Skrócone formuły wyrażeń są bardzo często stosowane w praktyce, dlatego wskazane jest, aby nauczyć się ich wszystkich na pamięć. Do tego momentu będziemy wiernie służyć, co polecamy wydrukować i cały czas mieć przed oczami:

Pierwsze cztery formuły ze skompilowanej tabeli skróconych formuł mnożenia umożliwiają kwadrat i kostkę sumę lub różnicę dwóch wyrażeń. Piąta służy do krótkiego pomnożenia różnicy i sumy dwóch wyrażeń. Szósty i siódmy wzór służy do pomnożenia sumy dwóch wyrażeń a i b przez ich niepełny kwadrat różnicy (tak nazywa się wyrażenie postaci a 2 −ab + b 2) i różnicy dwóch wyrażeń a i b przez niepełny kwadrat ich sumy (a 2 + a b+b 2 ).

Warto osobno zaznaczyć, że każda równość w tabeli jest tożsamością. To wyjaśnia, dlaczego skrócone wzory mnożenia są również nazywane skróconymi tożsamościami mnożenia.

Podczas rozwiązywania przykładów, zwłaszcza w których zachodzi faktoryzacja wielomianu, FSU jest często używany w postaci z przestawionymi lewą i prawą częścią:

Ostatnie trzy tożsamości w tabeli mają swoje własne nazwy. Formuła a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) nazywa się wzór różnicy kwadratów, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - formuła sumy kostek, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - wzór różnicy sześcianów. Należy pamiętać, że nie wymieniliśmy odpowiednich formuł z przearanżowanymi częściami z poprzedniej tabeli FSU.

Dodatkowe formuły

Nie zaszkodzi dodać jeszcze kilka tożsamości do tabeli skróconych formuł mnożenia.

Zakresy skróconych wzorów mnożenia (FSU) i przykłady

Główny cel skróconych formuł mnożenia (FSU) wyjaśnia ich nazwa, to znaczy polega na krótkim mnożeniu wyrażeń. Jednak zakres FSO jest znacznie szerszy i nie ogranicza się do krótkiego mnożenia. Wymieńmy główne kierunki.

Niewątpliwie centralne zastosowanie wzoru zredukowanego mnożenia znalazło się w wykonywaniu identycznych przekształceń wyrażeń. Najczęściej te formuły są wykorzystywane w procesie uproszczenia wyrażeń.

Przykład.

Uprość wyrażenie 9·y−(1+3·y) 2 .

Rozwiązanie.

W tym wyrażeniu kwadratura może być wykonana w skrócie, mamy 9 r.-(1+3 r.) 2 =9 r.-(1 2 +2 1 3 r.+(3 r.) 2). Pozostaje tylko otworzyć nawiasy i podać podobne warunki: 9 r.-(1 2 +2 1 3 r.+(3 r.) 2)= 9 r.−1−6 r.−9 r. 2 =3 r.−1−9 r. 2.

W liczniku wyrażenie to różnica sześcianów dwóch wyrażeń 2·x iz 2 , aw mianowniku różnica kwadratów tych wyrażeń. Po zastosowaniu odpowiednich formuł pierwotna frakcja przyjmie formę . Teraz możesz zmniejszyć te same współczynniki w liczniku i mianowniku: .

Podsumujmy krótko rozwiązanie:

Odpowiedź:

.

Zredukowane formuły mnożenia czasami umożliwiają racjonalne obliczenie wartości wyrażeń. Jako przykład pokażmy, jak możesz podnieść liczbę 79 do kwadratu, używając wzoru na różnicę do kwadratu: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6400-160+1=6241 . Takie podejście pozwala na wykonanie takich obliczeń nawet ustnie.

Podsumowując, porozmawiajmy o jeszcze jednej ważnej transformacji - kwadratura dwumianu, który jest oparty na wzorze na skróconą sumę mnożenia do kwadratu. Na przykład wyrażenie 4·x 2 +4·x−3 można przekonwertować do postaci (2·x) 2 +2·2·x·1+1 2 −4 , a pierwsze trzy terminy są zastępowane za pomocą formuła przez kwadrat sumy. Zatem wyrażenie staje się (2 x+1) 2 -4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane np. dla .

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 17. ed. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 13 wyd., ks. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ch. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Skrócone formuły mnożenia (FSU) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybsze wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy główne formuły skróconego mnożenia, pogrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych formuł, a także omówimy zasady dowodzenia skróconych formuł mnożenia.

