Prosta na płaszczyźnie to zbiór punktów tej płaszczyzny, które mają określone właściwości, natomiast punkty nie leżą na danej prostej nie mają tych właściwości. Równanie linii definiuje wyrażoną analitycznie zależność między współrzędnymi punktów leżących na tej prostej. Niech ta relacja będzie dana równaniem

F( x,y)=0. (2.1)

Para liczb spełniająca (2.1) nie jest arbitralna: if X dane, to w nie może być niczym, co oznacza w związany z X. Kiedy to się zmieni X zmiany w i punkt o współrzędnych ( x,y) opisuje ten wiersz. Jeżeli współrzędne punktu M 0 ( X 0 ,w 0) spełniają równanie (2.1), tj. F( X 0 ,w 0)=0 to prawdziwa równość, to punkt M 0 leży na tej prostej. Odwrotność też jest prawdziwa.

Definicja. Równanie prostej na płaszczyźnie jest równaniem, które spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na tej prostej, a nie spełniają współrzędne punktów, które nie leżą na tej prostej.

Jeśli znane jest równanie jakiejś prostej, to badanie właściwości geometryczne linię tę można sprowadzić do badania jej równania - jest to jedna z podstawowych idei geometrii analitycznej. Do badania równań istnieją dobrze rozwinięte metody analizy matematycznej, które upraszczają badanie właściwości linii.

Przy rozważaniu linii używa się tego terminu aktualny punkt linie — punkt zmienny M( x,y) porusza się wzdłuż tej linii. Współrzędne X oraz w aktualny punkt nazywa się aktualne współrzędne punkty linii.

Jeżeli z równania (2.1) można jednoznacznie wyrazić w
poprzez X, czyli napisz równanie (2.1) w postaci , wtedy krzywa wyznaczona takim równaniem nazywa się harmonogram Funkcje f(x).

1. Podano równanie: , lub . Jeśli X przyjmuje wartości arbitralne, to w przyjmuje wartości równe X. Zatem linia określona tym równaniem składa się z punktów równoodległych od osi współrzędnych Ox i Oy - jest to dwusieczna kątów współrzędnych I-III (linia prosta na rys. 2.1).

Równanie , lub , określa dwusieczną kątów współrzędnych II–IV (linia prosta na rys. 2.1).

0 x 0 x C 0 x

Ryż. 2.1 rys. 2.2 rys. 2,3

2. Podano równanie: , gdzie C jest pewną stałą. Równanie to można zapisać inaczej: . Równanie to spełniają te i tylko te punkty, rzędne w które są równe C dla dowolnej wartości odciętej X. Punkty te leżą na linii prostej równoległej do osi Wół (ryc. 2.2). Podobnie równanie definiuje linię prostą równoległą do osi Oy (rys. 2.3).

Nie każde równanie postaci F( x,y)=0 definiuje prostą na płaszczyźnie: równanie spełnia jedyny punkt - O(0,0), a równanie nie spełnia żaden punkt na płaszczyźnie.

W podanych przykładach zbudowaliśmy linię określoną tym równaniem zgodnie z danym równaniem. Rozważmy odwrotny problem: skomponować równanie wzdłuż danej linii.

3. Ułóż równanie okręgu o środku w punkcie P( a,b) oraz
promień R .

○ Okrąg o środku w punkcie P i promieniu R jest zbiorem punktów oddalonych od punktu P w odległości R. Oznacza to, że dla dowolnego punktu M leżącego na okręgu MP = R, ale jeśli punkt M nie leży na kółko, potem MP ≠ R.. ●

Niech na płaszczyźnie  będzie dany kartezjański prostokątny układ współrzędnych Oxy i pewna prosta L.

Definicja. Równanie F(x;y)=0 (1) nazywa równanie liniiL(w odniesieniu do danego układu współrzędnych), jeśli równanie to spełnia współrzędne x i y dowolnego punktu leżącego na prostej L i nie spełnia współrzędnych x i y żadnego punktu nie leżącego na prostej L.

