Chaos i porządek: świat fraktalny. Tajemnicze zaburzenie: historia fraktali i ich zastosowania Fraktale w świecie rzeczywistym obiekt badań

BUDŻET GMINY OGÓLNE INSTYTUCJA EDUKACYJNA ŚREDNIA SZKOŁA OGÓLNA EDUKACYJNA

od. Meczetnoje

Konferencja naukowo-praktyczna „Niesamowity świat matematyki”

Praca badawcza „Podróż w świat fraktali”

Ukończone przez: uczeń klasy 10

Allahverdieva Nailya

Kierownik: Davydova E.V.

Wstęp.
Głównym elementem:

a) Pojęcie fraktala;

b) Historia powstania fraktali;

c) Klasyfikacja fraktali;

d) Zastosowanie fraktali;

e) Fraktale w przyrodzie;

f) Kolory fraktali.

3. Wniosek.

Wstęp.

Co kryje się za tajemniczym pojęciem „fraktala”? Zapewne wielu osobom ten termin kojarzy się z pięknymi obrazami, zawiłymi wzorami i żywymi obrazami tworzonymi za pomocą grafiki komputerowej. Ale fraktale to nie tylko ładne obrazki. To specjalne struktury, które leżą u podstaw wszystkiego, co nas otacza. Fraktale, które kilkadziesiąt lat temu wdarły się do świata nauki, zdołały dokonać prawdziwej rewolucji w postrzeganiu otaczającej rzeczywistości. Korzystając z fraktali, można tworzyć bardzo precyzyjne modele matematyczne naturalnych obiektów, systemów, procesów i zjawisk.

Głównym elementem
Pojęcie fraktala.

fraktal(od łac. fraktus- zmiażdżony, złamany, złamany) - złożona figura geometryczna, która ma właściwość samopodobieństwa, to znaczy składa się z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury jako całości. Wiele obiektów w przyrodzie ma właściwości fraktalne, takie jak wybrzeża, chmury, korony drzew, układ krążenia i układ pęcherzykowy ludzi czy zwierząt.

Fraktale, zwłaszcza w samolocie, są popularne ze względu na połączenie piękna i łatwości konstrukcji z komputerem.

Historia stworzenia.
Francuski matematyk Benoit Mandelbrot, naukowiec, który jest dziś uznawany za ojca geometrii fraktalnej, zdołał przenieść naukę fraktali na nowy poziom. Mandelbrot po raz pierwszy zdefiniował termin „fraktal”:

Cytat

„Fraktal to struktura składająca się z części, które są w pewnym sensie podobne do całości”
W latach 70. Benoit Mandelbrot pracował jako analityk matematyczny w IBM. Naukowiec najpierw pomyślał o fraktalach w procesie badania szumu w sieciach elektronicznych. Na pierwszy rzut oka ingerencja w transmisję danych była całkowicie chaotyczna. Mandelbrot wykreślił występowanie błędów i ze zdziwieniem stwierdził, że w dowolnej skali czasowej wszystkie fragmenty wyglądały tak samo. W skali tygodnia odgłosy pojawiały się w takiej samej kolejności, jak w skali dnia, godziny czy minuty. Mandelbrot zdał sobie sprawę, że częstotliwość błędów w transmisji danych rozkłada się w czasie zgodnie z zasadą przedstawioną przez Cantora pod koniec XIX wieku. Wtedy Benoit Mandelbrot poważnie zainteresował się badaniem fraktali.
W przeciwieństwie do swoich poprzedników, do tworzenia fraktali, Mandelbrot nie wykorzystywał konstrukcji geometrycznych, ale przekształcenia algebraiczne o różnej złożoności. Matematyk zastosował metodę iteracji odwrotnej, która polega na powtórnym obliczaniu tej samej funkcji. Korzystając z możliwości komputera, matematyk wykonał ogromną liczbę obliczeń sekwencyjnych, których wyniki wyświetlał graficznie na złożonej płaszczyźnie. Tak powstał zbiór Mandelbrota - złożony fraktal algebraiczny, który dziś uważany jest za klasykę nauki o fraktali. W niektórych przypadkach ten sam obiekt można uznać zarówno za gładki, jak i fraktalny. Aby wyjaśnić, dlaczego tak się dzieje, Mandelbrot podaje interesujący przykład ilustrujący. Kulka wełnianych nici z pewnej odległości wygląda jak punkt o wymiarze 1. Kula znajdująca się w pobliżu wygląda jak dwuwymiarowy dysk. Biorąc go do ręki, możesz wyraźnie poczuć objętość kuli - teraz jest postrzegana jako trójwymiarowa. A kulę fraktala można rozpatrywać tylko z punktu widzenia obserwatora korzystającego z urządzenia powiększającego lub muchy, która wylądowała na powierzchni nierównej wełnianej nici. Dlatego prawdziwa fraktalność obiektu zależy od punktu widzenia obserwatora i rozdzielczości użytego instrumentu.
Mandelbrot zauważył ciekawy wzór - im bliżej przyjrzysz się mierzonemu obiektowi, tym bardziej rozciągnięta będzie jego granica. Właściwość tę można jasno wykazać mierząc długość jednego z naturalnych fraktali - linii brzegowej. Dokonując pomiarów na mapie geograficznej, możesz uzyskać przybliżoną wartość długości, ponieważ wszystkie nierówności i zagięcia nie będą brane pod uwagę. Jeśli pomiar zostanie przeprowadzony z uwzględnieniem wszystkich nierówności rzeźby, widocznych z wysokości wzrostu człowieka, wynik będzie nieco inny - długość linii brzegowej znacznie wzrośnie. A jeśli teoretycznie wyobrażasz sobie, że urządzenie pomiarowe ominie nierówności każdego kamyka, to w tym przypadku długość linii brzegowej będzie prawie nieskończona.
Klasyfikacja fraktali.

Fraktale dzielą się na:

geometryczne: fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, od razu widać w nich samopodobieństwo. Historia fraktali rozpoczęła się właśnie od fraktali geometrycznych, które badali matematycy w XIX wieku.

algebraiczny: ta grupa fraktali ma swoją nazwę, ponieważ fraktale są tworzone za pomocą prostych formuł algebraicznych.

stochastyczny: powstaje w przypadku losowej zmiany w iteracyjnym procesie parametrów fraktalnych. Do modelowania terenu i powierzchni morza wykorzystuje się dwuwymiarowe fraktale stochastyczne.

fraktale geometryczne

To od nich rozpoczęła się historia fraktali. Ten rodzaj fraktali uzyskuje się za pomocą prostych konstrukcji geometrycznych. Zwykle przy konstruowaniu tych fraktali postępuje się w następujący sposób: bierze się „ziarno” - aksjomat - zbiór segmentów, na podstawie których fraktal zostanie zbudowany. Co więcej, do tego „ziarna” stosuje się zestaw reguł, który przekształca je w jakąś figurę geometryczną. Co więcej, ten sam zestaw zasad jest ponownie stosowany do każdej części tej figury. Z każdym krokiem figura będzie stawała się coraz bardziej złożona, a jeśli wykonamy (przynajmniej w umyśle) nieskończoną ilość przekształceń, otrzymamy geometryczny fraktal. Klasyczne przykłady geometrycznych fraktali: Płatek śniegu Kocha, Liszt, Trójkąt Sierpińskiego, Linia łamana Smoka (Załącznik 1).

Fraktale algebraiczne

Druga duża grupa fraktali ma charakter algebraiczny (Załącznik 2). Swoją nazwę zawdzięczają temu, że budowane są na podstawie wzorów algebraicznych, czasem bardzo prostych. Istnieje kilka metod uzyskiwania fraktali algebraicznych.

Niestety wiele terminów z poziomu 10-11, odnoszących się do liczb zespolonych, niezbędnych do wyjaśnienia budowy fraktala, jest mi nieznanych i wciąż trudnych do zrozumienia, dlatego nie mam możliwości ich szczegółowego opisania konstrukcja fraktali tego typu.

Początkowo fraktalna natura jest czarno-biała, ale jeśli dodasz trochę fantazji i koloru, możesz uzyskać prawdziwe dzieło sztuki.

Fraktale stochastyczne

Typowym przedstawicielem tej klasy fraktali jest „Plazma” (Załącznik 3). Aby go zbudować, weźmy prostokąt i określmy kolor dla każdego z jego rogów. Następnie znajdujemy środek prostokąta i kolorujemy go na kolor równy średniej arytmetycznej kolorów w rogach prostokąta plus pewna liczba losowa. Im większa liczba losowa, tym bardziej „podarty” będzie wzór. Jeśli teraz powiemy, że kolorem punktu jest wysokość nad poziomem morza, zamiast plazmy otrzymamy pasmo górskie. Na tej zasadzie w większości programów modeluje się góry. Za pomocą algorytmu plazmopodobnego budowana jest mapa wysokości, nakładane są na nią różne filtry, nakładana jest tekstura i proszę, fotorealistyczne góry są gotowe!

Zastosowanie fraktali

Nawet dzisiaj fraktale są szeroko stosowane w wielu różnych dziedzinach. Aktywnie rozwija się kierunek fraktalnej archiwizacji informacji graficznych. Teoretycznie archiwizacja fraktalna może skompresować obrazy do rozmiaru punktu bez utraty jakości. Podczas powiększania obrazów skompresowanych zgodnie z zasadą fraktalna, najdrobniejsze szczegóły są wyraźnie widoczne, a efekt ziarnistości jest całkowicie nieobecny.

Zasady teorii fraktali są wykorzystywane w medycynie do analizy elektrokardiogramów, ponieważ częstość akcji serca jest również fraktalem. Aktywnie rozwija się kierunek badań układu krążenia i innych wewnętrznych układów ludzkiego ciała. W biologii fraktale służą do modelowania procesów zachodzących w populacjach.
Meteorolodzy wykorzystują zależności fraktalne do analizy natężenia ruchu mas powietrza, co umożliwia dokładniejsze przewidywanie zmian pogody. Fizyka ośrodków fraktalnych z powodzeniem rozwiązuje problemy badania dynamiki złożonych przepływów turbulentnych, procesów adsorpcji i dyfuzji. W przemyśle petrochemicznym do modelowania materiałów porowatych wykorzystuje się fraktale. Teoria fraktali jest z powodzeniem stosowana w pracach nad rynkami finansowymi. Geometria fraktalna służy do tworzenia potężnych urządzeń antenowych.
Dziś teoria fraktali jest samodzielną dziedziną nauki, na podstawie której powstają coraz to nowe kierunki w różnych dziedzinach. Znaczenie fraktali było przedmiotem wielu prac naukowych.

Ale te niezwykłe przedmioty są nie tylko niezwykle przydatne, ale także niesamowicie piękne. Dlatego fraktale stopniowo znajdują swoje miejsce w sztuce. Ich niesamowity walor estetyczny inspiruje wielu artystów do tworzenia obrazów fraktalnych. Współcześni kompozytorzy tworzą utwory muzyczne przy użyciu instrumentów elektronicznych o różnej charakterystyce fraktalnej. Pisarze używają fraktalnej struktury do kształtowania swoich dzieł literackich, a projektanci tworzą fraktalne meble i wnętrza.

Fraktalność w przyrodzie

W 1977 roku ukazała się książka Mandelbrota „Fraktale: Forma, Randomness and Dimension”, a w 1982 roku kolejna monografia – „The Fractal Geometry of Nature”, na której łamach autor zademonstrował ilustracyjne przykłady różnych zbiorów fraktalnych i dostarczył dowodów za istnienie fraktali w przyrodzie. Mandelbrot wyraził główną ideę teorii fraktali następującymi słowami:

„Dlaczego geometrię często nazywa się zimną i suchą? Jednym z powodów jest to, że nie jest w stanie dokładnie opisać kształtu chmury, góry, drzewa lub brzegu morza. Chmury nie są kulami, linie brzegowe nie są kołami, a skorupa nie jest gładka.” a piorun nie porusza się w linii prostej. Natura pokazuje nam nie tylko wyższy stopień, ale zupełnie inny poziom złożoności. Ilość różnych skal długości w konstrukcjach jest zawsze nieskończona. Istnienie tych struktur stanowi wyzwanie nam z trudnym zadaniem badania tych form, które Euklides odrzucił jako bezforemne, są zadania badania morfologii amorficznego. Matematycy jednak zlekceważyli to wyzwanie i postanowili coraz bardziej oddalać się od natury, wymyślając teorie, które nie odpowiadają niczemu, co można zobaczyć lub poczuć”.

Wiele obiektów naturalnych ma właściwości zbioru fraktalnego (Załącznik 4).

Czy fraktale są naprawdę uniwersalnymi strukturami, które zostały wzięte za podstawę do stworzenia absolutnie wszystkiego, co istnieje na tym świecie? Kształt wielu naturalnych obiektów jest jak najbardziej zbliżony do fraktali. Ale nie wszystkie fraktale istniejące na świecie mają tak regularną i nieskończenie powtarzającą się strukturę, jak zbiory tworzone przez matematyków. Pasmom górskim, powierzchniom pęknięć metalu, turbulentnym przepływom, chmurom, pianie i wielu, wielu innym naturalnym fraktalom brakuje idealnie dokładnego samopodobieństwa. I całkowicie błędem byłoby wierzyć, że fraktale są uniwersalnym kluczem do wszystkich tajemnic Wszechświata. Pomimo całej swojej pozornej złożoności, fraktale są tylko uproszczonym modelem rzeczywistości. Jednak spośród wszystkich dostępnych obecnie teorii fraktale są najdokładniejszym sposobem opisu otaczającego nas świata.

Uroku fraktali dodają jasne i chwytliwe kolory. Złożone schematy kolorów sprawiają, że fraktale są piękne i niezapomniane. Z matematycznego punktu widzenia fraktale to czarno-białe obiekty, z których każdy punkt albo należy do zbioru, albo nie. Ale możliwości nowoczesnych komputerów umożliwiają tworzenie kolorowych i jasnych fraktali. I nie jest to proste pokolorowanie sąsiednich obszarów zestawu w dowolnej kolejności.

Analizując wartość każdego punktu, program automatycznie określa odcień danego fragmentu. Punkty, w których funkcja przyjmuje stałą wartość, są pokazane na czarno. Jeśli wartość funkcji dąży do nieskończoności, to punkt jest pomalowany na inny kolor. Intensywność barwienia zależy od szybkości zbliżania się do nieskończoności. Im więcej powtórzeń potrzeba, aby zbliżyć punkt do stabilnej wartości, tym jaśniejszy staje się jego odcień. I odwrotnie - punkty, które szybko pędzą do nieskończoności, są pomalowane na jasne i nasycone kolory.
Wniosek

Kiedy po raz pierwszy słyszysz o fraktalach, zastanawiasz się, co to jest?

Z jednej strony jest to złożona figura geometryczna, która ma właściwość samopodobieństwa, to znaczy składa się z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury.

Koncepcja ta urzeka swoim pięknem i tajemniczością, przejawiając się w najbardziej nieoczekiwanych obszarach: meteorologii, filozofii, geografii, biologii, mechanice, a nawet historii.