Po raz pierwszy temat FSU poruszany jest w ramach kursu „Algebra” dla 7 klasy. Poniżej 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory mnożenia

1. suma kwadratów: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. wzór kwadratu różnicy: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. sumaryczna formuła kostki: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. wzór kostki różnicy: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. wzór różnicy kwadratów: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. wzór różnicy sześcianów: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla ułatwienia użytkowania lepiej jest nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Podsumowujemy je w tabeli i podajemy poniżej, zakreślając je pudełkiem.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę kwadratów wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Szósty i siódmy wzór to odpowiednio pomnożenie sumy i różnicy wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana również skróconymi tożsamościami mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Przy rozwiązywaniu praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory mnożenia z przearanżowanymi częściami lewą i prawą. Jest to szczególnie wygodne przy rozkładaniu na czynniki wielomianu.

Dodatkowe skrócone wzory mnożenia

Nie ograniczymy się do 7-klasowego kursu algebry i dodamy jeszcze kilka wzorów do naszej tabeli FSU.

Najpierw rozważ dwumianowy wzór Newtona.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianowymi, które znajdują się w linii numer n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się według wzoru:

Cnk = n ! k! · (n - k) ! = n (n-1) (n-2). . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy i sumy jest szczególnym przypadkiem wzoru dwumianowego Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli w sumie jest więcej niż dwa wyrazy, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

1 + 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może się przydać, jest wzór na różnicę n-tej potęgi dwóch wyrazów.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Formuła ta jest zwykle podzielona na dwie formuły - odpowiednio dla stopni parzystych i nieparzystych.

Dla parzystych wykładników 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla nieparzystych wykładników 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Zgadłeś, że wzory na różnicę kwadratów i różnicę sześcianów są szczególnymi przypadkami tego wzoru, odpowiednio dla n = 2 i n = 3. Dla różnicy sześcianów b jest również zastępowane przez - b .

Jak czytać skrócone wzory mnożenia?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdej formuły, ale najpierw zajmiemy się zasadą czytania formuł. Najłatwiej to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie kwadratu pierwszego wyrażenia, dwukrotności iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie inne formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, trzykrotności iloczynu kwadratu pierwszego i drugiego wyrażenia oraz trzykrotności iloczynu kwadratu drugiego wyrażenia i pierwsze wyrażenie.

Przechodzimy do czytania wzoru na różnicę sześcianów a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy dwóch wyrażeń a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia i drugiego plus trzy razy kwadrat drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąta formuła a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 są dla wygody nazywane odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Mając to na uwadze, wzory na sumę i różnicę kostek brzmią następująco:

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i niepełnego kwadratu ich różnicy.

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. Na podstawie właściwości mnożenia przeprowadzimy mnożenie części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Aby wznieść wyrażenie do drugiej potęgi, wyrażenie musi zostać pomnożone przez siebie.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozwińmy nawiasy:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formuła została sprawdzona. Inne FSO są podobnie udowadniane.

Przykłady zastosowania FSO

Celem stosowania skróconych formuł mnożenia jest szybkie i zwięzłe mnożenie i potęgowanie wyrażeń. Nie jest to jednak cały zakres działania FSO. Są szeroko stosowane w wyrażeniach redukujących, redukujących ułamki, rozkładając na czynniki wielomiany. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSO

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Zastosuj wzór sumy kwadratów i uzyskaj:

9 lat - (1 + 3 lat) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSO

Zmniejsz ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Zauważamy, że wyrażenie w liczniku to różnica sześcianów, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Redukujemy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczać wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń piszemy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że skomplikowane obliczenia zostały wykonane szybko przy użyciu tylko skróconych wzorów mnożenia i tabliczki mnożenia.

Kolejnym ważnym punktem jest wybór kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekonwertować na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

>>Matematyka: skrócone formuły mnożenia

Skrócone wzory mnożenia

Istnieje kilka przypadków, w których mnożenie jednego wielomianu przez drugi prowadzi do zwartego, łatwego do zapamiętania wyniku. W takich przypadkach lepiej nie mnożyć za każdym razem jeden raz wielomian z drugiej strony i użyj końcowego wyniku. Rozważmy te przypadki.

1. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

Przykład 1 Otwórz nawiasy w wyrażeniu:

a) (3x + 2) 2 ;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Stosujemy wzór (1), biorąc pod uwagę, że rolę a pełni 3x, a rolą b jest liczba 2.
Otrzymujemy:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Używamy wzoru (2), biorąc pod uwagę, że w roli a mówi 5a 2 i w roli b mówi 4b 3. Otrzymujemy:

(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2 - 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Korzystając ze wzorów na kwadrat sumy lub kwadrat różnicy, należy pamiętać, że
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Wynika to z faktu, że (-a) 2 = a 2 .

Zwróć uwagę, że niektóre sztuczki matematyczne oparte są na wzorach (1) i (2), co pozwala na wykonywanie obliczeń w głowie.

Na przykład, można praktycznie werbalnie podłożyć kwadrat liczby kończące się na 1 i 9. Rzeczywiście

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Czasami możesz też szybko podnieść do kwadratu liczbę kończącą się na 2 lub 8. Na przykład

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ale najbardziej elegancka sztuczka polega na dodawaniu do kwadratu liczb kończących się na 5.
Przeprowadźmy odpowiednie rozumowanie dla 85 2 .

Mamy:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Zauważamy, że aby obliczyć 85 2 wystarczyło pomnożyć 8 przez 9 i dodać od prawej do otrzymanego wyniku 25. Podobnie można zrobić to samo w innych przypadkach. Na przykład 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 i 25 dodano do uzyskanej liczby po prawej);

65 2 = 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 i 25 dodano do uzyskanej liczby po prawej stronie).

Ponieważ mówimy o różnych ciekawych okolicznościach związanych z nudnymi (na pierwszy rzut oka) wzorami (1) i (2), uzupełnimy tę rozmowę następującym rozumowaniem geometrycznym. Niech a i b będą liczbami dodatnimi. Rozważ kwadrat o boku a + b i wytnij kwadraty o bokach równych a i b odpowiednio w dwóch jego rogach (ryc. 4).

Pole kwadratu o boku a + b to (a + b) 2 . Ale przecinamy ten kwadrat na cztery części: kwadrat o boku a (jego powierzchnia to a 2), kwadrat o boku b (jego powierzchnia to b 2), dwa prostokąty o bokach a i b (powierzchnia każdego takiego prostokąt to ab). Stąd (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, czyli otrzymaliśmy wzór (1).

Pomnóż dwumian a + b przez dwumian a - b. Otrzymujemy:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
więc

Każda równość w matematyce jest używana zarówno od lewej do prawej (tj. lewa strona równości jest zastępowana jej prawą stroną), jak i od prawej do lewej (tj. Prawa strona równości jest zastępowana jej lewą stroną). Jeśli formuła C jest używana od lewej do prawej, umożliwia zastąpienie produktu (a + b) (a - b) wynikiem końcowym a 2 - b 2 . Ta sama formuła może być używana od prawej do lewej, a następnie pozwala zastąpić różnicę kwadratów a 2 - b 2 iloczynem (a + b) (a - b). Formuła (3) w matematyce ma specjalną nazwę - różnica kwadratów.

Komentarz. Nie myl pojęć „różnica kwadratów” z „różnicą do kwadratu”. Różnica kwadratów to a 2 - b 2, co oznacza, że ​​mówimy o wzorze (3); kwadrat różnicy to (a-b) 2, więc mówimy o wzorze (2). W języku potocznym formułę (3) czyta się „od prawej do lewej” w następujący sposób:

różnica kwadratów dwóch liczb (wyrażeń) jest równa iloczynowi sumy tych liczb (wyrażeń) i ich różnicy,

Przykład 2 Wykonaj mnożenie

(3x-2 lata) (3x+2 lata)
Rozwiązanie. Mamy:
(3x - 2 lata) (3x + 2 lata) \u003d (3x) 2 - (2 lata) 2 \u003d 9x 2 - 4 lata 2.

Przykład 3 Wyraź dwumian 16x 4 - 9 jako iloczyn dwumianów.

Rozwiązanie. Mamy: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, co oznacza, że ​​dany dwumian jest różnicą kwadratów, tj. można do niego zastosować wzór (3), czytany od prawej do lewej. Następnie otrzymujemy:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - W 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)

Formuła (3), podobnie jak formuły (1) i (2), służy do wykonywania sztuczek matematycznych. Widzieć:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Zakończmy rozmowę o wzorze na różnicę kwadratów ciekawym rozumowaniem geometrycznym. Niech a i b będą liczbami dodatnimi, gdzie a > b. Rozważ prostokąt o bokach a + b i a - b (ryc. 5). Jego powierzchnia to (a + b) (a - b). Odetnij prostokąt o bokach b i a - b i przyklej go do pozostałej części, jak pokazano na rysunku 6. Oczywiste jest, że wynikowa figura ma ten sam obszar, tj. (a + b) (a - b). Ale ta postać może
zbuduj w ten sposób: z kwadratu o boku a wytnij kwadrat o boku b (jest to wyraźnie widoczne na ryc. 6). Czyli obszar nowej figury to a 2 - b 2 . Tak więc (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, tj. otrzymaliśmy wzór (3).

