3) numer
dopasujmy kropkę.
Krąg jednostkowy z ustaloną korespondencją zostanie nazwany
kółko z cyframi.
To jest drugi model geometryczny dla zbioru rzeczywistych
liczby. Pierwszy model – linia liczbowa – uczniowie już znają. Jest
analogia: dla osi liczbowej reguła korespondencji (od liczby do punktu)
prawie dosłownie to samo. Ale jest też zasadnicza różnica – źródło
główne trudności w pracy z kółkiem liczbowym: na linii prostej, każdy
kropka odpowiada jedyny numer, na kole tak nie jest. Jeśli
kółko odpowiada liczbie, to odpowiada wszystkim
numery formularza
Gdzie jest długość okręgu jednostkowego i jest liczbą całkowitą
Ryż. jeden
liczba wskazująca liczbę pełnych okrążeń koła w jednym lub drugim kierunku
bok.
Ten moment jest trudny dla studentów. Powinny być oferowane
zrozumienie istoty prawdziwego zadania:
Bieżnia stadionowa ma długość 400m, biegacz jest oddalony o 100m
od punktu wyjścia. Jaką drogą poszedł? Jeśli po prostu zaczął biec, to
przebiegł 100 m; jeśli udało ci się przebiec jedno okrążenie, to - (
Dwa koła - () ; jeśli potrafisz biegać
kręgi, to ścieżka będzie (
) . Teraz możesz porównać
wynik uzyskany z wyrażeniem
Przykład 1 Jakim numerom odpowiada kropka
kółko z cyframi
Rozwiązanie. Ponieważ długość całego koła
To jest długość jej ćwiartki
Dlatego dla wszystkich liczb postaci
Podobnie ustala się, które liczby odpowiadają punktom
zwane odpowiednio pierwszym, drugim, trzecim,
czwarte ćwiartki koła liczbowego.
Cała trygonometria szkolna jest oparta na modelu numerycznym
kręgi. Doświadczenie pokazuje, że w tym modelu również występują wady
pospieszne wprowadzenie funkcji trygonometrycznych nie pozwala na tworzenie
solidny fundament dla udanej asymilacji materiału. Dlatego nie
musisz się pospieszyć i poświęć trochę czasu na rozważenie następujących kwestii
pięć różnych typów problemów z kółkiem liczbowym.
Pierwszy rodzaj zadań. Znajdowanie punktów na okręgu numerycznym,
odpowiadające danym liczbom, wyrażone w ułamkach liczby
Przykład 2
liczby
Rozwiązanie. Podzielmy łuk
na pół z punktem na trzy równe części -
kropki
(rys. 2). Następnie
Więc liczba
Odpowiedni punkt
numer
Przykład
3.
na
liczbowy
kręgi
zwrotnica,
odpowiednie numery:
Rozwiązanie. Zbudujemy
a) Odroczenie łuku
(jego długość
) Pięć razy
Z punktu
w negatywnym kierunku
zdobyć punkt
b) Odroczenie łuku
(jego długość
) siedem razy od
w pozytywnym kierunku otrzymujemy punkt oddzielający
trzecia część łuku
Będzie odpowiadać liczbie
c) Odroczenie łuku
(jego długość
) pięć razy od punktu
pozytywny
kierunek, dostajemy punkt
Oddzielenie trzeciej części łuku. Ona i
dopasuje numer
(doświadczenie pokazuje, że lepiej nie odkładać)
pięć razy więcej
I 10 razy
Po tym przykładzie należy podać dwa główne układy liczb
kółka: na pierwszym z nich (ryc. 3) wszystkie ćwiartki są podzielone na pół, dalej
drugi (ryc. 4) - na trzy równe części. Takie układy są przydatne w biurze
matematyka.
Ryż. 2
Ryż. 3 Ryż. 4
Przedyskutuj z uczniami pytanie: co się stanie, jeśli
każdy z układów porusza się nie w pozytywie, ale w negatywie
kierunek? Na pierwszym układzie wybrane punkty będą musiały zostać przypisane
inne „imiona”: odpowiednio
itp.; na drugim układzie:
Drugi rodzaj zadań. Znajdowanie punktów na okręgu numerycznym,
odpowiadające danym liczbom, niewyrażone w ułamkach liczby
Przykład 4 Znajdź punkty na kółku liczbowym odpowiadające
liczby 1; 2; 3; -pięć.
Rozwiązanie.
Tutaj musimy polegać na tym, że
Dlatego punkt 1
znajduje się na łuku
bliżej punktu
Punkty 2 i 3 leżą na łuku, pierwszy to
Drugi jest bliżej (ryc. 5).
Przyjrzyjmy się bliżej
po znalezieniu punktu odpowiadającego liczbie - 5.
Przenieś się z punktu
w kierunku negatywnym, tj. zgodnie ze wskazówkami zegara
Ryż. pięć
strzałka. Jeśli pójdziemy w tym kierunku do celu
Dostwać
Oznacza to, że znajduje się punkt odpowiadający liczbie - 5
nieco na prawo od kropki
(patrz rys.5).
Trzeci rodzaj zadań. Przygotowanie zapisów analitycznych (podwójne
nierówności) dla łuków koła liczbowego.
W rzeczywistości działamy dalej
ten sam plan, który był używany w 5-8
zajęcia do nauki linii liczbowej:
najpierw znajdź punkt według numeru, a potem według
kropka - liczba, następnie użyj podwójnej
nierówności w pisaniu luk
Numer linii.
Rozważmy na przykład otwartą
Gdzie jest środek pierwszego
ćwiartki koła liczbowego i
- jego środek
druga ćwiartka (ryc. 6).
