nr 1. Własności liczb wymiernych.

 porządek . Dla dowolnych liczb wymiernych i istnieje zasada, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować między nimi jedną i tylko jedną z trzech relacje: "", "" lub "". Ta zasada nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby dodatnie są połączone tą samą relacją, co dwie liczby całkowite; dwie liczby niedodatnie i są powiązane taką samą relacją jak dwie liczby nieujemne i; jeśli nagle nie negatywne, ale negatywne, to.

sumowanie ułamków

 Operacja dodawania . reguła sumowania, co stawia je w zgodności z pewną liczbą wymierną . W tym przypadku sam numer nazywa się suma oznaczamy liczby u, a proces znajdowania takiej liczby nazywamy podsumowanie. Reguła sumowania ma następującą postać: .

 operacja mnożenia . Dla dowolnych liczb wymiernych i istnieje tzw reguła mnożenia, co stawia je w zgodności z pewną liczbą wymierną . W tym przypadku sam numer nazywa się Praca liczby ii są oznaczone, a proces znajdowania takiej liczby jest również nazywany mnożenie. Zasada mnożenia jest następująca: .

 Przechodniość relacje porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych , a jeśli coraz mniej, to mniej, a jeśli równe i równe, to równe.

 przemienność dodatek. Od zmiany miejsc wyrażeń racjonalnych suma się nie zmienia.

 Łączność dodatek. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

 Dostępnośćzero . Istnieje liczba wymierna 0, która po zsumowaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.

 Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po zsumowaniu daje 0.

 Przemienność mnożenia. Zmieniając miejsca czynników racjonalnych, produkt się nie zmienia.

 Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

 Dostępnośćjednostki . Istnieje liczba wymierna 1, która zachowuje każdą inną liczbę wymierną po pomnożeniu.

 Dostępnośćliczby odwrotne . Każda niezerowa liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, której pomnożenie daje 1.

 dystrybucyjność mnożenie ze względu na dodawanie. Operacja mnożenia jest zgodna z operacją dodawania poprzez prawo dystrybucji:

 Połączenie relacji zlecenia z operacją dodawania. Po lewej i prawej stronie nierówności wymiernej można dodać tę samą liczbę wymierną.

 Powiązanie relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą dodatnią liczbę wymierną.

 Aksjomat Archimedesa . Niezależnie od liczby wymiernej , możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekroczy.

nr 2. Moduł liczby rzeczywistej.

Definicja . Modułem nieujemnej liczby rzeczywistej x jest sama liczba: | x | = x; moduł ujemnej liczby rzeczywistej x jest liczbą przeciwną: I x | =-x.

W skrócie jest to napisane tak:

2. Geometryczne znaczenie modułu liczby rzeczywistej

Wróćmy do zbioru R liczb rzeczywistych i jego geometrii modele- Numer linii. Zaznaczamy na linii dwa punkty a i b (dwie liczby rzeczywiste a i b), oznaczamy przez (a, b) odległość między punktami a i b (- litera alfabetu greckiego „ro”). Ta odległość jest równa b - a, jeśli b > a (ryc. 101), jest równa a - b, jeśli a > b (ryc. 102), ostatecznie wynosi zero, jeśli a = b.

Wszystkie trzy przypadki objęte są jedną formułą:

b) Równanie | x + 3,2 | = 2 przepisz w postaci | x - (- 3,2) | \u003d 2 i dalej (x, - 3,2) \u003d 2. Na linii współrzędnych znajdują się dwa punkty, które są usuwane z punktu - 3,2 w odległości równej 2. Są to punkty - 5,2 i - 1,2 (ryc. 104). Więc równanie ma dwa źródło: -5,2 i -1,2.

№4.ZESTAW RZECZYWISTYCH LICZB

Suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych nazywa się zbiorem ważny (lub materiał ) liczby . Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony symbolem r. Oczywiście, .

Liczby rzeczywiste są wyświetlane na oś liczbowa Oh kropki (ryc.). W tym przypadku każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi osi liczbowej, a każdy punkt osi odpowiada określonej liczbie rzeczywistej.

Dlatego zamiast słów „liczba rzeczywista” można powiedzieć „punkt”.

Nr 5. luki liczbowe.

Rodzaj przerwy	obrazy geometryczne	Przeznaczenie	Pisanie z wykorzystaniem nierówności
Interwał
Połowa interwału
Połowa interwału
otwarta wiązka
otwarta wiązka

Numer 6. Funkcja liczbowa.

