W tej lekcji zapoznamy się ze wzorami na kwadrat sumy i kwadrat różnicy i wyprowadzimy je. Udowodnijmy geometrycznie wzór na kwadrat sumy. Ponadto rozwiążemy wiele różnych przykładów za pomocą tych formuł.

Rozważ wzór na kwadrat sumy:

Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat sumy:

Werbalnie ten wzór jest wyrażony w następujący sposób: kwadrat sumy jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

Ten wzór można łatwo przedstawić geometrycznie.

Rozważ kwadrat z bokiem :

Powierzchnia kwadratu.

Z drugiej strony ten sam kwadrat można przedstawić inaczej, dzieląc bok na a i b (ryc. 1).

Ryż. 1. Kwadrat

Wtedy obszar kwadratu można przedstawić jako sumę obszarów:

Ponieważ kwadraty były takie same, ich pola są równe, co oznacza:

Udowodniliśmy więc geometrycznie wzór na kwadrat sumy.

Rozważ przykłady:

Komentarz: przykład rozwiązuje się za pomocą wzoru sumy kwadratów.

Wyprowadzamy wzór na kwadrat różnicy:

Wyprowadziliśmy więc wzór na kwadrat różnicy:

Werbalnie ta formuła jest wyrażona w następujący sposób: kwadrat różnicy jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby przez drugą plus kwadrat drugiej liczby.

Rozważ przykłady:

Wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy mogą działać zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. W przypadku użycia od lewej do prawej będą to skrócone wzory mnożenia, używane podczas obliczania i przekształcania przykładów. A kiedy używa się go od prawej do lewej - formuły faktoryzacji.

Rozważ przykłady, w których musisz rozłożyć dany wielomian na czynniki, używając wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Aby to zrobić, musisz bardzo uważnie przyjrzeć się wielomianowi i dokładnie określić, jak poprawnie go rozwinąć.

Komentarz: aby rozłożyć wielomian na czynniki, musisz określić, co jest reprezentowane w tym wyrażeniu. Widzimy więc kwadrat i kwadrat jedności. Teraz musimy znaleźć podwójny iloczyn - to jest . Tak więc wszystkie niezbędne elementy są tam, wystarczy określić, czy jest to kwadrat sumy czy różnicy. Przed iloczynem podwojonym znajduje się znak plus, co oznacza, że ​​mamy kwadrat sumy.

Przy obliczaniu wielomianów algebraicznych, aby uprościć obliczenia, używamy skrócone wzory mnożenia. W sumie jest siedem takich formuł. Wszyscy muszą być znani na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast „a” i „b” we wzorach mogą występować zarówno liczby, jak i dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Pamiętać!

Różnica kwadratów dwie liczby są równe iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 z 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

suma kwadratowa

Pamiętać!

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Zauważ, że przy tej zredukowanej formule mnożenia łatwo jest znajdź kwadraty dużych liczb bez użycia kalkulatora lub długiego mnożenia. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2 .

• Rozłóżmy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy.
  112 = 100 + 1
• W nawiasach zapisujemy sumę liczb i umieszczamy kwadrat nad nawiasami.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Użyjmy wzoru sumy kwadratów:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratów obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Ostrzeżenie!

(a + b) 2 nie jest równe (a 2 + b 2)

Kwadrat różnicy

Pamiętać!

Kwadrat różnicy między dwiema liczbami jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Warto też pamiętać o bardzo przydatnej transformacji:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Powyższy wzór można udowodnić, po prostu rozszerzając nawiasy:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

kostka sumy

Pamiętać!

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus trzy razy kwadrat pierwszej liczby razy druga plus trzy razy iloczyn pierwszej razy kwadrat drugiej plus sześcian drugiej.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Jak zapamiętać kostkę sumy

Zapamiętanie tej „strasznie” wyglądającej formuły jest dość proste.

• Dowiedz się, że „3” pojawia się na początku.
• Dwa wielomiany w środku mają współczynniki 3.
• Przypomnij sobie, że dowolna liczba do potęgi zerowej to 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje zmniejszenie stopnia „a” i zwiększenie stopnia „b”. Możesz to zweryfikować:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!

