Pawłow Roman

Połączenie trygonometrii ze światem zewnętrznym, znaczenie trygonometrii w rozwiązywaniu wielu problemów praktycznych, możliwości graficzne funkcji trygonometrycznych umożliwiają „zmaterializowanie” wiedzy uczniów. Pozwala to lepiej zrozumieć istotną potrzebę wiedzy nabytej w badaniu trygonometrii, zwiększa zainteresowanie badaniem tego tematu.

Pobierać:

Zapowiedź:

Miejska Budżetowa Instytucja Oświatowa

liceum №10

z dogłębnym studium poszczególnych przedmiotów

Projekt zrealizowali:

Pawłow Roman

Uczeń klasy 10b

Kierownik:

nauczyciel matematyki

Boldyreva N.A.

Yeleta, 2012

1. Wstęp.

3. Świat trygonometrii.

• Trygonometria w fizyce.

• Trygonometria w planimetrii.

3.2 Graficzne reprezentacje transformacji „mało interesujących” funkcji trygonometrycznych w oryginalne krzywe(za pomocą programu komputerowego „Funkcje i wykresy”).

• Krzywe we współrzędnych biegunowych (rozety).
• Krzywe we współrzędnych kartezjańskich (krzywe Lissajous).
• Ozdoby matematyczne.

4. Wniosek.

5. Spis piśmiennictwa.

Cel projektu - rozwój zainteresowania badaniem tematu "Trygonometria" w toku algebry i rozpoczęcie analizy przez pryzmat wartości użytkowej badanego materiału; rozbudowa reprezentacji graficznych zawierających funkcje trygonometryczne; zastosowanie trygonometrii w takich naukach jak fizyka, biologia. Odgrywa ważną rolę w medycynie, a co najciekawsze, nie obyło się bez niej nawet muzyka i architektura.

Przedmiot studiów- trygonometria

Przedmiot badań- stosowana orientacja trygonometrii; wykresy niektórych funkcji z wykorzystaniem wzorów trygonometrycznych.

Cele badań:

1. Rozważ historię powstania i rozwoju trygonometrii.

2. Przedstawić praktyczne zastosowania trygonometrii w różnych naukach na konkretnych przykładach.

3.Wyjaśnić na konkretnych przykładach możliwości wykorzystania funkcji trygonometrycznych, które pozwalają zamienić „mało ciekawe” funkcje w funkcje, których wykresy mają bardzo oryginalny wygląd.

Hipoteza - Założenia: Połączenie trygonometrii ze światem zewnętrznym, znaczenie trygonometrii w rozwiązywaniu wielu problemów praktycznych, możliwości graficzne funkcji trygonometrycznych umożliwiają „zmaterializowanie” wiedzy uczniów. Pozwala to lepiej zrozumieć istotną potrzebę wiedzy nabytej w badaniu trygonometrii, zwiększa zainteresowanie badaniem tego tematu.

Metody badawcze- analiza literatury matematycznej na ten temat; wybór konkretnych zadań o charakterze aplikacyjnym na ten temat; symulacja komputerowa oparta na programie komputerowym. Otwarta matematyka „Funkcje i wykresy” (Physicon).

1. Wstęp

„Jedno jest jasne, że świat jest uporządkowany

Straszne i cudowne."

N.Rubtsov

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem relacji między kątami i długościami boków trójkątów, a także tożsamościami algebraicznymi funkcji trygonometrycznych. Trudno to sobie wyobrazić, ale spotykamy się z tą nauką nie tylko na lekcjach matematyki, ale także w naszym codziennym życiu. Być może nie zdajesz sobie z tego sprawy, ale trygonometria znajduje się w takich naukach jak fizyka, biologia, odgrywa ważną rolę w medycynie, a co najciekawsze, nawet muzyka i architektura nie mogłyby się bez niej obejść. Problemy z treścią praktyczną odgrywają istotną rolę w rozwijaniu umiejętności praktycznego zastosowania wiedzy teoretycznej zdobytej na studiach matematycznych. Każdego studenta matematyki interesuje, jak i gdzie zastosować zdobytą wiedzę. Ta praca daje odpowiedź na to pytanie.

2.Historia rozwoju trygonometrii.

Słowo trygonometria składał się z dwóch greckich słów: τρίγονον (trójkąt trygononowy) i μετρειν (metr-miara) w dosłownych środkach tłumaczeniowychpomiar trójkąta.

To jest to zadanie - pomiar trójkątów lub, jak mówią teraz, rozwiązanie trójkątów, tj. określenie wszystkich boków i kątów trójkąta przez jego trzy znane elementy (bok i dwa kąty, dwa boki i kąt lub trzy boki) było podstawą praktycznych zastosowań trygonometrii od czasów starożytnych.

Jak każda inna nauka, trygonometria wyrosła z ludzkiej praktyki w procesie rozwiązywania konkretnych problemów praktycznych. Pierwsze etapy rozwoju trygonometrii są ściśle związane z rozwojem astronomii. Ogromny wpływ na rozwój astronomii i ściśle z nią związanej trygonometrii wywarły potrzeby rozwoju nawigacji, która wymagała umiejętności prawidłowego określania kursu statku na pełnym morzu poprzez położenie ciał niebieskich. Istotną rolę w rozwoju trygonometrii odegrała konieczność sporządzania map geograficznych i ściśle z tym związana potrzeba prawidłowego wyznaczania dużych odległości na powierzchni Ziemi.

Prace starożytnego greckiego astronoma miały fundamentalne znaczenie dla rozwoju trygonometrii w dobie jej powstania. Hipparch (połowa II wpne). Trygonometria jako nauka we współczesnym znaczeniu tego słowa nie tylkoHipparchos, ale także wśród innych naukowców starożytności, ponieważ wciąż nie mieli pojęcia o funkcjach kątów i nawet nie podnieśli kwestii relacji między kątami i bokami trójkąta w ogólnej formie. Ale w istocie, wykorzystując znane im środki elementarnej geometrii, rozwiązali problemy, którymi zajmuje się trygonometria. Jednocześnie głównym sposobem uzyskania pożądanych wyników była umiejętność obliczania długości cięciw kołowych w oparciu o znane relacje między bokami regularnego trój-, cztero-, pięcio- i dziesięciokątnego oraz promienia ograniczone koło.

Hipparch skompilował pierwsze tablice akordów, tj. tabele wyrażające długość cięciwy dla różnych kątów środkowych w okręgu o stałym promieniu. Były to w istocie tablice o podwójnych sinusach o połowie kąta centralnego. Jednak oryginalne tablice Hipparcha (jak prawie wszystko, co przez niego napisane) nie dotarły do ​​nas, a wyobrażenie o nich możemy sformułować głównie z kompozycji „Wielka konstrukcja” lub (w tłumaczeniu arabskim) „Almagest ”przez sławnych astronom Klaudiusz Ptolemeusz, żyjący w połowie II wieku naszej ery.

Ptolemeusz podzielił obwód na 360 stopni, a średnicę na 120 części. Uważał, że promień wynosi 60 części (60 ). Podzielił każdą część przez 60 , co minutę przez 60 , sekunda na 60 tercji (60 ), itp., używając wskazanego podziału, Ptolemeusz wyraził bok sześciokąta foremnego wpisanego lub cięciwy odejmując łuk do 60 w postaci 60 części promienia (60 h ), a bok wpisanego kwadratu lub cięciwy wynosi 90 zrównał liczbę 84 h 51  10 . Akord na 120  - bok wpisanego trójkąta równobocznego - wyraził liczbę 103 h 55  23  itp. Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej średnicy koła napisał na podstawie twierdzenia Pitagorasa: (akord ) 2 + (cięciwa  180-  ) 2 = (średnica) 2 , co odpowiada nowoczesnej formule sin 2  + cos 2  =1.

„Almagest” zawiera tabelę akordów do pół stopnia od 0 do 180  , który z naszego współczesnego punktu widzenia reprezentuje tablicę sinusów dla kątów od 0 do 90  co ćwierć stopnia.

Podstawą wszelkich obliczeń trygonometrycznych wśród Greków było znane Hipparchowi twierdzenie Ptolemeusza: „prostokąt zbudowany na przekątnych czworokąta wpisanego w okrąg jest równy sumie prostokątów zbudowanych po przeciwnych stronach”(tj. iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów)przeciwne strony). Korzystając z tego twierdzenia, Grecy byli w stanie (stosując twierdzenie Pitagorasa) używając cięciw dwóch kątów obliczyć cięciwę sumy (lub cięciwę różnicy) tych kątów lub cięciwę o połowie danego kąta, tj. byliśmy w stanie uzyskać wyniki, które teraz otrzymujemy, korzystając ze wzorów na sinus sumy (lub różnicy) dwóch kątów lub połowy kąta.

Nowe kroki w rozwoju trygonometrii wiążą się z rozwojem matematycznej kultury narodówIndie, Azja Środkowa i Europa (V-XII).

Ważnym krokiem naprzód w okresie od V do XII wieku byli Hindusi, którzy w przeciwieństwie do Greków zaczęli uwzględniać i wykorzystywać w obliczeniach nie cały akord MM (patrz rysunek) odpowiedniego kąta środkowego, ale tylko jego połowy MP, czyli tego, co teraz nazywamy linią sinusoidalną połowa środkowego rogu.

