W identyczne przekształcenia wyrażenia trygonometryczne można zastosować następujące sztuczki algebraiczne: dodawanie i odejmowanie identycznych terminów; usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów; mnożenie i dzielenie przez tę samą wartość; stosowanie skróconych wzorów mnożenia; wybór pełnego kwadratu; faktoryzacja trójmianu kwadratowego; wprowadzenie nowych zmiennych w celu uproszczenia przekształceń.

Podczas konwertowania wyrażeń trygonometrycznych zawierających ułamki można użyć właściwości proporcji, redukcji ułamków lub redukcji ułamków do wspólnego mianownika. Ponadto można użyć wyboru części całkowitej ułamka, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą wartość, a także, jeśli to możliwe, uwzględnić jednolitość licznika lub mianownika. W razie potrzeby ułamek można przedstawić jako sumę lub różnicę kilku prostszych ułamków.

Ponadto, stosując wszystkie niezbędne metody konwersji wyrażeń trygonometrycznych, należy stale uwzględniać obszar dozwolone wartości przekonwertowane wyrażenia.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1

Oblicz A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x - 7π) /2) +
+ grzech (3π/2 - x) grzech (2x -5π/2)) 2

Decyzja.

Z formuł redukcyjnych wynika:

grzech (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

grzech (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

grzech (3π / 2 - x) \u003d -cos x; grzech (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Stąd na podstawie wzorów na dodawanie argumentów i podstawowej tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d grzech 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= grzech 2 3x + cos 2 3x = 1

Odpowiedź 1.

Przykład 2

Przekształć wyrażenie M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ na iloczyn.

Decyzja.

Z wzorów na dodawanie argumentów oraz wzorów na przeliczanie sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn, po odpowiednim pogrupowaniu mamy

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odpowiedź: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Przykład 3.

Pokaż, że wyrażenie A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) przyjmuje dla wszystkich x z R jeden i taką samą wartość. Znajdź tę wartość.

Decyzja.

Przedstawiamy dwie metody rozwiązania tego problemu. Stosując pierwszą metodę, izolując pełny kwadrat i stosując odpowiednie podstawowe wzory trygonometryczne, otrzymujemy

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Grzech 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rozwiązując problem w drugi sposób, rozważ A jako funkcję x od R i oblicz jego pochodną. Po przemianach otrzymujemy

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - grzech 2 (x - π/6) =

Grzech 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Stąd na mocy kryterium stałości funkcji różniczkowalnej na przedziale wnioskujemy, że

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Odpowiedź: A = 3/4 dla x € R.

Główne metody udowadniania tożsamości trygonometrycznych to:

a) redukcja lewej strony tożsamości do prawej strony poprzez odpowiednie przekształcenia;
b) redukcja prawej strony tożsamości do lewej;
w) redukcja prawej i lewej części tożsamości do tej samej formy;
G) sprowadzenie do zera różnicy między lewą i prawą częścią udowadniania tożsamości.

Przykład 4

Sprawdź, czy cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Decyzja.

Przekształcając prawą stronę tej tożsamości zgodnie z odpowiednimi wzorami trygonometrycznymi, mamy

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Prawa strona tożsamości zostaje zredukowana do lewej.

Przykład 5

Udowodnić, że sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 jeśli α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta.

Decyzja.

Biorąc pod uwagę, że α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta, otrzymujemy, że

α + β + γ = π i stąd γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Udowodniono pierwotną równość.

Przykład 6

Wykazać, że aby jeden z kątów α, β, γ trójkąta był równy 60°, konieczne jest i wystarczające, aby sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Decyzja.

Stan tego problemu zakłada dowód konieczności i wystarczalności.

Najpierw udowadniamy potrzebować.

Można wykazać, że

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Biorąc więc pod uwagę, że cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, otrzymujemy, że jeśli jeden z kątów α, β lub γ jest równy 60°, to

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Udowodnijmy teraz adekwatność określony warunek.

Jeśli sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, to cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem

albo cos (3α/2) = 0, albo cos (3β/2) = 0, albo cos (3γ/2) = 0.

Stąd,

lub 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

lub 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

lub 3γ/2 = π/2 + πk,

tych. γ = π/3 + 2πk/3, gdzie k ϵ Z.

Z faktu, że α, β, γ są kątami trójkąta, mamy

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zatem dla α = π/3 + 2πk/3 lub β = π/3 + 2πk/3 lub

γ = π/3 + 2πk/3 ze wszystkich kϵZ tylko k = 0 pasuje.