(a + b) 3 nie jest równe a 3 + b 3

kostka różnicy

Pamiętać!

kostka różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzy razy kwadrat pierwszej liczby i drugiej plus trzy razy iloczyn pierwszej liczby i kwadrat drugiej minus sześcian drugiej.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Ta formuła jest pamiętana jak poprzednia, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienne znaki „+” i „-”. Przed pierwszym członem znajduje się „+” „3” (zgodnie z zasadami matematyki nie piszemy tego). Oznacza to, że następny członek będzie poprzedzony znakiem „-”, a następnie ponownie „+” itd.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma kostek

Nie mylić z kostką sumy!

Pamiętać!

Suma kostek jest równy iloczynowi sumy dwóch liczb przez niepełny kwadrat różnicy.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Suma sześcianów jest iloczynem dwóch nawiasów.

• Pierwszy nawias to suma dwóch liczb.
• Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy liczb. Niepełny kwadrat różnicy nazywamy wyrażeniem:
  (a 2 − ab + b 2)
  Ten kwadrat jest niepełny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwójnego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica kostek

Nie mylić z kostką różnicy!

Pamiętać!

Różnica kostek jest równy iloczynowi różnicy dwóch liczb przez niepełny kwadrat sumy.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Zachowaj ostrożność podczas pisania znaków.

Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia

Należy pamiętać, że wszystkie powyższe formuły są również używane od prawej do lewej.

Wiele przykładów w podręcznikach jest zaprojektowanych tak, abyś mógł używać formuł do składania wielomianu z tyłu.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Możesz pobrać tabelę ze wszystkimi wzorami na skrócone mnożenie w dziale "

Nie zabraknie również zadań do samodzielnego rozwiązania, na które będzie można zobaczyć odpowiedzi.

Skrócone wzory mnożenia pozwalają na wykonywanie identycznych przekształceń wyrażeń - wielomianów. Za ich pomocą wielomiany można rozkładać na czynniki, a używając wzorów w odwrotnej kolejności, iloczyny dwumianów, kwadratów i sześcianów można przedstawić jako wielomiany. Rozważmy wszystkie ogólnie przyjęte formuły mnożenia skróconego, ich wyprowadzenie, typowe zadania dla identycznych przekształceń wyrażeń przy użyciu tych formuł, a także zadania domowe (odpowiedzi na nie otwierają linki).

suma kwadratowa

Wzór na kwadrat sumy to równość

(kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby).

Zamiast a I b do tego wzoru można podstawić dowolną liczbę.

Wzór sumy kwadratów jest często używany do uproszczenia obliczeń. Na przykład,

Stosując wzór sumy kwadratów, wielomian można podzielić na czynniki, a mianowicie przedstawić jako iloczyn dwóch identycznych czynników.

Przykład 1

.

Przykład 2 Napisz jako wyrażenie wielomianowe

Rozwiązanie. Ze wzoru na kwadrat sumy otrzymujemy

Kwadrat różnicy

Wzór na kwadrat różnicy to równość

(kwadrat różnicy między dwiema liczbami jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby).

Wzór różnicy kwadratów jest często używany do uproszczenia obliczeń. Na przykład,

Stosując wzór kwadratu różnicowego, wielomian można podzielić na czynniki, a mianowicie przedstawić jako iloczyn dwóch identycznych czynników.

Wzór wynika z zasady mnożenia wielomianu przez wielomian:

Przykład 5 Napisz jako wyrażenie wielomianowe

Rozwiązanie. Ze wzoru na kwadrat różnicy otrzymujemy

.

Zastosuj skróconą formułę mnożenia samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

Pełny wybór kwadratów

Często wielomian drugiego stopnia zawiera kwadrat sumy lub różnicy, ale jest zawarty w postaci ukrytej. Aby jawnie uzyskać pełny kwadrat, musisz przekształcić wielomian. Aby to zrobić, z reguły jeden z wyrazów wielomianu jest reprezentowany jako iloczyn podwójny, a następnie ta sama liczba jest dodawana i odejmowana od wielomianu.

Przykład 7

Rozwiązanie. Ten wielomian można przekształcić w następujący sposób:

Tutaj przedstawiliśmy 5 x w postaci iloczynu podwójnego 5/2 by x, dodać do wielomianu i odjąć od niego tę samą liczbę, a następnie zastosować wzór sumy kwadratów dla dwumianu.