Jest prawie niemożliwe, aby nie zobaczyć fraktala w przyrodzie, ponieważ prawie każdy obiekt (chmury, góry, linia brzegowa itp.) ma strukturę fraktalną. Większość projektantów stron internetowych, programistów ma własną galerię fraktali (niezwykle piękną).

W rzeczywistości fraktale otwierają nam oczy i pozwalają spojrzeć na matematykę z innej perspektywy. Wydawałoby się, że zwykłe obliczenia wykonuje się zwykłymi „suchymi” liczbami, ale to daje nam niepowtarzalne wyniki na swój sposób, pozwalając nam poczuć się jak twórca natury. Fraktale wyjaśniają, że matematyka jest także nauką o pięknie.

W mojej pracy projektowej chciałem porozmawiać o dość nowym pojęciu w matematyce - "fraktalu". Co to jest, jakie typy istnieją, gdzie są dystrybuowane. Naprawdę mam nadzieję, że fraktale Cię zainteresowały. W końcu, jak się okazało, fraktale są dość ciekawe i są na każdym kroku.

Bibliografia

http://ru.wikipedia.org/wiki
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
http://fraktale.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm
Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Kompresja obrazu fraktalnego według Barnsleya-Sloana. // Automatyka i telemechanika.-1994.-N5.-p.12-20.
Vatolin D. Wykorzystanie fraktali w grafice komputerowej. // Computerworld-Rosja.-1995.-N15.-p.11.
Feder E. Fraktale. Za. z ang.-M.: Mir, 1991.-254p. (Jens Feder, Plenum Press, Nowy Jork, 1988)
Zastosowanie fraktali i chaosu. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Załącznik 1

Załącznik 2

Załącznik 3

Dodatek 4

Fraktale w otaczającym nas świecie.

Wykonał: uczeń 9 klasy

Szkoła średnia MBOU Kirowa

Litowczenko Jekaterina Nikołajewna
Lider: nauczyciel matematyki

Szkoła średnia MBOU Kirowa

Kachula Natalia Nikołajewna

Wstęp……………………………………………………………………… 3

Przedmiot badań.

Przedmioty badań.

Hipotezy.

Cele, założenia i metody badawcze.

Część badawcza. …………………………………………. 7

Znalezienie związku między fraktalami a trójkątem Pascala.

Znalezienie związku między fraktalami a złotym podziałem.

Znajdowanie związku między fraktalami a liczbami kręconymi.

Znalezienie związku między fraktalami a dziełami literackimi.

3. Praktyczne zastosowanie fraktali………………………………….. 13

4. Wniosek………………………………………………………….. 15

4.1 Wyniki badania.

5. Bibliografia……………………………………………………….. 16

Wstęp.

Przedmiot badań: Fraktale .

Kiedy większości ludzi wydawało się, że geometria w przyrodzie ogranicza się do takich prostych figur jak linia, koło, przekrój stożkowy, wielokąt, kula, powierzchnia kwadratowa, a także ich kombinacje. Na przykład, co może być piękniejszego niż stwierdzenie, że planety w naszym Układzie Słonecznym krążą wokół Słońca po eliptycznych orbitach?

Jednak wiele systemów naturalnych jest tak złożonych i nieregularnych, że używanie do ich modelowania jedynie znanych obiektów o klasycznej geometrii wydaje się beznadziejne. Jak na przykład zbudować model pasma górskiego lub koronę drzewa pod względem geometrii? Jak opisać różnorodność biologicznych konfiguracji, które obserwujemy w świecie roślin i zwierząt? Wyobraź sobie złożoność układu krążenia, składającego się z wielu naczyń włosowatych i naczyń, dostarczającego krew do każdej komórki ludzkiego ciała. Wyobraź sobie, jak sprytnie ułożone są płuca i nerki, przypominające drzewa o rozłożystej strukturze korony.

Dynamika rzeczywistych systemów naturalnych może być równie złożona i nieregularna. Jak podejść do modelowania kaskadowych wodospadów lub turbulentnych procesów, które determinują pogodę?

Fraktale i matematyczny chaos są odpowiednimi narzędziami do badania postawionych pytań. Termin fraktal odnosi się do pewnej statycznej konfiguracji geometrycznej, takiej jak migawka wodospadu. Chaos to termin dynamiczny używany do opisu zjawisk podobnych do turbulentnych zachowań pogodowych. Często to, co obserwujemy w naturze, intryguje nas niekończącym się powtarzaniem tego samego wzoru, powiększanego lub pomniejszanego tyle razy, ile jest to pożądane. Na przykład drzewo ma gałęzie. Te gałęzie mają mniejsze gałęzie i tak dalej. Teoretycznie element „widelec” powtarza się nieskończenie wiele razy, stając się coraz mniejszy. To samo widać patrząc na zdjęcie górzystego terenu. Spróbuj trochę przybliżyć obraz pasma górskiego - znowu zobaczysz góry. Tak przejawia się właściwość charakterystyczna dla fraktali samopodobieństwo.

W wielu pracach dotyczących fraktali samopodobieństwo jest używane jako właściwość definiująca. Za Benoitem Madelbrotem stoimy na stanowisku, że fraktale należy definiować w kategoriach wymiaru fraktalnego (ułamkowego). Stąd pochodzenie słowa fraktal(od łac. fraktus - ułamkowy).

Pojęcie wymiaru ułamkowego jest pojęciem złożonym, które przedstawiane jest w kilku etapach. Linia to obiekt jednowymiarowy, a płaszczyzna to obiekt dwuwymiarowy. Jeśli dobrze skręcisz linię prostą i płaszczyznę, możesz zwiększyć wymiar wynikowej konfiguracji; w tym przypadku nowy wymiar będzie zwykle w pewnym sensie ułamkowy, co musimy wyjaśnić. Związek między wymiarem ułamkowym a samopodobieństwem polega na tym, że za pomocą samopodobieństwa można w najprostszy sposób skonstruować zbiór wymiaru ułamkowego. Nawet w przypadku znacznie bardziej skomplikowanych fraktali, takich jak granica zbioru Mandelbrota, gdy nie ma czystego samopodobieństwa, następuje prawie całkowite powtórzenie formy podstawowej w coraz bardziej zredukowanej formie.

Słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym i nie ma ogólnie przyjętej ścisłej definicji matematycznej. Może być używany, gdy dana figura ma jedną z następujących właściwości:

Teoretyczna wielowymiarowość (może być kontynuowana w dowolnej liczbie wymiarów).

Jeśli weźmiemy pod uwagę mały fragment regularnej figury w bardzo dużej skali, będzie on wyglądał jak fragment prostej. Fragment fraktala w dużej skali będzie taki sam jak w każdej innej skali. Dla fraktala powiększenie nie prowadzi do uproszczenia konstrukcji, we wszystkich skalach zobaczymy równie złożony obraz.

Jest do siebie podobny lub w przybliżeniu do siebie podobny, każdy poziom jest podobny do całości

Długości, pola i objętości niektórych fraktali są równe zeru, inne kierują się w nieskończoność.

Ma wymiar ułamkowy.

Rodzaje fraktali: algebraiczne, geometryczne, stochastyczne.

Algebraiczny fraktale to największa grupa fraktali. Uzyskuje się je za pomocą procesów nieliniowych w przestrzeniach n-wymiarowych, np. zbiory Mandelbrota i Julii.

Druga grupa fraktali - geometryczny fraktale. Historia fraktali rozpoczęła się od fraktali geometrycznych, które badali matematycy w XIX wieku. Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, ponieważ od razu widać w nich samopodobieństwo. Ten rodzaj fraktali uzyskuje się za pomocą prostych konstrukcji geometrycznych. Podczas konstruowania tych fraktali zwykle bierze się zestaw segmentów, na podstawie których fraktal zostanie zbudowany. Ponadto do tego zestawu stosuje się zestaw reguł, który przekształca je w jakąś figurę geometryczną. Co więcej, ten sam zestaw zasad jest ponownie stosowany do każdej części tej figury. Z każdym krokiem figura będzie stawała się coraz bardziej złożona, a jeśli wyobrazisz sobie nieskończoną liczbę takich operacji, otrzymasz geometryczny fraktal.

Rysunek po prawej przedstawia trójkąt Sierpińskiego - geometryczny fraktal, który powstaje w następujący sposób: w pierwszym kroku widzimy zwykły trójkąt, w następnym kroku punkty środkowe boków są połączone, tworząc 4 trójkąty, z których jeden jest odwrotny. Następnie powtarzamy operację ze wszystkimi trójkątami, z wyjątkiem odwróconych i tak dalej w nieskończoność.

Przykłady fraktali geometrycznych:

1.1 Gwiazda Kocha

Na początku XX wieku matematycy szukali krzywych, które w żadnym punkcie nie miały stycznej. Oznaczało to, że krzywa gwałtownie zmieniła kierunek, a ponadto z niezwykle dużą prędkością (pochodna jest równa nieskończoności). Poszukiwanie tych krzywych było spowodowane nie tylko bezczynnym zainteresowaniem matematyków. Faktem jest, że na początku XX wieku mechanika kwantowa rozwijała się bardzo szybko. Badacz M. Brown naszkicował trajektorię cząstek zawieszonych w wodzie i wyjaśnił to zjawisko w następujący sposób: losowo poruszające się atomy cieczy uderzają w zawieszone cząstki iw ten sposób wprawiają je w ruch. Po takim wyjaśnieniu ruchów Browna naukowcy stanęli przed zadaniem znalezienia krzywej, która najlepiej oddałaby ruch cząstek Browna. Aby to zrobić, krzywa musiała spełniać następujące właściwości: nie mieć stycznej w żadnym punkcie. Matematyk Koch zaproponował jedną taką krzywą. Nie będziemy wchodzić w wyjaśnienia zasad jego budowy, ale po prostu podamy jego obraz, z którego wszystko stanie się jasne. Jedna ważna właściwość, jaką ma granica płatka śniegu Kocha….. jej nieskończona długość. Może się to wydawać zaskakujące, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do radzenia sobie z krzywymi z przebiegu rachunku różniczkowego. Zazwyczaj gładkie lub przynajmniej odcinkowo gładkie krzywe zawsze mają skończoną długość (którą można zweryfikować przez całkowanie). W związku z tym Mandelbrot opublikował szereg fascynujących artykułów, które badają kwestię pomiaru długości linii brzegowej Wielkiej Brytanii. Jako model wykorzystał krzywą fraktalną, przypominającą granicę płatka śniegu, z tym, że wprowadzono do niej element losowości, uwzględniający losowość w naturze. W rezultacie okazało się, że krzywa opisująca linię brzegową ma nieskończoną długość.

Gąbka Menger

Inną znaną klasą fraktali są: stochastyczny fraktale, które uzyskuje się, jeśli którykolwiek z jego parametrów zostanie losowo zmieniony w procesie iteracyjnym. Skutkuje to obiektami bardzo podobnymi do naturalnych - asymetryczne drzewa, wcięte linie brzegowe itp. .

Przedmioty badań

Trójkąt Pascala.

Na
struktura trójkąta Pascala - boki jednostki, każda liczba jest równa sumie dwóch znajdujących się nad nim. Trójkąt może być kontynuowany w nieskończoność.

Trójkąt Pascala służy do obliczania współczynników rozwinięcia wyrażeń postaci (x+1) n . Zaczynając od trójkąta jednostek, oblicz wartości na każdym kolejnym poziomie, dodając sąsiednie liczby; ostatnia jednostka umieszczona. Można więc na przykład zdefiniować, że (x + 1) 4 = 1x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1x 0 .

Kręcone liczby.

Pitagoras po raz pierwszy, w VI wpne, zwrócił uwagę na to, że pomagając sobie w liczeniu kamykami, ludzie czasami ustawiają kamienie we właściwych cyfrach. Możesz po prostu ułożyć kamyki w rzędzie: jeden, dwa, trzy. Jeśli umieścimy je w dwóch rzędach, aby utworzyć prostokąty, okaże się, że uzyskano wszystkie liczby parzyste. Możesz ułożyć kamienie w trzech rzędach: otrzymujesz liczby podzielne przez trzy. Każda liczba podzielna przez coś może być reprezentowana przez prostokąt, a tylko liczby pierwsze nie mogą być „prostokątami”.

Liczby liniowe to liczby, które nie rozkładają się na czynniki, tzn. ich szereg pokrywa się z szeregiem liczb pierwszych, uzupełnionym o jeden: (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23, . ...). To są liczby pierwsze.

Liczby płaskie - liczby, które można przedstawić jako iloczyn dwóch czynników (4,6,8,9,10,12,14,15,...)

Liczby pełne - liczby wyrażone jako iloczyn trzech czynników (8,12,18,20,24,27,28, ...) itd.

Liczby wielokątne:

Liczby trójkątne: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Liczby kwadratowe są iloczynem dwóch identycznych liczb, czyli są kwadratami idealnymi: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., n2, ...)

Liczby pięciokątne: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Liczby sześciokątne (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Złoty podział...

Złoty podział (proporcja złota, podział w skrajnym i średnim stosunku, podział harmoniczny, liczba Fidiasza) to podział ilości ciągłej na części w takim stosunku, w którym większa część odnosi się do mniejszej, jak cała ilość do większy. Na rysunku po lewej w punkcie C powstaje złoty przekrój odcinka AB, jeśli: A S:AB = SV:AC.

Ta proporcja jest zwykle oznaczana grecką literą . to równa się 1.618. Z tej proporcji widać, że przy złotym podziale długość większego odcinka jest średnią geometryczną długości całego odcinka i jego mniejszej części. Części złotego podziału stanowią około 62% i 38% całego segmentu. Liczba jest powiązana z ciągiem liczb całkowitych Fibonacciego : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... często spotykane w przyrodzie. Jest generowany przez relację rekurencyjną F n+2 =F n+1 +F n z warunkami początkowymi F 1 =F 2 = 1.

Najstarszym zabytkiem literackim, w którym znajduje się podział segmentu w stosunku do złotego odcinka, są „Początki” Euklidesa. Już w drugiej księdze „Początków” Euklides buduje złotą sekcję, a później używa jej do budowy kilku regularnych wielokątów i wielościanów.

Hipotezy:

Czy istnieje związek między fraktalami i?

Trójkąt Pascala.

złoty podział.

kręcone liczby.

dzieła literackie

1.4 Cel pracy:

1. Zapoznanie słuchaczy z nową gałęzią matematyki - fraktalami.

2. Odrzuć lub udowodnij hipotezy postawione w pracy.

Cele badań:

Opracowanie i analiza literatury przedmiotu badań.

Rozważ różne rodzaje fraktali.

Zbierz kolekcję obrazów fraktalnych, aby wstępnie zapoznać się ze światem fraktali.

Ustal relacje między trójkątem Pascala, dziełami literackimi, liczbami figuratywnymi i złotym podziałem.

Metody badawcze:

teoretyczne (badanie i teoretyczna analiza literatury naukowej i specjalistycznej; uogólnianie doświadczeń);

Praktyczne (kompilacja obliczeń, uogólnianie wyników).