Nierówności charakteryzujące łuk, tj. reprezentujący
Proponuje się dwuetapowe opracowanie analitycznego modelu łuku. Na pierwszym
etap stanowią rdzeń zapis analityczny(to jest najważniejsza rzecz do naśladowania
uczyć uczniów) dla danego łuku
Na drugim
etap tworzą ogólny zapis:
Jeśli mówimy o łuku
Następnie, pisząc jądro, musisz wziąć to pod uwagę
() leży wewnątrz łuku, dlatego musisz przejść na początek łuku
w negatywnym kierunku. Stąd jądro notacji analitycznej łuku
ma formę
Ryż. 6
Terminy „jądro analityczne”
zapisy łukowe”, „zapis analityczny
łuki” nie są ogólnie akceptowane,
względy.
Czwarty
zadania.
Odkrycie
kartezjański
współrzędne
punkty kółka liczbowego, środek
co łączy się z początkiem systemu
współrzędne.
Rozważmy najpierw jeden dość subtelny punkt, aż do teraz
praktycznie nie wymienione w obecnych podręcznikach szkolnych.
Rozpoczęcie badania modelu „koło numeryczne na współrzędnej
samolot”, nauczyciele powinni być świadomi, jakie trudności czekają
studenci tutaj. Trudności te są związane z faktem, że w badaniu tego
modelki od dzieci w wieku szkolnym muszą mieć odpowiednio wysoki poziom
kulturę matematyczną, ponieważ muszą pracować jednocześnie w
dwa układy współrzędnych - w "krzywoliniowym", gdy informacje o
pozycja punktu jest mierzona wzdłuż okręgu (liczba
koresponduje z
punkt okręgu
(); jest „współrzędną krzywoliniową” punktu), a in
Kartezjański prostokątny układ współrzędnych (w punkcie
Jak każdy punkt
płaszczyzna współrzędnych, istnieje odcięta i rzędna). Zadaniem nauczyciela jest pomoc
uczniów w przezwyciężaniu tych naturalnych trudności. Niestety,
zwykle w podręcznikach szkolnych nie zwracają na to uwagi i od samego początku
pierwsze lekcje używają notatek
Nie biorąc pod uwagę, że list w
w umyśle ucznia wyraźnie kojarzy się z odciętą w kartezjańskim
prostokątny układ współrzędnych, a nie z długością przebytą wzdłuż numerycznego
kręgi ścieżki. Dlatego podczas pracy z kółkiem liczbowym nie należy
użyj symboli
Ryż. 7
Wróćmy do czwartego rodzaju zadań. Chodzi o odejście od pisania
dokumentacja
(), tj. od współrzędnych krzywoliniowych do kartezjańskich.
Połączmy koło liczbowe z kartezjańskim układem prostokątnym
współrzędne, jak pokazano na ryc. 7. Następnie kropki
będzie miał
następujące współrzędne:
() () () (). Bardzo ważne
naucz uczniów określać współrzędne wszystkich tych punktów, które:
zaznaczone na dwóch głównych planach (patrz rys.3,4). Za punkt
Wszystko sprowadza się do
biorąc pod uwagę trójkąt równoramienny z przeciwprostokątną
Jego nogi są równe
Więc współrzędne
). To samo dotyczy punktów.
Ale jedyną różnicą jest to, że trzeba wziąć pod uwagę
znaki odciętej i rzędnej. Konkretnie:
O czym uczniowie powinni pamiętać? Tylko że moduły odciętej i
rzędne w środkach wszystkich ćwiartek są równe
I muszą znać znaki!
określić dla każdego punktu bezpośrednio z rysunku.
Za punkt
Wszystko sprowadza się do rozważenia prostokąta
trójkąt z przeciwprostokątną 1 i kątem
(rys. 9). Potem kate…
przeciwległy róg
będzie równy
przylegający
√
Oznacza,
współrzędne punktu
To samo dotyczy punktu
tylko nogi „zamieniają się miejscami”, a co za tym idzie
Ryż. 8
Ryż. dziewięć
dostajemy
). To są znaczenia
(do znaków) i będzie
„obsługują” wszystkie punkty drugiego układu (patrz rys. 4), z wyjątkiem punktów
jako odcięta i rzędna. Sugerowany sposób zapamiętywania: „gdzie jest krócej,
; gdzie jest dłużej
Przykład 5 Znajdź współrzędne punktu
(patrz rys.4).
Rozwiązanie. Kropka
Bliżej osi pionowej niż do
pozioma, tj. moduł jego odciętej jest mniejszy niż moduł jego rzędnej.
Więc moduł odciętej to
Moduł rzędnej to
znaki w obu
przypadki są negatywne (trzeci kwartał). Wniosek: kropka
Ma współrzędne
W czwartym typie problemów współrzędne kartezjańskie wszystkich
punkty przedstawione na pierwszym i drugim wspomnianym układzie
Tak naprawdę w trakcie tego typu zadań przygotowujemy studentów do
obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych. Jeśli wszystko jest tutaj
wyszło całkiem niezawodnie, potem przejście na nowy poziom abstrakcji
(rzędna - sinus, odcięta - cosinus) będzie mniej bolesna niż
Czwarty typ obejmuje zadania tego typu: za punkt
znajdź znaki współrzędnych kartezjańskich
Decyzja nie powinna sprawiać uczniom trudności: liczba
punkt meczowy
Czwarty kwartał oznacza .
Piąty rodzaj zadań. Znajdowanie punktów na okręgu numerycznym przez
podane współrzędne.