Niech zostanie podany zestaw liczb Jeśli każdej liczbie przyporządkowana jest jedna liczba tak, wtedy mówimy, że na planie D numeryczny funkcjonować :

tak = F (x),

Pęczek D nazywa zakres funkcji i oznaczone D (F (x)). Zestaw wszystkich elementów F (x), gdzie nazywa się zakres funkcji i oznaczone mi (F (x)).

Numer x często dzwonisz argument funkcji lub zmienna niezależna, a liczba tak- zmienna zależna, a właściwie funkcjonować zmienny x. Numer odpowiadający wartości nazywa się wartość funkcji w punkcie i oznaczają lub

Aby ustawić funkcję F, musisz określić:

1) jego dziedzina definicji D (F (x));

2) określić regułę F, zgodnie z którym każda wartość jest powiązana z jakąś wartością tak = F (x).

№7. funkcja odwrotna,

Funkcja odwrotna

Jeśli role argumentu i funkcji są odwrócone, to x staje się funkcją tak. W tym przypadku mówi się o nowej funkcji o nazwie funkcja odwrotna. Załóżmy, że mamy funkcję:

v = ty 2 ,

gdzie ty- argument, a v- funkcja. Jeśli odwrócimy ich role, otrzymamy ty jako funkcja v :

Jeśli oznaczymy argument w obu funkcjach jako x , a funkcja przez tak, wtedy mamy dwie funkcje:

z których każdy jest odwrotnością drugiego.

PRZYKŁADY. Te funkcje są odwrotne do siebie:

1) grzech x i arcsin x, ponieważ jeśli tak= grzech x, następnie x= Arcsin tak;

2) cos x i Arccos x, ponieważ jeśli tak= cos x, następnie x= Arccos tak;

3) tan x i Arctan x, ponieważ jeśli tak= tan x, następnie x= Arktan tak;

4) mi x i nie x, ponieważ jeśli tak= mi x, następnie x=ln tak.

Odwrotne funkcje trygonometryczne- funkcje matematyczne odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Odwrotne funkcje trygonometryczne zwykle zawierają sześć funkcji:

arcus sinus(symbol: arcsin)

cosinus łuku(symbol: arccos)

łuk styczny(oznaczenie: arctg; w literaturze zagranicznej arctan)

łuk styczny(oznaczenie: arcctg; w literaturze zagranicznej arccotan)

arcsecans(symbol: arcsec)

arccosecans(oznaczenie: arccosec; w literaturze zagranicznej arccsc)

№8. Podstawowe funkcje elementarne. Podstawowe funkcje

Warto zauważyć, że odwrotne funkcje trygonometryczne są wielowartościowe (nieskończenie istotne), operując nimi stosuje się tzw. wartości główne.

№9. Liczby zespolone

są napisane jako: a+ bi. Tutaj a oraz b – liczby rzeczywiste, a i – jednostka urojona, tj. i 2 = –1. Numer a nazywa odcięta, a b – rzędna Liczba zespolona a+ b.i. Dwie liczby zespolone a+ bi oraz a – bi nazywa sprzężony Liczby zespolone.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez punkty na linii prostej, jak pokazano na rysunku, gdzie punkt A reprezentuje liczbę 4, a punkt B reprezentuje liczbę -5. Te same liczby mogą być również reprezentowane przez segmenty OA, OB, biorąc pod uwagę nie tylko ich długość, ale także kierunek.

Każdy punkt M na osi liczbowej przedstawia pewną liczbę rzeczywistą (racjonalną, jeśli odcinek OM jest współmierny do jednostki długości, i nieracjonalny, jeśli jest niewspółmierny). Tak więc na osi liczbowej nie ma miejsca na liczby zespolone.

Ale liczby zespolone mogą być reprezentowane na płaszczyźnie liczbowej. W tym celu wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie, o tej samej skali na obu osiach.

Liczba zespolona a + b ja reprezentowany przez punkt M, w którym odcięta x jest równa odciętej a liczba zespolona, ​​a rzędna y jest równa rzędnej b Liczba zespolona.

Lekcja wideo „Geometryczne znaczenie modułu liczby rzeczywistej” jest wizualną pomocą podczas lekcji matematyki na odpowiedni temat. W samouczku wideo szczegółowo i przejrzyście badane jest geometryczne znaczenie modułu, po czym pokazano na przykładach, jak znajduje się moduł liczby rzeczywistej, a rozwiązaniu towarzyszy obraz. Materiał może być wykorzystany na etapie wyjaśniania nowego tematu jako odrębna część lekcji lub zapewniając przejrzystość wyjaśnień nauczyciela. Obie opcje pomagają zwiększyć efektywność lekcji matematyki, pomagają nauczycielowi osiągnąć cele lekcji.