Wraz z sinusem Indianie wprowadzili cosinus do trygonometrii, a dokładniej, w swoich obliczeniach zaczęli używać cosinusa. (Sam termin cosinus pojawił się znacznie później w pracach europejskich naukowców po raz pierwszy pod koniec XVI wieku od tzw. sinusa dopełnienia, czyli sinusa kąta dopełniającego dany kąt do 90 . „Sinus complement” lub (po łacinie) sinus completei zaczęto skracać do sinus co lub co-sinus).

Znali też proporcje cos \u003d grzech (90  -  ) i grzech 2  + cos 2  \u003d r 2 , a także wzory na sinus sumy i różnicy dwóch kątów.

Kolejny etap rozwoju trygonometrii związany jest z krajami

Azja Środkowa, Bliski Wschód, Zakaukazie (VII-XV wiek)

Rozwijająca się w ścisłym związku z astronomią i geografią matematyka środkowoazjatycka miała wyraźny „charakter obliczeniowy” i miała na celu rozwiązywanie stosowanych problemów pomiaru geometrii i trygonometrii, a trygonometria została ukształtowana w specjalną dyscyplinę matematyczną w dużej mierze właśnie w pracach Naukowcy z Azji Środkowej. Z najważniejszych sukcesów, jakie odnieśli, należy przede wszystkim zwrócić uwagę na wprowadzenie wszystkich sześciu linii trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa, cotangensa, secans i cosecans, z których tylko dwie pierwsze były znane Grekom i Hindusom.

Rozwiązanie problemu wyznaczenia wysokości Słońca S przez cień b pionowo stojącego słupa a (patrz rysunek), syryjski astronom al-Battani(Hv.) przyszedł do wniosku, że kąt ostry w trójkącie prostokątnym jest określony przez stosunek jednej nogi do drugiej i obliczono małą tabelę cotangensów przez 1 . Dokładniej obliczył długość cienia b=a =a  ctg  biegun o określonej długości (a \u003d 12) dla =1  ,2  ,3  ……

Abu-l-Wafa z Khorasan, który żył w X wieku (940-998), skompilował podobną „tablicę stycznych”, tj. obliczona długość cienia b=a =a  tg  , rzucony przez poziomy słup o określonej długości (a \u003d 60) na pionową ścianę (patrz rysunek).

Należy zauważyć, że same terminy „styczna” (w dosłownym tłumaczeniu – „dotyczące”) i „kotangencja” pochodzą z języka łacińskiego i pojawiły się w Europie znacznie później (XVI-XVII wiek). Naukowcy z Azji Środkowej nazwali odpowiednie linie „cieniami”: cotangens - „pierwszy cień”, styczna - „drugi cień”.

Abu-l-Wafa podał absolutnie dokładną geometryczną definicję linii stycznej w okręgu trygonometrycznym i dodał linie siecznej i cosecans do linii stycznej i cotangensa. Wyraził także (werbalnie) relacje algebraiczne między wszystkimi funkcjami trygonometrycznymi, aw szczególności dla przypadku, gdy promień okręgu jest równy jeden. Ten niezwykle ważny przypadek został rozpatrzony przez europejskich naukowców 300 lat później. Wreszcie Abu-l-Wafa skompilował tabelę sinusów co 10 .

W pracach naukowców z Azji Środkowej trygonometria przekształciła się z nauki służącej astronomii w specjalną dyscyplinę matematyczną o niezależnym zainteresowaniu.

Trygonometria zostaje oddzielona od astronomii i staje się samodzielną nauką. Ta gałąź jest zwykle kojarzona z nazwiskiem azerbejdżańskiego matematykaNasiraddina Tusiego (1201-1274).

Po raz pierwszy w nauce europejskiej harmonijne przedstawienie trygonometrii przedstawiono w książce „O trójkątach różnych rodzajów”, napisanej przezJohann Müller, lepiej znany w matematyce jakoRegiomontanus (1436-1476).Uogólnia w nim metody rozwiązywania trójkątów prostokątnych i podaje tablice sinusów z dokładnością do 0,000001. Jednocześnie godne uwagi jest to, że przyjął promień okręgu na 10 000 000 lub 10 000, tj. wyrażał wartości funkcji trygonometrycznych w ułamkach dziesiętnych, faktycznie przechodząc z systemu liczb sześćdziesiętnych na dziesiętny.

angielski uczony z XIV wiekuBradwardyna (1290-1349)jako pierwszy w Europie wprowadził do obliczeń trygonometrycznych cotangens zwany „cieniem bezpośrednim” i tangens zwany „cieniem odwróconym”.

U progu XVII wieku. W rozwoju trygonometrii zarysowuje się nowy kierunek - analityczny. Jeśli wcześniej głównym celem trygonometrii było rozwiązanie trójkątów, obliczenia elementów figur geometrycznych i doktrynę funkcji trygonometrycznych zbudowano na podstawie geometrycznej, to w XVII-XIX wieku. trygonometria stopniowo staje się jednym z rozdziałów analizy matematycznej. Wiedziałem też o właściwościach okresowości funkcji trygonometrycznych Wietnam, którego pierwsze badania matematyczne dotyczyły trygonometrii.

szwajcarski matematykJohann Bernoulli (1642-1727)używał już symboli funkcji trygonometrycznych.

W pierwszej połowie XIX wieku. francuski naukowiec J. Fouriera udowodnił, że każdy ruch okresowy można przedstawić jako sumę prostych drgań harmonicznych.

Ogromne znaczenie w historii trygonometrii miała twórczość słynnego petersburskiego akademikaLeonhard Euler (1707-1783),nadał całej trygonometrii nowoczesny wygląd.

W swojej pracy „Wprowadzenie do analizy” (1748) Euler rozwinął trygonometrię jako naukę o funkcjach trygonometrycznych, przedstawił jej analityczną prezentację, wyprowadzając cały zestaw formuł trygonometrycznych z kilku podstawowych formuł.

Euler posiada ostateczne rozwiązanie kwestii znaków funkcji trygonometrycznych we wszystkich ćwiartkach koła, wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla przypadków ogólnych.

Po wprowadzeniu do matematyki nowych funkcji trygonometrycznych celowe stało się postawienie kwestii rozwinięcia tych funkcji w szereg nieskończony. Okazuje się, że takie rozszerzenia są możliwe:

Sinx=x-

cox=1-

Serie te znacznie ułatwiają zestawianie tabel wielkości trygonometrycznych i ich wyszukiwanie z dowolnym stopniem dokładności.

W pracach dokończono analityczną konstrukcję teorii funkcji trygonometrycznych zapoczątkowaną przez EuleraNI Łobaczewski, Gauss, Cauchy, Fourier i inni.

„Rozważania dotyczące geometrii”, pisze Łobaczewski, „są konieczne aż do początków trygonometrii, dopóki nie posłużą do odkrycia charakterystycznej właściwości funkcji trygonometrycznych… Stąd trygonometria staje się całkowicie niezależna od geometrii i ma wszystkie zalety analizy”.

Obecnie trygonometria nie jest już uważana za samodzielną gałąź matematyki. Jej najważniejsza część, doktryna funkcji trygonometrycznych, jest częścią ogólniejszej teorii, skonstruowanej z ujednoliconego punktu widzenia, doktryny funkcji badanych w analizie matematycznej; druga część, rozwiązanie trójkątów, uważana jest za głowę geometrii.

3. Świat trygonometrii.

3.1 Zastosowanie trygonometrii w różnych naukach.

Obliczenia trygonometryczne są wykorzystywane w prawie wszystkich dziedzinach geometrii, fizyki i inżynierii.

Ogromne znaczenie ma technika triangulacji, która umożliwia pomiar odległości do pobliskich gwiazd w astronomii, między punktami orientacyjnymi w geografii oraz sterowanie systemami nawigacji satelitarnej. Należy zwrócić uwagę na zastosowanie trygonometrii w następujących obszarach: technologia nawigacji, teoria muzyki, akustyka, optyka, analiza rynków finansowych, elektronika, teoria prawdopodobieństwa, statystyka, biologia, medycyna (w tym ultradźwięki), tomografia komputerowa, farmaceutyka, chemia, liczba teoria, sejsmologia, meteorologia, oceanologia, kartografia, wiele dziedzin fizyki, topografia, geodezja, architektura, fonetyka, ekonomia, elektronika, inżynieria mechaniczna, grafika komputerowa, krystalografia.

Trygonometria w fizyce.

Wibracje harmoniczne.

Kiedy punkt porusza się po linii prostej na przemian w jednym kierunku, to w drugim, to mówią, że punkt sprawia wahania.

Jednym z najprostszych rodzajów oscylacji jest ruch wzdłuż osi rzutu punktu M, który obraca się równomiernie wokół okręgu. Prawo tych oscylacji ma postać: x=Rcos(t+  ), (1).

gdzie R to promień okręgu, T to czas jednego obrotu punktu M, a liczba pokazuje początkową pozycję punktu na okręgu. Takie oscylacje nazywane są harmonicznymi lub sinusoidalnymi.

