Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) jest liczbą c taką, że ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Zauważ, że logarytm liczby niedodatniej nie jest zdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, która nie jest równa 1. Na przykład, jeśli podniesiemy kwadrat -2, otrzymamy liczbę 4, ale to nie znaczy, że logarytm o podstawie -2 z 4 wynosi 2.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ważne jest, aby dziedziny definicji prawej i lewej części tego wzoru były różne. Lewa strona jest zdefiniowana tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa strona jest zdefiniowana dla dowolnego b iw ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej logarytmicznej „tożsamości” w rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany DPV.

Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do potęgi pierwszej, otrzymujemy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymujemy jeden.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chciałbym przestrzec uczniów przed bezmyślnym stosowaniem tych wzorów przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności. Kiedy są używane „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przechodząc od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu produktu lub ilorazu, ODZ rozszerza się.

Rzeczywiście, wyrażenie log a (f (x) g (x)) jest zdefiniowane w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy f(x) i g(x) są mniejsze od zera.

Przekształcając to wyrażenie w sumę log a f (x) + log a g (x) , jesteśmy zmuszeni ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie zakresu dopuszczalnych wartości, co jest kategorycznie niedopuszczalne, gdyż może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem występuje we wzorze (6).

Stopień można wyciągnąć ze znaku logarytmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I jeszcze raz apeluję o dokładność. Rozważmy następujący przykład:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) oprócz zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując potęgę z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości. Wszystkie te uwagi dotyczą nie tylko potęgi 2, ale także każdej parzystej potęgi.

Formuła przejścia do nowej bazy

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas konwersji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (pozytywną, a nie równą 1), formuła przejścia do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.

Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową podstawę c, otrzymamy ważny szczególny przypadek wzoru (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Kilka prostych przykładów z logarytmami

Przykład 1 Oblicz: lg2 + lg50.
Rozwiązanie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Użyliśmy wzoru na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.

Przykład 2 Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy nowego wzoru przejścia bazowego (8).

Tablica wzorów związanych z logarytmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1)

(od greckiego λόγος - "słowo", "relacja" i ἀριθμός - "liczba") liczby b z powodu a(log α b) nazywa się taką liczbą C, I b= CZ czyli log α b=C I b=aC są równoważne. Logarytm ma sens, jeśli a > 0, a 1, b > 0.

Innymi słowy logarytm liczby b z powodu ale sformułowany jako wykładnik, do którego należy podnieść liczbę a zdobyć numer b(logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich).

Z tego sformułowania wynika, że ​​obliczenie x= log α b, jest równoważne rozwiązaniu równania a x =b.

Na przykład:

log 2 8 = 3, ponieważ 8=2 3 .

Zauważamy, że wskazane sformułowanie logarytmu umożliwia natychmiastowe wyznaczenie wartość logarytmu gdy liczba pod znakiem logarytmu jest pewną potęgą podstawy. Rzeczywiście, sformułowanie logarytmu pozwala uzasadnić, że jeśli b=a c, to logarytm liczby b z powodu a równa się od. Oczywiste jest również, że temat logarytmu jest ściśle związany z tematem stopień liczby.

Odnosi się do obliczenia logarytmu logarytm. Logarytm to matematyczna operacja logarytmowania. Logarytmując, iloczyny czynników przekształcane są w sumy wyrazów.

Wzmocnienie jest operacją matematyczną odwrotną do logarytmu. Podczas wzmacniania dana podstawa jest podnoszona do potęgi wyrażenia, na którym dokonywane jest wzmacnianie. W tym przypadku sumy wyrazów przekształcane są w iloczyn czynników.

Dość często używane są logarytmy rzeczywiste o podstawie 2 (binarne), e liczba Eulera e ≈ 2,718 (logarytm naturalny) i 10 (dziesiętny).

Na tym etapie warto się zastanowić próbki logarytmów log 7 2 , ja √ 5, lg0,0001.

A wpisy lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nie mają sensu, ponieważ w pierwszym z nich liczba ujemna jest umieszczona pod znakiem logarytmu, w drugim - liczba ujemna w podstawa, aw trzecim - i liczba ujemna pod znakiem logarytmu i jednostki w podstawie.

Warunki wyznaczania logarytmu.

Warto osobno rozważyć warunki a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicja logarytmu. Zastanówmy się, dlaczego stosuje się te ograniczenia. Pomoże nam to z równością postaci x = log α b, zwany podstawową tożsamością logarytmiczną, co bezpośrednio wynika z definicji logarytmu podanej powyżej.

Przyjmij warunek a≠1. Ponieważ jeden jest równy jeden do dowolnej potęgi, to równość x=log α b może istnieć tylko wtedy, gdy b=1, ale log 1 1 będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Aby wyeliminować tę niejednoznaczność, bierzemy a≠1.