Część badawcza.

2.1 Znajdowanie związku między fraktalami a trójkątem Pascala.

Trójkąt Pascala Trójkąt Sierpińskiego

Przydzielając liczby nieparzyste w trójkącie Pascala otrzymujemy trójkąt Sierpińskiego. Wzór demonstruje właściwość współczynników wykorzystywanych w „arytmetyzacji” programów komputerowych, która przekształca je na równania algebraiczne.

2.1 Znajdowanie związku między fraktalami a złotym podziałem.

Wymiar fraktali.

Z matematycznego punktu widzenia wymiar jest zdefiniowany w następujący sposób.

W przypadku obiektów jednowymiarowych - 2-krotny wzrost wymiarów liniowych prowadzi do zwiększenia wymiarów (w tym przypadku długości) o 2 razy, tj. o 21.

W przypadku obiektów dwuwymiarowych 2-krotny wzrost wymiarów liniowych prowadzi do 4-krotnego zwiększenia rozmiaru (powierzchni), tj. w 2 2 . Weźmy przykład. Mając okrąg o promieniu r, wtedy S= πr 2 .

Jeśli podwoimy promień, to: S1 = π(2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r 2 .

W przypadku obiektów trójwymiarowych dwukrotny wzrost wymiarów liniowych prowadzi do ośmiokrotnego wzrostu objętości, tj. 2 3 .

Jeśli weźmiemy sześcian, to V \u003d a 3, V „= (2a) 3 \u003d 8a; V” / V \u003d 8.

Jednak natura nie zawsze przestrzega tych praw. Spróbujmy rozważyć wymiar obiektów fraktalnych na prostym przykładzie.

Wyobraź sobie, że mucha chce usiąść na kłębku wełny. Patrząc na nią z daleka widzi tylko punkt, którego wymiar wynosi 0. Podlatując bliżej widzi najpierw okrąg, jego wymiar 2, a potem kulkę - wymiar 3. Gdy mucha siedzi na kuli, nie będzie już widziała kuli, ale zbada kosmki, nici, puste przestrzenie, tj. obiekt o wymiarze ułamkowym.

Wymiar obiektu (wykładnik) pokazuje, według jakiego prawa rośnie jego wewnętrzna powierzchnia. Podobnie, wraz ze wzrostem rozmiaru, zwiększa się „objętość fraktala”. Naukowcy doszli do wniosku, że Fraktal to zbiór o wymiarze ułamkowym.

Fraktale jako obiekty matematyczne powstały w wyniku potrzeby naukowego poznania świata w adekwatnym opisie teoretycznym coraz bardziej złożonych układów przyrodniczych (takich jak np. pasmo górskie, linia brzegowa, korona drzew, kaskadowy wodospad, turbulentny przepływ powietrza w atmosferę itp.) i ostatecznie w matematycznym modelowaniu przyrody jako całości. A złoty przekrój, jak wiecie, jest jednym z najbardziej uderzających i stabilnych przejawów harmonii natury. Dlatego całkiem możliwe jest zidentyfikowanie relacji powyższych obiektów, tj. odkryj złoty podział w teorii fraktali.

Przypomnijmy, że złoty podział jest zdefiniowany przez wyrażenie
(*) i jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania kwadratowego
.

Ściśle związane ze złotym podziałem są liczby Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,…, z których każda jest sumą dwóch poprzednich. Rzeczywiście, wartość jest granicą szeregu złożonego ze stosunków sąsiednich liczb Fibonacciego:
,

i wartość - granica szeregu złożonego ze stosunków liczb Fibonacciego przez jeden:

Fraktal to struktura składająca się z części podobnych do całości. Według innej definicji fraktal to obiekt geometryczny o wymiarze ułamkowym (nie będącym liczbą całkowitą). Ponadto fraktal zawsze powstaje w wyniku nieskończonej sekwencji tego samego typu operacji geometrycznych do jego budowy, tj. jest konsekwencją przejścia do granicy, co czyni ją powiązaną ze złotym podziałem, który również reprezentuje granicę szeregu liczb nieskończonych. Wreszcie, wymiar fraktala jest zwykle liczbą niewymierną (jak złoty podział).

W świetle powyższego nie dziwi fakt, że nie dziwi fakt, iż wymiary wielu klasycznych fraktali można wyrazić w postaci złotego podziału z różną dokładnością. Na przykład relacje dla wymiarów płatka śniegu Kocha D SC\u003d 1,2618595 ... i gąbki Mengera D GM\u003d 2.7268330 ... , biorąc pod uwagę (*) można zapisać jako
I
.

Ponadto błąd pierwszego wyrażenia wynosi tylko 0,004%, a drugiego wyrażenia 0,1%, a biorąc pod uwagę stosunek elementarny 10=2 5 wynika, że wartości D SC I D GM są kombinacjami złotego podziału i liczb Fibonacciego.

Wymiary dywanu Sierpińskiego D KS=1.5849625… i proch Cantora D PC\u003d 0,6309297 ... można również uznać za zbliżoną do złotego podziału:
I
. Błąd tych wyrażeń wynosi 2%.

Wymiar niejednorodnego (dwuskalowego) zbioru Cantora szeroko stosowany w fizycznych zastosowaniach teorii fraktali (np. w badaniach konwekcji termicznej) (którego długości segmentów generujących są
I
- odnoszą się do siebie jako liczby Fibonacciego:
) , ale D MK=0,6110… różni się od wartości
tylko o 1%.

W ten sposób złoty podział i fraktale są ze sobą połączone.

2.2 Znajdowanie związku między fraktalami a liczbami kręconymi .

Rozważ każdą grupę liczb.

Pierwsza liczba to 1. Kolejna liczba to 3. Uzyskuje się ją przez dodanie dwóch punktów do poprzedniej liczby, 1, tak aby pożądana cyfra stała się trójkątem. W trzecim kroku dodajemy trzy punkty, zachowując kształt trójkąta. W kolejnych krokach dodaje się n punktów, gdzie n jest liczbą porządkową liczby trójkątnej. Każdą liczbę uzyskuje się przez dodanie określonej liczby punktów do poprzedniej. Ta właściwość dała rekurencyjny wzór dla liczb trójkątnych: t n = n + t n -1 .

Pierwsza liczba to 1. Kolejna liczba to 4. Uzyskuje się ją przez dodanie 3 punktów do poprzedniej liczby w postaci kąta prostego, aby utworzyć kwadrat. Wzór na liczby kwadratowe jest bardzo prosty, pochodzi od nazwy tej grupy liczb: g n = n 2 . Ale oprócz tego wzoru możesz również wyprowadzić wzór rekurencyjny dla liczb kwadratowych. Aby to zrobić, rozważ pierwsze pięć liczb kwadratowych:

g n = g n-1 +2n-1

2 = 4 = 1+3 = 1+2 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2 4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2 5-1

Pierwsza liczba to 1. Kolejna liczba to 5. Uzyskuje się ją przez dodanie czterech punktów, więc otrzymana liczba ma postać pięciokąta. Jedna strona takiego pięciokąta zawiera 2 punkty. W następnym kroku po jednej stronie będą 3 punkty, łączna liczba punktów to 12. Spróbujmy wyprowadzić wzór na obliczanie liczb pięciokątnych. Pierwsze pięć liczb pięciokątnych to: 1, 5, 12, 22, 35. Tworzą się one w następujący sposób:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 = 12 = 5+7 = 5+3 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3 5-2

Pierwsza liczba to 1. Druga to 6. Figura wygląda jak sześciokąt o boku 2 punktów. W trzecim kroku już 15 punktów jest ustawionych w formie sześciokąta o boku 3 punktów. Wyprowadźmy wzór rekurencyjny:

u n = u n-1 +4n-3

2 = 6=1+4 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 5-3

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz związek między wszystkimi powtarzającymi się formułami.

Dla liczb trójkątnych: t n = t n -1 + n = T n -1 +1 n -0

Dla liczb kwadratowych: g n = g n -1 +2 n -1

Dla liczb pięciokątnych: f n = F n -1 +3 n -2

Dla liczb heksagonalnych: u n = ty n -1 +4 n -3

Widzimy, że liczby liczbowe są zbudowane na powtarzalności: jest to wyraźnie widoczne w formułach rekurencyjnych. Możemy śmiało powiedzieć, że liczby liczbowe zasadniczo mają strukturę fraktalną.

2.3 Znajdowanie związku między fraktalami a dziełami literackimi.

Rozważmy fraktal właśnie jako dzieło sztuki, charakteryzujące się dwiema głównymi cechami: 1) jego część jest w jakiś sposób podobna do całości (najlepiej, ta sekwencja podobieństw rozciąga się na nieskończoność, chociaż nikt nigdy nie widział naprawdę nieskończonej sekwencji iteracje, które budują płatek śniegu Kocha; 2) jego postrzeganie następuje w sekwencji zagnieżdżonych poziomów. Zwróć uwagę, że urok fraktala pojawia się właśnie w drodze wzdłuż tego urzekającego i oszałamiającego systemu poziomów, z którego powrót nie jest gwarantowany.

Jak stworzyć nieskończony tekst? To pytanie zadał sobie bohater opowiadania H.-L. Borgesa „Ogród rozwidlających się ścieżek”: „... Zadałem sobie pytanie, jak książka może być nieskończona. Nic nie przychodzi do głowy poza tomem cyklicznym, kołowym, tomem, w którym ostatnia strona powtarza pierwszą, co pozwala jej trwać w nieskończoność.

Zobaczmy, jakie inne rozwiązania mogą istnieć.

Najprostszym tekstem nieskończonym będzie tekst o nieskończonej liczbie zduplikowanych elementów lub kupletów, których powtarzającą się częścią jest jego „ogon” – ten sam tekst z dowolną liczbą odrzuconych początkowych kupletów. Schematycznie taki tekst można przedstawić jako nierozgałęzione drzewo lub okresową sekwencję powtarzających się kupletów. Jednostka tekstu - fraza, zwrotka lub opowieść, zaczyna się, rozwija i kończy, wracając do punktu wyjścia, punktu przejścia do następnej jednostki tekstu, powtarzając pierwotną. Taki tekst można przyrównać do nieskończonego ułamka okresowego: 0,33333 ..., można go również zapisać jako 0, (3). Widać, że odcięcie „głowy” – dowolnej liczby początkowych jednostek niczego nie zmieni, a „ogon” będzie dokładnie pasował do całego tekstu.

Nierozgałęzione drzewo nieskończone jest identyczne z każdym dwuwierszem.

Wśród takich niekończących się utworów są wiersze dla dzieci czy pieśni ludowe, jak na przykład wiersz o księdzu i jego psie z rosyjskiej poezji ludowej, czy wiersz M. Jasnowa „Strach na wróble-miau”, który opowiada o śpiewającym kotku kotka, który śpiewa o kociaku. Albo najkrócej: „Ksiądz miał podwórko, na podwórku był pal, na palu był łyka - czy nie powinniśmy zaczynać bajki od początku? ... Ksiądz miał podwórko ... ”.

Jadę i widzę most, pod mostem moknie wrona,
Wziąłem wronę za ogon, położyłem na moście, pozwoliłem wrony wyschnąć.
Jadę i widzę most, na moście wysycha wrona,
Wziąłem wronę za ogon, włożyłem pod mostek, niech wrona zmoczy się ...

W przeciwieństwie do niekończących się kupletów, fragmenty fraktali Mandelbrota wciąż nie są identyczne, ale podobne do siebie, a ta jakość nadaje im urzekającego uroku. Dlatego w badaniu fraktali literackich pojawia się zadanie znalezienia podobieństwa, podobieństwa (a nie tożsamości) elementów tekstu.

W przypadku nieskończonych kupletów zastępowanie tożsamości przez podobieństwo odbywało się na różne sposoby. Istnieją co najmniej dwie możliwości: 1) tworzenie wierszy z wariacjami, 2) tekstów z rozszerzeniami.

Wiersze z wariacjami, na przykład wprowadzone do obiegu przez S. Nikitina, stały się pieśnią ludową „Peggy żyła wesołą gęsią”, w której zwyczaje Peggy i ich przyzwyczajenia są różne.

Peggy miała wesołą gęś

Znał wszystkie piosenki na pamięć.

Ach, co za wesoła gęś!

Zatańczmy, Peggy, zatańczmy!

Peggy miała zabawnego szczeniaka

Potrafił tańczyć do melodii.

Ach, co za zabawny szczeniak!

Zatańczmy, Peggy, zatańczmy!

Peggy miała smukłą żyrafę

Był elegancki jak szafa,

To była smukła żyrafa!

Zatańczmy, Peggy, zatańczmy!

Peggy miała zabawnego pingwina

Wyróżnił wszystkie marki win,

Ach, co za zabawny pingwin!

Zatańczmy, Peggy, zatańczmy!

Peggy miała zabawnego słonia

Zjadł synchrofazotron,

Cóż za wesoły słoń,

Zatańczmy, Peggy, zatańczmy!

Jeśli nie nieskończoną, to skomponowano już dość dużą liczbę wersów: mówią, że kaseta „Pieśni naszego stulecia” wyszła z dwustu wariacjami piosenki, a liczba ta prawdopodobnie nadal rośnie. Tutaj próbują przezwyciężyć nieskończoność identycznych wersów kosztem współtworzenia, dziecinnego, naiwnego i zabawnego.

Inna możliwość tkwi w tekstach z „przyrostami”. Oto bajki o znanej nam z dzieciństwa rzepie lub koloboku, których w każdym odcinku wzrasta liczba postaci:

„Teremok”

Szkoda muchy.
Fly-goryukha, komar-piskun.
Mucha goryukha, piszczący komar, mysi wesz.
Mucha goryukha, komar pisk, liść myszy, żaba-żaba.
Mucha goryukha, komar piszczący, liść myszy, żaba-żaba, skaczący króliczek.
Mucha goryuha, piszczący komar, liść myszy, żaba-żaba, skaczący króliczek, lisica.
Mucha goryukha, piszczący komar, wesz, żaba żaba, skaczący króliczek, lisa siostra, wilczoszary ogon.
Mucha goryukha, piszczałka komarów, wesz, żaba żaba, skok na króliczku, lisica, wilczy ogon, niedźwiedź, miażdżysz wszystkich.

Takie teksty mają strukturę „choinki” lub „Matrioszki”, w której każdy poziom powtarza poprzedni ze wzrostem rozmiaru obrazu.

Dziełem poetyckim, w którym każdy dwuwiersz można czytać niezależnie, jako osobną „podłogę” choinki, a także razem, tworząc tekst, który rozwija się od Jedno do Drugiego, a dalej do Natury, Świata i Wszechświata, stworzony przez T. Wasiljewę:

Teraz myślę, że możemy stwierdzić, że istnieją dzieła literackie, które mają strukturę fraktalną.