Z równości (1) widać, że amplituda drgań harmonicznych jest równa promieniowi okręgu, po którym porusza się punkt M, a częstotliwość tych drgań jest równa .

Zwykle zamiast tej częstotliwości bierze się pod uwagęczęstotliwość cykliczna = , wskazujący prędkość kątową obrotu, wyrażoną w radianach na sekundę. W tych notacjach mamy: x= R cos( t+  ). (2)

Numer  nazywa się początkowa faza oscylacji.

Badanie wszelkiego rodzaju oscylacji jest ważne tylko dlatego, że w otaczającym nas świecie bardzo często spotykamy się z ruchami oscylacyjnymi lub falami i wykorzystujemy je z dużym powodzeniem (fale dźwiękowe, fale elektromagnetyczne).

Drgania mechaniczne.

Wibracje mechaniczne to ruchy ciał, które powtarzają się dokładnie (lub w przybliżeniu) w regularnych odstępach czasu. Przykładami prostych systemów oscylacyjnych są ciężarek na sprężynie lub wahadło. Weźmy na przykład ciężarek zawieszony na sprężynie (patrz rysunek) i dociśnij go. Waga zacznie oscylować w górę iw dół. Jak pokazują obliczenia, odchylenie wagi od położenia równowagi wyraża się wzorem s= grzech.

Tutaj v 0 - szybkość, z jaką pchaliśmy ciężarek, oraz = , gdzie m to masa obciążnika, k to sztywność sprężyny (siła potrzebna do rozciągnięcia sprężyny o 1 cm).

Jeśli najpierw wyciągniemy ciężar s 0 cm, a następnie popchnij z prędkością v 0 , wtedy będzie oscylować zgodnie z bardziej złożonym prawem: s=Asin( t+  ) (2).

Z obliczeń wynika, że ​​amplituda A tej oscylacji jest równa, a liczba jest taka, że ​​tg = . Ze względu na termin ta oscylacja jest inna niż oscylacja s=Asin t.

Wykres swingu (2) uzyskuje się z wykresu swingu (1) przesuwając w lewo

na . Numer  zwana fazą początkową.

Huśtawki wahadłowe.

Drgania wahadła również w przybliżeniu występują zgodnie z prawem sinusoidalnym. Graficzna reprezentacja tej funkcji, która daje wizualną reprezentację przebiegu procesu oscylacyjnego w czasie, jest dogodna do rozważenia przy użyciu modelu wahadła programu „Funkcje i wykresy” (patrz Załącznik VIII).

Jeśli te oscylacje są małe, to kąt ugięcia wahadła jest w przybliżeniu wyrażony wzorem:

 =  0 sin(t), gdzie l jest długością wahadła, a 0 - początkowy kąt ugięcia. Im dłuższe wahadło, tym wolniej się kołysze (jest to wyraźnie widoczne na rys. 1-7 załącznik VIII). Rysunek 8-16, Dodatek VIII wyraźnie pokazuje, jak zmiana początkowego odchylenia wpływa na amplitudę drgań wahadła, podczas gdy okres się nie zmienia. Mierząc okres drgań wahadła o znanej długości, można obliczyć przyspieszenie ziemskiej grawitacji g w różnych punktach na powierzchni Ziemi.

Rozładowanie kondensatora.

Nie tylko wiele drgań mechanicznych występuje zgodnie z prawem sinusoidalnym. W obwodach elektrycznych występują oscylacje sinusoidalne. Tak więc w obwodzie pokazanym w prawym górnym rogu modelu ładunek na płytkach kondensatora zmienia się zgodnie z prawem q \u003d CU + (q 0 - CU) cos ω t , gdzie C jest pojemnością kondensatora, U - napięcie w źródle prądu, L to indukcyjność cewki,- częstotliwość kątowa oscylacji w obwodzie.

Dzięki modelowi kondensatora dostępnemu w programie „Funkcje i wykresy” można ustawić parametry obwodu oscylacyjnego i zbudować odpowiednie wykresy g(t) i I(t). Wykresy 1-4 wyraźnie pokazują, jak napięcie wpływa na zmianę natężenia prądu i ładunek kondensatora, natomiast wyraźnie widać, że przy napięciu dodatnim ładunek również przyjmuje wartości dodatnie. Rysunek 5-8 w Dodatku IX pokazuje, że gdy zmienia się pojemność kondensatora (kiedy zmienia się indukcyjność cewki na rysunku 9-14 w Dodatku IX), a pozostałe parametry pozostają niezmienione, zmienia się okres oscylacji, tj. zmienia się częstotliwość oscylacji prądu w obwodzie i zmienia się częstotliwość ładunku kondensatora ... (patrz dodatek IX).

Jak połączyć dwie rury.

Podane przykłady mogą sprawiać wrażenie, że sinusoidy występują tylko w połączeniu z oscylacjami. Jednak tak nie jest. Na przykład sinusoidy stosuje się przy łączeniu dwóch rur cylindrycznych pod kątem.Aby połączyć w ten sposób dwie rury, należy je przeciąć po przekątnej.

Jeśli rozłożysz rurę przeciętą ukośnie, zostanie ona ograniczona od góry przez sinusoidę. Można to zweryfikować owijając świecę papierem, przecinając ją ukośnie i rozkładając papier. Dlatego, aby uzyskać równe cięcie rury, można najpierw przeciąć blachę od góry wzdłuż sinusoidy i zwinąć ją w rurę.

teoria tęczy.

Teoria tęczy została po raz pierwszy podana w1637 przez René Descartes. Wyjaśnił tęczę jako zjawisko związane z odbiciem i załamaniem światła w kroplach deszczu.

Tęcza pojawia się, ponieważ światło słoneczne załamuje się w kropelkach wody zawieszonych w powietrzu zgodnie z prawem załamania:

gdzie n 1 =1, n 2 ≈1,33 to współczynniki załamania odpowiednio powietrza i wody, α to kąt padania, a β to kąt załamania światła.

Zorza polarna

Penetracja naładowanych cząstek wiatru słonecznego do górnych warstw atmosfery planet jest zdeterminowana oddziaływaniem pola magnetycznego planety z wiatrem słonecznym.

Siła działająca na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym nazywana jest siłą Lorenza. Jest proporcjonalna do ładunku cząstki i iloczynu wektorowego pola oraz prędkości cząstki

Zagadnienia trygonometrii o treści praktycznej.

Linia śrubowa.

Wyobraź sobie, że trójkąt prostokątny ABC (patrz rysunek) o podstawie AC = d tak, aby podstawa pokrywała się z obwodem podstawy cylindra. Ponieważ AC = d, a następnie punkt C po przykręceniu całego trójkąta do powierzchni bocznej cylindra pokrywa się z punktem A 1 , punkt B zajmie pozycję B 1 na tworzącej A 1 B 1 cylindra, a przeciwprostokątna AB przyjmie określoną pozycję na bocznej powierzchni cylindra i przyjmie formę helisy.

Mamy jeden obrót helisy. Długość nogi BC (h) nazywana jest skokiem helisy. Kąt BAC ( ) nazywa się kątem spirali. Znajdźmy zależność między h,d i . Z trójkąta ABC mamy h= dtg  ; uzyskany wzór pozwala również na określenie kąta elewacji z danych h i d. tg = .

Wyznaczanie współczynnika tarcia.

Ciało ciężarka P jest umieszczone na pochyłej płaszczyźnie o kącie nachylenia . Ciało pod wpływem własnego ciężaru przyspieszyło ścieżkę S w t sekund. Określ współczynnik tarcia k.

Rozwiązanie.

Siła nacisku ciała na pochyłej płaszczyźnie =kPcos .

Siła, która ciągnie ciało w dół to F=Psin -kPcos  =P(sin  -kcos  ).(1)

Jeżeli ciało porusza się po równi pochyłej, to przyspieszenie a =.

Z drugiej strony przyspieszenie a== =gF ; dlatego.(2)

Z równości (1) i (2) wynika, że ​​g(sin -kcos  )= .

Stąd: k= =gtg  - .

Trygonometria w planimetrii.

Podstawowe wzory do rozwiązywania problemów z geometrii za pomocą trygonometrii:

Sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Stosunek boków i kątów w trójkącie prostokątnym:

1. Noga trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi drugiego ramienia i stycznej kąta przeciwnego.
2. Noga trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i sinusa kąta zawartego.
3. Noga trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i cosinusa kąta zawartego.
4. Noga trójkąta prostokątnego jest równa iloczynowi drugiego ramienia i cotangensa kąta zawartego.

Zadanie 1: Na bokach AB i CD trapezu równoramiennego ABCD punkty M i N są pobrane w taki sposób, aby prosta MN była równoległa do podstaw trapezu. Wiadomo, że w każdy z utworzonych małych trapezów MBCN i AMND można wpisać okrąg, a promienie tych okręgów są równe odpowiednio r i R. Znajdź bazy AD i BC.

Dany: ABCD-trapez,AB=CD, MєAB,NєCD, ​​MN||AD, w trapezy MBCN i AMND można wpisać okrąg o promieniu odpowiednio r i R.

Znajdź: AD i BC.

