I. Twierdzenie Viety dla zredukowanego równania kwadratowego.

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 jest równy drugiemu współczynnikowi, przyjętemu ze znakiem przeciwnym, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Znajdź pierwiastki podanego równania kwadratowego, korzystając z twierdzenia Viety.

Przykład 1) x 2 -x-30=0. To jest zredukowane równanie kwadratowe ( x 2 +px+q=0), drugi współczynnik p=-1, a wolny termin q=-30. Najpierw upewnij się, że dane równanie ma pierwiastki i że pierwiastki (jeśli istnieją) będą wyrażone jako liczby całkowite. W tym celu wystarczy, aby wyróżnikiem był pełny kwadrat liczby całkowitej.

Znalezienie dyskryminatora D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz, zgodnie z twierdzeniem Vieta, suma pierwiastków musi być równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu ze znakiem przeciwnym, tj. ( -P), a iloczyn jest równy terminowi bezpłatnemu, tj. ( Q). Następnie:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Musimy wybrać takie dwie liczby, aby ich iloczyn był równy -30 , a suma to jednostka. To są liczby -5 I 6 . Odpowiedź: -5; 6.

Przykład 2) x 2 +6x+8=0. Mamy zredukowane równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem p=6 i wolny członek q=8. Upewnij się, że istnieją pierwiastki całkowite. Znajdźmy wyróżnik D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Dyskryminator D 1 jest idealnym kwadratem liczby 1 , więc pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi. Pierwiastki wybieramy zgodnie z twierdzeniem Vieta: suma pierwiastków jest równa –p=-6, a iloczynem korzeni jest q=8. To są liczby -4 I -2 .

Właściwie: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odpowiedź: -4; -2.

Przykład 3) x 2 +2x-4=0. W tym zredukowanym równaniu kwadratowym drugi współczynnik p=2, a wolny termin q=-4. Znajdźmy wyróżnik D1, ponieważ drugi współczynnik jest liczbą parzystą. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Dyskryminator nie jest idealnym kwadratem liczby, więc robimy wyjście: pierwiastki tego równania nie są liczbami całkowitymi i nie można ich znaleźć za pomocą twierdzenia Viety. Tak więc, jak zwykle, rozwiązujemy to równanie według wzorów (w tym przypadku według wzorów). Otrzymujemy:

Przykład 4). Napisz równanie kwadratowe, używając jego pierwiastków, jeśli x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Rozwiązanie. Pożądane równanie zostanie zapisane w postaci: x 2 +px+q=0 ponadto na podstawie twierdzenia Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Wtedy równanie przyjmie postać: x2 +3x-28=0.

Przykład 5). Napisz równanie kwadratowe, używając jego pierwiastków, jeśli:

II. Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego ax2+bx+c=0.

Suma pierwiastków to minus b podzielony przez ale, iloczynem korzeni jest od podzielony przez ale:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Przykład 6). Znajdź sumę pierwiastków równania kwadratowego 2x2 -7x-11=0.