3. Praktyczne zastosowanie fraktali

Fraktale znajdują coraz więcej zastosowań w nauce. Głównym tego powodem jest to, że opisują one rzeczywisty świat czasami nawet lepiej niż tradycyjna fizyka czy matematyka. Oto kilka przykładów:

SYSTEMY KOMPUTEROWE

Najbardziej użytecznym zastosowaniem fraktali w informatyce jest fraktalna kompresja danych. Ten rodzaj kompresji opiera się na fakcie, że świat rzeczywisty dobrze opisuje geometria fraktalna. Jednocześnie zdjęcia są kompresowane znacznie lepiej niż przy użyciu konwencjonalnych metod (takich jak jpeg czy gif). Kolejną zaletą kompresji fraktalnej jest to, że gdy obraz jest powiększany, nie występuje efekt pikselizacji (zwiększenie rozmiaru kropek do rozmiarów zniekształcających obraz). Przy kompresji fraktalnej po zbliżeniu obraz często wygląda jeszcze lepiej niż wcześniej.

MECHANIKA PŁYNÓW

1. Badanie turbulencji w przepływach bardzo dobrze dostosowuje się do fraktali. Przepływy turbulentne są chaotyczne, a zatem trudne do dokładnego modelowania. I tu pomaga przejście do reprezentacji fraktalnej. To znacznie ułatwia pracę inżynierom i fizykom, pozwalając im lepiej zrozumieć dynamikę złożonych przepływów.

2. Płomienie można również modelować za pomocą fraktali.

3. Materiały porowate są dobrze reprezentowane w formie fraktalnej ze względu na fakt, że mają bardzo złożoną geometrię. Jest stosowany w nauce naftowej.

TELEKOMUNIKACJA

Do przesyłania danych na duże odległości wykorzystywane są anteny fraktalne, co znacznie zmniejsza ich rozmiar i wagę.

FIZYKA POWIERZCHNI

Fraktale służą do opisu krzywizny powierzchni. Nierówna powierzchnia charakteryzuje się połączeniem dwóch różnych fraktali.

MEDYCYNA

1. Oddziaływania biosensorowe.

2. Bijące serce

BIOLOGIA

Modelowanie procesów chaotycznych, w szczególności w opisie modeli populacyjnych.

4. Wniosek

4.1 Wyniki badania

W mojej pracy nie są podane wszystkie obszary ludzkiej wiedzy, w których teoria fraktali znalazła zastosowanie. Chcę tylko powiedzieć, że od powstania teorii minęło nie więcej niż jedna trzecia wieku, ale w tym czasie fraktale dla wielu badaczy stały się nagłym jasnym światłem w nocy, które oświetlało nieznane dotąd fakty i prawidłowości w specyficzny sposób. obszary danych. Wykorzystując teorię fraktali, zaczęli wyjaśniać ewolucję galaktyk i rozwój komórki, powstawanie gór i powstawanie chmur, ruch cen na giełdzie oraz rozwój społeczeństwa i rodziny. Być może początkowo ta pasja do fraktali była nawet zbyt burzliwa i próby wyjaśnienia wszystkiego za pomocą teorii fraktali były nieuzasadnione. Ale bez wątpienia ta teoria ma prawo istnieć.

W swojej pracy zebrałem ciekawe informacje o fraktalach, ich typach, wymiarach i właściwościach, ich zastosowaniu, a także o trójkącie Pascala, liczbach kręconych, złotym podziale, fraktalnych dziełach literackich i wielu innych.

W trakcie badania wykonano następujące prace:

Przeanalizowano i opracowano literaturę przedmiotu badań.

Rozważane i badane są różne rodzaje fraktali.

Zebrano kolekcję obrazów fraktalnych w celu wstępnego zapoznania się ze światem fraktali.

Ustalono związki między fraktalami a trójkątem Pascala, dziełami literackimi, liczbami kręconymi i złotym podziałem.

Byłem przekonany, że ci, którzy zajmują się fraktalami, odkrywają cudowny, cudowny świat, w którym króluje matematyka, natura i sztuka. Myślę, że po zapoznaniu się z moją pracą, tak jak ja, przekonacie się Państwo, że matematyka jest piękna i niesamowita.

5. Bibliografia:

1. Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktale i multifraktale. Iżewsk: Centrum Badawcze „Regularna i chaotyczna dynamika”, 2001. - 128p.

2. Voloshinov A. V. Matematyka i sztuka: książka. dla tych, którzy nie tylko kochają matematykę i sztukę, ale także chcą myśleć o naturze piękna i pięknie nauki. Wydanie drugie, poprawione. i dodatkowe - M .: Edukacja, 2000. - 399s.

3. M.A. Gardner, Nudna matematyka. Kalejdoskop zagadek. M.: AST: Astrel, 2008. - 288s.: chor.

4. Grinchenko VT, Matsypura VT, Snarsky A.A. Wprowadzenie do dynamiki nieliniowej. Chaos i fraktal
. Wydawnictwo: ŁKI, 2007, 264 strony.

5. Litinsky G.I. Funkcje i wykresy. Wydanie II. - M.: Aslan, 1996. - 208 s.: ch.

6. Morozov AD Wprowadzenie do teorii fraktali. Wydawca: Niżny Nowogród University Press, 2004

7. Richard M. Kronover Fraktale i chaos w układach dynamicznych Wprowadzenie do fraktali i chaosu.
Wydawnictwo: Technosfera, 2006, 488 stron.

8. otaczający naspokój jako ciała stałe z jasno zdefiniowanym... Znajdź program do kształtowania i przeglądania fraktale, eksploruj i buduj wiele fraktale. Literatura 1.A.I.Azevich „Dwadzieścia ...

Są to abstrakcyjne obiekty matematyczne, które mają właściwość samopodobieństwo. Oznacza to, że części fraktala są podobne do samego fraktala, a części tych części są podobne do części itp. Widać to wyraźnie na tej animacji. Zwiększając przybliżenie, ponownie widzimy podobne struktury.

Powstaje jednak pytanie - Jak ogólne są fraktalne modele matematyczne w zastosowaniu do rzeczywistego świata? W niektórych przypadkach mają zastosowanie. Np. opisując silnie wcięte brzegi morskie – mnożąc obrazy takich brzegów uzyskane z kosmosu, otrzymamy mniejsze struktury podobne do dużych. Jednak, Czy świat jako całość jest fraktalem? To znaczy, zagłębiając się w mikroświat i patrząc na coraz większe skale megaświata, czy zobaczymy podobne struktury? Oczywiście tak byłoby prościej – nie trzeba odkrywać i wymyślać niczego nowego, wszystko jest zbudowane tak samo: planety krążą wokół gwiazd, satelity wokół planet, elektrony wokół jąder. Idąc dalej, możemy założyć, że elektrony, protony i neutrony to także układy, w których znajduje się ciało centralne i krążące wokół niego mniejsze ciała.

Byłoby to jednak bardzo nudy- zobacz wszędzie tak samo. Żadna fundamentalna nowość... Jest mało prawdopodobne, żeby Natura była tak nudna i monotonna! Całe nasze doświadczenie sugeruje, że istnieje nie tylko podobieństwo, ale także różnica między nawet najbardziej spokrewnionymi obiektami (na przykład między kryształami z tego samego druzów, między płatkami śniegu, między bliźniakami itp.). Oczywiście natura ma uniwersalne prawa, do którego odkrycia dąży umysł poznający (jest to jego główny i największy cel; jest on bezpośrednio postawiony przed sobą filozofia jako szczyt ludzkiej aktywności poznawczej). Jest więc coś wspólnego, podobnego na wszystkich poziomach organizacji materii: od cząstek elementarnych po psychikę, świadomość, społeczeństwo. Jednak, formy manifestacji uniwersalne prawa na różnych poziomach organizacji materii iw jej różnych częściach są różne. Dlatego obserwujemy inny; różny struktury w różnych częściach Świata i na różnych jego poziomach, chociaż podlegają tym samym prawom (które są dalekie od odkrycia przez nas w pełni).

Proponuję omówić ten najciekawszy temat, tym bardziej, że poruszył go już nasz szanowany Solaris w swoim cyklu opowiadań science fiction. „Wszechświat Ingi Aulang” . Autor wyraża w nich ideę, że Wszechświat jest jak komórka organizmu wielokomórkowego, a inne wszechświaty to inne komórki tego organizmu. Inną ideą stojącą za Solarisem jest to, że pojedynczy proton jest jak cały wszechświat. To wszystko to nic innego jak pomysły na temat fraktali świata.

Wspomniany przeze mnie teledysk (z dobrze dobraną muzyką!) wywołuje ciekawe wrażenie wnikania w głąb „materii”, jednocześnie własnej redukcji. Jak powiedział wybitny fizyk Richard Feynman w 1959 roku, przewidując rozwój nanotechnologii: „ tam na dole - dużo miejsca”. I czujesz to cieleśnie, kiedy oglądasz ten film.
Ale co najważniejsze, sprawia, że myślisz fundamentalne pytania o połączenie makro-, mikro- i mega-świata. Co się stanie, jeśli nagle gwałtownie się skurczymy? Znany nam makroświat ze swoimi problemami i absurdami schodzi gdzieś na boki, w obszar megaświata. A wraz z tym jego procesy, jego wymiary, czasy i energie tracą dla nas znaczenie. To tak, jakby już dla nas nie istniały. W tym nowym mikrokosmosie, w którym „poruszamy się”, powstają nasze własne skale przestrzeni, czasu i energii. Nasze życie w nim będzie tylko chwilą dla istot pozostawionych w naszym dawnym makrokosmosie, nasz rozmiar będzie poza zasięgiem widoczności nawet dla nich najpotężniejszych mikroskopów, a nasze energie będą… (co? więcej? mniej?) . Dlatego zarówno my dla tego świata, jak i on dla nas będą ledwie dostrzegalnymi zagadkami, wywierającymi na siebie znikomy wpływ.
A może jest odwrotnie? A mikro-, makro- i mega-światy są jakoś ściśle ze sobą powiązane i znacząco na siebie wpływają, pomimo kardynalnej różnicy w skalach? Przynajmniej przez te bardzo uniwersalne prawa, o których mówiłem powyżej.
Ten interesujący film sprawia, że myślisz o tym wszystkim.

Miejska Budżetowa Instytucja Oświatowa

„Szkoła średnia nr 3 Siverskaya”

Badania

matematyka.

Czy praca

Uczeń 8 klasy

Emelin Paweł

doradca naukowy

nauczyciel matematyki

Tupitsyna Natalia Aleksiejewna

p. Siversky

rok 2014

Matematyka jest przesiąknięta pięknem i harmonią,

Po prostu musisz zobaczyć to piękno.

B. Mandelbrota

Wstęp

Rozdział 1. Historia powstawania fraktali _______ 5-6 s.

Rozdział 2. Klasyfikacja fraktali.____________________6-10pp.

fraktale geometryczne

Fraktale algebraiczne

Fraktale stochastyczne

Rozdział 3. „Fraktal geometria przyrody” ______ 11-13pp.

Rozdział 4. Zastosowanie fraktali _______________13-15pp.

Rozdział 5 Praca praktyczna __________________ 16-24 s.

Wniosek__________________________________25.strona

Lista literatury i zasobów internetowych _______ 26 s.

Wstęp

Matematyka,

jeśli dobrze na to spojrzysz,

odzwierciedla nie tylko prawdę,

ale też niezrównane piękno.

Bertrand Russell

Słowo „fraktal” to coś, o czym mówi obecnie wiele osób, od naukowców po uczniów szkół średnich. Pojawia się na okładkach wielu podręczników do matematyki, czasopism naukowych i pudeł z oprogramowaniem komputerowym. Kolorowe obrazy fraktali można dziś znaleźć wszędzie: od pocztówek, koszulek po zdjęcia na pulpicie komputera osobistego. Czym więc są te kolorowe kształty, które widzimy wokół?

Matematyka to najstarsza nauka. Większości ludzi wydawało się, że geometria w przyrodzie ogranicza się do tak prostych kształtów, jak linia, okrąg, wielokąt, kula i tak dalej. Jak się okazało, wiele systemów naturalnych jest tak złożonych, że używanie do ich modelowania jedynie znanych obiektów o zwykłej geometrii wydaje się beznadziejne. Jak na przykład zbudować model pasma górskiego lub koronę drzewa pod względem geometrii? Jak opisać różnorodność różnorodności biologicznej, którą obserwujemy w świecie roślin i zwierząt? Jak wyobrazić sobie całą złożoność układu krążenia, składającego się z wielu naczyń włosowatych i naczyń, dostarczającego krew do każdej komórki ludzkiego ciała? Wyobraź sobie strukturę płuc i nerek, przypominającą drzewa o rozłożystej koronie w strukturze?

Fraktale są odpowiednim środkiem do badania postawionych pytań. Często to, co widzimy w naturze, intryguje nas niekończącym się powtarzaniem tego samego wzoru, kilkakrotnie powiększanego lub pomniejszanego. Na przykład drzewo ma gałęzie. Te gałęzie mają mniejsze gałęzie i tak dalej. Teoretycznie element „widelec” powtarza się nieskończenie wiele razy, stając się coraz mniejszy. To samo widać patrząc na zdjęcie górzystego terenu. Spróbuj przybliżyć nieco pasmo górskie --- znowu zobaczysz góry. W ten sposób przejawia się właściwość samopodobieństwa charakterystyczna dla fraktali.

Badanie fraktali otwiera wspaniałe możliwości, zarówno w badaniu nieskończonej liczby zastosowań, jak iw dziedzinie matematyki. Wykorzystanie fraktali jest bardzo rozległe! W końcu te przedmioty są tak piękne, że są wykorzystywane przez projektantów, artystów, za ich pomocą narysowanych jest w grafice wiele elementów drzew, chmur, gór itp. Ale fraktale są nawet używane jako anteny w wielu telefonach komórkowych.

Dla wielu chaologów (naukowców zajmujących się fraktalami i chaosem) nie jest to tylko nowa dziedzina wiedzy, która łączy matematykę, fizykę teoretyczną, sztukę i technologię komputerową – to rewolucja. To odkrycie nowego typu geometrii, geometrii, która opisuje otaczający nas świat i którą można zobaczyć nie tylko w podręcznikach, ale także w przyrodzie i wszędzie w bezkresnym wszechświecie..

W swojej pracy postanowiłam też „dotknąć” świata piękna i postanowiłam dla siebie…

Cel: tworzenie obiektów bardzo podobnych do natury.

Metody badawcze Słowa kluczowe: analiza porównawcza, synteza, modelowanie.

Zadania:

znajomość koncepcji, historii występowania i badań B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i inni;

znajomość różnych typów zbiorów fraktalnych;

studium literatury popularnonaukowej na ten temat, zapoznanie się z

hipotezy naukowe;

znalezienie potwierdzenia teorii fraktalności otaczającego świata;

badanie wykorzystania fraktali w innych naukach iw praktyce;

przeprowadzenie eksperymentu w celu stworzenia własnych obrazów fraktalnych.

Podstawowe pytanie pracy:

Pokaż, że matematyka nie jest tematem suchym, bezdusznym, może wyrażać świat duchowy jednostki i społeczeństwa jako całości.

Przedmiot badań: Geometria fraktalna.

Przedmiot studiów: fraktale w matematyce iw świecie rzeczywistym.