To. linia w samolocie jest miejscem występowania punktów (M(x;y)) których współrzędne spełniają równanie (1).

Równanie (1) definiuje linię L.

Przykład. Równanie okręgu.

Koło- zbiór punktów równoodległych od danego punktu M 0 (x 0, y 0).

Punkt M 0 (x 0, y 0) - środek okręgu.

Dla dowolnego punktu M(x; y) leżącego na okręgu odległość MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 =R 2 –(2) – równanie okręgu o promieniu R wyśrodkowanym w punkcie M 0 (x 0, y 0).

Równanie linii parametrycznej.

Niech współrzędne x i y punktów prostej L będą wyrażone za pomocą parametru t:

(3) - równanie parametryczne linii w DSC

gdzie funkcje (t) i (t) są ciągłe względem parametru t (w pewnym zakresie zmienności tego parametru).

Eliminując parametr t z równania (3) otrzymujemy równanie (1).

Rozważmy prostą L jako drogę, którą przebył punkt materialny, poruszający się w sposób ciągły zgodnie z pewnym prawem. Niech zmienna t reprezentuje czas liczony od pewnego momentu początkowego. Wtedy zadaniem prawa ruchu jest zadanie współrzędnych x i y poruszającego się punktu jako pewnych funkcji ciągłych x=(t) i y=(t) czasu t.

Przykład. Wyprowadźmy równanie parametryczne dla okręgu o promieniu r>0 wyśrodkowanym na początku. Niech M(x, y) będzie dowolnym punktem tego okręgu, a t będzie kątem między wektorem promienia a osią Ox, liczonym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Wtedy x=r cos x y=r sin t. (cztery)

Równania (4) są równaniami parametrycznymi rozpatrywanego okręgu. Parametr t może przyjąć dowolną wartość, ale aby punkt M(x,y) raz okrążył okrąg, obszar zmiany parametru jest ograniczony do półsegmentu 0t2.

Podnosząc do kwadratu i dodając równania (4), otrzymujemy ogólne równanie koła (2).

2. Biegunowy układ współrzędnych (psc).

Wybierzmy oś L na płaszczyźnie ( oś biegunowa) i wyznacz punkt tej osi О ( Polak). Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie określony przez współrzędne biegunowe ρ i φ, gdzie

ρ – promień biegunowy, równy odległości od punktu M do bieguna O (ρ≥0);

φ – narożnik między kierunkiem wektora OM i oś L ( kąt biegunowy). M(ρ ; φ )

Równanie liniowe w LUW można napisać:

ρ=f(φ) (5) jawne równanie linii w PCS

F=(ρ; φ) (6) niejawne równanie linii w PCS

Związek między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi punktu.

(x; y) (ρ ; φ ) Z trójkąta OMA:

tg φ=(przywrócenie kątaφ według znanychpowstaje stycznabiorąc pod uwagę, w której ćwiartce znajduje się punkt M).(ρ ; φ )(x; y). x=ρcos φ,y= ρsin φ

Przykład . Znajdź współrzędne biegunowe punktów M(3;4) i P(1;-1).

Dla M:=5, φ=arctg (4/3). Dla P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klasyfikacja linii płaskich.

Definicja 1. Linia nazywa się algebraiczny, jeśli w jakimś kartezjańskim układzie współrzędnych prostokątnych, jeśli jest określony równaniem F(x;y)=0 (1), w którym funkcja F(x;y) jest wielomianem algebraicznym.

Definicja 2. Każda linia niealgebryczna jest nazywana niedościgniony.

Definicja 3. Linia algebraiczna nazywa się linia zamówienian, jeśli w jakimś kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych linia ta jest określona równaniem (1), w którym funkcja F(x;y) jest wielomianem algebraicznym n-tego stopnia.

Zatem linia n-tego rzędu jest linią określoną w jakimś kartezjańskim układzie prostokątnym przez równanie algebraiczne stopnia n z dwiema niewiadomymi.

Poniższe twierdzenie pomaga ustalić poprawność definicji 1,2,3.