Ten samouczek wideo zawiera konstrukcje, które wyraźnie pokazują geometryczne znaczenie modułu. Aby prezentacja była bardziej wizualna, konstrukcje te są wykonywane przy użyciu efektów animacji. Aby materiał do nauki był łatwiejszy do zapamiętania, ważne tezy są wyróżnione kolorem. Szczegółowo rozważane jest rozwiązanie przykładów, które dzięki efektom animacji prezentowane jest w ustrukturyzowany, spójny, zrozumiały sposób. Podczas kompilacji wideo wykorzystano narzędzia, dzięki którym lekcja wideo stanie się skutecznym nowoczesnym narzędziem do nauki.

Film zaczyna się od wprowadzenia tematu lekcji. Na ekranie wykonywana jest konstrukcja - wyświetlany jest promień, na którym zaznaczono punkty a i b, odległość między którymi oznaczono jako ρ(a;b). Przypomina się, że odległość mierzy się na promieniu współrzędnych odejmując mniejszą liczbę od większej, czyli dla tej konstrukcji odległość wynosi b-a dla b>a i a-b dla a>b. Poniżej pokazano konstrukcję, na której zaznaczony punkt a leży na prawo od b, czyli odpowiadająca mu wartość liczbowa jest większa niż b. Poniżej odnotowujemy jeszcze jeden przypadek, w którym położenia punktów aib pokrywają się. W tym przypadku odległość między punktami wynosi zero ρ(a;b)=0. Wszystkie te przypadki razem opisuje jeden wzór ρ(a;b)=|a-b|.

Następnie rozważamy rozwiązanie problemów, w których stosowana jest wiedza o geometrycznym znaczeniu modułu. W pierwszym przykładzie konieczne jest rozwiązanie równania |x-2|=3. Należy zauważyć, że jest to analityczna forma zapisania tego równania, które tłumaczymy na język geometryczny w celu znalezienia rozwiązania. Geometrycznie problem ten oznacza, że ​​konieczne jest znalezienie punktów x, dla których równość ρ(x;2)=3 będzie prawdziwa. Na linii współrzędnych będzie to oznaczać, że punkty x są w równej odległości od punktu x \u003d 2 w odległości 3. Aby zademonstrować rozwiązanie na linii współrzędnych, rysowany jest promień, na którym zaznaczono punkt 2. W odległości z 3 od punktu x \u003d 2 zaznaczono punkty -1 i 5. Oczywiście te zaznaczone punkty będą rozwiązaniem równania.

Aby rozwiązać równanie |x+3,2|=2, proponuje się sprowadzić je najpierw do postaci |a-b| w celu rozwiązania zadania na prostej. Po przekształceniu równanie przyjmuje postać |x-(-3,2)|=2. Oznacza to, że odległość między punktem -3,2 a żądanymi punktami będzie równa 2, czyli ρ (x; -3,2) = 2. Na linii współrzędnych zaznaczony jest punkt -3,2. Punkty -1.2 i -5.2 znajdują się w odległości 2 od niego. Punkty te są zaznaczone na linii współrzędnych i są wskazywane jako rozwiązanie równania.

Rozwiązanie innego równania |x|=2,7 uwzględnia przypadek, gdy żądane punkty znajdują się w odległości 2,7 od punktu 0. Równanie jest przepisywane jako |x-0|=2,7. Jednocześnie wskazuje się, że odległość do pożądanych punktów jest określona jako ρ(x;0)=2,7. Na linii współrzędnych zaznaczony jest punkt 0. Punkty -2.7 i 2.7 znajdują się w odległości 2,7 od punktu 0. Punkty te zaznaczone są na zbudowanej linii, są rozwiązaniami równania.