Hipoteza: Wszystko, co istnieje w prawdziwym świecie, jest fraktalem.

Metody badawcze: analityczne, poszukiwanie.

Stosowność deklarowanej tematyki determinuje przede wszystkim przedmiot badań, jakim jest geometria fraktalna.

Oczekiwane rezultaty: W trakcie pracy będę mógł poszerzyć swoją wiedzę z zakresu matematyki, dostrzec piękno geometrii fraktalnej oraz rozpocząć pracę nad tworzeniem własnych fraktali.

Efektem pracy będzie stworzenie prezentacji komputerowej, biuletynu i broszury.

Rozdział 1

Benoit Mandelbrot

Termin „fraktal” został ukuty przez Benoita Mandelbrota. Słowo to pochodzi od łacińskiego „fractus”, co oznacza „złamany, rozbity”.

Fraktal (łac. fractus - zmiażdżony, złamany, złamany) - termin oznaczający złożoną figurę geometryczną o właściwości samopodobieństwa, czyli złożoną z kilku części, z których każda jest podobna do całej figury jako całości.

Obiekty matematyczne, do których się odnosi, charakteryzują się niezwykle ciekawymi właściwościami. W zwykłej geometrii linia ma jeden wymiar, powierzchnia ma dwa wymiary, a figura przestrzenna jest trójwymiarowa. Z drugiej strony fraktale nie są liniami ani powierzchniami, ale, jeśli możesz to sobie wyobrazić, czymś pomiędzy. Wraz ze wzrostem rozmiaru zwiększa się również objętość fraktala, ale jego wymiar (wykładnik) nie jest liczbą całkowitą, ale wartością ułamkową, a zatem granica figury fraktalnej nie jest linią: przy dużym powiększeniu staje się wyraźna że jest zamazana i składa się ze spiral i loków, w niewielkim stopniu powtarzając skalę samej figury. Taka geometryczna prawidłowość nazywana jest niezmiennością skali lub samopodobieństwem. To ona określa ułamkowy wymiar figur fraktalnych.

Przed pojawieniem się geometrii fraktalnej nauka zajmowała się systemami zawartymi w trzech wymiarach przestrzennych. Dzięki Einsteinowi stało się jasne, że trójwymiarowa przestrzeń jest tylko modelem rzeczywistości, a nie samą rzeczywistością. W rzeczywistości nasz świat znajduje się w czterowymiarowym kontinuum czasoprzestrzeni.
Dzięki Mandelbrotowi stało się jasne, jak wygląda czterowymiarowa przestrzeń, mówiąc w przenośni, fraktalna twarz Chaosu. Benoit Mandelbrot odkrył, że czwarty wymiar obejmuje nie tylko pierwsze trzy wymiary, ale także (to bardzo ważne!) odstępy między nimi.

Geometria rekurencyjna (lub fraktalna) zastępuje euklidesową. Nowa nauka jest w stanie opisać prawdziwą naturę ciał i zjawisk. Geometria euklidesowa zajmowała się tylko sztucznymi, wyimaginowanymi obiektami należącymi do trzech wymiarów. Dopiero czwarty wymiar może je urzeczywistnić.

Ciecz, gaz, ciało stałe to trzy zwykłe fizyczne stany materii, które istnieją w trójwymiarowym świecie. Ale jaki jest wymiar kłębów dymu, chmur, a raczej ich granic, nieustannie zacieranych przez turbulentny ruch powietrza?

Zasadniczo fraktale dzieli się na trzy grupy:

Fraktale algebraiczne

Fraktale stochastyczne

fraktale geometryczne

Przyjrzyjmy się każdemu z nich.

Rozdział 2. Klasyfikacja fraktali

fraktale geometryczne

Benoit Mandelbrot zaproponował model fraktalny, który stał się już klasykiem i jest często używany zarówno do pokazania typowego przykładu samego fraktala, jak i do pokazania piękna fraktali, co również przyciąga badaczy, artystów i osoby po prostu zainteresowane.

Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne, ponieważ od razu widać samopodobieństwo w dowolnej skali obserwacji. W przypadku dwuwymiarowym takie fraktale można uzyskać, określając pewną linię łamaną, zwaną generatorem. W jednym kroku algorytmu każdy z segmentów tworzących linię łamaną zostaje zastąpiony generatorem linii łamanej w odpowiedniej skali. W wyniku niekończącego się powtarzania tej procedury (a dokładniej przy dochodzeniu do granicy) otrzymuje się krzywą fraktalną. Przy pozornej złożoności powstałej krzywej, jej ogólną postać nadaje jedynie kształt generatora. Przykładami takich krzywych są: krzywa Kocha (rys.7), krzywa Peano (rys.8), krzywa Minkowskiego.

Krzywa Kocha jest typowym fraktalem geometrycznym. Proces jego budowy wygląda następująco: bierzemy pojedynczy odcinek, dzielimy go na trzy równe części i zastępujemy środkowy odcinek trójkątem równobocznym bez tego odcinka. W efekcie powstaje linia łamana, składająca się z czterech ogniw o długości 1/3. W kolejnym kroku powtarzamy operację dla każdego z czterech wynikowych linków i tak dalej…

Krzywa graniczna to Krzywa Kocha.

Śnieżynka Koch. Wykonując podobną transformację na bokach trójkąta równobocznego, można uzyskać fraktalny obraz płatka śniegu Kocha.

Innym prostym przedstawicielem fraktala geometrycznego jest: Plac Sierpińskiego. Jest zbudowany dość prosto: kwadrat jest podzielony prostymi liniami równoległymi do jego boków na 9 równych kwadratów. Centralny plac jest usuwany z placu. Okazuje się, że zestaw składający się z 8 pozostałych kwadratów „pierwszego rzędu”. Robiąc to samo z każdym z kwadratów pierwszego rzędu otrzymujemy zestaw składający się z 64 kwadratów drugiego rzędu. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy ciąg nieskończony, czyli kwadrat Sierpińskiego.

Fraktale algebraiczne

To największa grupa fraktali. Fraktale algebraiczne mają swoją nazwę, ponieważ są budowane przy użyciu prostych formuł algebraicznych.

Uzyskuje się je za pomocą procesów nieliniowych w n przestrzenie wymiarowe. Wiadomo, że nieliniowe układy dynamiczne mają kilka stanów stabilnych. Stan, w jakim znajduje się układ dynamiczny po określonej liczbie iteracji, zależy od jego stanu początkowego. Dlatego każdy stan stabilny (lub, jak mówią, atraktor) ma pewien obszar stanów początkowych, z których system koniecznie wpadnie w rozważane stany końcowe. W ten sposób przestrzeń fazowa układu dzieli się na obszary atrakcji atraktory. Jeżeli przestrzeń fazowa jest dwuwymiarowa, to przez zabarwienie obszarów przyciągania różnymi kolorami można uzyskać portret fazy kolorów ten system (proces iteracyjny). Zmieniając algorytm wyboru koloru, możesz uzyskać złożone wzory fraktalne z fantazyjnymi wielokolorowymi wzorami. Niespodzianką dla matematyków była możliwość generowania bardzo złożonych struktur przy użyciu prymitywnych algorytmów.

Jako przykład rozważmy zestaw Mandelbrota. Jest zbudowany z liczb zespolonych.

Część granicy zbioru Mandelbrota, powiększona 200 razy.

Zestaw Mandelbrota zawiera punkty, które podczasnieskończony liczba iteracji nie dochodzi do nieskończoności (punkty, które są czarne). Punkty należące do granicy zbioru(w tym miejscu powstają struktury złożone) idą w nieskończoność w skończonej liczbie iteracji, a punkty leżące poza zbiorem idą w nieskończoność po kilku iteracjach (białe tło).

Przykładem innego fraktala algebraicznego jest zbiór Julii. Istnieją 2 odmiany tego fraktala. Co zaskakujące, zbiory Julii powstają według tego samego wzoru co zbiór Mandelbrota. Zestaw Julia został wymyślony przez francuskiego matematyka Gastona Julię, od którego pochodzi nazwa zestawu.

Interesujący fakt niektóre fraktale algebraiczne do złudzenia przypominają obrazy zwierząt, roślin i innych obiektów biologicznych, przez co nazywane są biomorfami.

Fraktale stochastyczne

Inną dobrze znaną klasą fraktali są fraktale stochastyczne, które uzyskuje się, jeśli którykolwiek z jego parametrów zostanie losowo zmieniony w procesie iteracyjnym. Skutkuje to obiektami bardzo podobnymi do naturalnych - asymetryczne drzewa, wcięte linie brzegowe itp.

Typowym przedstawicielem tej grupy fraktali jest „plazma”.

Aby go zbudować, bierze się prostokąt i określa kolor dla każdego z jego rogów. Następnie znajduje się centralny punkt prostokąta i pomalowany na kolor równy średniej arytmetycznej kolorów w rogach prostokąta plus pewna liczba losowa. Im większa liczba losowa, tym bardziej „podarty” będzie obraz. Jeśli przyjmiemy, że kolorem punktu jest wysokość nad poziomem morza, zamiast plazmy otrzymamy pasmo górskie. Na tej zasadzie w większości programów modeluje się góry. Za pomocą algorytmu podobnego do plazmy budowana jest mapa wysokości, nakładane są na nią różne filtry, nakładana jest tekstura i gotowe są fotorealistyczne góry.

Jeśli spojrzysz na ten fraktal w sekcji, zobaczymy, że ten fraktal jest obszerny i ma „chropowatość”, tylko z powodu tej „chropowatości” istnieje bardzo ważne zastosowanie tego fraktala.

Powiedzmy, że chcesz opisać kształt góry. Zwykłe figury z geometrii euklidesowej nie pomogą tutaj, ponieważ nie uwzględniają topografii powierzchni. Ale łącząc geometrię konwencjonalną z geometrią fraktalną, można uzyskać bardzo „szorstkość” góry. Plazmę trzeba nałożyć na zwykły stożek i uzyskamy relief góry. Takie operacje można wykonywać z wieloma innymi obiektami w przyrodzie, dzięki fraktalom stochastycznym można opisać samą przyrodę.

Porozmawiajmy teraz o fraktalach geometrycznych.

Rozdział 3 „Fraktal Geometria Natury”

Dlaczego geometrię często określa się jako „zimną” i „suchą”? Jednym z powodów jest jej niezdolność do opisania kształtu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury to nie kule, góry to nie stożki, linie brzegowe to nie koła, drzewo kora nie jest gładka, ale złożoność na zupełnie innym poziomie. Liczba różnych skal długości obiektów naturalnych dla wszystkich celów praktycznych jest nieskończona.

(Benoit Mandelbrot "Fraktal Geometria Natury" ).

Piękno fraktali jest dwojakie: zachwyca oko, o czym świadczy choćby ogólnoświatowa wystawa obrazów fraktalnych, zorganizowana przez grupę matematyków z Bremy pod przewodnictwem Peitgena i Richtera. Później eksponaty tej wspaniałej wystawy zostały uchwycone na ilustracjach do książki „Piękno fraktali” tych samych autorów. Ale jest jeszcze inny, bardziej abstrakcyjny lub wzniosły aspekt piękna fraktali, otwarty, według R. Feynmana, tylko na mentalne spojrzenie teoretyka, w tym sensie fraktale są piękne pięknem trudnego problemu matematycznego. Benoit Mandelbrot wskazywał swoim współczesnym (i prawdopodobnie jego potomkom) niefortunną lukę w Elementach Euklidesa, zgodnie z którą, nie zauważając tego pominięcia, ludzkość przez prawie dwa tysiąclecia rozumiała geometrię otaczającego świata i uczyła się matematycznego rygoru prezentacja. Oczywiście oba aspekty piękna fraktali są ze sobą ściśle powiązane i nie wykluczają, lecz wzajemnie się uzupełniają, choć każdy z nich jest samowystarczalny.

Fraktalna geometria przyrody, według Mandelbrota, jest prawdziwą geometrią, która spełnia definicję geometrii zaproponowaną w „Programie Erlangen” F. Kleina. Faktem jest, że przed pojawieniem się geometrii nieeuklidesowej N.I. Łobaczewski - L. Bolyai, była tylko jedna geometria - ta, która została przedstawiona w "Początkach", a pytanie, czym jest geometria i która z geometrii jest geometrią świata rzeczywistego, nie powstało i nie mogło powstać. Ale wraz z pojawieniem się kolejnej geometrii pojawiło się pytanie, czym jest geometria w ogóle i która z wielu geometrii odpowiada światu rzeczywistemu. Według F. Kleina geometria bada takie własności obiektów, które są niezmienne w przekształceniach: Euklidesowe - niezmienniki grupy ruchów (transformacje, które nie zmieniają odległości między dowolnymi dwoma punktami, tj. reprezentujące superpozycję przesunięć równoległych i obrotów z lub bez zmiany orientacji) , geometria Lobachevsky-Bolyai - niezmienniki grupy Lorentza. Geometria fraktalna zajmuje się badaniem niezmienników grupy przekształceń samoafinicznych, tj. własności wyrażone prawami potęgowymi.

Jeśli chodzi o zgodność ze światem rzeczywistym, geometria fraktalna opisuje bardzo szeroką klasę naturalnych procesów i zjawisk, a zatem możemy za B. Mandelbrotem słusznie mówić o fraktalnej geometrii przyrody. Nowość - obiekty fraktalne mają niezwykłe właściwości. Długości, pola i objętości niektórych fraktali są równe zeru, inne kierują się w nieskończoność.

Natura często tworzy niesamowite i piękne fraktale, o doskonałej geometrii i takiej harmonii, że po prostu zamarzasz z podziwem. A oto ich przykłady:

muszle morskie

Błyskawica podziwiając ich piękno. Fraktale tworzone przez błyskawice nie są przypadkowe ani regularne.

fraktalny kształt podgatunek kalafiora(Brassica cauliflora). Ten szczególny rodzaj to szczególnie symetryczny fraktal.

Paproć to także dobry przykład fraktala wśród flory.

Pawie wszyscy słyną z barwnego upierzenia, w którym kryją się stałe fraktale.

Lód, wzory mrozu na oknach też są fraktale

Z powiększonego obrazu ulotka, zanim gałęzie drzew- we wszystkim można znaleźć fraktale

Fraktale są wszędzie i wszędzie w otaczającej nas przyrodzie. Cały wszechświat zbudowany jest według zaskakująco harmonijnych praw z matematyczną precyzją. Czy po tym można pomyśleć, że nasza planeta jest przypadkowym sprzęgiem cząstek? Prawie wcale.

Rozdział 4

Niektóre z najpotężniejszych zastosowań fraktali leżą w: Grafika komputerowa. To jest fraktalna kompresja obrazów. Współczesna fizyka i mechanika dopiero zaczynają badać zachowanie obiektów fraktalnych.