Rozwiązanie:

Niech O1 i O2 będą środkami okręgów wpisanych w małe trapezy. Bezpośrednie O1K||CD.

W ∆O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

Dlatego ∆O2FD jest prostokątne, to O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). Dlatego AD=2DF=2R*ctg(α/2),

podobnie BC = 2r*tan(α/2).

Cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (Rr)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), następnie AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), znajdujemy odpowiedź.

Odpowiedź: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Zadanie 2 : W trójkącie ABC znane są boki b, c i kąt między medianą a wysokością emanującą z wierzchołka A. Oblicz pole trójkąta ABC.

Dany: ∆ ABC, AD-wysokość, AE-mediana, DAE=α, AB=c, AC=b.

Znajdź: S∆ABC.

Rozwiązanie:

Niech CE=EB=x, AE=y, AED=γ. Z prawa cosinusów w ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); oraz w ∆ACE, przez twierdzenie cosinusowe c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Odejmując równania 2 od 1 otrzymujemy c²-b²=4xy*cosγ(3).

T.K. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), następnie dzieląc 3 równość przez 4 otrzymujemy: (c²-b²)/S=4*ctgγ, ale ctgγ=tgαb, stąd S∆ABC= (c²-b² ) /4*tg.

Odpowiedź: (c²-b²) / 4*tgα.

Trygonometria w sztuce i architekturze.

Architektura nie jest jedyną dziedziną nauki, w której stosuje się formuły trygonometryczne. Większość decyzji kompozycyjnych i konstrukcji rysunków odbywała się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Chcę podać przykład budowy jednej rzeźby przez francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

Proporcjonalność w konstrukcji posągu była idealna. Jednak kiedy posąg został podniesiony na wysoki piedestał, wyglądał brzydko. Rzeźbiarz nie wziął pod uwagę, że wiele detali jest redukowanych perspektywicznie ku horyzoncie, a patrząc od dołu do góry, nie powstaje wrażenie jego idealności. Przeprowadzono wiele obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie widzenia, czyli przybliżonym pomiarze okiem. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Znając więc przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do oczu osoby oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania spojrzenia za pomocą stół (możemy zrobić to samo z dolnym punktem widzenia), tym samym odnajdując punkt widzenia (ryc. 1)

Sytuacja się zmienia (rys. 2), ponieważ figura jest podnoszona do wysokości wzrostu AC i HC, możemy obliczyć cosinus kąta C, korzystając z tabeli znajdujemy kąt padania spojrzenia. W procesie można obliczyć AH, a także sinus kąta C, co pozwoli sprawdzić wyniki przy użyciu podstawowej tożsamości trygonometrycznej cos 2  + grzech 2  \u003d 1.

Porównując pomiary AH w pierwszym i drugim przypadku można znaleźć współczynnik proporcjonalności. Następnie otrzymamy rysunek, a następnie rzeźbę, po podniesieniu postać będzie wizualnie zbliżona do ideału.

Trygonometria w medycynie i biologii.

Model biorytmu

Model biorytmów można zbudować za pomocą funkcji trygonometrycznych.Aby zbudować model biorytmów, należy wprowadzić datę urodzenia osoby, datę odniesienia (dzień, miesiąc, rok) oraz czas trwania prognozy (liczba dni).

Ruch ryb w wodziewystępuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej, która przypomina wykres funkcji y=tgx.

Formuła serca

W wyniku badania przeprowadzonego przez studenta irańskiego uniwersytetuShiraz Wahid-Reza Abbasi,po raz pierwszy lekarze byli w stanie usprawnić informacje związane z elektryczną czynnością serca, czyli innymi słowy elektrokardiografią.
Formuła, nazwana Teheran, została zaprezentowana ogólnej społeczności naukowej na XIV Konferencji Medycyny Geograficznej, a następnie na 28 Konferencji Zastosowania Technologii Komputerowych w Kardiologii, która odbyła się w Holandii. Wzór ten jest złożonym równaniem algebraiczno-trygonometrycznym, składającym się z 8 wyrażeń, 32 współczynników i 33 głównych parametrów, w tym kilku dodatkowych do obliczeń w przypadku arytmii. Według lekarzy formuła ta znacznie ułatwia opis głównych parametrów czynności serca, przyspieszając tym samym diagnozę i rozpoczęcie właściwego leczenia.

Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów.

Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Ściśle mówiąc, pomysł „pomiaru kątów” nie jest nowy. Nawet artyści starożytnych Chin malowali odległe obiekty wyżej w polu widzenia, nieco lekceważąc prawa perspektywy. Alhazen, arabski naukowiec z XI wieku, sformułował teorię określania odległości przez szacowanie kątów. Po długim zapomnieniu w połowie ubiegłego wieku do pomysłu powrócił psycholog James Gibson (James Gibson), który swoje wnioski zbudował na podstawie doświadczeń z pilotami wojskowymi. Jednak po rozmowie o teorii

znowu zapomniany.

Wyniki nowego badania, jak można się spodziewać, zainteresują inżynierów projektujących systemy nawigacji dla robotów, a także specjalistów, którzy pracują nad stworzeniem jak najbardziej realistycznych modeli wirtualnych. Zastosowania są również możliwe w dziedzinie medycyny, w rehabilitacji pacjentów z uszkodzeniami niektórych obszarów mózgu.

3.2 Graficzne reprezentacje transformacji „mało interesujących” funkcji trygonometrycznych w oryginalne krzywe.

Krzywe we współrzędnych biegunowych.

od. 16jest. 19 gniazd.

We współrzędnych biegunowych wybierany jest pojedynczy segment mi, biegun O i oś biegunowa Ox. Położenie dowolnego punktu M jest określone przez promień biegunowy OM i kąt biegunowy utworzone przez promień OM i promień Wół. Liczba r wyrażająca długość OM do mi (OM=re) i wartości liczbowej kąta , wyrażone w stopniach lub w radianach, nazywane są współrzędnymi biegunowymi punktu M.

Dla dowolnego punktu innego niż punkt O możemy założyć 0≤  2  i r  0. jednak przy konstruowaniu krzywych odpowiadających równaniom postaci r=f( ), zmienna  naturalne jest przypisanie dowolnych wartości (również ujemnych i tych przekraczających 2 ), a r może być dodatnie lub ujemne.

Aby znaleźć punkt ( ,r), rysujemy promień z punktu O, tworząc kąt z osią Ox i odłóż na bok (dla r 0) lub na jego kontynuacji w przeciwnym kierunku (dla r 0) odcinek  r  e.

Wszystko zostanie znacznie uproszczone, jeśli najpierw zbudujemy siatkę współrzędnych składającą się z koncentrycznych okręgów o promieniach e, 2e, 3e itd. (wyśrodkowanych na biegunie O) i promieniach, dla których = 0  ,10  ,20  ,…,340  ,350  ; te promienie będą odpowiednie dla 0  , a przy  360  ; na przykład przy  =740  i przy  = -340  dostaniemy się na belkę za którą=20.

Badanie tych wykresów pomagaprogram komputerowy Funkcje i wykresy. Korzystając z możliwości tego programu, badamy kilka interesujących wykresów funkcji trygonometrycznych.

1 .Rozważ krzywe podane przez równania: r=a+sin3

I. r \u003d sin3  (koniczyna) (ryc. 1)

II.r=1/2+sin3  (rys.2), III. r=1+ sin3  (rys.3), r=3/2+ sin3  (rys.4) .

Krzywa IV ma najmniejszą wartość r=0,5, a płatki mają wygląd niedokończony. Tak więc dla 1 płatki koniczyny mają niedokończony wygląd.

2. Rozważ krzywe gdy a=0; 1/2; 1;3/2

Przy a=0 (ryc. 1), przy a=1/2 (ryc. 2), przy a=1 (ryc. 3) płatki są gotowe, przy a=3/2 będzie pięć niedokończonych płatków., (rys. 4).

3. Ogólnie krzywa r=pierwszy płatek zostanie zamknięty w sektorze (0 ; ), dlatego w tym sektorze 0 ≤ ≤ 180  . W   1 płatek zajmie sektor większy niż 180 , ale mniejsze 360 ​​ , a przy  jeden płat wymagałby „sektora” większego niż 360 .

Rysunek 1-4 pokazuje wygląd płatków, gdy= , , , .

4. Równania znalezione przez niemieckiego matematyka-przyrodnika Habenicht dla kształtów geometrycznych występujących w świecie roślin. Na przykład równania r=4(1+cos3 ) i r=4(1+cos3  )+4sin 2 3  odpowiadają krzywym przedstawionym na rys. 1.2.

Krzywe we współrzędnych kartezjańskich.

Krzywe Lissajous.

Wiele interesujących krzywych można również skonstruować we współrzędnych kartezjańskich. Szczególnie interesujące są krzywe, których równania podane są w postaci parametrycznej:

Gdzie t jest zmienną pomocniczą (parametr). Rozważmy na przykład krzywe Lissajous, charakteryzujące się w ogólnym przypadku równaniami:

Jeżeli jako parametr t przyjmiemy czas, to liczby Lissajous będą wynikiem dodania dwóch harmonicznych ruchów oscylacyjnych wykonywanych we wzajemnie prostopadłych kierunkach. W ogólnym przypadku krzywa znajduje się wewnątrz prostokąta o bokach 2a i 2c.

