą 0. For ciągła zmienna losowa X może jedynie obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że X przyjmie wartość zawartą w przedziale (a; b). 1) Znajdź prawdopodobieństwo, że rozłożona zmienna losowa (patrz rysunek powyżej) przybrała wartość dodatnią. Według właściwości Funkcje dystrybucji prawdopodobieństwo wynosi F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. ROZKŁ.NORMALNY(9,999E+307;PRAWDA) - ROZKŁ.NORMALNY(0,PRAWDA) =1-0,5. 2) Znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna losowa rozłożona na , przyjął wartość ujemną. Zgodnie z definicją funkcje dystrybucyjne, prawdopodobieństwo wynosi F(0)=0,5. W MS EXCEL, aby znaleźć to prawdopodobieństwo, użyj wzoru =ROZKŁ.NORMALNY(0;PRAWDA) =0,5. 3) Znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna losowa rozłożona na standardowy rozkład normalny, przyjmie wartość zawartą w przedziale (0; 1). Prawdopodobieństwo wynosi F(1)-F(0), tj. od prawdopodobieństwa wyboru X z przedziału (-∞;1) należy odjąć prawdopodobieństwo wyboru X od przedziału (-∞;0). W MS EXCEL użyj formuły =ROZKŁ.NORMALNY(1,PRAWDA) - ROZKŁ.NORMALNY(0,PRAWDA). Wszystkie powyższe obliczenia odnoszą się do zmiennej losowej rozłożonej na standardowe normalne prawo N(0;1). Oczywiste jest, że wartości prawdopodobieństwa zależą od konkretnego rozkładu. W artykule o funkcji dystrybucji znajdź punkt, dla którego F(x)=0,5, a następnie znajdź odciętą tego punktu. Punkt odcięty =0, tj. prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość<0, равна 0,5. W programie MS EXCEL użyj formuły =ROZKŁAD.NORMALNY.ODW(0,5) =0. Jednoznacznie oblicz wartość zmienna losowa pozwala na właściwość monotoniczności funkcje dystrybucji. Odwrotna funkcja rozkładu oblicza , które są używane np. kiedy . Tych. w naszym przypadku liczba 0 to 0,5-kwantyl normalna dystrybucja. W przykładowym pliku możesz obliczyć inny kwantyl tej dystrybucji. Na przykład kwantyl 0,8 to 0,84. W literaturze angielskiej odwrotna funkcja rozkładu często określana jako funkcja punktu procentowego (PPF). Notatka: Podczas obliczania kwantyle w MS EXCEL używane są następujące funkcje: NORM.ST.OBR() , LOGNORM.OBR() , XI2.OBR(), GAMMA.OBR() itd. Więcej o dystrybucjach prezentowanych w MS EXCEL można przeczytać w artykule.
zrobione, ponieważ 
jest niczym innym jak sumą wszystkich wyrazów rozwinięcia dwumianu Newtona:
i jego wariancja 
,
zadowolony, bo suma serii.
oraz 
"
Populacja ogólna i zmienna losowa
funkcja dystrybucyjna
Obliczanie gęstości prawdopodobieństwa za pomocą funkcji MS EXCEL
Obliczanie prawdopodobieństw za pomocą funkcji MS EXCEL
Zamiast +∞ do formuły wpisywana jest wartość 9.999E+307= 9.999*10^307, czyli maksymalna liczba, jaką można wprowadzić do komórki MS EXCEL (że tak powiem, najbliższa +∞).