Zaletami algorytmów fraktalnej kompresji obrazu są bardzo mały rozmiar spakowanego pliku i krótki czas odzyskiwania obrazu. Obrazy spakowane fraktalnie można skalować bez efektu pikselizacji (słaba jakość obrazu - duże kwadraty). Ale proces kompresji zajmuje dużo czasu, a czasami trwa godzinami. Algorytm stratnego pakowania fraktalnego pozwala ustawić poziom kompresji, podobny do formatu jpeg. Algorytm opiera się na wyszukiwaniu dużych fragmentów obrazu podobnych do niektórych małych fragmentów. I tylko który kawałek jest podobny do którego jest zapisywany w pliku wyjściowym. Podczas kompresji zwykle stosuje się siatkę kwadratową (kawałki są kwadratami), co prowadzi do lekkiej kanciastości podczas przywracania obrazu, siatka heksagonalna jest pozbawiona takiej wady.

Firma Iterated opracowała nowy format obrazu „Sting”, który łączy w sobie bezstratną kompresję fraktalną i „wave” (np. jpeg). Nowy format pozwala na tworzenie obrazów z możliwością późniejszego wysokiej jakości skalowania, a objętość plików graficznych to 15-20% objętości nieskompresowanych obrazów.

W mechanice i fizyce fraktale są używane ze względu na unikalną właściwość powtarzania konturów wielu naturalnych obiektów. Fraktale pozwalają aproksymować drzewa, powierzchnie górskie i szczeliny z większą dokładnością niż aproksymacje za pomocą odcinków linii lub wielokątów (przy tej samej ilości przechowywanych danych). Modele fraktalne, podobnie jak obiekty naturalne, mają „chropowatość”, a właściwość ta zostaje zachowana przy dowolnie dużym wzroście modelu. Obecność miary jednorodnej na fraktalach umożliwia zastosowanie całkowania, teorii potencjału, aby użyć ich zamiast standardowych obiektów w już zbadanych równaniach.

Geometria fraktalna służy również do projektowanie urządzeń antenowych,. Po raz pierwszy użył tego amerykański inżynier Nathan Cohen, który mieszkał wówczas w centrum Bostonu, gdzie instalowanie anten zewnętrznych na budynkach było zabronione. Cohen wyciął kształt krzywej Kocha z folii aluminiowej, a następnie wkleił go na kartkę papieru przed przymocowaniem do odbiornika. Okazało się, że taka antena działa nie gorzej niż konwencjonalna. I chociaż fizyczne zasady takiej anteny nie zostały jeszcze zbadane, nie przeszkodziło to Cohenowi w założeniu własnej firmy i rozpoczęciu ich seryjnej produkcji. W tej chwili amerykańska firma „Fractal Antenna System” opracowała nowy typ anteny. Teraz możesz przestać używać wystających anten zewnętrznych w telefonach komórkowych. Tak zwana antena fraktalna znajduje się bezpośrednio na płycie głównej wewnątrz urządzenia.

Istnieje również wiele hipotez dotyczących wykorzystania fraktali – np. układ limfatyczny, krwionośny, płuca i wiele innych również ma właściwości fraktali.

Rozdział 5. Praca praktyczna.

Najpierw skupmy się na fraktalach „Naszyjnik”, „Zwycięstwo” i „Kwadrat”.

Pierwszy - "Naszyjnik"(rys. 7). Koło jest inicjatorem tego fraktala. Ten okrąg składa się z pewnej liczby takich samych kręgów, ale o mniejszych rozmiarach, a sam jest jednym z kilku takich samych kręgów, ale o większych rozmiarach. Tak więc proces edukacji jest nieskończony i może przebiegać zarówno w jednym, jak iw przeciwnym kierunku. Tych. figurę można powiększyć, biorąc tylko jeden mały łuk, lub zmniejszyć, biorąc pod uwagę jej konstrukcję z mniejszych.

Ryż. 7.

Fraktal „Naszyjnik”

Drugi fraktal to "Zwycięstwo"(rys. 8). Otrzymał to imię, ponieważ zewnętrznie przypomina łacińską literę „V”, czyli „zwycięstwo”-zwycięstwo. Ten fraktal składa się z pewnej liczby małych „v”, które tworzą jedno duże „V”, a w lewej połowie, w której małe są umieszczone tak, aby ich lewe połówki tworzyły jedną linię prostą, zbudowana jest prawa część w ten sam sposób. Każde z tych „v” jest zbudowane w ten sam sposób i kontynuuje to do nieskończoności.

Rys.8. Fraktal „Zwycięstwo”

Trzeci fraktal to „Kwadrat” (ryc. 9). Każdy z jego boków składa się z jednego rzędu komórek w kształcie kwadratów, których boki również reprezentują rzędy komórek i tak dalej.

Ryc. 9. Fraktal „Kwadrat”

Fraktal nazwano „Różą” (ryc. 10), ze względu na jego zewnętrzne podobieństwo do tego kwiatu. Konstrukcja fraktala wiąże się z konstruowaniem szeregu koncentrycznych okręgów, których promień zmienia się proporcjonalnie do danego stosunku (w tym przypadku Rm / Rb = ¾ = 0,75.). Następnie w każdy okrąg wpisany jest sześciokąt foremny, którego bok jest równy promieniowi koła opisanego wokół niego.

Ryż. 11. Fraktal „Róża *”

Następnie zwracamy się do pięciokąta foremnego, w którym rysujemy jego przekątne. Następnie w pięciokącie uzyskanym na przecięciu odpowiednich segmentów ponownie rysujemy przekątne. Kontynuujmy ten proces do nieskończoności i uzyskajmy fraktal „Pentagramu” (ryc. 12).

Wprowadźmy element kreatywności, a nasz fraktal przyjmie formę bardziej wizualnego obiektu (rys. 13).

Ryż. 12. Fraktal „Pentagram”.

Ryż. 13. Fraktal „Pentagram *”

Ryż. 14 fraktali „Czarna dziura”

Eksperyment nr 1 „Drzewo”

Teraz, kiedy rozumiem, czym jest fraktal i jak go zbudować, spróbowałem stworzyć własne obrazy fraktalne. W Adobe Photoshop stworzyłem mały podprogram lub akcję, osobliwością tej akcji jest to, że powtarza czynności, które wykonuję, i tak otrzymuję fraktal.

Na początek stworzyłem tło dla naszego przyszłego fraktala o rozdzielczości 600 na 600. Następnie narysowałem na tym tle 3 linie - podstawę naszego przyszłego fraktala.

OD Następnym krokiem jest napisanie skryptu.

zduplikowana warstwa ( warstwa > duplikat) i zmień typ mieszania na „ Ekran" .

Nazwijmy go ” fr1". Powiel tę warstwę (" fr1") jeszcze 2 razy.

Teraz musimy przejść do ostatniej warstwy (fr3) i połącz go dwukrotnie z poprzednim ( Ctrl+e). Zmniejsz jasność warstwy ( Obraz > Dopasowania > Jasność/Kontrast , ustawienie jasności 50% ). Ponownie połącz z poprzednią warstwą i odetnij krawędzie całego rysunku, aby usunąć niewidoczne części. Skopiowałem ten obraz, zmniejszyłem go i wkleiłem na inny, zmieniając kolor.

W ostatnim kroku skopiowałem ten obraz i wkleiłem go pomniejszony i obrócony. Oto efekt końcowy.

Wniosek

Praca ta jest wprowadzeniem do świata fraktali. Rozważyliśmy tylko najmniejszą część tego, czym są fraktale, na podstawie jakich zasad są zbudowane.

Grafika fraktalna to nie tylko zbiór samopowtarzających się obrazów, to model struktury i zasady każdego bytu. Całe nasze życie reprezentują fraktale. Z nich składa się cała otaczająca nas przyroda. Należy zauważyć, że fraktale są szeroko stosowane w grach komputerowych, gdzie tereny to często obrazy fraktalne oparte na trójwymiarowych modelach złożonych zbiorów. Fraktale znacznie ułatwiają rysowanie grafiki komputerowej, za pomocą fraktali powstaje wiele efektów specjalnych, różne bajeczne i niesamowite obrazy itp. Również za pomocą geometrii fraktalnej rysuje się drzewa, chmury, wybrzeża i całą inną naturę. Grafika fraktalna jest wszędzie potrzebna, a rozwój „technologii fraktalnych” to dziś jedno z najważniejszych zadań.

W przyszłości planuję nauczyć się budować fraktale algebraiczne, kiedy będę bardziej szczegółowo badać liczby zespolone. Chcę również spróbować zbudować swój obraz fraktalny w języku programowania Pascal za pomocą cykli.

Należy zwrócić uwagę na wykorzystanie fraktali w technice komputerowej, oprócz prostego budowania pięknych obrazów na ekranie komputera. Fraktale w technice komputerowej znajdują zastosowanie w następujących obszarach:

1. Kompresuj obrazy i informacje

2. Ukrywanie informacji w obrazie, w dźwięku, ...

3. Szyfrowanie danych za pomocą algorytmów fraktalnych

4. Tworzenie muzyki fraktalnej

5. Modelowanie systemu

W naszej pracy nie są podane wszystkie obszary ludzkiej wiedzy, w których teoria fraktali znalazła zastosowanie. Chcemy tylko powiedzieć, że od powstania teorii minęło nie więcej niż jedna trzecia wieku, ale w tym czasie fraktale dla wielu badaczy stały się nagłym jasnym światłem w nocy, które oświetlało nieznane dotąd fakty i prawidłowości w specyficzny sposób. obszary danych. Wykorzystując teorię fraktali, zaczęli wyjaśniać ewolucję galaktyk i rozwój komórki, powstawanie gór i powstawanie chmur, ruch cen na giełdzie oraz rozwój społeczeństwa i rodziny. Być może początkowo ta pasja do fraktali była nawet zbyt burzliwa i próby wyjaśnienia wszystkiego za pomocą teorii fraktali były nieuzasadnione. Ale bez wątpienia ta teoria ma prawo istnieć i żałujemy, że ostatnio jakoś została zapomniana i pozostała losem elity. Przygotowując tę pracę, bardzo interesujące było dla nas znalezienie zastosowań TEORII w PRAKTYCE. Bo bardzo często pojawia się poczucie, że wiedza teoretyczna odstaje od rzeczywistości życia.

W ten sposób pojęcie fraktali staje się nie tylko częścią „czystej” nauki, ale także elementem ludzkiej kultury. Nauka fraktalna jest wciąż bardzo młoda i ma przed sobą wspaniałą przyszłość. Piękno fraktali jest dalekie od wyczerpania i nadal da nam wiele arcydzieł - tych, które cieszą oko, i tych, które przynoszą prawdziwą przyjemność umysłowi.

10. Referencje

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktale i multifraktale. RHD 2001 .

Vitolin D. Wykorzystanie fraktali w grafice komputerowej. // Computerworld-Rosja.-1995

Mandelbrot B. Samoafiniczne zbiory fraktali, „Fraktale w fizyce”. M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Fraktalna geometria przyrody. - M.: "Instytut Badań Komputerowych", 2002.

Morozow n.e. Wprowadzenie do teorii fraktali. Niżny Nowogród: Wydawnictwo Niżegorod. uniwersytet 1999

Paytgen H.-O., Richter P.H. Piękno fraktali. - M.: "Mir", 1993.

Zasoby internetowe

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fraktale/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Ministerstwo Edukacji i Nauki Republiki Kazachstanu

Państwowy Uniwersytet Techniczny w Karagandzie

Dział ____CAD______

NOTATKA WYJAŚNIAJĄCA

do pracy semestralnej

Według dyscypliny: „Teoria systemów stosowanych”

Temat: „Fraktale”

Kierownik

Rozgałęzienia rurek tchawicy, liście na drzewach, żyły na ramieniu, wzburzona i wijąca się rzeka, giełda - to wszystko są fraktale. Od przedstawicieli starożytnych cywilizacji po Michaela Jacksona naukowcy, matematycy i artyści, podobnie jak wszyscy pozostali mieszkańcy tej planety, byli zafascynowani fraktalami i wykorzystywali je w swojej pracy.

Programiści i informatycy również szaleją na punkcie fraktali, ponieważ fraktale o nieskończonej złożoności i pięknie można wygenerować za pomocą prostych formuł na prostych komputerach domowych. Odkrycie fraktali było odkryciem nowej estetyki sztuki, nauki i matematyki oraz rewolucją w ludzkim postrzeganiu świata.

2. Część teoretyczna

2.1 Pojęcie „fraktala”

Koncepcje geometrii fraktalnej i fraktalnej, które pojawiły się pod koniec lat 70., od połowy lat 80. na stałe zadomowiły się w codziennym życiu matematyków i programistów. Słowo fraktal wywodzi się z łacińskiego fractus iw tłumaczeniu oznacza fragmenty. Został zaproponowany przez Benoita Mandelbrota w 1975 roku, aby odnieść się do nieregularnych, ale samopodobnych struktur, które badał. Narodziny geometrii fraktalnej są zwykle związane z wydaniem w 1977 roku książki Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature. W swoich pracach wykorzystywał wyniki naukowe innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Ale dopiero w naszych czasach udało się połączyć ich pracę w jeden system.

Rola fraktali w dzisiejszej grafice komputerowej jest dość duża. Z pomocą przychodzą na przykład wtedy, gdy za pomocą kilku współczynników trzeba zdefiniować linie i powierzchnie o bardzo złożonym kształcie. Z punktu widzenia grafiki komputerowej geometria fraktalna jest niezbędna do generowania sztucznych chmur, gór i powierzchni morza. W rzeczywistości znaleziono sposób na łatwe przedstawienie złożonych obiektów nieeuklidesowych, których obrazy są bardzo podobne do naturalnych.

Jedną z głównych właściwości fraktali jest samopodobieństwo. W najprostszym przypadku niewielka część fraktala zawiera informacje o całym fraktalu.

2.2 Zastosowanie fraktali

Systemy komputerowe.

Mechanika płynów.

Badanie turbulencji w przepływach bardzo dobrze dostosowuje się do fraktali. Przepływy turbulentne są chaotyczne, a zatem trudne do dokładnego modelowania. I tu pomaga przejście do reprezentacji fraktalnej, co znacznie ułatwia pracę inżynierom i fizykom, pozwalając im lepiej zrozumieć dynamikę złożonych

Płomienie można również modelować za pomocą fraktali.

Materiały porowate są dobrze reprezentowane w formie fraktalnej ze względu na fakt, że mają bardzo złożoną geometrię. Jest stosowany w nauce naftowej.

Telekomunikacja.

Do przesyłania danych na duże odległości wykorzystywane są anteny fraktalne, co znacznie zmniejsza ich rozmiar i wagę.

Fizyka powierzchni.

Fraktale służą do opisu krzywizny powierzchni. Nierówna powierzchnia charakteryzuje się połączeniem dwóch różnych fraktali.

Medycyna.

1. Oddziaływania biosensorów

2. Bicie serca

Biologia.

Modelowanie procesów chaotycznych, w szczególności w opisie modeli populacyjnych.

2.3 Teoria chaosu

Teoria chaosu jest doktryną złożonych nieliniowych układów dynamicznych. Prawdziwy stan rzeczy jest rozważany poniżej jako odpowiedź na wiele błędnych poglądów na temat tej dziedziny nauki.