Przykład 6 Znajdź punkty z rzędną na okręgu liczbowym
zapisz, jakim numerom odpowiadają.
Rozwiązanie. Prosty
Przecina kółko z cyframi w punktach
(rys. 11). Za pomocą drugiego układu (patrz rys. 4) ustalamy, że punkt
odpowiada liczbie
Więc ona
pasuje do wszystkich numerów formularza
odpowiada liczbie
I to oznacza, że
wszystkie numery formularza
Odpowiedź:
Przykład 7 Znajdź numerycznie
punkt okręgu z odciętymi
zapisz, jakim numerom odpowiadają.
Rozwiązanie.
Prosty
√
przecina okrąg liczbowy w punktach
- w połowie drugiej i trzeciej ćwiartki (ryc. 10). Z pomocą pierwszego
układ ustaw ten punkt
odpowiada liczbie
A to oznacza, że wszyscy
numery formularza
odpowiada liczbie
A to oznacza, że wszyscy
numery formularza
Odpowiedź:
Musisz pokazać drugą opcję.
zapisz odpowiedź, na przykład 7. W końcu punkt
odpowiada liczbie
Tych. wszystkie numery formularza
otrzymujemy:
Ryż. 10
Rys.11
Podkreśl niezaprzeczalne znaczenie
piąty rodzaj zadań. W rzeczywistości uczymy
uczniowie
decyzja
pierwotniaki
równania trygonometryczne: w przykładzie 6
chodzi o równanie
A w przykładzie
- o równaniu
zrozumienie istoty sprawy jest ważne, aby uczyć
uczniowie rozwiązują równania typów
wzdłuż kółka z cyframi
nie spiesz się do formuł
Doświadczenie pokazuje, że jeśli pierwszy etap (praca nad
koło liczbowe) nie jest wystarczająco rzetelnie obliczony, to drugi etap
(praca nad formułami) jest postrzegana przez uczniów formalnie, że
Oczywiście trzeba to przezwyciężyć.
Podobnie jak w przykładach 6 i 7 należy znaleźć na kółku z cyframi
punkty ze wszystkimi „głównymi” rzędnymi i odciętymi
Jako przedmioty specjalne należy wyróżnić:
Uwaga 1. W ujęciu propedeutycznym przygotowawczy
praca na temat „Długość koła” w toku geometrii 9 klasy. Ważny
Rada: system ćwiczeń powinien obejmować zadania proponowanego typu
poniżej. Okrąg jednostkowy jest podzielony na cztery równe części punktami
łuk jest przecinany przez punkt, a łuk jest przecinany przez punkty
na trzy równe części (ryc. 12). Jakie są długości łuków?
(przyjmuje się, że okrążenie koła odbywa się w sposób pozytywny)
kierunek)?
Ryż. 12
Piąty rodzaj zadań obejmuje pracę w warunkach takich jak
oznacza
do
decyzja
pierwotniaki
nierówności trygonometrycznych, my również „dopasowujemy się” stopniowo.
pięć lekcji i dopiero w szóstej lekcji definicje sinusa i
cosinus jako współrzędne punktu na okręgu numerycznym. W której
wskazane jest ponowne rozwiązywanie wszelkiego rodzaju problemów z uczniami, ale z
posługując się wprowadzonym zapisem, proponując wykonanie takiego
na przykład zadania: oblicz
Rozwiązać równanie
nierówność
itp. Podkreślamy, że na pierwszych lekcjach
trygonometria proste równania i nierówności trygonometryczne
nie są cel, powód szkolenie, ale używane jako budynków dla
opanowanie najważniejszego - definicji sinusa i cosinusa jako współrzędnych punktów
koło liczbowe.
Niech liczba
punkt meczowy
koło liczbowe. Wtedy jego odcięta
nazywa się cosinus liczby
i oznaczone
A jego rzędna nazywa się sinus liczby
i jest oznaczony. (rys. 13).
Z tej definicji można od razu
ustaw znaki sinusa i cosinusa zgodnie z
ćwiartki: na sinus
Dla cosinusa
Poświęć temu całą lekcję (tak jak jest
akceptowane) nie jest właściwe. Nie rób tego
zmusić dzieci w wieku szkolnym do zapamiętania tych znaków: jakikolwiek mechaniczny
zapamiętywanie, zapamiętywanie jest brutalną techniką, do której uczniowie,
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.
Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Zadania algebraiczne z parametrami, klasy 9-11
Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”
1. Koło liczbowe w życiu.
2. Definicja koła liczbowego.
3. Widok ogólny i długość koła numerycznego.
4. Lokalizacja głównych punktów koła.
Koło liczb i życie
W prawdziwym życiu ruch okrężny jest powszechny. Na przykład zawody kolarskie, które pokonują określone okrążenie z czasem, lub zawody samochodów wyścigowych, które wymagają przejechania największej liczby okrążeń w określonym czasie.
Rozważ konkretny przykład…
Biegacz biegnie po okręgu o długości 400 metrów. Zawodnik zaczyna w punkcie A (rys. 1) i porusza się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Gdzie będzie na 200 m, 800 m, 1500 m? A gdzie narysować linię mety, jeśli biegacz musi przebiec 4195 m? 
Rozwiązanie:
Po 200 m biegacz znajdzie się w punkcie C. Ponieważ przebiegnie dokładnie połowę dystansu.
Po przebiegnięciu 800 m biegacz wykona dokładnie dwa okrążenia i wyląduje w punkcie A.
1500m to 3 okrążenia po 400m (1200m) i kolejne 300m, czyli $\frac(3)(4)$ od toru, kończąc ten dystans w punkcie D.