3. Różnica kostek i suma kostek

Pomnóż dwumian a - b przez trójmian a 2 + ab + b 2.
Otrzymujemy:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -bb 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

podobnie

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(sprawdź sam). Więc,

Formuła (4) jest zwykle nazywana różnica kostek, wzór (5) - suma kostek. Spróbujmy przetłumaczyć formuły (4) i (5) na zwykły język. Zanim to zrobisz, zauważ, że wyrażenie a 2 + ab + b 2 jest podobne do wyrażenia a 2 + 2ab + b 2, które pojawiło się we wzorze (1) i dało (a + b) 2 ; wyrażenie a 2 - ab + b 2 jest podobne do wyrażenia a 2 - 2ab + b 2, które pojawiło się we wzorze (2) i dało (a - b) 2 .

Aby odróżnić (w języku) te pary wyrażeń od siebie, każde z wyrażeń a 2 + 2ab + b 2 i a 2 - 2ab + b 2 nazywa się kwadratem idealnym (suma lub różnica), a każde z wyrażeń a 2 + ab + b 2 i a 2 - ab + b 2 nazywamy kwadratem niepełnym (suma lub różnica). Następnie otrzymujemy następujące tłumaczenie formuł (4) i (5) (czytaj „od prawej do lewej”) na język potoczny:

różnica sześcianów dwóch liczb (wyrażeń) jest równa iloczynowi różnicy tych liczb (wyrażeń) przez niepełny kwadrat ich sumy; suma sześcianów dwóch liczb (wyrażeń) jest równa iloczynowi sumy tych liczb (wyrażeń) przez niepełny kwadrat ich różnicy.

Komentarz. Wszystkie wzory (1)-(5) uzyskane w tym rozdziale są używane zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej, tylko w pierwszym przypadku (od lewej do prawej) mówią, że (1)-(5) są skróconym mnożeniem formuły, aw drugim przypadku (od prawej do lewej) mówią, że (1)-(5) są formułami rozkładającymi na czynniki.

Przykład 4 Pomnóż (2x-1)(4x2 + 2x+1).

Rozwiązanie. Ponieważ pierwszy czynnik to różnica między jednomianami 2x i 1, a drugi czynnik to niepełny kwadrat ich sumy, można zastosować wzór (4). Otrzymujemy:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Przykład 5 Wyraź dwumian 27a 6 + 8b 3 jako iloczyn wielomianów.

Rozwiązanie. Mamy: 27а 6 = (Dla 2) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Oznacza to, że dany dwumian jest sumą sześcianów, czyli wzór 95) może być do niego zastosowany, czytany od prawej do lewej. Następnie otrzymujemy:

27a 6 + 8b 3 = (Dla 2) 3 + (2b) 3 = (Dla 2 + 2b) ((Dla 2) 2 - Dla 2 2b + (2b) 2) = (Dla 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2b + 4b 2).

Pomóż uczniowi online, Matematyka do pobrania dla klasy 7, planowanie tematyczne w kalendarzu

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok zalecenia metodyczne programu dyskusji Zintegrowane lekcje

Przy obliczaniu wielomianów algebraicznych, aby uprościć obliczenia, używamy skrócone wzory mnożenia . W sumie jest siedem takich formuł. Wszyscy muszą być znani na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast aib we wzorach mogą występować zarówno liczby, jak i dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Różnica kwadratów dwóch liczb jest równa iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

suma kwadratowa

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Zauważ, że przy tej zredukowanej formule mnożenia łatwo jest znajdź kwadraty dużych liczb bez użycia kalkulatora lub długiego mnożenia. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2 .