Stąd wynika, że ​​albo α = π/3 = 60°, albo β = π/3 = 60°, albo γ = π/3 = 60°.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak uprościć wyrażenia trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Do rozwiązania niektórych problemów przyda się tablica tożsamości trygonometrycznych, która znacznie ułatwi przeprowadzanie przekształceń funkcji:

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Iloraz dzielenia sinusa kąta alfa przez cosinus tego samego kąta jest równy tangensowi tego kąta (Wzór 1). Zobacz też dowód poprawności przekształcenia najprostszych tożsamości trygonometrycznych.
Iloraz dzielenia cosinusa kąta alfa przez sinus tego samego kąta jest równy cotangensowi tego samego kąta (wzór 2)
Seansa kąta jest równa jedności podzielonej przez cosinus tego samego kąta (wzór 3)
Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden (wzór 4). zobacz także dowód sumy kwadratów cosinusa i sinusa.
Suma jednostki i tangensa kąta jest równa stosunkowi jednostki do kwadratu cosinusa tego kąta (Wzór 5)
Jednostka plus cotangens kąta jest równa ilorazowi dzielenia jednostki przez sinus tego kąta (wzór 6)
Iloczyn tangensa i cotangensa tego samego kąta jest równy jeden (wzór 7).

Zamiana kątów ujemnych funkcji trygonometrycznych (parzystych i nieparzystych)

Aby pozbyć się ujemnej wartości miary stopnia kąta przy obliczaniu sinusa, cosinusa lub tangensa, można skorzystać z następujących przekształceń trygonometrycznych (tożsamości) opartych na zasadach parzystych lub nieparzystych funkcji trygonometrycznych.

Jak widać, cosinus a sieczna to nawet funkcja, sinus, tangens i cotangens są funkcjami nieparzystymi.

Sinus kąta ujemnego jest równy ujemnej wartości sinusa tego samego kąta dodatniego (minus sinus alfa).
Cosinus „minus alfa” da taką samą wartość jak cosinus kąta alfa.
Tangens minus alfa jest równy minus tangens alfa.

Formuły redukcji podwójnego kąta (sinus, cosinus, tangens i cotangens podwójnego kąta)

Jeśli musisz podzielić kąt na pół lub odwrotnie, przejdź od podwójnego kąta do pojedynczego, możesz użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:

Konwersja podwójnego kąta (podwójny kąt sinus, podwójny kąt cosinus i podwójny kąt tangens) w jeden następuje według następujących zasad:

Sinus podwójnego kąta jest równy dwukrotności iloczynu sinusa i cosinusa jednego kąta

Cosinus podwójnego kąta jest równa różnicy między kwadratem cosinusa jednego kąta a kwadratem sinusa tego kąta

Cosinus podwójnego kąta równa się dwukrotności kwadratu cosinusa jednego kąta minus jeden

Cosinus podwójnego kąta równa się jeden minus podwójny sinus jednego kąta

Podwójny kąt styczny jest równy ułamkowi, którego licznik jest dwukrotnością tangensa jednego kąta i którego mianownik jest równy jeden minus tangens kwadratu jednego kąta.

Cotangens podwójny kąt jest równy ułamkowi, którego licznikiem jest kwadrat cotangensa jednego kąta minus jeden, a mianownik jest równy dwukrotności cotangensa jednego kąta

Uniwersalne wzory podstawienia trygonometrycznego

Poniższe wzory przeliczania mogą być przydatne, gdy trzeba podzielić argument funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α, tg α) przez dwa i sprowadzić wyrażenie do wartości połowy kąta. Z wartości α otrzymujemy α/2 .

Te formuły nazywają się wzory uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego. Ich wartość polega na tym, że wyrażenie trygonometryczne za ich pomocą sprowadza się do wyrażenia stycznej pół kąta, niezależnie od tego, jakie funkcje trygonometryczne (sin cos tg ctg) były pierwotnie w tym wyrażeniu. Po tym równanie ze styczną pół kąta jest znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Tożsamości transformacji trygonometrycznej półkąta

Poniżej znajdują się wzory do konwersji trygonometrycznej połowy wartości kąta na jego wartość całkowitą.
Wartość argumentu funkcji trygonometrycznej α/2 sprowadza się do wartości argumentu funkcji trygonometrycznej α.

Wzory trygonometryczne do dodawania kątów

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens i cotangens sumy kątów alfa i beta mogą być konwertowane zgodnie z następującymi zasadami konwersji funkcji trygonometrycznych:

Tangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest sumą stycznej pierwszego kąta i stycznej drugiego kąta, a mianownik to jeden minus iloczyn stycznej pierwszego kąta i stycznej drugiego kąta.

tangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy różnicy między tangensem kąta zredukowanego i tangensa kąta, który ma być odjęty, a mianownik to jeden plus iloczyn stycznych tych kątów.

Cotangens sumy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest równy iloczynowi cotangensów tych kątów plus jeden, a mianownik jest równy różnicy między cotangensem drugiego kąta i cotangensem pierwszego kąta.