Więc udowodniliśmy równość

,

równa się pełny kwadrat plus liczba .

Przykład 8 Rozważ wielomian drugiego stopnia

Rozwiązanie. Zróbmy na nim następujące przekształcenia:

Tutaj przedstawiliśmy 8 x w postaci podwójnego produktu x przez 4, dodał do wielomianu i odjął od niego tę samą liczbę 4², zastosował wzór kwadratu różnicowego dla dwumianu x − 4 .

Więc udowodniliśmy równość

,

pokazując, że wielomian drugiego stopnia

równa się pełny kwadrat plus liczba -16.

Zastosuj skróconą formułę mnożenia samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

kostka sumy

Wzór na kostkę sumy to równość

(sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus trzy razy kwadrat pierwszej liczby razy druga plus trzy razy iloczyn pierwszej liczby razy kwadrat drugiej plus sześcian drugiego numeru).

Formuła kostki sumy jest wyprowadzana w następujący sposób:

Przykład 10 Napisz jako wyrażenie wielomianowe

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem na kostkę sumy otrzymujemy

Zastosuj skróconą formułę mnożenia samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

kostka różnicy

Wzór na kostkę różnicy to równość

(sześcian różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzy razy kwadrat pierwszej liczby i drugiej, plus trzy razy iloczyn pierwszej liczby i kwadrat drugiej minus sześcian liczby drugi numer).

Za pomocą wzoru na kostkę sumy wielomian można rozłożyć na czynniki, a mianowicie można go przedstawić jako iloczyn trzech identycznych czynników.

Wzór na kostkę różnicy wyprowadza się w następujący sposób:

Przykład 12. Napisz jako wyrażenie wielomianowe

Rozwiązanie. Używając wzoru na kostkę różnicy, otrzymujemy

Zastosuj skróconą formułę mnożenia samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

Różnica kwadratów

Wzór na różnicę kwadratów to równość

(różnica kwadratów dwóch liczb jest równa iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy).

Używając wzoru na kostkę sum, każdy wielomian postaci może zostać rozłożony na czynniki.

Dowód wzoru uzyskano stosując zasadę mnożenia dla wielomianów:

Przykład 14 Napisz iloczyn jako wielomian

.

Rozwiązanie. Z różnicy równania kwadratów otrzymujemy

Przykład 15 Rozkładać na czynniki

Rozwiązanie. To wyrażenie w formie wyraźnej nie pasuje do żadnej tożsamości. Ale liczbę 16 można przedstawić jako potęgę o podstawie 4: 16=4². Wtedy oryginalne wyrażenie przyjmie inną formę:

,

i to jest wzór na różnicę kwadratów, i stosując ten wzór, otrzymujemy

Treść lekcji

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń

Istnieje wiele przypadków, w których mnożenie wielomianu przez wielomian można znacznie uprościć. Tak jest na przykład w przypadku (2 x+ 3tak) 2 .

Wyrażenie (2 x+ 3tak) 2 to mnożenie dwóch wielomianów, z których każdy jest równy (2 x+ 3tak)

(2x+ 3tak) 2 = (2x+ 3tak)(2x+ 3tak)

Otrzymaliśmy mnożenie wielomianu przez wielomian. Zróbmy to:

(2x+ 3tak) 2 = (2x+ 3tak)(2x+ 3tak) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9tak 2 = 4x 2 + 12xy+ 9tak 2

Oznacza to, że wyrażenie (2 x+ 3tak) 2 jest równe 4x 2 + 12xy + 9tak 2

(2x+ 3tak) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9tak 2

Rozwiążmy podobny przykład, który jest prostszy:

(a+b) 2

Wyrażenie ( a+b) 2 to mnożenie dwóch wielomianów, z których każdy jest równy ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Zróbmy to mnożenie:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