Rozłóżmy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy2.
112 = 100 + 1

W nawiasach zapisujemy sumę liczb i umieszczamy kwadrat nad nawiasami.
112 2 = (100 + 12) 2

Użyjmy wzoru sumy kwadratów:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratów obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 2 nie równe a 2 + b 2

Kwadrat różnicy

Kwadrat różnicy między dwiema liczbami jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Warto też pamiętać o bardzo przydatnej transformacji:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Powyższy wzór można udowodnić, po prostu rozszerzając nawiasy:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

kostka sumy

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus trzy razy kwadrat pierwszej liczby razy druga plus trzy razy iloczyn pierwszej razy kwadrat drugiej plus sześcian drugiej.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Zapamiętanie tej „strasznie” wyglądającej formuły jest dość proste.

Dowiedz się, że 3 jest na pierwszym miejscu.

Dwa wielomiany w środku mają współczynniki 3.

Vpamiętaj, że dowolna liczba do potęgi zerowej wynosi 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje spadek stopnia a i wzrost stopnia b. Możesz to zweryfikować:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!!!

(a + b) 3 nie równe a 3 + b 3

kostka różnicy

Sześcian różnicy między dwiema liczbami jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzy razy kwadrat pierwszej liczby i drugiej plus trzy razy iloczyn pierwszej liczby i kwadrat drugiej minus sześcian drugiej .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ta formuła jest pamiętana jako poprzednia, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienne znaki „+” i „-”. Pierwszy człon 3 jest poprzedzony znakiem „+” (zgodnie z zasadami matematyki tego nie piszemy). Oznacza to, że następny członek będzie poprzedzony znakiem „-”, a następnie ponownie „+” itd.

(a - b) 3 = + 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma kostek ( Nie mylić z kostką sumy!)

Suma sześcianów jest równa iloczynowi sumy dwóch liczb i niepełnego kwadratu różnicy.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Suma sześcianów jest iloczynem dwóch nawiasów.

Pierwszy nawias to suma dwóch liczb.

Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy liczb. Niepełny kwadrat różnicy nazywamy wyrażeniem:

A 2 - ab + b 2
Ten kwadrat jest niepełny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwójnego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica sześcianu (nie mylić z kostką różnicy!!!)

Różnica sześcianów jest równa iloczynowi różnicy dwóch liczb przez niepełny kwadrat sumy.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zachowaj ostrożność podczas pisania znaków.Należy pamiętać, że wszystkie powyższe formuły są również używane od prawej do lewej.

Prosty sposób na zapamiętanie skróconych wzorów mnożenia, czyli... Trójkąt Pascala.

Czy trudno zapamiętać formuły skróconego mnożenia? Sprawa jest łatwa do pomocy. Musisz tylko pamiętać, jak przedstawia się tak prostą rzecz, jak trójkąt Pascala. Wtedy będziesz pamiętał te formuły zawsze i wszędzie, a raczej nie pamiętaj, ale przywróć.

Co to jest trójkąt Pascala? Ten trójkąt składa się ze współczynników, które wchodzą w rozwinięcie dowolnej potęgi dwumianu postaci w wielomian.

Rozłóżmy to na przykład:

W tym zapisie łatwo zapamiętać, że na początku jest sześcian pierwszej liczby, a na końcu sześcian drugiej liczby. Ale trudno zapamiętać to, co jest w środku. A nawet to, że w każdym kolejnym semestrze stopień jednego czynnika cały czas maleje, a drugiego wzrasta - łatwo to zauważyć i zapamiętać, trudniej zapamiętać współczynniki i znaki (plus czy minus?).

Więc najpierw szanse. Nie musisz ich zapamiętywać! Na marginesach zeszytu szybko rysujemy trójkąt Pascala, a oto one - współczynniki, już przed nami. Rysowanie zaczynamy od trzech jednostek, jedna u góry, dwie poniżej, w prawo i w lewo - tak, już otrzymujemy trójkąt:

Pierwsza linia z jedynką to zero. Potem przychodzi pierwszy, drugi, trzeci i tak dalej. Aby uzyskać drugą linię, musisz ponownie dodać je wzdłuż krawędzi, a pośrodku zapisz liczbę uzyskaną przez dodanie dwóch liczb powyżej:

Piszemy trzecią linię: ponownie wzdłuż krawędzi jednostki i ponownie, aby uzyskać kolejną liczbę w nowej linii, dodaj liczby nad nią w poprzedniej:

Jak można się domyślić, w każdym wierszu otrzymujemy współczynniki z rozkładu dwumianu na wielomian:

Cóż, jeszcze łatwiej jest zapamiętać znaki: pierwszy jest taki sam jak w rozwiniętym dwumianu (układamy sumę, co oznacza plus, różnicę, co oznacza minus), a następnie znaki zmieniają się!