Gdzie będzie nasz biegacz po biegu na 4195 m? 10 okrążeń to 4000m, 195m do przejechania, czyli o 5m mniej niż połowa dystansu. Zatem linia mety będzie w punkcie K, znajdującym się w pobliżu punktu C.
Definicja koła liczbowego
Pamiętać!to okrąg jednostkowy, którego punkty odpowiadają pewnym liczbom rzeczywistym. koło jednostkowe zwany okręgiem o promieniu 1.
Widok ogólny koła z cyframi
1) Promień okrąg jest jednostką miary.
2) Poziomyśrednica jest oznaczona jako AC, gdzie A jest skrajnym prawym punktem. Pionowyśrednica jest oznaczona jako BD, gdzie B jest najwyższym punktem.
Średnice AC i BD dzielą okrąg na cztery ćwiartki:
Pierwszy kwartał jest łukiem AB.
drugi kwartał- łuk BC.
Trzeci kwadrans– łuk CD.
czwarta ćwiartka– łuk DA.
3) punkt wyjścia kółko z cyframi - punkt A.
Liczenie od punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara nazywa się kierunkiem dodatnim. Liczenie od punktu A zgodnie z ruchem wskazówek zegara nazywa się kierunkiem ujemnym.
Długość koła liczb
Długość koła liczbowego oblicza się według wzoru:$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Ponieważ jest to koło jednostkowe, to $R = 1$.
Jeżeli przyjmiemy $π ≈ 3,14$, to obwód L można wyrazić liczbą:
2 USD π ≈ 2 * 3,14 = 6,28 USD.
Długość każdego kwartału to: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$.
Lokalizacja głównych punktów okręgu
Główne punkty na okręgu i ich nazwy pokazano na rysunku:
Każda z czterech ćwiartek koła liczbowego podzielona jest na trzy równe części. W pobliżu każdego z dwunastu uzyskanych punktów zapisana jest liczba, której odpowiada.
Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe dla koła liczbowego:Jeżeli punkt $M$ koła liczbowego odpowiada liczbie $t$ , to odpowiada również liczbie postaci $t+2π *k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. $M(t) = M(t+2π*k)$.
Rozważ przykład.
W okręgu jednostkowym łuk AB jest podzielony przez punkt M na dwie równe części, a punkty K i P na trzy równe części. Jaka jest długość łuku: AM, MB, AK, KR, RB, AP, KM?
Długość łuku $AB =\frac(π)(2)$. Dzieląc go na dwie równe części przez punkt M, otrzymujemy dwa łuki, każdy o długości $\frac(π)(4)$. Stąd $AM =MV=\frac(π)(4)$.
Łuk AB jest podzielony na trzy równe części przez punkty K i P. Długość każdej wynikowej części jest równa $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, czyli $\frac(π )(6) zł. Stąd $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$.
Łuk АР składa się z dwóch łuków AK i КР o długości - $\frac(π)(6)$. Stąd $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$.
Pozostaje obliczyć długość łuku KM. Łuk ten jest uzyskiwany z łuku AM poprzez wyeliminowanie łuku AK. Zatem $KM = AM – AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$.
Zadanie:
Znajdź punkt na okręgu liczbowym, który odpowiada podanej liczbie:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$.
Rozwiązanie:
Punkt A odpowiada liczbie $2π$, ponieważ przejście wzdłuż okręgu ścieżką o długości $2π$, tj. dokładnie jedno koło, ponownie dochodzimy do punktu A.
Liczba $\frac(7π)(2)$ odpowiada punktowi D, ponieważ $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, czyli poruszając się w kierunku dodatnim, trzeba przejść przez cały okrąg i dodatkowo ścieżkę o długości $\frac(3π)(2)$, która kończy się w punkcie D.
Punkt M odpowiada liczbie $\frac(π)(4)$, ponieważ poruszając się w kierunku dodatnim, trzeba przejść przez ścieżkę o długości połowy łuku AB o długości $\frac(π)(2)$, która kończy się w punkcie M.
Liczba $-\frac(3π)(2)$ odpowiada punktowi B, ponieważ poruszając się w kierunku ujemnym od punktu A, musisz przejść przez ścieżkę o długości $\frac(3π)(2)$, która kończy się w punkcie B.
Przykład.
Znajdź punkty na kółku z cyframi:
a) $21\frac(π)(4)$;
b) $-37\frac(π)(6)$.
Rozwiązanie:
Użyjmy wzoru: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 slajdów) otrzymujemy:
a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, to liczba $\frac(21π)(4)$ odpowiada tej samej liczbie, co liczba $\frac(5)(4π)$ - środek trzeciego kwartału.
b) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π )(6)$. Stąd liczba $-\frac(37π)(6)$ odpowiada tej samej liczbie co liczba $-\frac(1)(6π)$. To samo co $\frac(11π)(6)$.
Przykład.
Znajdź wszystkie liczby t, które odpowiadają punktom na okręgu liczbowym należącym do danego łuku:
a) VA;
b) MK.
Rozwiązanie:
a) Łuk BA jest łukiem z początkiem w punkcie B i końcem w punkcie A, poruszającym się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Punkt B jest odpowiednio równy $\frac(π)(2)$, a punkt A jest równy $2π$. Stąd dla punktów t mamy: $\frac(π)(2) ≤ t ≤ 2π$. Ale zgodnie ze wzorem na slajdzie 8 liczby $\frac(π)(2)$ i $2π$ odpowiadają liczbom postaci $\frac(π)(2)+2π*k$ i $2π+2π *k$, odpowiednio.