Rzućmy okiem na poniższe przykłady

I.x=sin3t; y=sin 5t (rys.1)

II. x=sin3t; y=cos 5t (rys.2)

III. x=sin3t; y=sin 4t (rys. 3)

Krzywe mogą być zamknięte lub otwarte.

Na przykład zastąpienie równań I równaniami: x=sin 3t; y=sin5(t+3) zamienia otwartą krzywą w zamkniętą (rys. 4)

Interesujące i osobliwe są linie odpowiadające równaniom postaci

y=arcsin(sin k(x-  )).

Z równania y=arcsin(sinx) wynika:

1) i 2) siny=sinx.

Na funkcja y=x spełnia te dwa warunki. Wykreśl to w przedziale (-; ) będzie odcinkiem AB linii łamanej pokazanej na wykresie.

W przedziale będziemy mieć y \u003d  -x, ponieważ grzech ( -x)=sinx iw tym przedziale

Tutaj wykres będzie reprezentowany przez odcinek BC.

Ponieważ sinx jest funkcją okresową z okresem 2 , to linia łamana ABC skonstruowana w przedziale (, ) zostaną powtórzone w innych obszarach.

Równanie y=arcsin(sinkx) będzie odpowiadać linii łamanej z kropką(okres funkcji sin kx).

Dodając mnożnik m po prawej stronie, otrzymujemy równanie y \u003d arcsin (sin kx), które będzie odpowiadać linii przerywanej. Rysunek przedstawia wykresy dla k=2,m=1/2;k=2,m=-2.

Ozdoby matematyczne.

Pod ornamentem matematycznym rozumiemy wzór charakteryzujący się jakimś równaniem lub nierównością (a może układem równań lub nierówności), w którym ten lub inny wzór powtarza się wiele razy.

spełniają współrzędne punktów leżących jednocześnie nad sinusoidą (dla nich y>sinx) i pod krzywą y=-sinx, tj. „Obszar rozwiązania” systemu będzie składał się z obszarów zacienionych na Rys. 1.

2. Rozważ nierówności

1. (y-sinx)(y+sinx)

Aby rozwiązać tę nierówność, najpierw budujemy wykresy funkcji: y=sinx; y=-sinx.

Następnie malujemy obszary, w których y>sinx i jednocześnie y-sinx.

Ta nierówność zadowoli obszary zacienione na ryc. 2

2)(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))

Przejdźmy do kolejnej nierówności:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+)))

Aby rozwiązać tę nierówność, najpierw budujemy wykresy funkcji: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+)) .

Zróbmy tabelę możliwych rozwiązań.+

Następnie rozważamy i malujemy rozwiązania poniższych systemów.

4) 5) 6)

7) 8)

Ta nierówność zadowoli obszary zacienione na ryc. 3

3)(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))

Aby rozwiązać tę nierówność, najpierw budujemy wykresy funkcji: y=±sinx; y=±sin(x+); y=±sin(x- ).

Lewa strona pierwotnej nierówności składa się z trzech czynników. Iloczyn trzech czynników jest mniejszy od zera, jeśli przynajmniej jeden z nich jest mniejszy od, a pozostałe dwa są większe od zera. Dlatego rozważamy trzy przypadki: 1) Pierwszy czynnik jest mniejszy od zera, tj. |y||sin(x+)| i |y|>|sin(x-)|.

2) Drugi czynnik jest mniejszy od zera, tj. |y| )| , inne czynniki są pozytywne, tj. .|y|>|sinx| i |y|>|sin(x-)|.

3) Trzeci czynnik jest mniejszy od zera, tj. |y| )|, pozostałe czynniki są dodatnie, tj. |y|>|sinx| i |y|>|sin(x+)|.

Następnie w każdym przypadku rozważamy i zamalowujemy rozwiązania.

Ta nierówność zadowoli obszary zacienione na ryc. 4

4. Wniosek.

Połączenie matematyki ze światem zewnętrznym pozwala „zmaterializować” wiedzę uczniów. Pomaga nam to lepiej zrozumieć niezbędną potrzebę wiedzy nabytej w szkole.

Przez problem matematyczny o treści praktycznej (zadanie o charakterze aplikacyjnym) rozumiemy problem, którego fabuła ujawnia zastosowania matematyki w pokrewnych dyscyplinach naukowych, technice i życiu codziennym.

Zastosowanie programu do modelowania „Funkcje i wykresy" znacznie rozszerzyło możliwości prowadzenia badań, umożliwiło zmaterializowanie wiedzy przy rozważaniu zastosowań trygonometrii w fizyce. Dzięki temu programowi przeprowadzono laboratoryjne komputerowe badania oscylacji mechanicznych z wykorzystaniem Jako przykład drgań wahadła uwzględniono drgania w obwodzie elektrycznym. Zastosowanie programu komputerowego umożliwiło poznanie interesujących krzywych matematycznych zdefiniowanych za pomocą równań trygonometrycznych i wykreślenie we współrzędnych biegunowych i kartezjańskich. Graficzne rozwiązanie nierówności trygonometrycznych doprowadziło do rozważenia ciekawych ornamentów matematycznych.

5. Wykaz wykorzystanej literatury.

1. .Atanasov P.T., Atanasov N.P. Zbiór problemów matematycznych o treści praktycznej: Książka dla nauczycieli.-M.: Edukacja, 1987-110s.
2. .Vilenkin N.Ya. Funkcje w przyrodzie i technologii: Książka. do czytania pozalekcyjnego klasa IX-X - M.: Edukacja, 1985-148-165s (Świat Wiedzy).
3. Domoryad A.P. Gry matematyczne i rozrywka. Państwowe Wydawnictwo Fizyki i Matematyki, Moskwa, 1961-148-169p.
4. .Kozhurov P.Ya. Kurs trygonometrii dla szkół technicznych. Stan. wyd. techniczno-teoretyczny oświetlony. M., 1956
5. Kołosow A.A. Książka do czytania pozalekcyjnego z matematyki w liceum. Stan. wychowawczy-ped. red.Min.Edukacja. RF, M., 1963-407s.
6. Muravin G.K., Tarakanova O.V. Elementy trygonometrii. Klasa 10.-M.: Drop, 2001-128s.
7. Pichurin L.F. O trygonometrii i nie tylko: poradnik dla uczniów klas 9-11 -M.: Edukacja, lata 1996-80.
8. Shapiro I.M. Wykorzystanie problemów z treścią praktyczną w nauczaniu matematyki. Książka dla nauczycieli.-M.: Edukacja, lata 1990-96.

Rodikova Valeria, Tipsin Eldar

Pierwsza wiedza matematyczna pojawia się już w starożytności (IV-III wpne) w starożytnej Grecji. W XVII-XVIII wieku istnieje fundamentalne wypełnienie nauki. Do rozwoju współczesnej matematyki przyczynili się naukowcy z różnych krajów w różnych okresach rozwoju cywilizacji. Dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych nazywa się trygonometrią. Osoby różnych zawodów wykorzystują w swojej pracy elementy trygonometrii. Są to badacze różnych dziedzin naukowych i stosowanych, fizycy, projektanci, informatycy, projektanci, autorzy prezentacji multimedialnych, lekarze, specjaliści różnych dziedzin. W ramach tego projektu badano zastosowanie trygonometrii w architekturze.

Pobierać:

Zapowiedź:

https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Prace wykonali: Rodikova Valeria, Tipsin Eldar, uczniowie klasy 10 „A” MBOU „Biełojarsk gimnazjum nr 1” Kierownik: Zhelnirovich NV, nauczyciel matematyki Trygonometria w architekturze 2013 Okręgowa konferencja naukowa studentów „Future Elite Wierchneketye”

TRYGONOMETRIA - (z gr. trigwnon - trójkąt i metrew - mierzę) - nauka zajmująca się badaniem relacji między kątami i bokami trójkątów a funkcjami trygonometrycznymi.

Założyliśmy, że trygonometria jest wykorzystywana nie tylko w zasadach analizy i algebry, ale także w wielu innych naukach, np. w architekturze Hipoteza

Zapoznanie z obszarami zastosowań trygonometrii w architekturze. Cele pracy

Dowiedz się, jak trygonometria znajduje zastosowanie w architekturze Poznaj zastosowanie trygonometrii w tym obszarze problemu

Zaha Hadid Zaha Hadid (31 października 1950 r., Bagdad, Irak) jest brytyjską architektką pochodzenia arabskiego. Przedstawiciel dekonstruktywizmu. W 2004 roku została pierwszą kobietą-architektem w historii, która otrzymała Nagrodę Pritzkera. Dekonstruktywizm to trend w nowoczesnej architekturze. Projekty dekonstruktywistyczne charakteryzują się wizualną złożonością, nieoczekiwanymi złamanymi i celowo destrukcyjnymi formami, a także agresywną ingerencją w miejskie środowisko.