To jest wyrażenie (a+b) 2 jest równe a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Okazuje się, że sprawa ( a+b) 2 można przedłużyć o dowolny a I b. Pierwszy rozwiązany przez nas przykład, a mianowicie (2 x+ 3tak) 2 można rozwiązać za pomocą tożsamości (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Aby to zrobić, musisz zastąpić zmienne a I b odpowiednie terminy z wyrażenia (2 x+ 3tak) 2 . W tym przypadku zmienna a dopasuj kutasa 2 x, a zmienna b dopasuj kutasa 3 tak

a = 2x

b = 3tak

A potem możemy użyć tożsamości (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , ale zamiast zmiennych a I b musisz zastąpić wyrażenia 2 x i 3 tak odpowiednio:

(2x+ 3tak) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 tak + (3tak) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9tak 2

Jak ostatnio, mamy wielomian 4x 2 + 12xy+ 9tak 2 . Rozwiązanie jest zwykle pisane krócej, wykonując w umyśle wszystkie elementarne przekształcenia:

(2x+ 3tak) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9tak 2

Tożsamość (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 nazywa się wzorem na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Ten wzór można odczytać tak:

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Rozważmy wyrażenie (2 + 3) 2 . Można go obliczyć na dwa sposoby: wykonać dodawanie w nawiasach i podnieść wynik do kwadratu lub zastosować wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Pierwszy sposób:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Drugi sposób:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Przykład 2. Konwertuj wyrażenie (5 a+ 3) 2 w wielomian.

Użyjmy wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5+ 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Oznacza, (5+ 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia formuły suma-kwadrat. Powinniśmy uzyskać ten sam wynik:

(5+ 3) 2 = (5+ 3)(5+ 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń ma znaczenie geometryczne. Pamiętamy, że aby obliczyć powierzchnię kwadratu, należy podnieść jego bok do drugiej potęgi.

Na przykład powierzchnia kwadratu z bokiem a będzie równy a 2. Jeśli zwiększysz bok kwadratu o b, wtedy powierzchnia będzie równa ( a+b) 2

Rozważmy następujący rysunek:

Wyobraź sobie, że bok kwadratu pokazanego na tym rysunku jest powiększony o b. Kwadrat ma wszystkie boki równe. Jeśli jego bok zostanie zwiększony o b, wtedy pozostałe strony również wzrosną o b

Rezultatem jest nowy kwadrat, który jest większy od poprzedniego. Aby dobrze to zobaczyć, uzupełnijmy brakujące strony:

Aby obliczyć powierzchnię tego kwadratu, możesz osobno obliczyć zawarte w nim kwadraty i prostokąty, a następnie dodać wyniki.

Najpierw możesz obliczyć kwadrat o boku a- jego powierzchnia będzie równa a 2. Następnie możesz obliczyć prostokąty o bokach a I b- będą równe ab. Następnie możesz obliczyć kwadrat o boku b

Wynikiem jest następująca suma obszarów:

a 2 + ab+ab + b 2

Sumę pól identycznych prostokątów można zastąpić mnożąc 2 ab, co dosłownie oznacza "powtórz dwa razy obszar prostokąta ab" . Algebraicznie uzyskuje się to poprzez redukcję podobnych terminów ab I ab. Wynikiem jest wyrażenie a 2 + 2ab+ b 2 , czyli prawa strona wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest następujący:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń wyprowadza się w taki sam sposób, jak wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Wyrażenie ( a-b) 2 jest iloczynem dwóch wielomianów, z których każdy jest równy ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Jeśli wykonasz to mnożenie, otrzymasz wielomian a 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Przykład 1. Konwertuj wyrażenie (7 x− 5) 2 w wielomian.

Użyjmy wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Oznacza, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia wzoru na kwadrat różnicy. Powinniśmy uzyskać ten sam wynik:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń ma również znaczenie geometryczne. Jeśli powierzchnia kwadratu z bokiem a jest równe a 2 , to powierzchnia kwadratu, którego bok jest zmniejszony o b, będzie równa ( a-b) 2

Rozważmy następujący rysunek:

Wyobraź sobie, że bok kwadratu pokazanego na tym rysunku jest zmniejszony o b. Kwadrat ma wszystkie boki równe. Jeśli jedna strona jest zmniejszona o b, wtedy pozostałe strony również zmniejszą się o b