Trzy liczby 12x, x 2-5 i 4 we wskazanej kolejności tworzą rosnący postęp arytmetyczny https://youtu.be/U0VO_N9udpI Wybierz prawidłowe stwierdzenie http://pin.it/9w-GqGp Znajdź wszystkie x, y i z takie, że liczby 5x + 3, y2 i 3z + 5 tworzą ciąg arytmetyczny w tej kolejności. Znajdź x i zapisz różnicę tego progresji. Rozwiąż układ równań Matematyka USE. Lekcje wideo. Podzielność liczb całkowitych. Funkcja liniowa. problemy podzielności. Twierdzenie Viety, twierdzenie odwrotne, wzory Viety. mądry #studenci #równania #twierdzenie_vietasa #twierdzenie Następnie rozważymy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety. Następnie przeanalizujemy rozwiązania najbardziej charakterystycznych przykładów. Dowodzi to pierwszego związku twierdzenia Viety z sumą pierwiastków równania kwadratowego. Przejdźmy do drugiego. Jak udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety? DOK-VO: x2 + px + f \u003d 0 x2- (M + H) * x + M * H \u003d 0 x2-Mx-Hx + M * H \u003d 0 x (x-H) -M (x-H) = 0 (xM) (xH) =0 xM=0 xH=0 x=M x=H FTD. Udowodniliśmy więc w klasie profili z matematycznym nastawieniem. Odpowiedzi: pomóż mi zrozumieć twierdzenie odwrotne Vieta dzięki konkretnym przykładom Twierdzenie odwrotne Vieta pomaga rozwiązać: Jeśli współczynnik a jest liczbą, z której łatwo jest wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z liczby wymiernej, to suma x1 i x2 będzie równa liczbie Udowodnij twierdzenie odwrotność do twierdzenia Vieta - zobacz jak złożyć skargę na dowód twierdzenia Vieta. Sformułuj i udowodnij twierdzenie Vieta, a także twierdzenie odwrotne, stosuj twierdzenia do rozwiązywania równań i problemów. Udowodnij twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety. USE w matematyce za 100 punktów: sekrety, o których nauczyciele szkolni nie mówią, zadania dla pochodnych. Wielu wnioskodawców uważa, że ​​do pierwszych czternastu zadań nie trzeba się przygotowywać, uważając, że są one bardzo łatwe, ale tak nie jest! Większość testerów popełnia najprostsze błędy arytmetyczne, przesłaniając tym samym doskonałe rozwiązanie zadań z części C. Takie sytuacje są bardzo częste, dlatego nie należy lekceważyć przygotowania do pierwszych zadań, ale przygotować się jak na treningu sportowym: jeśli zdobywasz 90-100 punktów - trenuj, aby rozwiązać pierwszy blok w 20-25 minut, jeśli o 70-80 punktów - około 30 minut, nie więcej. Doskonałym sposobem na szkolenie jest rozwiązywanie problemów w towarzystwie korepetytora, na kursach, na których zostaną ustalone pewne warunki: na przykład rozwiązywanie przed pierwszym błędem, a następnie przekazanie pracy; inna opcja - za każdy błąd przekazujesz pieniądze do ogólnej kasy. Bez względu na to, jak dziwnie może się to wydawać, nie polecamy oficjalnej strony internetowej, ponieważ wszystkie testy są tak zagmatwane, że nie można z niej korzystać. Ważne jest sformułowanie zadań części C. Jeśli decyzja zostanie podjęta niedokładnie, przebieg rozwiązania zadania nie będzie jasny, a zatem inspektor na pewno znajdzie w tym błąd i obniży twój wynik. Wydawałoby się, że rozmawialiśmy o bardzo prostych rzeczach, ale idąc za naszą radą zapewnisz sobie pomyślne zdanie egzaminu! Tajne linki, które są opisane w klasie Master, można znaleźć tutaj - są to linki do kursów wideo przygotowujących do egzaminu. Otrzymany wynik nazywa się twierdzeniem Viety. Dla zredukowanego trójmianu kwadratowego 2 x px q, twierdzenie Viety wygląda tak: jeśli istnieją pierwiastki, to twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety również jest prawdziwe: jeśli liczby spełniają warunki, to te liczby są pierwiastkami równania. Dowód tego twierdzenia jest jednym z pytań kontrolnych Zadania. Czasami, dla zwięzłości, oba twierdzenia Viety (bezpośrednie i odwrotne) nazywane są po prostu twierdzeniem Viety.

Funkcja kwadratowa.

Funkcja podana wzorem y = ax2 + bx + c , gdzie x i y są zmiennymi, a a, b, c są liczbami, przy czym a nie jest równe 0 .
nazywa się funkcja kwadratowa

Wybór pełnego kwadratu.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, warunki ich istnienia i liczby.

jest wyróżnikiem równania kwadratowego.

