Niech będzie funkcja y=f(x), X - jej dziedzina definicji, Y - zakres wartości. Wiemy, że każdy x 0 odpowiada pojedynczej wartości y 0 = f(x 0), y 0 Y.
Może się okazać, że każdemu y (lub jego części 1) odpowiada także unikatowe x z X.
Następnie mówią, że na obszarze (lub jego części ) zdefiniowana jest funkcja x=y, która jest odwrotna dla funkcji y=f(x).
Na przykład:
X 
=(); Y=$
Ponieważ funkcja ta jest malejąca i ciągła na przedziale $X$, to na przedziale $Y=$, który również jest malejący i ciągły na tym przedziale (Twierdzenie 1).
Oblicz $x$:
\ \
Wybierz odpowiedni $x$:
Odpowiadać: funkcja odwrotna $y=-\sqrt(x)$.
Problemy ze znalezieniem funkcji odwrotnych
W tej części rozważymy funkcje odwrotne dla niektórych funkcji elementarnych. Zadania będą rozwiązywane według schematu podanego powyżej.
Przykład 2
Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=x+4$
Znajdź $x$ z równania $y=x+4$:
Przykład 3
Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=x^3$
Rozwiązanie.
Ponieważ funkcja jest rosnąca i ciągła w całej dziedzinie definicji, to według Twierdzenia 1 ma ona na niej funkcję odwrotną ciągłą i rosnącą.
Znajdź $x$ z równania $y=x^3$:
Znalezienie odpowiednich wartości $x$
Wartość w naszym przypadku jest odpowiednia (ponieważ zakres to same liczby)
Przedefiniowując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać
Przykład 4
Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=cosx$ w przedziale $$
Rozwiązanie.
Rozważmy funkcję $y=cosx$ na zbiorze $X=\left$. Jest ciągła i malejąca na zbiorze $X$ i odwzorowuje zbiór $X=\left$ na zbiór $Y=[-1,1]$, zatem przez twierdzenie o istnieniu odwrotnej ciągłej funkcji monotonicznej, funkcja $y=cosx$ w zbiorze $Y$ istnieje funkcja odwrotna, która również jest ciągła i zwiększa się w zbiorze $Y=[-1,1]$ i odwzorowuje zbiór $[-1,1]$ do zbioru $\left$.
Znajdź $x$ z równania $y=cosx$:
Znalezienie odpowiednich wartości $x$
Przedefiniowując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać
Przykład 5
Znajdź funkcję odwrotną dla funkcji $y=tgx$ w przedziale $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Rozwiązanie.
Rozważmy funkcję $y=tgx$ na zbiorze $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Jest ciągła i rosnąca na zbiorze $X$ i odwzorowuje zbiór $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ na zbiór $Y =R$ zatem, przez twierdzenie o istnieniu odwrotnej ciągłej funkcji monotonicznej, funkcja $y=tgx$ w zbiorze $Y$ ma funkcję odwrotną, która jest również ciągła i rośnie w zbiorze $Y=R $ i mapuje zbiór $R$ na zbiór $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Znajdź $x$ z równania $y=tgx$:
Znalezienie odpowiednich wartości $x$
Przedefiniowując zmienne, otrzymujemy, że funkcja odwrotna ma postać
Napotkaliśmy już problem, gdy mając daną funkcję f i daną wartość jej argumentu, trzeba było w tym momencie obliczyć wartość funkcji. Ale czasami trzeba zmierzyć się z problemem odwrotnym: znaleźć, mając znaną funkcję f i jej pewną wartość y, wartość argumentu, w którym funkcja przyjmuje daną wartość y.
Funkcja, która przyjmuje każdą ze swoich wartości w jednym punkcie w swojej dziedzinie definicji, nazywana jest funkcją odwracalną. Na przykład funkcja liniowa to funkcja odwracalna. Funkcja kwadratowa lub funkcja sinus nie będą funkcjami odwracalnymi. Ponieważ funkcja może przyjmować tę samą wartość z różnymi argumentami.
Funkcja odwrotna
Załóżmy, że f jest pewną dowolną funkcją odwracalną. Każda liczba z jej zakresu y0 odpowiada tylko jednej liczbie z dziedziny x0, takiej, że f(x0) = y0.
Jeśli teraz przypiszemy wartość y0 do każdej wartości x0, to otrzymamy nową funkcję. Na przykład, dla funkcji liniowej f(x) = k * x + b, funkcja g(x) = (x - b)/k będzie odwrotna.
Jeśli jakaś funkcja g w każdym punkcie X zakres funkcji odwracalnej f przyjmuje wartość y taką, że f(y) = x, wtedy mówimy, że funkcja g- istnieje funkcja odwrotna do f.
Jeśli mamy wykres jakiejś funkcji odwracalnej f, to w celu wykreślenia wykresu funkcji odwrotnej możemy użyć następującego stwierdzenia: wykres funkcji f i funkcji odwrotnej g do niej będą symetryczne względem linia prosta określona równaniem y = x.
Jeśli funkcja g jest odwrotnością funkcji f, to funkcja g będzie funkcją odwracalną. A funkcja f będzie odwrotna do funkcji g. Zwykle mówi się, że dwie funkcje f i g są wzajemnie odwrotne.
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji f i g wzajemnie odwrotnych względem siebie.
Wyprowadźmy następujące twierdzenie: jeśli funkcja f rośnie (lub maleje) na pewnym przedziale A, to jest odwracalna. Funkcja g odwrotna do a, określona w zakresie funkcji f, jest również funkcją rosnącą (lub odpowiednio malejącą). Twierdzenie to nazywa się twierdzenie o funkcji odwrotnej.
Ciąża