Aby rozwiązać następujące równanie |x-√2|=0, nie jest wymagana interpretacja geometryczna, ponieważ jeśli moduł wyrażenia wynosi zero, oznacza to, że wyrażenie to jest równe zeru, czyli x-√2=0. Z równania wynika, że ​​x=√2.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązywania równań, które wymagają przekształcenia przed rozwiązaniem. W pierwszym równaniu |2x-6|=8 znajduje się współczynnik numeryczny 2 przed x. |=2|x-3|. Następnie prawa i lewa część równania zmniejsza się o 2. Otrzymujemy równanie postaci |x-3|=4. To równanie postaci analitycznej jest tłumaczone na język geometryczny ρ(х;3)=4. Na linii współrzędnych zaznaczamy punkt 3. Od tego miejsca odkładamy punkty znajdujące się w odległości 4. Rozwiązaniem równania będą punkty -1 i 7, które zaznaczamy na linii współrzędnych. Drugie rozważane równanie |5-3x|=6 również zawiera współczynnik liczbowy przed zmienną x. Aby rozwiązać równanie, współczynnik 3 jest usuwany z nawiasów. Równanie staje się |-3(x-5/3)|=3|x-5/3|. Prawą i lewą stronę równania można zmniejszyć o 3. Następnie otrzymujemy równanie postaci |x-5/3|=2. Przechodzimy od postaci analitycznej do interpretacji geometrycznej ρ(х;5/3)=2. Dla rozwiązania konstruowany jest rysunek, na którym przedstawiona jest linia współrzędnych. Na tej linii zaznaczono punkt 5/3. W odległości 2 od punktu 5/3 znajdują się punkty -1/3 i 11/3. Te punkty są rozwiązaniami równania.

Ostatnie rozważane równanie |4x+1|=-2. Aby rozwiązać to równanie, przekształcenia i reprezentacja geometryczna nie są wymagane. Lewa strona równania oczywiście daje liczbę nieujemną, podczas gdy prawa strona zawiera liczbę -2. Dlatego to równanie nie ma rozwiązań.

Lekcja wideo „Geometryczne znaczenie modułu liczby rzeczywistej” może być wykorzystana na tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. Materiał może być przydatny dla nauczyciela prowadzącego kształcenie na odległość. Szczegółowe, zrozumiałe wyjaśnienie rozwiązania zadań wykorzystujących funkcję modułu pomoże studentowi, który samodzielnie opanuje temat, w opanowaniu materiału.

Linia liczbowa, oś liczbowa, to linia, na której przedstawione są liczby rzeczywiste. Na linii prostej wybierany jest początek - punkt O (punkt O reprezentuje 0) i punkt L, reprezentujący jednostkę. Punkt L zwykle znajduje się na prawo od punktu O. Segment OL nazywany jest segmentem jednostkowym.

Punkty na prawo od punktu O reprezentują liczby dodatnie. Kropki po lewej stronie kropki. Och, przedstaw liczby ujemne. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę dodatnią x, to odległość OX = x. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę ujemną x, to odległość OX = - x.

Liczba wskazująca położenie punktu na linii prostej nazywana jest współrzędną tego punktu.

Punkt V pokazany na rysunku ma współrzędną 2, a punkt H ma współrzędną -2,6.

Moduł liczby rzeczywistej to odległość od początku do punktu odpowiadającego tej liczbie. Wyznacz moduł liczby x, więc: | x |. Oczywiście | 0 | = 0.

Jeśli liczba x jest większa od 0, to | x | = x, a jeśli x jest mniejsze od 0, to | x | =-x. Na tych właściwościach modułu opiera się rozwiązanie wielu równań i nierówności za pomocą modułu.

Przykład: Rozwiąż równanie | x-3 | = 1.

Rozwiązanie: Rozważ dwa przypadki - pierwszy przypadek, gdy x -3 > 0, i drugi przypadek, gdy x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

W tym przypadku | x-3 | = x - 3.

Równanie przyjmuje postać x - 3 \u003d 1, x \u003d 4, 4\u003e 3 - spełniają pierwszy warunek.

2. x -3 0, x 3.

W tym przypadku | x-3 | = - x + 3

Równanie przyjmuje postać x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - spełniają drugi warunek.

Odpowiedź: x = 4, x = -2.

Wyrażenia liczbowe.

Wyrażenie numeryczne to zbiór co najmniej jednej liczby i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami.
Przykłady wyrażeń numerycznych:

Wartość wyrażenia liczbowego jest liczbą.
Operacje w wyrażeniach liczbowych wykonywane są w następującej kolejności:

1. Akcje w nawiasach.

2. Obliczanie funkcji.

3. Potęgowanie

4. Mnożenie i dzielenie.

5. Dodawanie i odejmowanie.

6. Operacje tego samego typu wykonuje się od lewej do prawej.

Zatem wartością pierwszego wyrażenia będzie sama liczba 12,3
Aby obliczyć wartość drugiego wyrażenia, wykonamy czynności w następującej kolejności:

1. Wykonaj czynności w nawiasach w następującej kolejności - najpierw podnosimy 2 do trzeciej potęgi, a następnie od otrzymanej liczby odejmujemy 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnóż 3 przez 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Wykonaj operacje sekwencyjnie od lewej do prawej:

12 + (-3) = 9.
Wyrażenie ze zmiennymi to zbiór jednej lub więcej liczb, zmiennych i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami. Wartości wyrażeń ze zmiennymi zależą od wartości zawartych w nim zmiennych. Kolejność operacji jest tutaj taka sama jak w przypadku wyrażeń liczbowych. Czasami przydatne jest uproszczenie wyrażeń ze zmiennymi poprzez wykonanie różnych czynności - nawiasy, rozwinięcie nawiasów, grupowanie, redukcja ułamków, redukcja podobnych itp. Ponadto, aby uprościć wyrażenia, często stosuje się różne formuły, na przykład skrócone formuły mnożenia, właściwości różnych funkcji itp.

Wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenie algebraiczne to jedna lub więcej wielkości algebraicznych (liczb i liter) połączonych znakami działań algebraicznych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem, a także wyciąganiem pierwiastka i podnoszeniem do potęgi całkowitej (co więcej, pierwiastek i wykładnik muszą koniecznie być liczbami całkowitymi) i znakami kolejności tych działań (zwykle różnego rodzaju nawiasy). Liczba wartości zawartych w wyrażeniu algebraicznym musi być skończona.

Przykład wyrażenia algebraicznego:

„Wyrażenie algebraiczne” jest pojęciem składniowym, to znaczy, że coś jest wyrażeniem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzega pewnych reguł gramatycznych (patrz Gramatyka formalna). Jeśli litery w wyrażeniu algebraicznym są uważane za zmienne, to wyrażenie algebraiczne nabiera znaczenia funkcji algebraicznej.

RZECZYWISTE LICZBY II

§ 44 Geometryczna reprezentacja liczb rzeczywistych

Liczby geometryczne rzeczywiste, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii prostej.

Pozwalać ja - dowolna linia prosta, a O - niektóre jej punkty (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α umieść odpowiednio punkt A, leżący na prawo od O w odległości α jednostki długości.

Jeśli na przykład α = 2,1356..., to

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Oczywiste jest, że punkt A w tym przypadku musi leżeć na linii ja na prawo od punktów odpowiadających liczbom

2; 2,1; 2,13; ... ,

ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom

3; 2,2; 2,14; ... .

Można wykazać, że te warunki określają na linii ja jedyny punkt A, który uważamy za geometryczny obraz liczby rzeczywistej α = 2,1356... .

Podobnie każda ujemna liczba rzeczywista β umieść odpowiednio punkt B leżący na lewo od O w odległości | β | jednostki długości. Na koniec przypisujemy punkt O liczbie „zero”.

Tak więc liczba 1 zostanie wyświetlona w linii prostej ja punkt A, położony na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - punkt B, leżący na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp.

Pokażmy, jak na linii prostej ja za pomocą kompasu i linijki można znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. Aby to zrobić, najpierw pokażemy, jak konstruować odcinki, których długości są wyrażone przez te liczby. Niech AB będzie odcinkiem wziętym jako jednostka długości (ryc. 60).

W punkcie A przywracamy prostopadłość do tego odcinka i odkładamy na nim odcinek AC równy odcinkowi AB. Następnie, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, otrzymujemy; BC \u003d √AB 2 + AC 2 \u003d √1 + 1 \u003d √2

Dlatego odcinek BC ma długość √2. Teraz przywróćmy prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na nim punkt D tak, aby odcinek CD był równy jednostce długości AB. Następnie z prawego trójkąta BCD znajdujemy:

ВD \u003d √BC 2 + CD 2 \u003d √2 + 1 \u003d √3

Dlatego odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces dalej, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd.

Teraz na linii ja łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd.

Umieszczając na przykład na prawo od punktu O odcinek BC (ryc. 61), otrzymujemy punkt C, który służy jako geometryczna reprezentacja liczby √2. W ten sam sposób odkładając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymujemy punkt D”, który jest geometrycznym obrazem liczby √3 itd.

Nie należy jednak myśleć, że za pomocą cyrkla i linijki na osi liczbowej ja można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji tylko cyrkiel i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyrażona jest liczbą π = 3,14 ... . Więc na osi liczbowej ja przy użyciu takich konstrukcji nie można wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje.