Twierdzenie(dokumentacja na s. 107). Jeżeli linia w jakimś kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych jest określona równaniem algebraicznym stopnia n, to ta linia w dowolnym innym prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich jest określona równaniem algebraicznym tego samego stopnia n.

Jeśli określona jest reguła, zgodnie z którą z każdym punktem M płaszczyzny (lub jakiejś części płaszczyzny) związana jest pewna liczba u, to mówi się, że na płaszczyźnie (lub na części płaszczyzny) „funkcja punkt”; przypisanie funkcji jest symbolicznie wyrażone przez równość postaci u=f(M). Liczba u związana z punktem M nazywana jest wartością tej funkcji w punkcie M. Na przykład, jeśli A jest stałym punktem płaszczyzny, M jest dowolnym punktem, to odległość od A do M jest funkcją punkt M. W tym przypadku f (m) \u003d AM .

Niech zostanie podana jakaś funkcja u=f(M) i jednocześnie wprowadzony zostanie układ współrzędnych. Wtedy dowolny punkt M jest określony przez współrzędne x, y. W związku z tym wartość tej funkcji w punkcie M określają współrzędne x, y, czyli, jak mówią, u=f(M) jest funkcja dwóch zmiennych x i y. Funkcja dwóch zmiennych x i y jest oznaczona symbolem f(x;y): jeśli f(M)=f(x;y), to wzór u=f(x;y) nazywamy wyrażeniem tego funkcji w wybranym układzie współrzędnych. Tak więc w poprzednim przykładzie f(M)=AM; jeśli wprowadzimy kartezjański prostokątny układ współrzędnych z początkiem w punkcie A, otrzymamy wyrażenie dla tej funkcji:

u=kwadrat(x^2 + y^2)

PROBLEM 3688 Dana funkcja f (x, y)=x^2–y^2-16.

Dana funkcja f (x, y)=x^2–y^2-16. Określ wyrażenie tej funkcji w nowym układzie współrzędnych, jeśli osie współrzędnych są obrócone o -45 stopni.

Równania linii parametrycznych

Oznacz literami x i y współrzędne pewnego punktu M; rozważmy dwie funkcje argumentu t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

Gdy t się zmieni, wartości x i y ulegną, ogólnie rzecz biorąc, zmianie, a zatem punkt M przesunie się. Równości (1) są nazywane równania parametryczne linii, czyli trajektoria punktu M; argument t jest nazwany po parametrze. Jeżeli parametr t można wykluczyć z równości (1), to otrzymujemy równanie trajektorii punktu M w postaci

1. Jakie stwierdzenie nazywa się konsekwencją? Udowodnij, że prosta, która przecina jedną z dwóch równoległych linii, przecina również drugą

Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe.3. Jakie twierdzenie nazywa się odwrotnością tego twierdzenia? Podaj przykłady twierdzeń, które są odwrotne do danych. 4. Udowodnij, że gdy dwie równoległe linie przecinają sieczną, kąty leżące są równe. 5. Udowodnij, że jeśli prosta jest prostopadła do jednego z dwie równoległe linie, to jest również prostopadła do drugiej.6.Wykazać, że na przecięciu dwóch równoległych linii siecznej: a) odpowiednie kąty są równe; b) suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Pomoc Proszę o pytania dotyczące geometrii (klasa 9)! 2) Co to znaczy rozłożyć wektor na dwoje?

podane wektory. 9) Jaki jest wektor promienia punktu Udowodnij, że współrzędne punktu są równe odpowiednim współrzędnym wektorów. 10) Wyprowadź wzory do obliczania współrzędnych wektora ze współrzędnych jego początku i końca. 11) Wyprowadź wzory do obliczania współrzędnych wektora ze współrzędnych jego końców. 12) Wyprowadź wzór na obliczenie długości wektora przez jego współrzędne. 13) Wyprowadź wzór na obliczenie odległości między dwoma punktami na podstawie ich współrzędnych. 15) Jakie równanie nazywa się równaniem tej linii? Podaj przykład. 16) Wyprowadź równanie okręgu o danym promieniu, którego środek znajduje się w danym punkcie.