$\frac(π)(2) +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
b) Łuk MK jest łukiem o początku w punkcie M i końcu w punkcie K. Odpowiednio punkt M jest równy $-\frac(3π)(4)$, a punkt K jest równy do $\frac(π)(4)$.
Tak więc dla punktów t mamy:
$\frac(-3π)(4) ≤ t ≤\frac(π)(4)$.
Zgodnie ze wzorem na slajdzie 8, liczby $-\frac(3π)(4)$ i $\frac(π)(4)$ odpowiadają liczbom postaci: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ i $\ frac(π)(4)+2π*k$.
Wtedy nasza liczba t przyjmuje wartości:
$-\frac(3π)(4)+2π*k ≤ t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
1) Na okręgu jednostkowym łuk BC jest podzielony przez punkt T na dwie równe części oraz przez punkty K i P na trzy równe części. Jaka jest długość łuku: BT, TS, VC, CR, RS, BP, CT?
2) Znajdź punkt na okręgu liczbowym, który odpowiada podanej liczbie:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$.
3) Znajdź wszystkie liczby t, które na okręgu liczbowym odpowiadają punktom należącym do danego łuku:
a) AB;
b) AC;
c) PM, gdzie P jest środkiem łuku AB, a punkt M jest środkiem łuku DA.
W tym artykule bardzo szczegółowo przeanalizujemy definicję koła liczbowego, poznamy jego główną właściwość i uporządkujemy liczby 1,2,3 itd. O tym, jak zaznaczyć inne liczby na okręgu (na przykład \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) rozumie.
Koło liczbowe nazwijmy okrąg o promieniu jednostkowym, którego punkty odpowiadają ułożone według następujących zasad:
1) Początek znajduje się w skrajnym prawym punkcie koła;
2) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara - kierunek dodatni; zgodnie z ruchem wskazówek zegara - ujemna;
3) Jeśli wykreślimy odległość \(t\) na okręgu w kierunku dodatnim, to dojdziemy do punktu o wartości \(t\);
4) Jeśli wykreślimy odległość \(t\) na okręgu w kierunku ujemnym, to dojdziemy do punktu o wartości \(–t\).
Dlaczego okrąg nazywa się liczbą?
Ponieważ ma na sobie numery. Pod tym względem okrąg jest podobny do osi liczbowej - na kole, a także na osi, dla każdej liczby znajduje się pewien punkt.
Po co wiedzieć, co to jest koło liczbowe?
Za pomocą koła liczbowego określa się wartość sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Dlatego, aby poznać trygonometrię i zdać egzamin z ponad 60 punktami, konieczne jest zrozumienie, czym jest koło liczbowe i jak umieszczać na nim kropki.
Co oznaczają słowa „… promienia jednostki…” w definicji?
Oznacza to, że promień tego okręgu wynosi \(1\). A jeśli zbudujemy taki okrąg wyśrodkowany na początku, to przetnie się on z osiami w punktach \(1\) i \(-1\).
Nie trzeba rysować go na małą skalę, możesz zmienić „rozmiar” podziałów wzdłuż osi, wtedy obraz będzie większy (patrz poniżej).
Dlaczego promień jest dokładnie jeden? Jest to wygodniejsze, bo w tym przypadku obliczając obwód ze wzoru \(l=2πR\) otrzymujemy:
Długość koła liczbowego wynosi \(2π\) lub w przybliżeniu \(6,28\).
A co oznacza „… których punkty odpowiadają liczbom rzeczywistym”?
Jak wspomniano powyżej, na kółku liczbowym dla dowolnej liczby rzeczywistej na pewno będzie jej „miejsce” - punkt, który odpowiada tej liczbie.
Po co określać pochodzenie i kierunek na okręgu liczbowym?
Głównym celem koła liczbowego jest jednoznaczne określenie jego punktu dla każdej liczby. Ale jak możesz określić, gdzie położyć kres, jeśli nie wiesz, od czego liczyć i dokąd się przenieść?
Tutaj ważne jest, aby nie pomylić początku na linii współrzędnych i na okręgu liczb - są to dwa różne systemy odniesienia! Nie pomyl też \(1\) na osi \(x\) z \(0\) na okręgu - są to punkty na różnych obiektach.
Jakie punkty odpowiadają liczbom \(1\), \(2\) itd.?
Pamiętasz, że założyliśmy, że promień okręgu liczbowego wynosi \(1\)? Będzie to nasz pojedynczy odcinek (przez analogię do osi liczbowej), który umieścimy na okręgu.
Aby zaznaczyć punkt na okręgu liczbowym odpowiadający numerowi 1, musisz przebyć od 0 odległość równą promieniowi w kierunku dodatnim.
Aby zaznaczyć punkt na okręgu odpowiadający liczbie \(2\), musisz przebyć odległość równą dwóm promieniom od początku, tak że \(3\) jest odległością równą trzem promieniom itd.
Patrząc na to zdjęcie, możesz mieć 2 pytania:
1. Co się stanie, gdy koło się „zakończy” (tj. zrobimy pełne koło)?
Odpowiedź: przejdźmy do drugiej rundy! A kiedy drugi się skończy, przejdziemy do trzeciego i tak dalej. Dlatego do okręgu można zastosować nieskończoną liczbę liczb.
2. Gdzie będą liczby ujemne?
Odpowiedź: właśnie tam! Można je również ułożyć, licząc od zera wymaganą liczbę promieni, ale teraz w kierunku ujemnym.