Więc dla każdej liczby rzeczywistej α możliwe jest skojarzenie jakiegoś dobrze zdefiniowanego punktu linii ja . Ten punkt zostanie oddzielony od punktu początkowego O w odległości | α | jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α > 0 i na lewo od O jeśli α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ja . Rzeczywiście, niech liczba α odpowiada punktowi A, a liczba β - punkt B. Wtedy, jeśli α > β , wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); Jeśli α < β , wtedy A będzie leżał na lewo od B (ryc. 62, b).

Mówiąc w § 37 o geometrycznej reprezentacji liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za geometryczny obraz jakiejś racjonalny liczby? W tamtym czasie nie mogliśmy udzielić odpowiedzi na to pytanie; teraz możemy na nie odpowiedzieć całkiem zdecydowanie. Na linii znajdują się punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb niewymiernych (na przykład √2). Dlatego nie każdy punkt na linii prostej reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt linii rzeczywistej można uznać za geometryczny obraz jakiegoś? ważny liczby? Ten problem został już pozytywnie rozwiązany.

Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na linii ja , leżący na prawo od O (ryc. 63).

Długość odcinka OA jest wyrażona przez pewną dodatnią liczbę rzeczywistą α (patrz § 41). Dlatego punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α . Podobnie ustalono, że każdy punkt B, leżący na lewo od O, można uznać za geometryczny obraz ujemnej liczby rzeczywistej - β , gdzie β - długość segmentu VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że dwa różne punkty linii ja nie może być geometrycznym obrazem tej samej liczby rzeczywistej.

Z powodów podanych powyżej linia prosta, na której jakiś punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii.

Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów prostej rzeczywistej są w korespondencji jeden do jednego.

Oznacza to, że każda liczba rzeczywista odpowiada jednemu, dobrze określonemu punktowi osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi osi liczbowej przy takiej korespondencji odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista.

Ćwiczenia

320. Dowiedz się, który z dwóch punktów znajduje się na osi liczbowej po lewej, a który po prawej stronie, jeśli te punkty odpowiadają liczbom:

a) 1.454545... i 1.455454...; c) 0 i - 1,56673...;

b) - 12.0003... i - 12.0002...; d) 13.24... i 13.00....

321. Dowiedz się, który z dwóch punktów jest dalej od punktu początkowego O na osi liczbowej, jeśli te punkty odpowiadają liczbom:

a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... .

d) - 15.0001 i - 15.1000...;

322. W tej sekcji pokazano, że skonstruować odcinek o długości √ n używając cyrkla i linijki możesz wykonać następujące czynności: najpierw skonstruuj odcinek o długości √2, potem odcinek o długości √3 itd., aż dojdziemy do odcinka o długości √ n . Ale dla każdego ustalonego P > 3 proces ten można przyspieszyć. Jak na przykład zacząłbyś budować odcinek o długości √10?

323*. Jak za pomocą kompasu i linijki znaleźć punkt na osi liczbowej odpowiadający liczbie 1 / α , jeśli położenie punktu odpowiadającego liczbie α , znany?

ROZDZIAŁ 1 Zmienne i funkcje

§1.1. Liczby rzeczywiste
Pierwsza znajomość liczb rzeczywistych pojawia się w szkolnym toku matematyki. Każda liczba rzeczywista jest reprezentowana przez skończony lub nieskończony ułamek dziesiętny.

Liczby rzeczywiste (rzeczywiste) dzielą się na dwie klasy: klasę liczb wymiernych i klasę liczb niewymiernych. Racjonalny nazywają się liczby, które wyglądają jak , gdzie m oraz n są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, ale
. (Zbiór liczb wymiernych jest oznaczony literą Q). Reszta liczb rzeczywistych nazywa się irracjonalny. Liczby wymierne są reprezentowane przez ułamek skończony lub nieskończony okresowy (tak samo jak ułamki zwykłe), wtedy te i tylko te liczby rzeczywiste, które mogą być reprezentowane przez nieskończone ułamki nieokresowe, będą irracjonalne.

Na przykład liczba
- racjonalne i
,
,
itp. są liczbami niewymiernymi.

Liczby rzeczywiste można również podzielić na algebraiczne - pierwiastki wielomianu o współczynnikach wymiernych (do nich należą w szczególności wszystkie liczby wymierne - pierwiastki równania
) - i transcendentalne - cała reszta (na przykład liczby
inny).