Sheikh Zayed Bridge w Abu Dhabi, Zjednoczone Emiraty Arabskie

Antoni Placid Guillem Gaudí y Curnet był hiszpańskim architektem, którego najbardziej fantazyjne dzieła powstały w Barcelonie. Styl, w jakim pracował Gaudí, określany jest mianem secesji. Jednak w swojej twórczości wykorzystywał elementy różnych stylów, poddając je obróbce. Art Nouveau to kierunek artystyczny w sztuce, jego charakterystycznymi cechami jest odrzucenie linii prostych i kątów na rzecz bardziej naturalnych, „naturalnych” linii.

Szkoła dla dzieci Gaudiego w Barcelonie, Hiszpania

Powierzchnie Gaudiego k =1, a =1

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto (konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Santiago Calatrava Valls - hiszpański architekt i rzeźbiarz, autor wielu futurystycznych budowli na całym świecie.

Winiarnia „Bodegas Isios” Hiszpania

Candela Felix (1910-1997), meksykańska architekt i inżynier. Twórca różnych żelbetowych sklepień-powłok; opracował cienkościenne powłoki w postaci paraboloidów hiperbolicznych.

Restauracja w Los Manantiales, Argentyna [ a d cos (t) + d d t , b d sin (t), c d t + e d t 2 ]

Swiss Re Insurance Corporation w Londynie, Wielka Brytania x = λ y = f (λ) cos θ z = f (λ) sin θ

Architektura gotycka Katedra Notre Dame 1163 - połowa XIV wieku.

Sinusoidy berlińskie, niemcy

REZULTATY Projekt Szkoły Przyszłości

: Dowiedzieliśmy się, że trygonometria jest używana nie tylko w algebrze i początkach analizy, ale także w wielu innych naukach.Trygonometria jest podstawą do tworzenia wielu arcydzieł sztuki i architektury.Nauczyliśmy się widzieć trygonometrię w konstrukcji modeli budynków. Wyjście

Dziękuję za uwagę!

Sinus, cosinus, tangens – wypowiadając te słowa w obecności licealistów, możesz być pewien, że dwie trzecie z nich straci zainteresowanie dalszą rozmową. Powodem jest to, że podstaw trygonometrii w szkole uczy się w całkowitej oderwaniu od rzeczywistości, przez co uczniowie nie widzą sensu w studiowaniu wzorów i twierdzeń.

W rzeczywistości ta dziedzina wiedzy, po bliższym przyjrzeniu się, okazuje się bardzo interesująca, a także stosowana - trygonometria znajduje zastosowanie w astronomii, budownictwie, fizyce, muzyce i wielu innych dziedzinach.

Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami i wymieńmy kilka powodów, dla których warto studiować tę dziedzinę nauk matematycznych.

Historia

Nie wiadomo, w którym momencie ludzkość zaczęła od podstaw tworzyć przyszłą trygonometrię. Udokumentowano jednak, że już w II tysiącleciu pne Egipcjanie znali podstawy tej nauki: archeolodzy znaleźli papirus z zadaniem, w którym wymagane jest znalezienie kąta nachylenia piramidy z dwóch znanych stron.

Naukowcy starożytnego Babilonu odnieśli poważniejsze sukcesy. Od wieków zajmując się astronomią, opanowali szereg twierdzeń, wprowadzili specjalne metody mierzenia kątów, których zresztą używamy dzisiaj: stopnie, minuty i sekundy zostały zapożyczone przez naukę europejską w kulturze grecko-rzymskiej, w której te jednostki pochodziły z Babilończyków.

Przypuszcza się, że słynne twierdzenie Pitagorasa, odnoszące się do podstaw trygonometrii, było znane Babilończykom prawie cztery tysiące lat temu.

Imię

Dosłownie termin „trygonometria” można przetłumaczyć jako „pomiar trójkątów”. Głównym przedmiotem badań w tej części nauki przez wiele stuleci był trójkąt prostokątny, a raczej związek między wielkościami kątów a długościami jego boków (dziś badanie trygonometrii rozpoczyna się od tego działu od zadrapanie). W życiu nierzadko zdarzają się sytuacje, w których nie da się praktycznie zmierzyć wszystkich wymaganych parametrów obiektu (lub odległości do obiektu), a wtedy konieczne staje się uzyskanie brakujących danych poprzez obliczenia.

Na przykład w przeszłości człowiek nie mógł zmierzyć odległości do obiektów kosmicznych, ale próby obliczenia tych odległości mają miejsce na długo przed naszą erą. Trygonometria również odgrywała ważną rolę w nawigacji: przy pewnej wiedzy kapitan mógł zawsze nawigować nocą w pobliżu gwiazd i korygować kurs.

Podstawowe koncepcje

Aby opanować trygonometrię od podstaw, musisz zrozumieć i zapamiętać kilka podstawowych terminów.

Sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej. Wyjaśnijmy, że przeciwległa noga to strona leżąca naprzeciwko kąta, który rozważamy. Zatem jeśli kąt wynosi 30 stopni, sinus tego kąta będzie zawsze, dla dowolnej wielkości trójkąta, równy ½. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej (lub równoważnie stosunek sinusa do cosinusa). Cotangens to jednostka podzielona przez tangens.

Warto wspomnieć o słynnej liczbie Pi (3,14…), która jest połową długości okręgu o promieniu jednej jednostki.

Popularne błędy

Osoby, które uczą się trygonometrii od podstaw, popełniają szereg błędów – głównie z powodu nieuwagi.

Po pierwsze, przy rozwiązywaniu problemów z geometrii należy pamiętać, że użycie sinusów i cosinusów jest możliwe tylko w trójkącie prostokątnym. Zdarza się, że uczeń „na maszynie” przyjmuje najdłuższy bok trójkąta jako przeciwprostokątną i otrzymuje błędne wyniki obliczeń.

Po drugie, na początku łatwo pomylić wartości sinusa i cosinusa dla wybranego kąta: przypomnijmy, że sinus 30 stopni jest liczbowo równy cosinusowi 60 i na odwrót. Jeśli podstawisz złą liczbę, wszystkie dalsze obliczenia będą błędne.

Po trzecie, dopóki problem nie zostanie całkowicie rozwiązany, nie warto zaokrąglać żadnych wartości, wyciągać pierwiastków, zapisywać zwykłego ułamka jako ułamka dziesiętnego. Często studenci dążą do uzyskania „pięknej” liczby w zadaniu trygonometrii i natychmiast wyodrębniają pierwiastek z trzech, chociaż po dokładnie jednym działaniu pierwiastek ten można zmniejszyć.

Etymologia słowa „sinus”

Historia słowa „sine” jest naprawdę niezwykła. Faktem jest, że dosłowne tłumaczenie tego słowa z łaciny oznacza „pusty”. Dzieje się tak, ponieważ prawidłowe zrozumienie słowa zostało utracone podczas tłumaczenia z jednego języka na inny.

Nazwy podstawowych funkcji trygonometrycznych wywodzą się z Indii, gdzie pojęcie sinusa oznaczano słowem „struna” w sanskrycie – faktem jest, że odcinek wraz z łukiem koła, na którym spoczywał, wyglądał jak łuk . W okresie rozkwitu cywilizacji arabskiej zapożyczono indyjskie osiągnięcia w dziedzinie trygonometrii, a termin przeszedł do języka arabskiego w formie transkrypcji. Tak się złożyło, że język ten miał już podobne słowo na depresję, a jeśli Arabowie rozumieli różnicę fonetyczną między słowem rodzimym a zapożyczonym, to Europejczycy, tłumacząc traktaty naukowe na łacinę, przez pomyłkę dosłownie przetłumaczyli słowo arabskie, które nie miał nic wspólnego z pojęciem sinusa. Używamy ich do dziś.

Tabele wartości

Istnieją tabele zawierające wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów i tangensów wszystkich możliwych kątów. Poniżej przedstawiamy dane dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, których należy się nauczyć jako obowiązkowej części trygonometrii dla „manekinów”, ponieważ łatwo je zapamiętać.

Jeśli zdarzyło się, że wartość liczbowa sinusa lub cosinusa kąta „wyleciała mi z głowy”, istnieje sposób na samodzielne jej wyprowadzenie.

Reprezentacja geometryczna

Narysujmy okrąg, narysujmy odcięte i osie rzędnych przez jego środek. Oś odciętych jest pozioma, oś rzędnych jest pionowa. Zazwyczaj są one podpisane odpowiednio jako „X” i „Y”. Teraz narysujemy prostą linię od środka okręgu w taki sposób, aby uzyskać potrzebny kąt między nią a osią X. Wreszcie od punktu, w którym prosta przecina okrąg, obniżamy prostopadłą do osi X. Długość powstałego odcinka będzie równa wartości liczbowej sinusa naszego kąta.

Ta metoda jest bardzo istotna, jeśli zapomniałeś żądanej wartości, na przykład podczas egzaminu, a nie masz pod ręką podręcznika trygonometrii. Nie uzyskasz w ten sposób dokładnej liczby, ale na pewno zobaczysz różnicę między ½ a 1,73 / 2 (sinus i cosinus kąta 30 stopni).