1) Sformułuj i udowodnij lemat dotyczący wektorów współliniowych.

3) Sformułuj i udowodnij twierdzenie o rozwinięciu wektora w dwa wektory niewspółliniowe.
4) Wyjaśnij, jak wprowadza się prostokątny układ współrzędnych.
5) Co to są wektory współrzędnych?
6) Sformułuj i udowodnij twierdzenie o rozkładzie dowolnego wektora na wektory współrzędnych.
7) Czym są współrzędne wektora?
8) Sformułuj i udowodnij zasady znajdowania współrzędnych sumy i różnicy wektorów oraz iloczynu wektora przez liczbę zgodnie z podanymi współrzędnymi wektorów.
10) Wyprowadź wzory do obliczania współrzędnych wektora ze współrzędnych jego początku i końca.
11) Wyprowadź wzory do obliczania współrzędnych wektora ze współrzędnych jego końców.
12) Wyprowadź wzór na obliczenie długości wektora przez jego współrzędne.
13) Wyprowadź wzór na obliczenie odległości między dwoma punktami na podstawie ich współrzędnych.
14) Podaj przykład rozwiązania problemu geometrycznego metodą współrzędnych.
16) Wyprowadź równanie okręgu o danym promieniu, którego środek znajduje się w danym punkcie.
17) Napisz równanie dla okręgu o podanym promieniu, którego środek znajduje się w punkcie początkowym.
18) Wyprowadź równanie tej linii w prostokątnym układzie współrzędnych.
19) Napisz równanie prostych przechodzących przez dany punkt M0 (X0:Y0) i równoległych do osi współrzędnych.
20) Napisz równanie osi współrzędnych.
21) Podaj przykłady wykorzystania równań okręgu i prostej w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

Proszę, to bardzo potrzebne! Najlepiej z rysunkami (w razie potrzeby)!

GEOMETRIA 9 KLASA.

1) Sformułuj i udowodnij lemat dotyczący wektorów współliniowych.
2) Co to znaczy rozłożyć wektor na dwa dane wektory.
3) Sformułuj i udowodnij twierdzenie o rozwinięciu wektora w dwa wektory niewspółliniowe.
4) Wyjaśnij, jak wprowadza się prostokątny układ współrzędnych.
5) Co to są wektory współrzędnych?
6) Sformułuj i udowodnij twierdzenie o rozkładzie dowolnego wektora na wektory współrzędnych.
7) Czym są współrzędne wektora?
8) Sformułuj i udowodnij zasady znajdowania współrzędnych sumy i różnicy wektorów oraz iloczynu wektora przez liczbę zgodnie z podanymi współrzędnymi wektorów.
9) Jaki jest wektor promienia punktu? Wykazać, że współrzędne punktu są równe odpowiednim współrzędnym wektorów.
14) Podaj przykład rozwiązania problemu geometrycznego metodą współrzędnych.
15) Jakie równanie nazywa się równaniem tej linii? Daj przykład.
17) Napisz równanie dla okręgu o podanym promieniu, którego środek znajduje się w punkcie początkowym.
18) Wyprowadź równanie tej linii w prostokątnym układzie współrzędnych.
19) Napisz równanie prostych przechodzących przez dany punkt M0 (X0:Y0) i równoległych do osi współrzędnych.
20) Napisz równanie osi współrzędnych.
21) Podaj przykłady wykorzystania równań okręgu i prostej w rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

Rozwiązanie równania

Ilustracja graficznej metody znajdowania pierwiastków równania

Rozwiązaniem równania jest zadanie znalezienia takich wartości argumentów, dla których osiągnięto tę równość. Na możliwe wartości argumentów można nałożyć dodatkowe warunki (całkowite, rzeczywiste itp.).

Podstawienie innego korzenia skutkuje nieprawidłowym stwierdzeniem:

.

Tak więc drugi korzeń należy odrzucić jako outsidera.

Rodzaje równań

Istnieją równania algebraiczne, parametryczne, transcendentalne, funkcjonalne, różniczkowe i inne.