Niestety na kółku liczbowym trudno jest wyznaczyć liczby całkowite. Wynika to z faktu, że długość koła liczbowego nie będzie liczbą całkowitą: \ (2π \). A w najdogodniejszych miejscach (w punktach przecięcia z osiami) również nie będą liczby całkowite, ale ułamki
Współrzędne x punkty leżące na okręgu są równe cos(θ), a współrzędne tak odpowiadają sin(θ), gdzie θ jest wielkością kąta.
- Jeśli masz trudności z zapamiętaniem tej zasady, pamiętaj tylko, że w parze (cos; sin) „sin jest ostatni”.
- Ta reguła może być wywnioskowana, jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąty prostokątne i definicję tych funkcji trygonometrycznych (sinus kąta jest równy stosunkowi długości przeciwnej, a cosinus sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej).
Zapisz współrzędne czterech punktów na okręgu.„Okrąg jednostkowy” to okrąg, którego promień jest równy jeden. Użyj tego, aby określić współrzędne x I tak w czterech punktach przecięcia osi współrzędnych z okręgiem. Powyżej, dla jasności, oznaczyliśmy te punkty jako „wschód”, „północ”, „zachód” i „południe”, chociaż nie mają ustalonych nazw.
- „Wschód” odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0) .
- „Północ” odpowiada punktowi o współrzędnych (0; 1) .
- „Zachód” odpowiada punktowi o współrzędnych (-1; 0) .
- „Południe” odpowiada punktowi o współrzędnych (0; -1) .
- Przypomina to normalny wykres, więc nie ma potrzeby zapamiętywania tych wartości, wystarczy zapamiętać podstawową zasadę.
Zapamiętaj współrzędne punktów w pierwszej ćwiartce. Pierwsza ćwiartka znajduje się w prawej górnej części okręgu, gdzie współrzędne x I tak przyjmuj wartości dodatnie. To jedyne współrzędne, które musisz zapamiętać:
- punkt π / 6 ma współrzędne () ;
- punkt π / 4 ma współrzędne () ;
- punkt π / 3 ma współrzędne () ;
- zauważ, że licznik przyjmuje tylko trzy wartości. Jeśli poruszasz się w kierunku dodatnim (od lewej do prawej wzdłuż osi x i od dołu do góry wzdłuż osi tak), licznik przyjmuje wartości 1 → √2 → √3.
Narysuj proste linie i określ współrzędne punktów ich przecięcia z okręgiem. Jeśli narysujesz proste poziome i pionowe linie z punktów jednego kwadrantu, drugie punkty przecięcia tych linii z okręgiem będą miały współrzędne x I tak z tymi samymi wartościami bezwzględnymi, ale różnymi znakami. Innymi słowy, możesz narysować linie poziome i pionowe z punktów pierwszej ćwiartki i podpisać punkty przecięcia okręgiem o tych samych współrzędnych, ale jednocześnie zostawić miejsce na poprawny znak ("+" lub "-" ) po lewej.
- Na przykład można narysować linię poziomą między punktami π / 3 i 2π / 3 . Ponieważ pierwszy punkt ma współrzędne ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), współrzędne drugiego punktu będą (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), gdzie zamiast znaku „+” lub „-” umieszczany jest znak zapytania.
- Użyj najprostszego sposobu: zwróć uwagę na mianowniki współrzędnych punktu w radianach. Wszystkie punkty o mianowniku 3 mają te same bezwzględne wartości współrzędnych. To samo dotyczy punktów z mianownikami 4 i 6.
Użyj reguł symetrii, aby określić znak współrzędnych. Istnieje kilka sposobów ustalenia, gdzie umieścić znak „-”:
- pamiętaj o podstawowych zasadach dotyczących zwykłych wykresów. Oś x ujemny po lewej i dodatni po prawej. Oś tak negatywna od dołu i pozytywna od góry;
- zacznij od pierwszej ćwiartki i narysuj linie do innych punktów. Jeśli linia przecina oś tak, koordynować x zmieni swój znak. Jeśli linia przecina oś x, znak współrzędnej się zmieni tak;
- pamiętaj, że w pierwszym kwadrancie wszystkie funkcje są dodatnie, w drugim tylko sinus jest dodatni, w trzecim tylko tangens jest dodatni, aw czwartym tylko cosinus jest dodatni;
- bez względu na to, jakiej metody użyjesz, powinieneś otrzymać (+,+) w pierwszym kwadrancie, (-,+) w drugim, (-,-) w trzecim i (+,-) w czwartym.
Sprawdź, czy popełniłeś błąd. Poniżej znajduje się pełna lista współrzędnych „specjalnych” punktów (z wyjątkiem czterech punktów na osiach współrzędnych), jeśli poruszasz się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara po okręgu jednostkowym. Pamiętaj, że aby określić wszystkie te wartości, wystarczy zapamiętać współrzędne punktów tylko w pierwszym kwadrancie:
- pierwsza ćwiartka :( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- druga ćwiartka :( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- trzeci kwadrant :( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- czwarty kwadrant :( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
Lekcje wideo należą do najskuteczniejszych pomocy dydaktycznych, zwłaszcza w dyscyplinach szkolnych, takich jak matematyka. Dlatego autor tego materiału zebrał w jedną całość tylko przydatne, ważne i kompetentne informacje.
Ta lekcja jest przeznaczona na 11:52 minut. Niemal tyle samo czasu zajmuje nauczyciel na lekcji na wytłumaczenie nowego materiału na zadany temat. Chociaż główną zaletą lekcji wideo będzie to, że uczniowie będą uważnie słuchać tego, o czym mówi autor, nie rozpraszając się obcymi tematami i rozmowami. W końcu, jeśli uczniowie nie będą uważnie słuchać, przegapią ważny punkt lekcji. A jeśli materiał zostanie wyjaśniony przez samego nauczyciela, jego uczniowie mogą łatwo odwrócić uwagę od tego, co najważniejsze, swoimi rozmowami na abstrakcyjne tematy. I oczywiście staje się jasne, która droga będzie bardziej racjonalna.