Zbiory wszystkich liczb naturalnych, całkowitych, rzeczywistych oznaczamy odpowiednio w następujący sposób: nZ, r
(początkowe litery słów Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Obraz liczb rzeczywistych na osi liczbowej. Interwały

Geometrycznie (dla jasności) liczby rzeczywiste są reprezentowane przez punkty na nieskończonej (w obu kierunkach) linii prostej, zwanej liczbowy oś. W tym celu na rozpatrywanej linii brany jest punkt (punktem odniesienia jest punkt 0), wskazywany jest kierunek dodatni oznaczony strzałką (zwykle w prawo) i wybierana jest jednostka skali, która jest odkładana na bok w nieskończoność po obu stronach punktu 0. W ten sposób wyświetlane są liczby całkowite. Aby przedstawić liczbę z jednym miejscem po przecinku, każdy segment musi być podzielony na dziesięć części i tak dalej. Tak więc każda liczba rzeczywista jest reprezentowana przez punkt na osi liczbowej. I odwrotnie, każdy punkt
odpowiada liczbie rzeczywistej równej długości odcinka
i brane ze znakiem „+” lub „-”, w zależności od tego, czy punkt leży na prawo czy na lewo od początku. W ten sposób ustala się zgodność jeden do jednego między zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych a zbiorem wszystkich punktów osi liczbowej. Terminy „liczba rzeczywista” i „punkt osi numerycznej” są używane jako synonimy.

Symbol oznaczymy zarówno liczbę rzeczywistą, jak i odpowiadający jej punkt. Liczby dodatnie znajdują się na prawo od punktu 0, ujemne - na lewo. Jeśli
, to na osi rzeczywistej punkt leży na lewo od punktu . Niech punkt
odpowiada liczbie, wtedy liczba nazywana jest współrzędną punktu, piszą
; częściej sam punkt jest oznaczony tą samą literą co liczba. Punkt 0 to początek współrzędnych. Oś jest również oznaczona literą (rys. 1.1).

Ryż. 1.1. Oś numeryczna.
Zbiór wszystkich liczb kłamie pomiędzy podane liczby i nazywa się interwałem lub interwałem; końce mogą, ale nie muszą należeć do niego. Wyjaśnijmy to. Pozwalać
. Zbiór liczb, które spełniają warunek
, nazywamy interwałem (w wąskim znaczeniu) lub interwałem otwartym, oznaczonym symbolem
(rys. 1.2).

Ryż. 1.2. Interwał
Zbiór liczb takich, że
nazywa się przedziałem domkniętym (odcinek, odcinek) i jest oznaczony przez
; na osi numerycznej oznaczono w następujący sposób:

Ryż. 1.3. zamknięty przedział
Różni się od otwartej luki tylko dwoma punktami (końcami) i . Ale ta różnica jest fundamentalna, zasadnicza, jak zobaczymy później, na przykład, badając właściwości funkcji.

Pomijając słowa „zbiór wszystkich liczb (punktów) x tak, że „itp., zauważamy dalej:

oraz
, oznaczony
oraz
półotwarte lub półzamknięte interwały (czasami: pół-interwały);

lub
znaczy:
lub
i oznaczone
lub
;

lub
znaczy
lub
i oznaczone
lub
;

, oznaczony
zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Odznaki
symbole „nieskończoności”; nazywa się je liczbami niewłaściwymi lub idealnymi.

§1.3. Wartość bezwzględna (lub moduł) liczby rzeczywistej
Definicja. Wartość bezwzględna (lub moduł) liczba nazywana jest samą liczbą, jeśli
lub
Jeśli
. Wartość bezwzględną oznaczono symbolem . Więc,

Na przykład,
,
,
.

Geometrycznie oznacza odległość punktu a do początku współrzędnych. Jeśli mamy dwa punkty i , to odległość między nimi można przedstawić jako
(lub
). Na przykład,
ta odległość
.

Własności wartości bezwzględnych.

1. Z definicji wynika, że

,
, to jest
.

2. Wartość bezwzględna sumy i różnicy nie przekracza sumy wartości bezwzględnych:
.

1) Jeśli
, następnie
. 2) Jeśli
, następnie . ▲.

3.
.

, a następnie według właściwości 2:
, tj.
. Podobnie, jeśli sobie wyobrazimy
, wtedy dochodzimy do nierówności
▲

4.
– wynika z definicji: rozważ przypadki
oraz
.

5.
, pod warunkiem że
To samo wynika z definicji.

6. Nierówność
,
, znaczy
. Tę nierówność zaspokajają punkty leżące pomiędzy
oraz
.

7. Nierówność
jest równoznaczne z nierównością
, tj. . Jest to interwał wyśrodkowany w punkcie długości
. Nazywa się to
sąsiedztwo punktu (liczby) . Jeśli
, wtedy okolica nazywana jest przebitą: to lub
. (Rys.1.4).