Cotangens różnicy kątów jest równy ułamkowi, którego licznik jest iloczynem cotangensów tych kątów minus jeden, a mianownik jest równy sumie cotangensów tych kątów.

Te tożsamości trygonometryczne są wygodne w użyciu, gdy trzeba obliczyć na przykład tangens 105 stopni (tg 105). Jeśli jest reprezentowany jako tg (45 + 60), możesz użyć podanych identycznych przekształceń stycznej sumy kątów, po czym po prostu podstawiasz wartości tabelaryczne stycznej 45 i stycznej 60 stopni.

Wzory do przeliczania sumy lub różnicy funkcji trygonometrycznych

Wyrażenia reprezentujące sumę postaci sin α + sin β można przekonwertować za pomocą następujących wzorów:

Wzory z trzema kątami - przelicz sin3α cos3α tg3α na sinα cosα tgα

Czasami konieczne jest przekształcenie potrójnej wartości kąta, aby kąt α stał się argumentem funkcji trygonometrycznej zamiast 3α.
W takim przypadku możesz użyć wzorów (tożsamości) do przekształcenia potrójnego kąta:

Wzory na przekształcenie iloczynu funkcji trygonometrycznych

Jeśli zajdzie potrzeba przeliczenia iloczynu sinusów o różnych kątach z cosinusów o różnych kątach lub nawet iloczynu sinusa i cosinusa, można użyć następujących tożsamości trygonometrycznych:


W takim przypadku iloczyn funkcji sinus, cosinus lub tangens dla różnych kątów zostanie przeliczony na sumę lub różnicę.

Wzory redukcji funkcji trygonometrycznych

Musisz użyć tabeli rzutowania w następujący sposób. W wierszu wybierz interesującą nas funkcję. Kolumna jest kątem. Na przykład sinus kąta (α+90) na przecięciu pierwszego rzędu i pierwszej kolumny, dowiadujemy się, że sin (α+90) = cos α .

Podano stosunki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to również obfitość formuł trygonometrycznych. Niektóre formuły łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, inne - pozwalają obniżyć stopień, czwarta - wyraża wszystkie funkcje przez styczną półkąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania ogromnej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według ich przeznaczenia i wprowadzimy do tabel.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną za pomocą dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły odlewane

Formuły odlewane wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność periodyczności funkcji trygonometrycznych, własność symetrii, a także własność przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem dla tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażane w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (są one również nazywane formułami wielu kątów) pokazują, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt .

Wzory półkątowe

Wzory półkątowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażone w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne

Wzory trygonometryczne na malejące stopnie są zaprojektowane tak, aby ułatwić przejście od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale pod różnymi kątami. Innymi słowy, pozwalają zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszego.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Główny cel wzory na sumę i różnicę dla funkcji trygonometrycznych polega na przejściu do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Wzory te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, ponieważ pozwalają na faktoryzację sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus

Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Przegląd podstawowych wzorów trygonometrii uzupełniamy wzorami wyrażającymi funkcje trygonometryczne w postaci tangensa półkąta. Ten zamiennik nazywa się uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Jego wygoda polega na tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażone w postaci stycznej półkąta racjonalnie bez pierwiastków.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. na 9 komórek. śr. szkoła / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Oświecenie, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i projekty zewnętrzne, nie mogą być powielane w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Wykonywany dla wszystkich wartości argumentu (od obszar ogólny definicje).

Uniwersalne formuły podstawienia.

Dzięki tym wzorom łatwo jest przekształcić dowolne wyrażenie, które zawiera różne funkcje trygonometryczne jednego argumentu racjonalne wyrażenie jedna funkcja tg (α /2):

Formuły przeliczania sum na produkty i produktów na sumy.

Wcześniej powyższe wzory służyły uproszczeniu obliczeń. Obliczali za pomocą tablic logarytmicznych, a później - suwaka, ponieważ logarytmy najlepiej nadają się do mnożenia liczb. Dlatego każde pierwotne wyrażenie zostało zredukowane do formy wygodnej dla logarytmów, czyli produktów, Na przykład:

2 grzech α grzech b = sałata (α - b) - sałata (α + b);

2 sałata α sałata b = sałata (α - b) + sałata (α + b);

2 grzech α sałata b = grzech (α - b) + grzech (α + b).

gdzie jest kąt, dla którego w szczególności

Wzory dla funkcji stycznej i cotangensa można łatwo uzyskać z powyższego.

Formuły redukcji stopni.

grzech 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
grzech 3α = (3 grzechyα -grzech 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Z pomocą tych formuł równania trygonometrycznełatwo sprowadza się do równań o niższych potęgach. W ten sam sposób wyprowadza się wzory obniżające dla wyższych stopni grzech oraz sałata.

Wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez jedną z nich o tym samym argumencie.

Znak przed korzeniem zależy od ćwiartki rogu α .

Rozwój