2.3.1 Wprowadzenie do teorii chaosu

Czym jest teoria chaosu?

Formalnie teoria chaosu jest definiowana jako doktryna złożonych nieliniowych układów dynamicznych. To właśnie oznacza termin złożony, a termin nieliniowy oznacza rekurencję i algorytmy z wyższej matematyki, a w końcu dynamiczny oznacza niestały i nieokresowy. Tak więc teoria chaosu jest nauką o stale zmieniających się złożonych systemach, nie opartą na matematycznych pojęciach rekurencji, czy to w formie procesu rekurencyjnego, czy zestawu równań różniczkowych, które modelują układ fizyczny.

2.3.2 Teoria chaosu o nieporządku

Najczęstszą niespójnością jest to, że ludzie zakładają, że teoria chaosu jest teorią o nieporządku. Nic nie może być tak dalekie od prawdy! Nie jest to obalenie determinizmu ani stwierdzenie, że uporządkowane systemy są niemożliwe; nie jest to zaprzeczenie dowodom eksperymentalnym ani stwierdzenie o daremności złożonych systemów. Chaos w teorii chaosu to porządek - i to nie tylko porządek, ale istota porządku.

Prawdą jest, że teoria chaosu twierdzi, że małe zmiany mogą mieć ogromne konsekwencje. Ale jednym z głównych pojęć w teorii jest niemożność dokładnego przewidzenia stanu systemu. Ogólnie rzecz biorąc, zadanie modelowania ogólnego zachowania systemu jest całkiem wykonalne, a nawet proste. Tak więc teoria chaosu skupia się nie na nieporządku systemu – dziedzicznej nieprzewidywalności systemu – ale na porządku przez niego odziedziczonym – wspólnym zachowaniu podobnych systemów.

Dlatego błędem byłoby twierdzić, że teoria chaosu dotyczy nieporządku. Aby zilustrować to przykładem, weźmy atraktor Lorenza. Opiera się na trzech równaniach różniczkowych, trzech stałych i trzech warunkach początkowych.

Rysunek 1. Atraktor Lorentza.

Atraktor reprezentuje zachowanie gazu w dowolnym momencie, a jego stan w danym momencie zależy od jego stanu w czasie poprzedzającym dany. Jeśli dane wejściowe zmienią się nawet o bardzo małe wartości, powiedzmy, że wartości te są na tyle małe, że są współmierne do udziału poszczególnych atomów w liczbie Avogadro (co jest bardzo małą liczbą w porównaniu do wartości rzędu 1024), sprawdzenie stanu atraktora pokaże zupełnie inne liczby. Dzieje się tak, ponieważ małe różnice są powiększane przez rekurencję.

Mimo to wykres atraktora będzie wyglądał dość podobnie. Oba systemy będą miały w każdym momencie zupełnie różne wartości, ale wykres atraktora pozostanie taki sam, ponieważ wyraża ogólne zachowanie systemu.

Teoria chaosu mówi, że złożone systemy nieliniowe są dziedzicznie nieprzewidywalne, ale jednocześnie teoria chaosu twierdzi, że sposób wyrażania takich nieprzewidywalnych systemów okazuje się być prawdziwy nie w dokładnych równościach, ale w reprezentacjach zachowania systemu - w grafach dziwnych atraktorów lub fraktali. Tak więc teoria chaosu, którą wielu uważa za nieprzewidywalność, okazuje się jednocześnie nauką o przewidywalności nawet w najbardziej niestabilnych systemach.

2.3.3 Zastosowanie teorii chaosu w świecie rzeczywistym

Kiedy pojawiają się nowe teorie, każdy chce wiedzieć, co jest w nich dobrego. Więc co jest dobrego w teorii chaosu?

Przede wszystkim teoria chaosu jest teorią. Oznacza to, że większość z nich jest wykorzystywana bardziej jako podstawa naukowa niż jako bezpośrednio stosowana wiedza. Teoria chaosu to bardzo dobry sposób na spojrzenie na wydarzenia na świecie inaczej niż bardziej tradycyjny, ściśle deterministyczny pogląd, który dominuje w nauce od czasów Newtona. Widzowie, którzy oglądali Park Jurajski, bez wątpienia obawiają się, że teoria chaosu może w znacznym stopniu wpłynąć na ludzkie postrzeganie świata, a w rzeczywistości teoria chaosu jest użyteczna jako sposób interpretacji danych naukowych w nowy sposób. Zamiast tradycyjnych wykresów X-Y, naukowcy mogą teraz interpretować diagramy przestrzenno-fazowe, które – zamiast opisywać dokładną pozycję dowolnej zmiennej w określonym momencie – reprezentują ogólne zachowanie systemu. Zamiast przyglądać się dokładnym równościom na podstawie danych statystycznych, możemy teraz przyjrzeć się systemom dynamicznym o zachowaniu zbliżonym do danych statycznych – tj. systemy z podobnymi atraktorami. Teoria chaosu zapewnia solidne ramy dla rozwoju wiedzy naukowej.

Jednak z powyższego nie wynika, że teoria chaosu nie ma zastosowania w prawdziwym życiu.

Techniki teorii chaosu zostały wykorzystane do modelowania systemów biologicznych, które są niewątpliwie jednymi z najbardziej chaotycznych systemów, jakie można sobie wyobrazić. Układy równań dynamicznych zostały wykorzystane do modelowania wszystkiego, od wzrostu populacji i epidemii po nieregularne bicie serca.

W rzeczywistości można zamodelować prawie każdy chaotyczny system - giełda generuje krzywe, które można łatwo analizować za pomocą dziwnych atraktorów, w przeciwieństwie do dokładnych stosunków; proces spadania kropli z cieknącego kranu wydaje się przypadkowy, gdy analizuje się go gołym uchem, ale jeśli jest przedstawiany jako dziwny atraktor, ujawnia się nadprzyrodzony porządek, którego nie można by oczekiwać od tradycyjnych środków.

Fraktale są wszędzie, najbardziej widoczne w programach graficznych, takich jak odnosząca sukcesy linia produktów Fractal Design Painter. Techniki kompresji danych fraktalnych są wciąż opracowywane, ale obiecują niesamowite wyniki, takie jak współczynnik kompresji 600:

1. Branża efektów specjalnych w filmach miałaby znacznie mniej realistyczne elementy krajobrazu (chmury, skały i cienie) bez technologii grafiki fraktalnej.

I oczywiście teoria chaosu daje ludziom zaskakująco interesujący sposób na zainteresowanie matematyką, jedną z najbardziej niepopularnych obecnie dziedzin wiedzy.

2.3.4 Ruch Browna i jego zastosowania

Ruch Browna to na przykład przypadkowy i chaotyczny ruch zawieszonych w wodzie cząstek kurzu. Ten rodzaj ruchu jest prawdopodobnie najbardziej praktycznym aspektem geometrii fraktalnej. Losowy ruch Browna tworzy wzorzec częstotliwości, który można wykorzystać do przewidywania rzeczy obejmujących duże ilości danych i statystyk. Dobrym przykładem są ceny wełny, które Mandelbrot przewidział za pomocą ruchów Browna.

Rysunek 2. Wykres częstotliwości.

Diagramy częstotliwości utworzone przez wykreślanie liczb Browna można również przekonwertować na muzykę. Oczywiście ten rodzaj muzyki fraktalnej wcale nie jest muzyczny i może naprawdę zmęczyć słuchacza. Losowo wykreślając liczby Browna, możesz uzyskać fraktal pyłu, taki jak ten pokazany tutaj jako przykład.

Oprócz używania ruchu Browna do tworzenia fraktali z fraktali, może być również używany do tworzenia krajobrazów. Wiele filmów science fiction, takich jak Star Trek, wykorzystuje technikę ruchów Browna do tworzenia obcych krajobrazów, takich jak wzgórza i topologiczne obrazy wysokich płaskowyżów. Techniki te są bardzo skuteczne i można je znaleźć w książce Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature. Mandelbrot użył linii Browna do stworzenia widoku z lotu ptaka fraktalnych linii brzegowych i map wysp (które w rzeczywistości były po prostu losowo narysowanymi kropkami).

Rysunek 3. Ulga.

2.4 Całkowanie deterministycznych fraktali i chaosu

Z powyższych przykładów fraktali deterministycznych widać, że nie wykazują one żadnego chaotycznego zachowania i są w rzeczywistości bardzo przewidywalne. Jak wiadomo, teoria chaosu wykorzystuje fraktal do odtwarzania lub znajdowania wzorców w celu przewidywania zachowania wielu systemów w przyrodzie, takich jak na przykład problem migracji ptaków.

Zobaczmy teraz, jak to się właściwie dzieje. Korzystając z fraktala zwanego drzewem pitagorejskim, nie omawianego tutaj (który nawiasem mówiąc nie jest wymyślony przez Pitagorasa i nie ma nic wspólnego z twierdzeniem Pitagorasa) i ruchu Browna (który jest chaotyczny), spróbujmy naśladować prawdziwe drzewo . Kolejność liści i gałęzi na drzewie jest dość złożona i losowa, i prawdopodobnie nie jest czymś wystarczająco prostym, co mógłby emulować krótki, 12-wierszowy program.

Najpierw musisz wygenerować drzewo pitagorejskie (rysunek 4). Efekt przypomina te stare przedszkolne rysunki... Więc pogrubmy lufę. Na tym etapie ruchy Browna nie są używane. Zamiast tego, każdy segment linii stał się teraz linią symetrii prostokąta, który staje się pniem, a gałęzie na zewnątrz.

Rysunek 4. Drzewo pitagorejskie

Ale wynik nadal wygląda na zbyt formalny i uporządkowany. Drzewo jeszcze nie wygląda jak żywa istota. Spróbujmy zastosować część wiedzy z zakresu fraktali deterministycznych, którą właśnie nabyliśmy.

Rysunek 5

Teraz możesz użyć ruchu Browna, aby stworzyć losową losowość, która zmienia liczby, zaokrąglając je do dwóch cyfr. Oryginał używał 39-bitowych liczb dziesiętnych. Wynik (po lewej) nie wygląda jak drzewo. Zamiast tego wygląda jak sprytny haczyk na ryby!

Rysunek 6

Może zaokrąglenie do 2 cyfr to za dużo? Zastosuj ponownie ruch Browna, tym razem zaokrąglając do 7 cyfr. Wynik nadal wygląda jak haczyk na ryby, ale tym razem w formie spirali logarytmicznej!

Rysunek 7

Ponieważ lewa strona (zawierająca wszystkie liczby nieparzyste) nie powoduje efektu haka, losowość spowodowana ruchem Browna jest stosowana dwukrotnie do wszystkich liczb po lewej stronie i tylko raz do liczb po prawej stronie. Może to wystarczy, aby wyeliminować lub zmniejszyć efekt spirali logarytmicznej. Tak więc liczby są zaokrąglane do 24 cyfr. Tym razem rezultatem jest ładnie wyglądająca skomputeryzowana, chaotyczna emulacja prawdziwego drzewa.

Cyfra 8

2.5 Rodzaje fraktali

Krata Sierpińskiego.

Jest to jeden z fraktali, z którymi Mandelbrot eksperymentował podczas opracowywania koncepcji wymiarów fraktalnych i iteracji. Trójkąty utworzone przez połączenie punktów środkowych większego trójkąta są wycinane z trójkąta głównego, tworząc trójkąt z większą liczbą otworów. W tym przypadku inicjatorem jest duży trójkąt, a szablonem jest operacja wycięcia trójkątów podobnych do tego większego. Możesz również uzyskać wersję 3D trójkąta, używając zwykłego czworościanu i wycinając mniejsze czworościany. Wymiar takiego fraktala wynosi ln3/ln2 = 1,584962501.

Aby uzyskać dywan Sierpińskiego, bierzemy kwadrat, dzielimy go na dziewięć kwadratów i wycinamy środkowy. To samo zrobimy z pozostałymi, mniejszymi kwadratami. W końcu powstaje płaska siatka fraktalna, która nie ma powierzchni, ale ma nieskończone połączenia. W swojej przestrzennej formie gąbka Sierpińskiego przekształca się w system form przelotowych, w którym każdy element przelotowy jest nieustannie zastępowany przez swój własny rodzaj. Ta struktura jest bardzo podobna do fragmentu tkanki kostnej. Kiedyś takie powtarzające się konstrukcje staną się elementem konstrukcji budowlanych. Mandelbrot uważa, że ich statyka i dynamika zasługują na dokładne zbadanie.

Rysunek 9. Krata Sierpińskiego.

Rysunek 10. Gąbka Sierpińskiego.

Trójkąt Sierpińskiego.

Nie myl tego fraktala z siatką Sierpińskiego. To dwa zupełnie różne obiekty. W tym fraktalu inicjator i generator są takie same. Z każdą iteracją do każdego rogu generatora dodawana jest mniejsza kopia inicjatora i tak dalej. Gdyby przy tworzeniu tego fraktala wykonano nieskończoną liczbę iteracji, zajmowałby on całą płaszczyznę, nie pozostawiając ani jednej dziury. Dlatego jego fraktalny wymiar wynosi ln9/ln3 = 2,0.

Rysunek 11. Trójkąt Sierpińskiego.

Krzywa Kocha.

Krzywa Kocha jest jednym z najbardziej typowych fraktali deterministycznych. Został wynaleziony w XIX wieku przez niemieckiego matematyka Helge von Kocha, który studiując prace Georga Kontora i Karla Weierstraße, natknął się na opisy dziwnych krzywych o nietypowym zachowaniu. Inicjator - linia bezpośrednia. Generator jest trójkątem równobocznym, którego boki są równe jednej trzeciej długości większego segmentu. Te trójkąty są wielokrotnie dodawane do środka każdego segmentu. W swoich badaniach Mandelbrot dużo eksperymentował z krzywymi Kocha i uzyskał figury, takie jak Wyspy Kocha, krzyże Kocha, płatki śniegu Kocha, a nawet trójwymiarowe reprezentacje krzywej Kocha, używając czworościanu i dodając mniejsze czworościany do każdej z jego ścian. Krzywa Kocha ma wymiar ln4/ln3 = 1.261859507.

Rysunek 12. Krzywa Kocha.

Fraktal Mandelbrota.

To NIE jest zestaw Mandelbrota, który często widujesz. Zbiór Mandelbrota oparty jest na równaniach nieliniowych i jest fraktalem złożonym. To też jest wariant krzywej Kocha, mimo że ten obiekt na nią nie wygląda. Inicjator i generator różnią się również od tych, które służą do tworzenia fraktali opartych na zasadzie krzywej Kocha, ale idea pozostaje ta sama. Zamiast dołączania trójkątów równobocznych do segmentu krzywej, kwadraty są dołączane do kwadratu. Ze względu na to, że fraktal ten zajmuje dokładnie połowę przydzielonej przestrzeni w każdej iteracji, ma on prosty fraktalny wymiar 3/2 = 1,5

Rysunek 13. Fraktal Mandelbrota.

Krzywa smoka.