Udowodnijmy konieczność warunku a>0. Na a=0 zgodnie ze sformułowaniem logarytmu może istnieć tylko wtedy, gdy b=0. A potem odpowiednio log 0 0 może być dowolną niezerową liczbą rzeczywistą, ponieważ od zera do dowolnej niezerowej potęgi jest równe zero. Aby wyeliminować tę dwuznaczność, warunek: a≠0. I kiedy a<0 musielibyśmy odrzucić analizę racjonalnych i irracjonalnych wartości logarytmu, ponieważ wykładnik z wykładnikiem racjonalnym i irracjonalnym jest zdefiniowany tylko dla nieujemnych podstaw. Z tego powodu warunek a>0.

I ostatni warunek b>0 wynika z nierówności a>0, ponieważ x=log α b, a wartość stopnia o podstawie dodatniej a zawsze pozytywny.

Cechy logarytmów.

Logarytmy charakteryzuje się wyrazistym funkcje, co doprowadziło do ich powszechnego stosowania, co znacznie ułatwia żmudne obliczenia. W przejściu „do świata logarytmów” mnożenie zamienia się na znacznie łatwiejsze dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka zamieniane są odpowiednio na mnożenie i dzielenie przez wykładnik.

Sformułowanie logarytmów i tabelę ich wartości (dla funkcji trygonometrycznych) po raz pierwszy opublikował w 1614 r. szkocki matematyk John Napier. Tablice logarytmiczne, powiększone i uszczegółowione przez innych naukowców, były szeroko stosowane w obliczeniach naukowych i inżynierskich i pozostawały aktualne, dopóki nie zaczęto używać elektronicznych kalkulatorów i komputerów.

Wraz z rozwojem społeczeństwa, złożonością produkcji, rozwinęła się również matematyka. Przejście od prostych do złożonych. Ze zwykłej księgowej metody dodawania i odejmowania, z ich wielokrotnym powtarzaniem, doszli do koncepcji mnożenia i dzielenia. Redukcja wielokrotnie powtarzanej operacji stała się pojęciem potęgowania. Pierwsze tablice zależności liczb od podstawy i liczby potęgowania zostały opracowane w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Od nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Rys historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagał dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczb wielocyfrowych. Starożytne stoły oddały wielką przysługę. Umożliwiły zastąpienie złożonych operacji prostszymi - dodawaniem i odejmowaniem. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, wydana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Umożliwiło to stosowanie tabel nie tylko dla stopni w postaci liczb pierwszych, ale także dla dowolnych liczb wymiernych.

W 1614 r. Szkot John Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy termin „logarytm liczby”. Do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów oraz tangensów opracowano nowe złożone tablice. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe stoły, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Minęło dużo czasu, zanim nowa operacja w algebrze nabrała skończonej postaci. Zdefiniowano logarytm i zbadano jego własności.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne stoły, które z powodzeniem funkcjonowały przez XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b, aby oprzeć a na liczbie x, która jest potęgą a, aby otrzymać liczbę b. Jest to zapisane jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równy 2. Jest to oczywiste, jeśli zastosujesz się do definicji. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Tak więc sformułowana definicja stawia tylko jedno ograniczenie, liczby a i b muszą być rzeczywiste.

Odmiany logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest na granicy i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi to 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowany tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe niż 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki Odtwórz logarytmy, które zostaną nazwane w zależności od wartości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową własnością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu równa się sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Jako wariant tego stwierdzenia będzie to: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.

Z poprzednich dwóch reguł łatwo wywnioskować, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie popełniaj powszechnego błędu - logarytm sumy nie jest równy sumie logarytmów.

Przez wiele stuleci operacja znajdowania logarytmu była dość czasochłonnym zadaniem. Matematycy wykorzystali dobrze znaną formułę logarytmicznej teorii rozwinięcia na wielomian:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), gdzie n jest liczbą naturalną większą od 1, która określa dokładność obliczeń.

Logarytmy z innymi podstawami obliczono na podstawie twierdzenia o przejściu z jednej bazy do drugiej oraz własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ ta metoda jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu praktycznych problemów trudne do zrealizowania, wykorzystywali wstępnie skompilowane tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach stosowano specjalnie opracowane wykresy logarytmów, które dawały mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszyły poszukiwanie pożądanej wartości. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana na kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartości funkcji w dowolnym innym punkcie. Przez długi czas inżynierowie wykorzystywali do tych celów tzw. papier milimetrowy.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze, analogowe warunki obliczeniowe, które w XIX wieku uzyskały skończoną formę. Najbardziej udane urządzenie nazwano suwakiem. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszył proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to trudno przecenić. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Poniższe wzory służą do rozwiązywania różnych równań i nierówności za pomocą logarytmów:

• Przejście z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• W konsekwencji poprzedniej wersji: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

• Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe lub mniejsze niż jeden; jeśli co najmniej jeden warunek zostanie naruszony, wartość logarytmu będzie ujemna.
• Jeżeli funkcja logarytmiczna jest zastosowana do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; w przeciwnym razie to się zmienia.