Twierdzenia bezpośrednie i odwrotne Viety.

Rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe.

Twierdzenie. Zostawiać

x 1 i x 2 - pierwiastki trójmianu kwadratowegox 2 + px + Q. Następnie ten trójmian rozkłada się na czynniki liniowe w następujący sposób:x 2 + px + Q = (x - x 1) (x - x 2).

Dowód. Zastąp zamiast

P I Qich wyrażenia poprzezx 1 i x 2 i użyj metody grupowania:

x 2 + px + Q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Twierdzenie zostało udowodnione.

Równanie kwadratowe. Kwadratowy wykres trójmianowy

Wpisz równanie

nazywa się równaniem kwadratowym. Liczba D = b 2 - 4ac jest wyróżnikiem tego równania.
Jeśli

potem liczby

są pierwiastkami (lub rozwiązaniami) równania kwadratowego. Jeśli D = 0, to korzenie pokrywają się:

Jeśli D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Prawidłowe formuły:

- formuły Vieta; ale
topór 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
formuła faktoryzacji.
Wykres funkcji kwadratowej (trójmian kwadratowy) y \u003d ax 2 + bx + c jest parabolą. Położenie paraboli w zależności od znaków współczynnika a i dyskryminatora D pokazano na ryc.


Liczby x 1 i x 2 na osi x są pierwiastkami równania kwadratowego ax 2 + bx + + c \u003d 0; współrzędne wierzchołka paraboli (punkt A) we wszystkich przypadkach

punkt przecięcia paraboli z osią y ma współrzędne (0; c).
Podobnie jak linia prosta i koło, parabola dzieli płaszczyznę na dwie części. W jednej z tych części współrzędne wszystkich punktów spełniają nierówność y > ax 2 + bx + c, aw drugiej odwrotnie. Znak nierówności w wybranej części płaszczyzny określa się, znajdując go w pewnym punkcie tej części płaszczyzny.
Rozważ koncepcję stycznej do paraboli (lub okręgu). Prosta y - kx + 1 będzie nazywana styczną do paraboli (lub okręgu), jeśli ma jeden punkt wspólny z tą krzywą.


W punkcie styku M(x; y) dla paraboli jest spełniona równość kx + 1 = ax 2 + bx + c (dla okręgu równość (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Przyrównując dyskryminator wynikowego równania kwadratowego do zera (ponieważ równanie musi mieć jednoznaczne rozwiązanie), dochodzimy do warunków obliczania współczynników tangensa.

Jedną z metod rozwiązywania równania kwadratowego jest aplikacja Formuły VIETA, który został nazwany na cześć FRANCOIS VIETE.

Był słynnym prawnikiem i służył w XVI wieku u króla Francji. W wolnym czasie studiował astronomię i matematykę. Ustalił związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego.

Zalety formuły:

1 . Stosując formułę, szybko znajdziesz rozwiązanie. Ponieważ nie musisz wpisywać do kwadratu drugiego współczynnika, odejmij od niego 4ac, znajdź dyskryminator, podstawiaj jego wartość do wzoru na znalezienie pierwiastków.

2 . Bez rozwiązania możesz określić znaki korzeni, podnieść wartości korzeni.

3 . Po rozwiązaniu systemu dwóch rekordów nietrudno znaleźć same korzenie. W powyższym równaniu kwadratowym suma pierwiastków jest równa wartości drugiego współczynnika ze znakiem minus. Iloczyn pierwiastków w powyższym równaniu kwadratowym jest równy wartości trzeciego współczynnika.

4 . Zgodnie z podanymi pierwiastkami napisz równanie kwadratowe, czyli rozwiąż zadanie odwrotne. Na przykład ta metoda służy do rozwiązywania problemów w mechanice teoretycznej.

5 . Wygodnie jest zastosować wzór, gdy wiodący współczynnik jest równy jeden.

Niedogodności:

1 . Formuła nie jest uniwersalna.