Rezultatem jest nowy kwadrat, który jest mniejszy od poprzedniego. Na rysunku jest podświetlony na żółto. Jego strona jest a− b od starej strony a zmniejszyła się o b. Aby obliczyć powierzchnię tego kwadratu, możesz użyć oryginalnej powierzchni kwadratu a 2 odejmij pola prostokątów, które zostały uzyskane w procesie zmniejszania boków starego kwadratu. Pokażmy te prostokąty:

Następnie możemy napisać następujące wyrażenie: stary obszar a 2 minus obszar ab obszar ujemny ( a-b)b

a 2 − ab − (a-b)b

Rozwiń nawiasy w wyrażeniu ( a-b)b

a 2 − ab - ab + b 2

Oto podobne terminy:

a 2 − 2ab + b 2

Wynikiem jest wyrażenie a 2 − 2ab + b 2 , czyli prawa strona wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy są ogólnie nazywane skrócone wzory mnożenia. Te formuły pozwalają znacznie uprościć i przyspieszyć proces mnożenia wielomianów.

Wcześniej powiedzieliśmy, że rozpatrując element wielomianu oddzielnie, należy go rozpatrywać razem ze znakiem, który znajduje się przed nim.

Ale stosując skrócone wzory mnożenia, znak pierwotnego wielomianu nie powinien być uważany za znak samego tego terminu.

Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie (5 x − 2tak) 2 , a my chcemy użyć wzoru (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , to zamiast b trzeba zastąpić 2 tak, a nie −2 tak. Jest to cecha pracy z formułami, o której nie należy zapominać.

(5x − 2tak) 2
a = 5x
b = 2tak
(5x − 2tak) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x×2 tak + (2tak) 2 = 25x 2 − 20xy + 4tak 2

Jeśli podstawimy −2 tak, oznacza to, że różnica w nawiasach oryginalnego wyrażenia została zastąpiona sumą:

(5x − 2tak) 2 = (5x + (−2tak)) 2

i w tym przypadku należy zastosować nie wzór kwadratu różnicy, ale wzór kwadratu sumy:

(5x + (−2tak) 2
a = 5x
b = −2tak
(5x + (−2tak)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 tak) + (−2tak) 2 = 25x 2 − 20xy + 4tak 2

Wyjątkiem mogą być wyrażenia postaci (x− (−tak)) 2 . W tym przypadku korzystając ze wzoru (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 zamiast b powinno być podstawione (− tak)

(x− (−tak)) 2 = x 2 − 2 × x× (− tak) + (−tak) 2 = x 2 + 2xy + tak 2

Ale kwadratowe wyrażenia formy x − (−tak), wygodniej będzie zastąpić odejmowanie dodawaniem x+y. Wtedy oryginalne wyrażenie przyjmie postać ( x +tak) 2 i będzie można użyć wzoru na kwadrat sumy, a nie różnicy:

(x +tak) 2 = x 2 + 2xy + tak 2

Kostka sumy i kostka różnicy

Wzory na sześcian sumy dwóch wyrażeń i sześcian różnicy dwóch wyrażeń są następujące:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Wzór na sześcian sumy dwóch wyrażeń można odczytać w następujący sposób:

Sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia plus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia razy drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia razy kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenie.

A wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeń można odczytać w następujący sposób:

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzy razy iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.

Przy rozwiązywaniu problemów pożądane jest poznanie tych formuł na pamięć. Jeśli nie pamiętasz, nie martw się! Możesz je samemu wyjąć. Już wiemy jak.

Wyprowadźmy samodzielnie wzór na kostkę sumy:

(a+b) 3

Wyrażenie ( a+b) 3 jest iloczynem trzech wielomianów, z których każdy jest równy ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

Ale wyrażenie ( a+b) 3 można również zapisać jako (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

W tym przypadku współczynnik ( a+ b) 2 to kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Ten kwadrat sumy jest równy wyrażeniu a 2 + 2ab + b 2 .

Następnie ( a+b) 3 można zapisać jako (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

A to jest mnożenie wielomianu przez wielomian. Zróbmy to:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Podobnie możesz wyprowadzić wzór na sześcian z różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

Przykład 1. Konwertuj wyrażenie ( x+ 1) 3 w wielomian.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia wzoru sześciennego na sumę dwóch wyrażeń

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Przykład 2. Konwertuj wyrażenie (6a 2 + 3b 3) 3 na wielomian.