Niektóre klasy równań mają rozwiązania analityczne, które są wygodne, ponieważ nie tylko podają dokładną wartość pierwiastka, ale pozwalają na zapisanie rozwiązania w postaci formuły, która może zawierać parametry. Wyrażenia analityczne pozwalają nie tylko obliczyć pierwiastki, ale przeanalizować ich istnienie i ich liczbę w zależności od wartości parametrów, co często jest nawet ważniejsze dla praktycznego zastosowania niż konkretne wartości pierwiastków.

Do równań, dla których znane są rozwiązania analityczne należą równania algebraiczne, nie wyższe niż czwarty stopień: równanie liniowe, równanie kwadratowe, równanie sześcienne i równanie czwartego stopnia. Równania algebraiczne wyższych stopni generalnie nie mają rozwiązania analitycznego, chociaż niektóre z nich można sprowadzić do równań niższych stopni.

Równanie zawierające funkcje transcendentalne nazywa się transcendentalnym. Wśród nich niektórym znane są rozwiązania analityczne równania trygonometryczne, ponieważ zera funkcji trygonometrycznych są dobrze znane.

W ogólnym przypadku, gdy nie można znaleźć rozwiązania analitycznego, stosuje się metody numeryczne. Metody numeryczne nie dają dokładnego rozwiązania, a jedynie pozwalają na zawężenie przedziału, w którym leży pierwiastek do pewnej z góry określonej wartości.

Przykłady równań

Zobacz też

Literatura

• Bekarevich, A. B. Równania w szkolnym kursie matematyki / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
• Markushevich, L. A. Równania i nierówności w końcowym powtórzeniu kursu algebry licealnej / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematyka w szkole. - 2004. - nr 1.
• Kaplan Ya V. Rivnyanya. - Kijów: szkoła radyańska, 1968.
• Równanie- artykuł z Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej
• Równania// Encyklopedia Colliera. - Społeczeństwo otwarte. 2000.
• Równanie// Encyklopedia na całym świecie
• Równanie// Encyklopedia matematyczna. - M.: Encyklopedia radziecka. I.M. Winogradow. 1977-1985.

Spinki do mankietów

• EqWorld - Świat równań matematycznych - zawiera obszerne informacje o równaniach matematycznych i układach równań.

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Synonimy:

Antonimy:

• Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
• Komputer ES

Zobacz, co „Równanie” znajduje się w innych słownikach:

RÓWNANIE- (1) matematyczna notacja problemu znalezienia takich wartości argumentów (patrz (2)), w której wartości dwóch danych (patrz) są równe. Argumenty, od których zależą te funkcje, nazywane są nieznanymi, a wartościami niewiadomych, dla których wartości ... ... Wielka Encyklopedia Politechniczna

RÓWNANIE- RÓWNANIE, równania, cf. 1. Działanie wg Ch. wyrównać wyrównać i stan zgodnie z Ch. wyrównać wyrównać. Równouprawnienie. Równanie czasu (tłumaczenie prawdziwego czasu słonecznego na średni czas słoneczny, akceptowane w hostelu i nauce; ... ... Słownik wyjaśniający Uszakowa

RÓWNANIE- (równanie) Wymaganie, aby wyrażenie matematyczne przybrało określoną wartość. Na przykład, równanie kwadratowe zapisujemy jako: ax2+bx+c=0. Rozwiązaniem jest wartość x, przy której dane równanie staje się identycznością. W… … Słownik ekonomiczny

RÓWNANIE- matematyczna notacja problemu znalezienia wartości argumentów, w których wartości dwóch podanych funkcji są równe. Argumenty, od których zależą te funkcje, nazywane są nieznanymi, a wartości niewiadomych, dla których wartości funkcji są równe, ... ... Wielki słownik encyklopedyczny

RÓWNANIE- RÓWNANIE, dwa wyrażenia połączone znakiem równości; te wyrażenia zawierają jedną lub więcej zmiennych, zwanych niewiadomymi. Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich wartości niewiadomych, dla których staje się tożsamością, lub ustalenie ... Współczesna encyklopedia

Dziecko