Wniosek

Jednymi z pierwszych specjalistów stosujących trygonometrię byli żeglarze, którzy na pełnym morzu nie mieli innego punktu odniesienia niż niebo nad ich głowami. Dziś kapitanowie statków (samolotów i innych środków transportu) nie szukają najkrótszej drogi przez gwiazdy, ale aktywnie korzystają z nawigacji GPS, co bez zastosowania trygonometrii byłoby niemożliwe.

W prawie każdym dziale fizyki znajdziesz obliczenia za pomocą sinusów i cosinusów: czy jest to zastosowanie siły w mechanice, obliczenia drogi obiektów w kinematyce, oscylacje, propagacja fali, załamanie światła - po prostu nie możesz się obejść bez podstawowej trygonometrii w formułach.

Innym zawodem, który jest nie do pomyślenia bez trygonometrii, jest geodeta. Za pomocą teodolitu i niwelatora lub bardziej wyrafinowanego urządzenia - obrotomierza, ludzie ci mierzą różnicę wysokości między różnymi punktami na powierzchni Ziemi.

Powtarzalność

Trygonometria zajmuje się nie tylko kątami i bokami trójkąta, chociaż tam właśnie zaczęła się jego istnienie. We wszystkich obszarach, w których występuje cykliczność (biologia, medycyna, fizyka, muzyka itp.), napotkasz wykres, którego nazwa prawdopodobnie jest ci znana - jest to sinusoida.

Taki wykres jest kołem rozłożonym wzdłuż osi czasu i wygląda jak fala. Jeśli kiedykolwiek pracowałeś z oscyloskopem na zajęciach z fizyki, wiesz o czym mówię. Zarówno korektor muzyczny, jak i pulsometr wykorzystują w swojej pracy wzory trygonometrii.

Wreszcie

Myśląc o tym, jak nauczyć się trygonometrii, większość gimnazjalistów i licealistów zaczyna uważać to za naukę trudną i niepraktyczną, ponieważ zapoznają się tylko z nudnymi informacjami podręcznikowymi.

Jeśli chodzi o niepraktyczność, widzieliśmy już, że w takim czy innym stopniu umiejętność posługiwania się sinusami i stycznymi jest wymagana w prawie każdej dziedzinie działalności. A co do złożoności… Pomyśl: gdyby ludzie korzystali z tej wiedzy ponad dwa tysiące lat temu, kiedy dorosły miał mniej wiedzy niż dzisiejszy uczeń liceum, czy naprawdę możesz osobiście studiować ten obszar nauka na poziomie podstawowym? Kilka godzin przemyślanej praktyki z rozwiązywaniem problemów - a osiągniesz swój cel, ucząc się kursu podstawowego, tzw. trygonometrii dla „manekinów”.

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. Funkcje trygonometryczne służą do opisywania właściwości różnych kątów, trójkątów i funkcji okresowych. Studiowanie trygonometrii pomoże ci zrozumieć te właściwości. Zajęcia w szkole i samodzielna praca pomogą Ci poznać podstawy trygonometrii i zrozumieć wiele procesów okresowych.

Kroki

Poznaj podstawy trygonometrii

Zapoznaj się z koncepcją trójkąta. Zasadniczo trygonometria zajmuje się badaniem różnych relacji w trójkątach. Trójkąt ma trzy boki i trzy kąty. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 stopni. Ucząc się trygonometrii należy zapoznać się z trójkątami i pojęciami z nimi związanymi, takimi jak:

• przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego;
• kąt rozwarty - kąt większy niż 90 stopni;
• kąt ostry to kąt mniejszy niż 90 stopni.

1. Naucz się rysować okrąg jednostki. Okrąg jednostkowy umożliwia skonstruowanie dowolnego trójkąta prostokątnego tak, aby przeciwprostokątna była równa jeden. Jest to przydatne podczas pracy z funkcjami trygonometrycznymi, takimi jak sinus i cosinus. Po opanowaniu okręgu jednostkowego możesz łatwo znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych dla określonych kątów i rozwiązać problemy, w których pojawiają się trójkąty o tych kątach.

   • Przykład 1. Sinus kąta 30 stopni wynosi 0,50. Oznacza to, że długość odnogi przeciwległej do danego kąta jest równa połowie długości przeciwprostokątnej.
   • Przykład 2 Korzystając z tego stosunku, możesz obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta, w którym jest kąt 30 stopni, a długość nogi przeciwnej do tego kąta wynosi 7 centymetrów. W takim przypadku długość przeciwprostokątnej wyniesie 14 centymetrów.

2. Zapoznaj się z funkcjami trygonometrycznymi. Istnieje sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych, które należy znać podczas nauki trygonometrii. Te funkcje reprezentują relacje między różnymi bokami trójkąta prostokątnego i pomagają zrozumieć właściwości dowolnego trójkąta. Te sześć funkcji to:

   • sinus (grzech);
   • cosinus (cos);
   • styczna (tg);
   • sieczna (s);
   • cosecans (cosec);
   • cotangens (ctg).

3. Zapamiętaj relacje między funkcjami. Podczas studiowania trygonometrii niezwykle ważne jest zrozumienie, że wszystkie funkcje trygonometryczne są ze sobą powiązane. Chociaż sinus, cosinus, tangens i inne funkcje są używane w różny sposób, są one szeroko stosowane ze względu na fakt, że istnieją między nimi pewne zależności. Te relacje są łatwe do zrozumienia za pomocą okręgu jednostkowego. Naucz się korzystać z koła jednostkowego, a za pomocą opisanych w nim relacji będziesz w stanie rozwiązać wiele problemów.

   Zastosowanie trygonometrii

   1. Dowiedz się o głównych dziedzinach nauki, które wykorzystują trygonometrię. Trygonometria jest przydatna w wielu gałęziach matematyki i innych nauk ścisłych. Trygonometrii można używać do znajdowania kątów i odcinków linii. Ponadto funkcje trygonometryczne mogą opisywać dowolny proces cykliczny.

      • Na przykład drgania sprężyny można opisać funkcją sinusoidalną.

   2. Pomyśl o procesach wsadowych. Czasami abstrakcyjne koncepcje matematyki i innych nauk ścisłych są trudne do zrozumienia. Są jednak obecne w świecie zewnętrznym, co może ułatwić ich zrozumienie. Przyjrzyj się otaczającym cię okresowym zjawiskom i spróbuj połączyć je za pomocą trygonometrii.

      • Księżyc ma przewidywalny cykl około 29,5 dnia.

   3. Wyobraź sobie, jak można badać naturalne cykle. Kiedy zrozumiesz, że w przyrodzie istnieje wiele procesów okresowych, zastanów się, jak możesz je badać. Wyobraź sobie w myślach, jak wygląda obraz takich procesów na wykresie. Za pomocą wykresu możesz napisać równanie opisujące obserwowane zjawisko. Tutaj przydają się funkcje trygonometryczne.

      • Wyobraź sobie przypływy i odpływy morza. Podczas przypływu woda podnosi się do pewnego poziomu, a następnie odpływ i poziom wody spada. Po odpływie ponownie następuje przypływ i poziom wody się podnosi. Ten cykliczny proces może trwać w nieskończoność. Można go opisać funkcją trygonometryczną, taką jak cosinus.

   Przestudiuj materiał z wyprzedzeniem

   1. Przeczytaj odpowiednią sekcję. Niektórym osobom po raz pierwszy trudno jest uchwycić idee trygonometrii. Jeśli zapoznasz się z odpowiednim materiałem przed zajęciami, lepiej go przyswoisz. Staraj się częściej powtarzać badany przedmiot - w ten sposób znajdziesz więcej zależności między różnymi pojęciami i pojęciami trygonometrii.

      • Ponadto pozwoli Ci z wyprzedzeniem zidentyfikować niejasne punkty.

   2. Zachowaj zarys. Podczas gdy przeglądanie podręcznika jest lepsze niż nic, nauka trygonometrii wymaga powolnego, przemyślanego czytania. Podczas studiowania dowolnej sekcji zachowaj szczegółową notatkę. Pamiętaj, że wiedza o trygonometrii narasta stopniowo, a nowy materiał opiera się na tym, czego nauczyłeś się do tej pory, więc zapisanie tego, co już omówiłeś, pomoże ci iść naprzód.

      • Między innymi zapisz pytania, które musisz później zadać swojemu nauczycielowi.

   3. Rozwiąż zadania podane w podręczniku. Nawet jeśli trygonometria jest dla Ciebie łatwa, musisz rozwiązywać problemy. Aby upewnić się, że naprawdę rozumiesz, czego się nauczyłeś, spróbuj rozwiązać kilka problemów przed zajęciami. Jeśli będziesz miał z tym problem, określisz, czego dokładnie musisz się dowiedzieć podczas zajęć.

      • W wielu podręcznikach odpowiedzi na problemy podane są na końcu. Z ich pomocą możesz sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś problemy.

   4. Zabierz wszystko, czego potrzebujesz na zajęcia. Nie zapomnij o swoich notatkach i rozwiązywaniu problemów. Te przydatne materiały pomogą ci odświeżyć to, czego już się nauczyłeś i ruszyć dalej z nauką materiału. Wyjaśnij również wszelkie pytania, które masz podczas czytania podręcznika.