Użyjmy formuły sześciennej dla sumy dwóch wyrażeń:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9

Przykład 3. Konwertuj wyrażenie ( n 2 − 3) 3 w wielomian.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Przykład 4. Konwertuj wyrażenie (2x 2 − x 3) 3 na wielomian.

Użyjmy wzoru sześciennego różnicy dwóch wyrażeń:

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Mnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę

Istnieją problemy, w których wymagane jest pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę. Na przykład:

(a-b)(a+b)

W tym wyrażeniu różnica dwóch wyrażeń a I b pomnożone przez sumę tych samych dwóch wyrażeń. Zróbmy to mnożenie:

(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

To jest wyrażenie (a-b)(a+b) równa się a 2 − b 2

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

Widzimy, że mnożąc różnicę dwóch wyrażeń przez ich sumę, otrzymujemy różnicę kwadratów tych wyrażeń.

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i ich sumy jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń.

Wydarzenie (a-b)(a+b) można rozszerzyć na dowolny a I b. Mówiąc najprościej, jeśli przy rozwiązywaniu problemu konieczne jest pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę, to to mnożenie można zastąpić różnicą kwadratów tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2x − 5)(2x + 5)

W tym przykładzie różnica w wyrażeniu wynosi 2 x i 5 pomnożone przez sumę tych samych wyrażeń. Następnie zgodnie ze wzorem (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 mamy:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Obliczamy prawą stronę, otrzymujemy 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Spróbujmy rozwiązać ten przykład bez użycia formuły (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Otrzymamy ten sam wynik 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (4x − 5tak)(4x + 5tak)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5tak)(4x + 5tak) = (4x) 2 − (5tak) 2 = 16x 2 − 25tak 2

Przykład 3. Wykonaj mnożenie (2a+ 3b)(2a− 3b)

Użyjmy wzoru na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(2+ 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

W tym przykładzie suma terminów wynosi 2 a i 3 b znajduje się wcześniej niż różnica tych terminów. A w formule (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 różnica znajduje się wcześniej.

Nie ma znaczenia, jak ułożone są czynniki ( a-b) w ( a+b) we wzorze. Można je zapisać jako (a-b)(a+b) , oraz (a+b)(a-b) . Wynik nadal będzie a 2 − b 2 , ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

W tym przykładzie czynniki (2 + 3b) i 2 a- 3b) można zapisać jako (2+ 3b)(2a- 3b) , oraz (2a- 3b)(2+ 3b) . Wynik nadal będzie wynosił 4. a 2 − 9b 2 .

Przykład 3. Wykonaj mnożenie (7 + 3x)(3x − 7)

Użyjmy wzoru na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

Przykład 4. Wykonaj mnożenie (x 2 − tak 3)(x 2 + tak 3)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − tak 3)(x 2 + tak 3) = (x 2) 2 − (tak 3) 2 = x 4 − tak 6

Przykład 5. Wykonaj mnożenie (−5x− 3tak)(5x− 3tak)

W wyrażeniu (−5 x− 3tak) wyjmujemy −1, to pierwotne wyrażenie przyjmie postać:

(−5x− 3tak)(5x− 3tak) = −1(5x + 3tak)(5x − 3tak)

Praca (5x + 3tak)(5x − 3tak) zastąpić różnicą kwadratów:

(−5x− 3tak)(5x− 3tak) = −1(5x + 3tak)(5x − 3tak) = −1((5x) 2 − (3tak) 2)

Różnicę kwadratów ujęto w nawiasy kwadratowe. Jeśli tego nie zrobimy, to okaże się, że −1 mnoży się tylko przez (5 x) 2 . A to doprowadzi do błędu i zmieni wartość oryginalnego wyrażenia.

(−5x− 3tak)(5x− 3tak) = −1(5x + 3tak)(5x − 3tak) = −1((5x) 2 − (3tak) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Teraz pomnóż −1 przez wyrażenie w nawiasie i uzyskaj wynik końcowy:

(−5x− 3tak)(5x− 3tak) = −1(5x + 3tak)(5x − 3tak) = −1((5x) 2 − (3tak) 2) =
−1(25x 2 − 9tak 2) = −25x 2 + 9tak 2

Mnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy

Istnieją problemy, w których wymagane jest pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy. Ten kawałek wygląda tak:

(a-b)(a 2 + ab + b 2)

Pierwszy wielomian ( a-b) jest różnicą dwóch wyrażeń, a drugiego wielomianu (a 2 + ab + b 2) jest niepełnym kwadratem sumy tych dwóch wyrażeń.