Wynaleziona przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano, krzywa smoka, lub jak go nazywał, jest bardzo podobna do kiełbasy Minkowskiego. Używany jest prostszy inicjator, ale generator jest taki sam. Mandelbrot nazwał ten fraktal Rzeką Podwójnego Smoka. Jego wymiar fraktalny jest w przybliżeniu równy 1,5236.

Rysunek 14. Smok autorstwa Giuseppe Peano.

Zestaw Mandelbrota.

Zbiory Mandelbrota i Julii są prawdopodobnie dwoma najczęstszymi wśród złożonych fraktali. Można je znaleźć w wielu czasopismach naukowych, okładkach książek, pocztówkach i wygaszaczach ekranu komputerowego. Zestaw Mandelbrota, który został zbudowany przez Benoita Mandelbrota, jest prawdopodobnie pierwszym skojarzeniem, jakie ludzie mają, gdy słyszą słowo fraktal. Ten fraktal, przypominający kartę z dołączonymi do niej świecącym drzewem i okręgami, jest generowany przez prostą formułę

Zn+1=Zna+C, gdzie Z i C są liczbami zespolonymi, a a jest liczbą dodatnią.

Najczęściej spotykanym zbiorem Mandelbrota jest zbiór Mandelbrota drugiego stopnia, tj. a=2. Fakt, że zbiór Mandelbrota to nie tylko Zn+1=ZnІ+C, ale fraktal, którego wykładnikiem we wzorze może być dowolna liczba dodatnia, wprowadził w błąd wiele osób. Na tej stronie zobaczysz przykład zestawu Mandelbrota dla różnych wartości wykładnika a.

Popularny jest również proces Z=Z*tg (Z+C). Dzięki włączeniu funkcji stycznej uzyskuje się zbiór Mandelbrota otoczony obszarem przypominającym jabłko. Podczas korzystania z funkcji cosinus uzyskuje się efekt bąbelków powietrza. Krótko mówiąc, istnieje nieskończona liczba sposobów na dostosowanie zestawu Mandelbrota do tworzenia różnych pięknych obrazów.

Rysunek 15. Zbiór Mandelbrota.

Rysunek 16. Zbiór Mandelbrota dla a=3,5.

Dużo Julii.

Co zaskakujące, zbiory Julii powstają według tego samego wzoru co zbiór Mandelbrota. Zestaw Julia został wymyślony przez francuskiego matematyka Gastona Julię, od którego pochodzi nazwa zestawu. Pierwsze pytanie, które pojawia się po wizualnej znajomości zestawów Mandelbrota i Julii, brzmi: „jeśli oba fraktale są generowane przez tę samą formułę, dlaczego są tak różne? ” Najpierw spójrz na zdjęcia zestawu Julia. Co dziwne, istnieją różne rodzaje zestawów Julia. Podczas rysowania fraktala przy użyciu różnych punktów początkowych (aby rozpocząć proces iteracji), generowane są różne obrazy. Dotyczy to tylko zestawu Julia.

Chociaż nie widać tego na zdjęciu, fraktal Mandelbrota jest w rzeczywistości grupą fraktali Julii połączonych ze sobą. Każdy punkt (lub współrzędna) zbioru Mandelbrota odpowiada fraktalowi Julii. Zbiory Julii można generować wykorzystując te punkty jako wartości początkowe w równaniu Z=ZI+C. Ale to nie znaczy, że jeśli wybierzesz punkt na fraktalu Mandelbrota i go zwiększysz, możesz uzyskać fraktal Julii. Te dwa punkty są identyczne, ale tylko w sensie matematycznym. Jeśli weźmiemy ten punkt i obliczymy go według tego wzoru, otrzymamy fraktal Julii odpowiadający pewnemu punktowi fraktala Mandelbrota.

Rysunek 17. Zestaw Julii.

Drzewo Feigenbauma.

Równanie logistyczne to wzór, nad którym pracował głównie Mitchell Feigenbaum, tworząc swoją teorię fraktali. Wzór ten powinien opisywać dynamikę rozwoju populacji:

f(x) = (1 - x) rx

Najprostszym modelem jest proporcjonalny stosunek liczby do roku poprzedniego. Powiedzmy, że w zeszłym roku mieliśmy x zwierząt. W tym roku powinny pojawić się zwierzęta rx. Ale nie dzieje się to w rzeczywistych warunkach. Najlepszą zgodność z rzeczywistością uzyskamy, jeśli dodamy czynnik zależny od potencjału populacji do dalszego rozwoju i niech x będzie współczynnikiem zupełności, który waha się od 0 do 1. Następnie dodamy czynnik 1 - x, tak aby terytorium jest prawie całkowicie wypełnione, populacja nie przekroczy górnej granicy.

Rozszerzając ekspresję logistyczną otrzymujemy:

f (x) = topór - topór2

Wzór użyty w programie LT Bifurcator do wyjaśnienia istoty fraktala Feigenbauma - (1 + r) x - rx2 nie różni się zbytnio od powyższego wzoru. W zasadzie do badania teorii można wykorzystać dowolną formułę, na przykład najprostszą z formuł tego typu - xІ - r. Jedyne różnice to różnice we współrzędnych okien na zdjęciu oraz nieco zmodyfikowany wygląd obrazu.

Rysunek 18. Drzewo Feigenbauma.

2.6 Drzewo Feigenbauma i zestaw Mandelbrota

Jeśli kiedykolwiek widziałeś wzór na zbiór Mandelbrota z=z2 + x, możesz zauważyć podobieństwo między tą formułą a najprostszą formułą drzewa Feigenbauma x2 - r. I rzeczywiście tak jest. Podobieństwo istnieje. Ale drzewo Feigenbauma rośnie w drugą stronę. Zmień wzór Feigenbauma na x2 + r, a zobaczysz podobieństwo. Jeśli chodzi o zbiór Mandelbrota, musisz patrzeć wzdłuż osi poziomej, ponieważ jest to jedyna pozycja, w której złożona część liczby Mandelbrota wynosi zero. Zobaczysz, że główna część figury Mandelbrota to miejsce, w którym funkcja w drzewie Feigenbauma przyjmuje tylko jedną wartość. Kiedy następuje pierwsze oddzielenie linii (rozgałęzienie), na figurze Mandelbrota pojawia się nowe ciało i tak dalej. Zauważ również, że kiedy główne okno jest otwarte w drzewie, na figurze Mandelbrota pojawia się ciało dziecka.

Rysunek 19. Drzewo Feigenbauma i zbiór Mandelbrota.

3. Stwierdzenie problemu

Niezbędne jest zaprojektowanie i opracowanie oprogramowania, za pomocą którego można wizualnie przeglądać obrazy grafiki fraktalnej. Program powinien pozwalać na ujawnienie istoty fraktala - wielokrotne samopowtarzanie (całego obrazu lub jego części). Interfejs powinien być jak najbardziej przejrzysty. Tempo pracy powinno być takie, aby zrównoważyć produktywność i jakość, tj. przy tej prędkości rysowany jest dość wyraźny obraz. Potrzebna jest również możliwość zapisania obrazu fraktalnego. Program powinien być intuicyjny i „nie odpychający na pierwszy rzut oka”. Program powinien umożliwiać rysowanie co najmniej dziesięciu fraktali algebraicznych i co najmniej dwóch fraktali geometrycznych.

Rozwiązanie.

Rozwiązaniem tego problemu jest oprogramowanie, za pomocą którego można obejrzeć kilka próbek fraktalnej grafiki algebraicznej i geometrycznej. Program musi mieć wbudowane powiększenie (wielokrotne) proporcjonalne do rzeczywistego rozmiaru obrazu. Interfejs musi być lekki, przyjemny, możliwie w kolorach WindowsXP. Na przykład możemy użyć wypełnienia gradientowego samego formularza. Biorąc pod uwagę, że człowiek nie lubi długiego oczekiwania, program nie wykorzystuje dużego rozmiaru płótna, jednak nawet przy takim rozmiarze można uwzględnić wszystkie zalety grafiki fraktalnej. Program wykorzystuje standardowe opcje zapisu obrazu graficznego w formacie *. bmp nie może załadować do siebie obrazów graficznych tego formatu, ponieważ ten program nie służy do przeglądania, ale do generowania obrazów. Program wykorzystuje kolory nieba, posiada przyjazny interfejs i jest łatwy w obsłudze. Każdy przycisk, parametr i inne kontrolki są podpisane, dzięki czemu program nie potrzebuje pomocy, ale jest nadal uzupełniany o pomoc, aby uniknąć konfliktów ze standardami. Program umożliwia rysowanie dwudziestu jeden fraktali algebraicznych i trzech fraktali geometrycznych.

Struktura.

Program składa się z dwóch formularzy (formularza głównego oraz formularza z nazwiskami twórców i ich logo). Formularz główny może mieć dwa interfejsy:

Fraktale algebraiczne

Fraktale geometryczne.

Istnieje również okno pomocy.

Dalsza struktura interfejsu zostanie opisana w rozdziale „Podręcznik użytkownika”.

Struktura programu to zestaw funkcji, z których każda jest „formułą” do rysowania jednego fraktala. I sama procedura rysowania.

Rysunek 20. Schemat programu.

Ten schemat (Rysunek 20) pokazuje wewnętrzną zasadę programu. Zastosowanie jednej procedury rysowania znacznie zmniejsza kod i objętość komponentów interfejsu. Jednak reprezentowanie każdej formuły zestawu jako oddzielnej funkcji znacznie skraca czas rysowania.

Podręcznik użytkownika.

Aby zainstalować to oprogramowanie, należy włożyć do napędu dysk z licencjonowaną wersją programu. Na ekranie pojawi się kreator instalacji. Czytając jego komentarze, możesz zmienić lokalizację zainstalowanych plików. Jeśli zgadzasz się z adresami sugerowanymi przez instalatora, kliknij „Dalej”. Następnie na pulpicie komputera pojawi się ikona z nazwą programu „Grafika fraktalna”. Aby go otworzyć, musisz najechać na niego wskaźnikiem myszy i kliknąć go dwukrotnie.

Ten program umożliwia przeglądanie obrazów dwudziestu jeden algebraicznych i trzech geometrycznych fraktali. Po uruchomieniu program automatycznie udostępnia nam interfejs z fraktali algebraicznych. Aby przełączyć się na geometryczne, musisz nacisnąć przycisk "Pokaż"->"Geometryczne fraktale" na pasku menu.

Rysowanie odbywa się na prostokątnym obszarze w lewej połowie okna programu, zwanym kanwą.

Menu fraktali algebraicznych zawiera następujące kontrolki i parametry wejściowe:

R - nasycenie koloru czerwonego

G - zielone nasycenie

B - niebieskie nasycenie

Liczba iteracji - liczba powtórzeń współrzędnych punktu przy identyfikacji jego przynależności do określonego obszaru (od tego zależy jakość obrazu)

Lista możliwych opcji fraktali:

Rysuj - przycisk rysowania

Wyczyść - przycisk wyczyść

Domyślnie - wartości początkowe

Czas losowania

Podczas pracy z fraktalami geometrycznymi:

Sierpińskiego - narysuj trójkąt Sierpińskiego, przy prawym parametrze - ilość iteracji

Dragon D. Piano - rysunek smoka D. Piano, po prawej parametr - ilość iteracji

Feigenbaum - rysowanie drzewa Feigenbauma, lista parametrów poniżej

Jasne - jasne.

Możliwe jest również zapisanie obrazu w *. bmp. Aby to zrobić, musisz narysować fraktal (w razie potrzeby powiększyć), a następnie wejść do menu - "Plik"->"Zapisz", bez określania rozszerzenia, wprowadź nazwę pliku i naciśnij Enter.

Jeśli chcesz zobaczyć strukturę fraktalną, musisz przesunąć wskaźnik myszy nad obszar płótna, kliknąć lewy przycisk, a następnie rozciągnąć wymagany obszar, przesuwając w prawo i puszczając przycisk myszy.

Rysunek 21. Interfejs programu.

Wpływ parametrów.

Przy opracowywaniu tego programu uwzględniono nie tylko wymagania klienta, ale przeprowadzono również niektóre badania. Ujawniono następujące wzorce i fakty:

Wraz ze wzrostem liczby iteracji wzrasta jakość obrazu, ale wzrasta również szybkość rysowania. Również, gdy fraktal zostanie powiększony dużą liczbą iteracji, możemy zobaczyć więcej obrazów wizualnych, a krotność możliwego wzrostu zauważalnie wzrasta.

Dobór współczynników kolorystycznych to bardzo skomplikowana i żmudna praca, która wymaga dużego zasobu roboczogodzin.

Czas renderowania zależy również od wybranych funkcji. Tak więc funkcje potęgowe są rysowane znacznie szybciej niż na przykład funkcje potęgowe.

W trakcie pracy powstała znaczna liczba fraktali, z których najlepsze wyselekcjonowano poprzez kontrolę wizualną. Wzory, według których są rysowane, wywodzą się wyłącznie od deweloperów i są ich prywatną własnością.

Początkowe wartości zmiennych w funkcjach mogą zmienić wygląd fraktala tak, aby jego pierwotna postać wizualnie w ogóle nie wyglądała jak klon. Taką zasadę zastosowała na przykład Julia.

Najważniejszym parametrem jest promień okręgu - standard, na którym generowane są punkty. Np. Fraktale zbudowane na bazie zbioru Mandelbrota - Pająk (i) różnią się tylko tym promieniem.

Początkowe współrzędne rysowania określają pełnię obrazu na płótnie. Jeśli zostaną umieszczone nieprawidłowo, fraktal może nie być w pełni widoczny.

Na piękno fraktala wpływa wiele parametrów. Po zbudowaniu wszystkie parametry muszą być dokładnie obliczone i przemyślane. To gwarancja jakości obrazu.

Wniosek

Grafika fraktalna to nie tylko zbiór samopowtarzających się obrazów, to model struktury i zasady każdego bytu. Całe nasze życie reprezentują fraktale. Nie tylko wizualnie, ale także struktura tego obrazu odzwierciedla nasze życie. Weźmy na przykład DNA, to tylko podstawa, jedna iteracja, a przy powtórzeniu… pojawia się osoba! A takich przykładów jest wiele. Należy zauważyć, że fraktale są szeroko stosowane w grach komputerowych, gdzie tereny to często obrazy fraktalne oparte na trójwymiarowych modelach zbiorów złożonych i ruchu Browna. Grafika fraktalna jest wszędzie potrzebna, a rozwój „technologii fraktalnych” to dziś jedno z najważniejszych zadań.

Edukacja

2. Część teoretyczna

2.1 Pojęcie „fraktala”

2.2 Zastosowanie fraktali

2.3 Teoria chaosu

2.3.1 Wprowadzenie do teorii chaosu

2.3.2 Teoria chaosu o nieporządku

2.3.3 Zastosowanie teorii chaosu w świecie rzeczywistym

2.3.4 Ruch Browna i jego zastosowania

2.4 Całkowanie deterministycznych fraktali i chaosu

2.5 Rodzaje fraktali

2.6 Drzewo Feigenbauma i zestaw Mandelbrota

3. Stwierdzenie problemu

Wniosek

Może Ci się spodobać