Autor poświęca początek lekcji na powtórzenie funkcji, z którymi uczniowie zapoznali się wcześniej w toku algebry. A pierwszy proponuje rozpoczęcie nauki - funkcje trygonometryczne. Aby je rozważyć i zbadać, potrzebny jest nowy model matematyczny. I ten model staje się kołem liczbowym, co po prostu jest określone w temacie lekcji. W tym celu wprowadzono pojęcie koła jednostkowego, podano jego definicję. W dalszej części rysunku autorka pokazuje wszystkie składowe takiego koła oraz co jest przydatne dla uczniów do dalszej nauki. Ćwiartki oznaczone są łukami.
Następnie autor proponuje rozważenie koła liczbowego. W tym miejscu zauważa, że wygodniej jest użyć koła jednostek. Ten okrąg pokazuje, w jaki sposób uzyskuje się punkt M, jeśli t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.
Ponadto autor przypomina uczniom, jak znaleźć obwód koła. A następnie wyświetla długość okręgu jednostkowego. Proponuje się zastosowanie tych danych teoretycznych w praktyce. W tym celu rozważono przykład, w którym wymagane jest znalezienie punktu na kole odpowiadającym określonym wartościom liczb. Do rozwiązania przykładu dołączona jest ilustracja w formie rysunku oraz niezbędne zapisy matematyczne.
Zgodnie z warunkiem drugiego przykładu konieczne jest znalezienie punktów na okręgu liczbowym. Tutaj również całemu rozwiązaniu towarzyszą komentarze, ilustracje i zapis matematyczny. Przyczynia się to do rozwoju i poprawy umiejętności matematycznych uczniów. Podobnie skonstruowany jest trzeci przykład.
Ponadto autor odnotowuje te liczby na kole, które występują częściej niż inne. Tutaj proponuje wykonanie dwóch układów koła liczbowego. Gdy oba układy są gotowe, rozważany jest kolejny, czwarty przykład, w którym na okręgu liczbowym należy znaleźć punkt odpowiadający liczbie 1. Po tym przykładzie formułuje się zdanie, zgodnie z którym można znaleźć punkt M odpowiadający liczbie 1. do liczby t.
Następnie wprowadzana jest uwaga, zgodnie z którą uczestnicy dowiadują się, że liczba „pi” odpowiada wszystkim liczbom, które padają w danym punkcie, gdy przejeżdża przez cały okrąg. Informację tę potwierdza piąty przykład. Jego rozwiązanie zawiera logicznie poprawne rozumowanie i rysunki ilustrujące sytuację.
INTERPRETACJA TEKSTU:
OKRĄG NUMERYCZNY
Wcześniej badaliśmy funkcje zdefiniowane przez wyrażenia analityczne. A te funkcje nazwano algebraicznymi. Ale w szkolnym toku matematyki badane są również funkcje innych klas, a nie algebraicznych. Zacznijmy studiować funkcje trygonometryczne.
Do wprowadzenia funkcji trygonometrycznych potrzebny jest nowy model matematyczny - koło numeryczne. Rozważmy okrąg jednostkowy. Okrąg, którego promień jest równy segmentowi skali, bez podania konkretnych jednostek miary, będzie nazywany jednostką. Zakłada się, że promień takiego okręgu wynosi 1.
Użyjemy okręgu jednostkowego, w którym narysowane są średnice pozioma i pionowa CA i DВ (ce a i de be) (patrz rysunek 1).
Łuk AB będzie nazywany pierwszą ćwiartką, łuk BC drugą ćwiartką, łuk CD trzecią ćwiartką, a łuk DA czwartą ćwiartką.
Rozważ kółko liczbowe. Ogólnie rzecz biorąc, każdy okrąg można uznać za okrąg liczbowy, ale wygodniej jest użyć do tego celu koła jednostkowego.
DEFINICJA Podano okrąg jednostkowy, na którym zaznaczono punkt początkowy A - prawy koniec średnicy poziomej. Każdej liczbie rzeczywistej t (te) przypiszmy punkt okręgu według następującej zasady:
1) Jeśli t>0 (te jest większe od zera), to poruszając się z punktu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (dodatni kierunek obchodzenia okręgu), opisujemy drogę AM (a em) o długości t wokół okręgu . Punkt M będzie pożądanym punktem M (t) (em z te).
2) Jeśli t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).
3) Umieszczamy punkt A zgodnie z liczbą t = 0.
Koło jednostkowe o ustalonej korespondencji (pomiędzy liczbami rzeczywistymi a punktami koła) będzie nazywane kołem liczbowym.
Wiadomo, że obwód L(el) oblicza się ze wzoru L =2πR (el równa się dwóm molom), gdzie π≈3,14, R jest promieniem okręgu. Dla okręgu jednostkowego R=1cm, to L=2π≈6,28 cm (el równa się dwóm pi około 6,28).
Rozważ przykłady.