Niepełny kwadrat sumy jest wielomianem postaci a 2 + ab + b 2 . Jest podobny do zwykłego kwadratu sumy a 2 + 2ab + b 2

Na przykład wyrażenie 4x 2 + 6xy + 9tak 2 jest niepełnym kwadratem sumy wyrażeń 2 x i 3 tak .

Rzeczywiście, pierwszy termin wyrażenia 4x 2 + 6xy + 9tak 2 , czyli 4 x 2 to kwadrat wyrażenia 2 x, ponieważ (2 x) 2 = 4x 2. Trzeci termin wyrażenia 4x 2 + 6xy + 9tak 2 , czyli 9 tak 2 to kwadrat 3 tak, ponieważ (3 tak) 2 = 9tak 2. średni kutas 6 xy, jest iloczynem wyrażeń 2 x i 3 tak.

Więc pomnóżmy różnicę ( a-b) przez niepełny kwadrat sumy a 2 + ab + b 2

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

To jest wyrażenie (a-b)(a 2 + ab + b 2) równa się a 3 − b 3

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Tożsamość ta nazywana jest wzorem na pomnożenie różnicy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy. Ten wzór można odczytać tak:

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń i niepełnego kwadratu ich sumy jest równy różnicy sześcianów tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2x − 3tak)(4x 2 + 6xy + 9tak 2)

Pierwszy wielomian (2 x − 3tak) jest różnicą dwóch wyrażeń 2 x i 3 tak. Drugi wielomian 4x 2 + 6xy + 9tak 2 jest niepełnym kwadratem sumy dwóch wyrażeń 2 x i 3 tak. Dzięki temu możemy korzystać ze wzoru bez długich obliczeń (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . W naszym przypadku mnożenie (2x − 3tak)(4x 2 + 6xy + 9tak 2) można zastąpić różnicą kostek 2 x i 3 tak

(2x − 3tak)(4x 2 + 6xy + 9tak 2) = (2x) 3 − (3tak) 3 = 8x 3 − 27tak 3

(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Otrzymujemy ten sam wynik, ale rozwiązanie staje się dłuższe:

(2x − 3tak)(4x 2 + 6xy + 9tak 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9tak 2) − 3tak(4x 2 + 6xy + 9tak 2) =
8x 3 + 12x 2 tak + 18xy 2 − 12x 2 tak − 18xy 2 − 27tak 3 = 8x 3 − 27tak 3

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Pierwszy wielomian (3 − x) jest różnicą dwóch wyrażeń, a drugi wielomian jest niepełnym kwadratem sumy tych dwóch wyrażeń. To pozwala nam wykorzystać formułę (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Mnożenie sumy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy

Istnieją problemy, w których konieczne jest pomnożenie sumy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy. Ten kawałek wygląda tak:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

Pierwszy wielomian ( a+b (a 2 − ab + b 2) jest niepełnym kwadratem różnicy tych dwóch wyrażeń.

Niepełny kwadrat różnicy jest wielomianem postaci a 2 − ab + b 2 . Jest podobny do zwykłej kwadratowej różnicy a 2 − 2ab + b 2 z tym wyjątkiem, że iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia nie jest podwojony.

Na przykład wyrażenie 4x 2 − 6xy + 9tak 2 jest niepełnym kwadratem różnicy wyrażeń 2 x i 3 y .

(2x) 2 − 2x× 3 tak + (3tak) 2 = 4x 2 − 6xy + 9tak 2

Wróćmy do oryginalnego przykładu. Pomnóżmy sumę a+b przez niepełny kwadrat różnicy a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

To jest wyrażenie (a+b)(a 2 − ab + b 2) równa się a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Tożsamość ta nazywana jest wzorem na pomnożenie sumy dwóch wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnicy. Ten wzór można odczytać tak:

Iloczyn sumy dwóch wyrażeń i niepełnego kwadratu ich różnicy jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń.