Przykłady zadań

Rozważ kilka opcji używania logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w stopniu:

• Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu notacja jest podobna do następującej (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argument funkcji można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Korzystając z własności logarytmów, to wyrażenie to 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się, że logarytm nagle zyskał na znaczeniu w opisie obiektów w świecie rzeczywistym. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest ona wykorzystywana. Dotyczy to w pełni nie tylko przyrodniczych, ale również humanistycznych dziedzin wiedzy.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności liczbowych:

Mechanika i fizyka

Historycznie mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu matematycznych metod badawczych, a jednocześnie były bodźcem do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki napisana jest w języku matematyki. Podajemy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Możliwe jest rozwiązanie problemu obliczenia tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln(M1/M2), gdzie

• V to końcowa prędkość samolotu.
• Ja to impuls właściwy silnika.
• M 1 to początkowa masa rakiety.
• M 2 - masa końcowa.

Kolejny ważny przykład- to użycie we wzorze innego wielkiego naukowca Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

• S jest właściwością termodynamiczną.
• k jest stałą Boltzmanna.
• Ω to statystyczna waga różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste byłoby zastosowanie w chemii wzorów zawierających stosunek logarytmów. Oto tylko dwa przykłady:

• Równanie Nernsta, stan potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stałej równowagi.
• Obliczenie takich stałych jak wskaźnik autoprolizy i kwasowość roztworu również nie jest kompletne bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I jest całkowicie niezrozumiałe, co ma z tym wspólnego psychologia. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do niższej wartości natężenia.

Po powyższych przykładach nie dziwi już, że temat logarytmów jest szeroko stosowany również w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można pisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata jest niemożliwe bez związku z tą funkcją i rządzi ona wszystkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury łączą się z postępem geometrycznym. Warto odwołać się do serwisu MatProfi, a takich przykładów w następujących obszarach działalności jest wiele:

Lista może być nieskończona. Po opanowaniu podstawowych praw tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Wyjaśnijmy to łatwiej. Na przykład \(\log_(2)(8)\) jest równe potędze \(2\) musi zostać podniesione, aby uzyskać \(8\). Z tego jasno wynika, że ​​\(\log_(2)(8)=3\).

Przykłady:		\(\log_(5)(25)=2\)		dlatego \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		dlatego \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		dlatego \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i podstawa logarytmu

Każdy logarytm ma następującą „anatomię”:

Argument logarytmu jest zwykle zapisywany na jego poziomie, a podstawa jest zapisywana w indeksie dolnym bliżej znaku logarytmu. A ten wpis czyta się tak: „logarytm z dwudziestu pięciu do podstawy piątej”.

Jak obliczyć logarytm?

Aby obliczyć logarytm, należy odpowiedzieć na pytanie: do jakiego stopnia należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument?

Na przykład, oblicz logarytm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Do jakiej potęgi trzeba \(4\) podnieść \(4\) aby otrzymać \(16\)? Oczywiście drugi. Dlatego:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(5)\), aby uzyskać \(1\)? A w jakim stopniu każda liczba jest jednostką? Oczywiście zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Do jakiej potęgi trzeba \(\sqrt(7)\) podnieść \(\sqrt(7)\)? W pierwszym - dowolna liczba w pierwszym stopniu jest sobie równa.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Do jakiej potęgi należy podnieść \(3\), aby uzyskać \(\sqrt(3)\)? Wiemy, że jest to potęga ułamkowa, a zatem pierwiastek kwadratowy jest potęgą \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Przykład : Oblicz logarytm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rozwiązanie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musimy znaleźć wartość logarytmu, oznaczmy ją jako x. Użyjmy teraz definicji logarytmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Jakie linki \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dwa, ponieważ obie liczby mogą być reprezentowane przez dwójki: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Po lewej używamy właściwości stopnia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Podstawy są równe, przechodzimy do równości wskaźników
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnóż obie strony równania przez \(\frac(2)(5)\)
		Wynikowy pierwiastek jest wartością logarytmu

Odpowiedź : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Dlaczego wymyślono logarytm?

Aby to zrozumieć, rozwiążmy równanie: \(3^(x)=9\). Po prostu dopasuj \(x\), aby równość działała. Oczywiście \(x=2\).

Teraz rozwiąż równanie: \(3^(x)=8\).Ile równa się x? O to chodzi.