PRZYKŁAD 1. Znajdź punkt na okręgu liczbowym, który odpowiada danej liczbie: ,.(pi na dwa, pi, trzy pi na dwa, dwa pi, jedenaście pi na dwa, siedem pi, minus pięć pi na dwa)
Rozwiązanie. Pierwsze sześć liczb jest dodatnich, więc aby znaleźć odpowiednie punkty okręgu, musisz obejść tor okręgu o określonej długości, poruszając się od punktu A w kierunku dodatnim. Długość każdej ćwiartki okręgu jednostkowego jest równa. Stąd AB =, czyli punkt B odpowiada liczbie (patrz rys. 1). AC \u003d, to znaczy punkt C odpowiada liczbie AD \u003d, to znaczy punkt D odpowiada liczbie. A punkt A ponownie odpowiada liczbie, ponieważ po przejściu ścieżki wzdłuż koła dotarliśmy do punkt początkowy A.
Zastanów się, gdzie będzie zlokalizowany punkt, ponieważ wiemy już, jaki jest obwód, sprowadzimy go do postaci (cztery pi plus trzy pi na dwa). Oznacza to, że poruszając się z punktu A w kierunku dodatnim, należy dwukrotnie opisać cały okrąg (droga o długości 4π) i dodatkowo ścieżkę o długości, która kończy się w punkcie D.
Co się stało? To jest 3∙2π + π (trzy razy dwa pi plus pi). Czyli poruszając się z punktu A w kierunku dodatnim, musisz opisać trzy razy cały okrąg i dodatkowo ścieżkę o długości π, która kończy się w punkcie C.
Aby znaleźć punkt na okręgu liczbowym odpowiadający liczbie ujemnej, musisz przejść od punktu A wzdłuż okręgu w kierunku ujemnym (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) po ścieżce o długości, co odpowiada 2π +. Ta ścieżka zakończy się w punkcie D.
PRZYKŁAD 2. Znajdź punkty na okręgu liczbowym (pi przez sześć, pi przez cztery, pi przez trzy).
Rozwiązanie. Dzieląc łuk AB na pół, otrzymujemy punkt E, który odpowiada. I dzieląc łuk AB na trzy równe części przez punkty F i O, otrzymujemy, że punkt F odpowiada, a punkt T odpowiada
(patrz rysunek 2).
PRZYKŁAD 3. Znajdź punkty na okręgu numerycznym (minus trzynaście pi na cztery, dziewiętnaście pi na sześć).
Rozwiązanie. Odkładając łuk AE (a em) o długości (pi o cztery) od punktu A trzynaście razy w kierunku ujemnym, otrzymujemy punkt H (jesion) - środek łuku BC.
Po przesunięciu łuku AF o długości (pi o sześć) od punktu A dziewiętnaście razy w kierunku dodatnim, dojdziemy do punktu N (en), który należy do trzeciej ćwiartki (łuk CD) i CN jest równy trzeciej część łuku CD (patrz de).
(Patrz na przykład rysunek 2).
Najczęściej na kółku liczbowym trzeba szukać punktów, które odpowiadają liczbom (pi o sześć, pi o cztery, pi o trzy, pi o dwa), a także tych, które są ich wielokrotnościami, czyli (siedem pi przez sześć, pięć pi przez cztery, cztery pi przez trzy, jedenaście pi przez dwa). Dlatego, aby szybko nawigować, wskazane jest wykonanie dwóch układów koła numerycznego.
Na pierwszym układzie każda z ćwiartek koła liczbowego zostanie podzielona na dwie równe części, a przy każdym z uzyskanych punktów napiszemy ich „nazwy”:
Na drugim układzie każda z ćwiartek podzielona jest na trzy równe części, a przy każdym z uzyskanych dwunastu punktów wpisujemy również ich „nazwy”:
Jeśli poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymamy te same „nazwy” dla punktów na rysunkach, tylko z wartością minus. Dla pierwszego układu:
Podobnie, jeśli poruszasz się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wzdłuż drugiego układu od punktu O.
PRZYKŁAD 4. Znajdź na kółku z cyframi punkty odpowiadające cyfrom 1 (jeden).
Rozwiązanie. Wiedząc, że π≈3,14 (pi to w przybliżeniu trzy przecinek czternasty setnych), ≈ 1,05 (pi razy trzy to w przybliżeniu jedna przecinek pięć setnych), ≈ 0,79 (pi razy cztery to w przybliżeniu zero przecinek siedemdziesiąt dziewięć setnych) . Oznacza,< 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.
Poniższe stwierdzenie jest prawdziwe: jeśli punkt M koła liczbowego odpowiada liczbie t, to również odpowiada dowolnej liczbie postaci t + 2πk(te plus dwa pi ka), gdzie ka jest dowolną liczbą całkowitą, a kϵ Z(ka należy do z).
Korzystając z tego stwierdzenia, możemy stwierdzić, że punkt odpowiada wszystkim punktom postaci t =+ 2πk (te równa się pi razy trzy plus dwa piki), gdzie kϵZ ( ka należy do zet), a do punktu (pięć pi na cztery) - punkty postaci t = + 2πk (te równa się pięć pi przez cztery plus dwa pi ka), gdzie kϵZ ( ka należy do z) i tak dalej.
PRZYKŁAD 5. Znajdź punkt na okręgu liczbowym: a) ; b) .
Rozwiązanie. a) Mamy: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π (dwadzieścia pi razy trzy równa się dwadzieścia razy trzy pi równa się sześć plus dwie trzecie, pomnożone przez pi równa się sześć pi plus dwa pi razy trzy równa się dwa pi razy trzy plus trzy razy dwa pi).
Oznacza to, że liczba odpowiada temu samemu punktowi na okręgu liczbowym, co liczba (jest to druga ćwiartka) (patrz drugi układ na rysunku 4).
b) Mamy: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4) minus cztery). Oznacza to, że liczba odpowiada na kółku liczbowym w tym samym miejscu co liczba
Wskazówki dla rodziców