Twierdzenie Viety, stopień 8

Formuła
Jeśli x 1 i x 2 są pierwiastkami danego równania kwadratowego x 2 + px + q \u003d 0, to:

Przykłady
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - pierwiastki równania x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Twierdzenie odwrotne

Formuła
Jeżeli liczby x 1 , x 2 , p, q są połączone warunkami:

Wtedy x 1 i x 2 są pierwiastkami równania x 2 + px + q = 0.

Przykład
Zróbmy równanie kwadratowe przez jego pierwiastki:

X 1 \u003d 2 -? 3 i x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Pożądane równanie ma postać: x 2 - 4x + 1 = 0.

Twierdzenie Viety

Niech i oznacz pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego
(1) .
Wtedy suma pierwiastków jest równa współczynnikowi w przyjętym z przeciwnym znakiem. Iloczyn korzeni jest równy członowi wolnemu:
;
.

Uwaga o wielu korzeniach

Jeżeli dyskryminator równania (1) wynosi zero, to równanie to ma jeden pierwiastek. Jednak, aby uniknąć kłopotliwych sformułowań, ogólnie przyjmuje się, że w tym przypadku równanie (1) ma dwa wielokrotne lub równe pierwiastki:
.

Dowód jeden

Znajdźmy pierwiastki równania (1). Aby to zrobić, zastosuj wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
;
;
.

Znalezienie sumy pierwiastków:
.

Aby znaleźć produkt, stosujemy formułę:
.
Następnie

.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dowód dwa

Jeśli liczby i są pierwiastkami równania kwadratowego (1), to
.
Otwieramy wsporniki.

.
Zatem równanie (1) przyjmie postać:
.
W porównaniu z (1) znajdujemy:
;
.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Odwrotne twierdzenie Vieta

Niech będą dowolne liczby. Wtedy i są pierwiastkami równania kwadratowego
,
gdzie
(2) ;
(3) .

Dowód twierdzenia odwrotnego Viety

Rozważ równanie kwadratowe
(1) .
Musimy udowodnić, że jeśli i , to i są pierwiastkami równania (1).

Zastąpić (2) i (3) w (1):
.
Grupujemy wyrazy lewej strony równania:
;
;
(4) .

Zastąp w (4):
;
.

Zastąp w (4):
;
.
Równanie jest spełnione. Oznacza to, że liczba jest pierwiastkiem równania (1).

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego

Rozważmy teraz całe równanie kwadratowe
(5) ,
gdzie , i to kilka liczb. I .

Równanie (5) dzielimy przez:
.
Oznacza to, że otrzymaliśmy powyższe równanie
,
gdzie ; .

Wtedy twierdzenie Vieta dla pełnego równania kwadratowego ma następującą postać.

Niech i oznacz pierwiastki pełnego równania kwadratowego
.
Następnie sumę i iloczyn pierwiastków określają wzory:
;
.

Twierdzenie Viety dla równania sześciennego

Podobnie możemy ustalić połączenia między pierwiastkami równania sześciennego. Rozważ równanie sześcienne
(6) ,
gdzie , , , to niektóre liczby. I .
Podzielmy to równanie przez:
(7) ,
gdzie , , .
Niech , , będą pierwiastkami równania (7) (i równania (6)). Następnie

.

Porównując z równaniem (7) znajdujemy:
;
;
.

Twierdzenie Viety dla równania n-tego stopnia

W ten sam sposób można znaleźć połączenia między pierwiastkami , , ... , , dla równania n-tego stopnia
.

Twierdzenie Viety dla równania n-tego stopnia ma następującą postać:
;
;
;

.

Aby uzyskać te formuły, zapisujemy równanie w następującej postaci:
.
Następnie zrównujemy współczynniki w , , , ... i porównujemy wyraz wolny.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov i in., Algebra: podręcznik dla 8. klasy instytucji edukacyjnych, Moskwa, Edukacja, 2006.

Dziecko