Przykład 1. Wykonaj mnożenie (2x + 3tak)(4x 2 − 6xy + 9tak 2)

Pierwszy wielomian (2 x + 3tak) jest sumą dwóch wyrażeń 2 x i 3 tak, a drugi wielomian 4x 2 − 6xy + 9tak 2 jest niepełnym kwadratem różnicy tych wyrażeń. Dzięki temu możemy korzystać ze wzoru bez długich obliczeń (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . W naszym przypadku mnożenie (2x + 3tak)(4x 2 − 6xy + 9tak 2) można zastąpić sumą kostek 2 x i 3 tak

(2x + 3tak)(4x 2 − 6xy + 9tak 2) = (2x) 3 + (3tak) 3 = 8x 3 + 27tak 3

Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład bez użycia formuły (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Otrzymujemy ten sam wynik, ale rozwiązanie staje się dłuższe:

(2x + 3tak)(4x 2 − 6xy + 9tak 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9tak 2) + 3tak(4x 2 − 6xy + 9tak 2) =
8x 3 − 12x 2 tak + 18xy 2 + 12x 2 tak − 18xy 2 + 27tak 3 = 8x 3 + 27tak 3

Przykład 2. Wykonaj mnożenie (2x+ tak)(4x 2 − 2xy + tak 2)

Pierwszy wielomian (2 x+ tak) jest sumą dwóch wyrażeń, a drugiego wielomianu (4x 2 − 2xy + tak 2) jest niepełnym kwadratem różnicy tych wyrażeń. To pozwala nam wykorzystać formułę (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ tak)(4x 2 − 2xy + tak 2) = (2x) 3 + tak 3 = 8x 3 + tak 3

Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład bez użycia formuły (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Otrzymujemy ten sam wynik, ale rozwiązanie staje się dłuższe:

(2x+ tak)(4x 2 − 2xy + tak 2) = 2x(4x 2 − 2xy + tak 2) + tak(4x 2 − 2xy + tak 2) =
8x 3 − 4x 2 tak + 2xy 2 + 4x 2 tak − 2xy 2 + tak 3 = 8x 3 + tak 3

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

W poprzedniej lekcji zajmowaliśmy się faktoryzacją. Opanowaliśmy dwie metody: wyciąganie wspólnego czynnika z nawiasów i grupowanie. W tym samouczku następująca potężna metoda: skrócone wzory mnożenia. W krótkiej notatce - FSU.

Skrócone wzory mnożenia (kwadrat sumy i różnicy, sześcian sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica sześcianów) są niezbędne we wszystkich dziedzinach matematyki. Służą do upraszczania wyrażeń, rozwiązywania równań, mnożenia wielomianów, zmniejszania ułamków, rozwiązywania całek itp. itp. Krótko mówiąc, są wszelkie powody, aby się z nimi uporać. Dowiedz się, skąd pochodzą, dlaczego są potrzebne, jak je zapamiętać i jak je zastosować.

Czy rozumiemy?)

Skąd pochodzą skrócone wzory mnożenia?

Równania 6 i 7 nie są napisane w bardzo zwykły sposób. Jak przeciwnie. To jest celowe.) Każda równość działa zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. W takim zapisie wyraźniej widać, skąd pochodzi FSO.

Pobiera się je z mnożenia.) Na przykład:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

To wszystko, żadnych naukowych sztuczek. Po prostu mnożymy nawiasy i podajemy podobne. Tak się okazuje wszystkie skrócone wzory mnożenia. skrócony mnożenie wynika z tego, że w samych formułach nie ma mnożenia nawiasów i redukcji podobnych. Obniżone.) Wynik jest podawany natychmiast.

FSU musi wiedzieć na pamięć. Bez pierwszych trzech nie można marzyć o trójce, bez reszty - o czwórce z piątką.)

Dlaczego potrzebujemy skróconych wzorów mnożenia?

Istnieją dwa powody, aby nauczyć się, a nawet zapamiętać tych formuł. Pierwsza - gotowa odpowiedź na maszynie radykalnie zmniejsza liczbę błędów. Ale to nie jest główny powód. A oto drugi...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Opieka nad dzieckiem