Najbardziej pomysłowy powie: „X to trochę mniej niż dwa”. Jak dokładnie należy zapisać ten numer? Aby odpowiedzieć na to pytanie, wymyślili logarytm. Dzięki niemu odpowiedź tutaj można zapisać jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chcę podkreślić, że \(\log_(3)(8)\), a także dowolny logarytm to tylko liczba. Tak, wygląda nietypowo, ale jest krótki. Bo gdybyśmy chcieli zapisać go jako ułamek dziesiętny, to wyglądałoby to tak: \(1.892789260714.....\)

Przykład : Rozwiąż równanie \(4^(5x-4)=10\)

Rozwiązanie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) nie mogą być zredukowane do tej samej podstawy. Więc tutaj nie możesz się obejść bez logarytmu. Użyjmy definicji logarytmu: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Odwróć równanie tak, aby x był po lewej stronie
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Przed nami. Przesuń \(4\) w prawo. I nie bój się logarytmu, traktuj go jak zwykłą liczbę.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podziel równanie przez 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Oto nasz korzeń. Tak, wygląda to nietypowo, ale odpowiedź nie jest wybrana.

Odpowiedź : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarytmy dziesiętne i naturalne

Jak stwierdzono w definicji logarytmu, jego podstawą może być dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jednej \((a>0, a\neq1)\). A wśród wszystkich możliwych podstaw są dwie, które występują tak często, że wynaleziono z nimi specjalną krótką notację dla logarytmów:

Logarytm naturalny: logarytm, którego podstawą jest liczba Eulera \(e\) (równa w przybliżeniu \(2.7182818…\)), a logarytm jest zapisany jako \(\ln(a)\).

Tj, \(\ln(a)\) to to samo co \(\log_(e)(a)\)

Logarytm dziesiętny: logarytm o podstawie 10 zapisywany jest \(\lg(a)\).

Tj, \(\lg(a)\) to to samo co \(\log_(10)(a)\), gdzie \(a\) to pewna liczba.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Logarytmy mają wiele właściwości. Jedna z nich nazywa się „Podstawowa tożsamość logarytmiczna” i wygląda tak:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ta właściwość wynika bezpośrednio z definicji. Zobaczmy, jak powstała ta formuła.

Przypomnij sobie krótką definicję logarytmu:

jeśli \(a^(b)=c\), to \(\log_(a)(c)=b\)

Oznacza to, że \(b\) jest tym samym co \(\log_(a)(c)\). Następnie możemy zapisać \(\log_(a)(c)\) zamiast \(b\) we wzorze \(a^(b)=c\) . Okazało się, że \(a^(\log_(a)(c))=c\) - główna tożsamość logarytmiczna.

Możesz znaleźć resztę właściwości logarytmów. Za ich pomocą można uprościć i obliczyć wartości wyrażeń z logarytmami, które trudno obliczyć bezpośrednio.

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(36^(\log_(6)(5))\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : \(25\)

Jak zapisać liczbę jako logarytm?

Jak wspomniano powyżej, każdy logarytm to tylko liczba. Prawdą jest również odwrotność: dowolna liczba może być zapisana jako logarytm. Na przykład wiemy, że \(\log_(2)(4)\) jest równe dwa. Następnie możesz napisać \(\log_(2)(4)\) zamiast dwóch.

Ale \(\log_(3)(9)\) jest również równe \(2\), więc możesz również napisać \(2=\log_(3)(9)\) . Podobnie z \(\log_(5)(25)\), oraz z \(\log_(9)(81)\) itd. Oznacza to, że okazuje się

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tak więc, jeśli trzeba, możemy zapisać te dwa jako logarytm z dowolną podstawą w dowolnym miejscu (nawet w równaniu, nawet w wyrażeniu, nawet w nierówności) - po prostu zapisujemy kwadratową podstawę jako argument.

Tak samo jest z trójką - można ją zapisać jako \(\log_(2)(8)\), lub jako \(\log_(3)(27)\), lub jako \(\log_(4)( 64) \) ... Tutaj piszemy bazę w kostce jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A z czterema:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A z minusem jeden:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

A z jedną trzecią:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Dowolna liczba \(a\) może być reprezentowana jako logarytm o podstawie \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rozwiązanie :

Odpowiedź : \(1\)

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Szczególnie - równania z logarytmami.

To absolutnie nieprawda. Absolutnie! Nie wierzysz? Dobra. Teraz przez jakieś 10 - 20 minut:

1. Zrozum co to jest logarytm?.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równań wykładniczych. Nawet jeśli o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i sposób podniesienia liczby do potęgi ...

Czuję, że wątpisz… Cóż, miej czas! Udać się!

Najpierw rozwiąż w umyśle następujące równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Szczepionki