To taka przydatna rzecz - trójkąt Pascala. Cieszyć się!

Przy obliczaniu wielomianów algebraicznych, aby uprościć obliczenia, używamy skrócone wzory mnożenia. W sumie jest siedem takich formuł. Wszyscy muszą być znani na pamięć.

Należy również pamiętać, że zamiast „a” i „b” we wzorach mogą występować zarówno liczby, jak i dowolne inne wielomiany algebraiczne.

Różnica kwadratów

Pamiętać!

Różnica kwadratów dwie liczby są równe iloczynowi różnicy tych liczb i ich sumy.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 z 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

suma kwadratowa

Pamiętać!

Kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność iloczynu pierwszej liczby i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Zauważ, że przy tej zredukowanej formule mnożenia łatwo jest znajdź kwadraty dużych liczb bez użycia kalkulatora lub długiego mnożenia. Wyjaśnijmy na przykładzie:

Znajdź 112 2 .

• Rozłóżmy 112 na sumę liczb, których kwadraty dobrze pamiętamy.
  112 = 100 + 1
• W nawiasach zapisujemy sumę liczb i umieszczamy kwadrat nad nawiasami.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Użyjmy wzoru sumy kwadratów:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2400 + 144 = 12 544

Pamiętaj, że wzór na sumę kwadratów obowiązuje również dla dowolnych wielomianów algebraicznych.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Ostrzeżenie!

(a + b) 2 nie jest równe (a 2 + b 2)

Kwadrat różnicy

Pamiętać!

Kwadrat różnicy między dwiema liczbami jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej liczby.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Warto też pamiętać o bardzo przydatnej transformacji:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Powyższy wzór można udowodnić, po prostu rozszerzając nawiasy:

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

kostka sumy

Pamiętać!

Sześcian sumy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby plus trzy razy kwadrat pierwszej liczby razy druga plus trzy razy iloczyn pierwszej razy kwadrat drugiej plus sześcian drugiej.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Jak zapamiętać kostkę sumy

Zapamiętanie tej „strasznie” wyglądającej formuły jest dość proste.

• Dowiedz się, że „3” pojawia się na początku.
• Dwa wielomiany w środku mają współczynniki 3.
• Przypomnij sobie, że dowolna liczba do potęgi zerowej to 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Łatwo zauważyć, że we wzorze następuje zmniejszenie stopnia „a” i zwiększenie stopnia „b”. Możesz to zweryfikować:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Ostrzeżenie!

(a + b) 3 nie jest równe a 3 + b 3

kostka różnicy

Pamiętać!

kostka różnicy dwóch liczb jest równy sześcianowi pierwszej liczby minus trzy razy kwadrat pierwszej liczby i drugiej plus trzy razy iloczyn pierwszej liczby i kwadrat drugiej minus sześcian drugiej.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Ta formuła jest pamiętana jak poprzednia, ale tylko biorąc pod uwagę naprzemienne znaki „+” i „-”. Przed pierwszym członem znajduje się „+” „3” (zgodnie z zasadami matematyki nie piszemy tego). Oznacza to, że następny członek będzie poprzedzony znakiem „-”, a następnie ponownie „+” itd.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma kostek

Nie mylić z kostką sumy!

Pamiętać!

Suma kostek jest równy iloczynowi sumy dwóch liczb przez niepełny kwadrat różnicy.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Suma sześcianów jest iloczynem dwóch nawiasów.

• Pierwszy nawias to suma dwóch liczb.
• Drugi nawias to niepełny kwadrat różnicy liczb. Niepełny kwadrat różnicy nazywamy wyrażeniem:
  (a 2 − ab + b 2)
  Ten kwadrat jest niepełny, ponieważ w środku zamiast iloczynu podwójnego znajduje się zwykły iloczyn liczb.

Różnica kostek

Nie mylić z kostką różnicy!

Pamiętać!

Różnica kostek jest równy iloczynowi różnicy dwóch liczb przez niepełny kwadrat sumy.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Zachowaj ostrożność podczas pisania znaków.

Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia

Należy pamiętać, że wszystkie powyższe formuły są również używane od prawej do lewej.

Wiele przykładów w podręcznikach jest zaprojektowanych tak, abyś mógł używać formuł do składania wielomianu z tyłu.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Możesz pobrać tabelę ze wszystkimi wzorami na skrócone mnożenie w dziale "

Edukacja