Praca matematyczna
« Trygonometria i jej praktyczne zastosowanie »

Wykonywane:

student II roku

grupa KD-207

Suworowa Elena Wiktorowna
Kierownik:

nauczyciel matematyki

Orłowa Galina Nikołajewna

Wprowadzenie 3

Historia trygonometrii 5

Architektura 6

Biologia. Medycyna 7

Wniosek 11

Wprowadzenie 3

Historia trygonometrii 5

Sinus, cosinus, tangens, cotangens 5

Architektura 6

Biologia. Medycyna 7

Określanie odległości do niedostępnego punktu 8

Wniosek 11

Wstęp

Trygonometria - jedna z najstarszych i najciekawszych nauk, zajmująca się badaniem kształtów geometrycznych. Nie można sobie wyobrazić naszego świata bez ich istnienia. Ta nauka ma ogromny zasób różnych twierdzeń, które są stale stosowane zarówno w rozwiązywaniu problemów matematycznych, jak iw życiu.

Wielu zadaje pytania Dlaczego potrzebujesz trygonometrii? Jak jest używany w naszym świecie? Z czym wiąże się trygonometria? A oto odpowiedzi na te pytania. Funkcje trygonometrii lub trygonometryczne są wykorzystywane w astronomii (zwłaszcza do obliczania pozycji ciał niebieskich), gdy wymagana jest trygonometria sferyczna, w żegludze morskiej i powietrznej, w teorii muzyki, w akustyce, w optyce, w analizie rynków finansowych, w elektronice, w teorii prawdopodobieństwa, w statystyce, biologii, obrazowaniu medycznym, np. tomografii komputerowej i USG, aptekach, chemii, teorii liczb, meteorologii, oceanografii, wielu naukach fizycznych, geodezji i geodezji, architekturze, fonetyce, ekonomii, elektrotechnice, inżynierii mechanicznej , inżynieria lądowa, grafika komputerowa, kartografia, krystalografia, tworzenie gier i wiele innych dziedzin.

Cel : umieć udowodnić twierdzenia o cosinusach i sinusach, zastosować je w rozwiązywaniu problemów, wybrać właściwy przebieg rozwiązania podczas ich stosowania, wiedzieć, gdzie te twierdzenia mają zastosowanie w życiu, rozważać problemy z treścią praktyczną.

Historia trygonometrii

Słowo trygonometria po raz pierwszy pojawia się w 1505 roku w tytule książki niemieckiego matematyka Pitiscusa. Trygonometria to greckie słowo i dosłownie oznacza pomiar trójkątów („trigonan” – trójkąt, „metreo” – mierzę). Pojawienie się trygonometrii wiąże się z geodezji, astronomii i budownictwa. Największy bodziec do rozwoju trygonometrii powstał w związku z rozwiązywaniem problemów astronomicznych (do rozwiązywania problemów określania położenia statku, przewidywania zaciemnienia itp.) Począwszy od XVII wieku. Funkcje trygonometryczne zaczęto stosować do rozwiązywania równań, problemów mechaniki, optyki, elektryczności, inżynierii radiowej, do opisu procesów oscylacyjnych, propagacji fal, ruchu różnych mechanizmów, do badania przemiennego prądu elektrycznego itp.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens

Zatoka Ostry kąt trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

cosinus Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywa się stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

tangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem sąsiedniej nogi do sąsiedniej nogi.

Cotangens Kąt ostry trójkąta prostokątnego nazywamy stosunkiem nogi sąsiedniej do nogi przeciwnej.

Architektura

Popularne trygonometria w budownictwie, a zwłaszcza w architekturze. Większość decyzji kompozycyjnych i konstrukcji rysunków odbywała się właśnie za pomocą geometrii. Ale dane teoretyczne niewiele znaczą. Chcę podać przykład budowy jednej rzeźby przez francuskiego mistrza Złotego Wieku Sztuki.

Proporcjonalność w konstrukcji posągu była idealna. Jednak kiedy posąg został podniesiony na wysoki piedestał, wyglądał brzydko. Rzeźbiarz nie wziął pod uwagę, że wiele detali jest redukowanych perspektywicznie ku horyzoncie, a patrząc od dołu do góry, nie powstaje wrażenie jego idealności. Przeprowadzono wiele obliczeń, aby postać z dużej wysokości wyglądała proporcjonalnie. Zasadniczo opierały się one na metodzie widzenia, czyli przybliżonym pomiarze okiem. Jednak współczynnik różnicy pewnych proporcji pozwolił zbliżyć figurę do ideału. Znając więc przybliżoną odległość od posągu do punktu widzenia, czyli od szczytu posągu do oczu osoby oraz wysokość posągu, możemy obliczyć sinus kąta padania spojrzenia za pomocą stół (możemy zrobić to samo z dolnym punktem widzenia), tym samym odnajdując punkt widzenia

Sytuacja zmienia się, gdy posąg jest podnoszony na wysokość, więc odległość od szczytu posągu do oczu osoby wzrasta, a tym samym wzrasta sinus kąta padania. Porównując zmiany odległości od wierzchołka posągu do ziemi w pierwszym i drugim przypadku, możemy znaleźć współczynnik proporcjonalności. Następnie otrzymamy rysunek, a następnie rzeźbę, po podniesieniu postać będzie wizualnie zbliżona do ideału.

Biologia. Medycyna

Ruch ryb w wodzie odbywa się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, jeśli ustalisz punkt na ogonie, a następnie rozważysz trajektorię ruchu. Podczas pływania ciało ryby przybiera postać krzywej, która przypomina wykres funkcji y=tgx.

Trygonometria pomaga naszemu mózgowi określić odległości do obiektów. Amerykańscy naukowcy twierdzą, że mózg szacuje odległość do obiektów, mierząc kąt między płaszczyzną podłoża a płaszczyzną widzenia. Ściśle mówiąc, pomysł „pomiaru kątów” nie jest nowy. Nawet artyści starożytnych Chin malowali odległe obiekty wyżej w polu widzenia, nieco lekceważąc prawa perspektywy. Alhazen, arabski naukowiec z XI wieku, sformułował teorię określania odległości przez szacowanie kątów. Po długim zapomnieniu w połowie ubiegłego wieku do pomysłu powrócił psycholog James Gibson (James Gibson), który swoje wnioski zbudował na podstawie doświadczeń z pilotami wojskowymi. Jednak po tym teoria została ponownie zapomniana.

Określanie odległości do niedostępnego punktu

Załóżmy, że musimy znaleźć odległość od punktu A do niedostępnego punktu B. Aby to zrobić, wybierz punkt C na ziemi, zawieś odcinek AC i zmierz go. Następnie za pomocą astrolabium mierzymy kąty A i C. Na kartce papieru budujemy jakiś trójkąt A1B1C1, dla którego mierzymy długości boków A1B1 i AC1 tego trójkąta. Ponieważ trójkąt ABC jest proporcjonalny do trójkąta A1B1C1, to ze znanych odległości AC, A1C1 i A1B1 znajdujemy odległość AB. Aby uprościć obliczenia, wygodnie jest skonstruować trójkąt A1B1C1 tak, aby A1C1:AC=1:1000. Na przykład, jeśli AC=130m, to przyjmujemy odległość A1C1 równą 130 mm. W tym przypadku

dlatego mierząc odległość A1B1 w milimetrach, natychmiast otrzymujemy odległość AB w metrach. PRZYKŁAD. Zbudujmy trójkąt A1B1C1 tak, aby zmierzyć odcinek A1B1. Jest to 153 mm, więc pożądana odległość to 153 m.

Zadania

Zadanie 1

Łódź przepływa przez rzekę. Aktualna prędkość v1, prędkość łodzi względem wody v2. Pod jakim kątem α do brzegu powinna płynąć łódź, aby przepłynąć rzekę w jak najkrótszym czasie; najkrótsza droga?

v2

Rozwiązanie:

Wniosek

W trakcie badań stwierdzono, że badanie trygonometrii jest interesujące i przydatne, ponieważ często spotykamy się z trygonometrią w życiu.

Rozwiązywanie problemów obliczeniowych przyczynia się do rozwoju myślenia konstruktywnego, analitycznego i logicznego – niezbędnego we współczesnym życiu.

Ustalono, że systematyczna praca nad kształtowaniem umiejętności rozwiązywania problemów z geometrii za pomocą trygonometrii przyczynia się do rozwoju ogólnego rozwoju intelektualnego uczniów, ich zdolności twórczych, potencjału ucznia, umiejętności rozumienia sytuacji, dokonywania niezbędne wnioski, podczas gdy głównym celem nie jest uzyskanie wyniku rozwiązania problemu, a samo rozwiązanie problemu, jako zestaw logicznych kroków prowadzących do odpowiedzi. Bardzo ważne jest, aby nauczyć się korzystać z optymalnych metod rozwiązywania problemów, wśród których najprostsza jest metoda trygonometryczna.

Cel osiągnięty : Nauczyłem się udowadniać twierdzenia o cosinusach i sinusach, stosować je w rozwiązywaniu problemów, dobierać właściwy kierunek rozwiązania podczas ich stosowania, dowiedziałem się, gdzie te twierdzenia mają zastosowanie w życiu, rozważałem problemy z treścią praktyczną.

Opieka nad dzieckiem