8.
stąd wynika, że ​​nierówność
(
) jest równoznaczne z nierównością
lub
; i nierówności
określa zbiór punktów, dla których
, tj. są punkty poza segmentem
, dokładnie:
oraz
.

§1.4. Niektóre koncepcje, oznaczenia
Oto kilka szeroko stosowanych pojęć, zapisy z teorii mnogości, logiki matematycznej i innych gałęzi współczesnej matematyki.

1 . pojęcie zestawy jest jednym z podstawowych w matematyce, początkowym, uniwersalnym - i dlatego nie można go zdefiniować. Można go jedynie opisać (zastąpić synonimami): jest zbiorem, zbiorem jakichś przedmiotów, rzeczy, połączonych pewnymi znakami. Obiekty te nazywają się elementy zestawy. Przykłady: wiele ziaren piasku na brzegu, gwiazdy we wszechświecie, uczniowie w klasie, pierwiastki równania, punkty odcinka. Zbiory, których elementami są liczby, nazywane są zbiory liczbowe. W przypadku niektórych standardowych zestawów wprowadzana jest notacja specjalna, np. n,Z,R- patrz § 1.1.

Pozwalać A- zestaw i x jest jego elementem, wtedy piszemy:
; czyta " x należy A» (
znak włączenia dla elementów). Jeśli obiekt x nie zawarte w A, wtedy piszą
; brzmi: " x nie należy A”. Na przykład,
n; 8,51n; ale 8.51 r.

Jeśli x to ogólne oznaczenie elementów zestawu A, wtedy piszą
. Jeśli można wypisać oznaczenie wszystkich elementów, to napisz
,
itd. Zbiór, który nie zawiera ani jednego elementu nazywany jest zbiorem pustym i jest oznaczony symbolem ; na przykład zbiór (rzeczywistych) pierwiastków równania
jest pusty.

Zestaw nazywa się finał jeśli składa się ze skończonej liczby elementów. Jeżeli jednak bez względu na liczbę naturalną N, w zbiorze A jest więcej elementów niż N, to A nazywa nieskończony zestaw: jest w nim nieskończenie wiele elementów.

Jeśli każdy element zestawu ^A należy do zestawu b, następnie nazywany częścią lub podzbiorem zbioru b i napisz
; czyta " A zawarte w b» (
jest znak włączenia dla zestawów). Na przykład, nZR. Jeśli
, wtedy mówimy, że zestawy A oraz b równy i pisać
. W przeciwnym razie napisz
. Na przykład, jeśli
, a
zbiór pierwiastków równania
, następnie .

Zbiór elementów obu zestawów A oraz b nazywa Stowarzyszenie zestawy i jest oznaczone
(czasami
). Zestaw elementów należących do i A oraz b, jest nazywany skrzyżowanie zestawy i jest oznaczone
. Zbiór wszystkich elementów zbioru ^A, które nie są zawarte w b, jest nazywany różnica zestawy i jest oznaczone
. Schematycznie operacje te można przedstawić w następujący sposób:

Jeśli można ustalić zgodność jeden do jednego między elementami zbiorów, to mówią, że te zbiory są równoważne i piszą
. Dowolny zestaw A, odpowiednik zbioru liczb naturalnych n= zwany policzalny lub policzalny. Innymi słowy, zbiór nazywamy policzalnym, jeśli jego elementy mogą być ponumerowane, umieszczone w nieskończoności sekwencja
, których wszyscy członkowie są różni:
w
i można go zapisać jako . Inne nieskończone zestawy są nazywane niepoliczalne. Policzalne, z wyjątkiem samego zestawu N, będą np. zestawy
, Z. Okazuje się, że zbiory wszystkich liczb wymiernych i algebraicznych są przeliczalne, a równoważne zbiory wszystkich liczb niewymiernych, przestępnych, rzeczywistych i punktów dowolnego przedziału są niepoliczalne. Mówią, że te ostatnie mają moc kontinuum (moc jest uogólnieniem pojęcia liczby (liczby) elementów dla zbioru nieskończonego).

2 . Niech będą dwa stwierdzenia, dwa fakty: i
. Symbol
oznacza: „jeśli prawda, to prawda i” lub „za”, „sugeruje, że istnieje pierwiastek równania ma właściwość z języka angielskiego Istnieć- istnieć.

Nagranie:

, lub
, oznacza: istnieje (co najmniej jeden) obiekt, który ma właściwość . Nagranie
, lub
, oznacza: wszyscy mają właściwość . W szczególności możemy napisać:
oraz .

Choroby