Ogólny widok jednomianu

f(x)=axn, gdzie:

-a- współczynnik, który może należeć do dowolnego ze zbiorów N, Z, Q, R, C

-x- zmienny

-n wykładnik należący do zbioru n

Dwa jednomiany są podobne, jeśli mają tę samą zmienną i ten sam wykładnik.

Przykłady: 3x2 oraz -5x2; ½x 4 oraz 2√3x4

Suma jednomianów, które nie są do siebie podobne, nazywa się wielomianem (lub wielomianem). W tym przypadku jednomiany są wyrazami wielomianu. Wielomian zawierający dwa terminy nazywany jest dwumianem (lub dwumianem).
Przykład: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Wielomian zawierający trzy wyrazy nazywany jest trójmianem.

Ogólna postać wielomianu z jedną zmienną

gdzie:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 są współczynnikami wielomianu. Mogą to być liczby naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste lub zespolone.
• jakiś- współczynnik w terminie o najwyższym wykładniku (współczynnik wiodący)
• 0- współczynnik przy wyrazie o najmniejszym wykładniku (wyraz wolny lub stały)
• n- stopień wielomianu

Przykład 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• wielomian trzeciego stopnia ze współczynnikami 5, -2, 7 oraz -1
• 5 - czynnik wiodący
• -1 - Wolny Członek
• x- zmienny

Przykład 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• wielomian czwartego stopnia ze współczynnikami -2√3,½ oraz -4
• -2√3 - czynnik wiodący
• -4 - Wolny Członek
• x- zmienny

Dzielenie wielomianowe

p(x) oraz q(x)- dwa wielomiany:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Aby znaleźć iloraz i resztę dzielenia p(x) na q(x), musisz użyć następującego algorytmu:

1. Stopień p(x) musi być większa lub równa q(x).
2. Musimy zapisać oba wielomiany w porządku malejącym. Jeśli w p(x) nie ma wyrazu o dowolnym stopniu, należy go dodać ze współczynnikiem równym 0.
3. Główny Członek p(x) podzielony na członka wiodącego q(x), a wynik jest zapisywany poniżej linii podziału (w mianowniku).
4. Wynik mnożymy przez wszystkie terminy q(x) i zapisz wynik z przeciwstawnymi znakami pod terminami p(x) z odpowiednimi stopniami.
5. Dodajemy termin po terminie terminy o tych samych stopniach.
6. Pozostałe warunki przypisujemy wynikowi p(x).
7. Dzielimy wyraz wiodący otrzymanego wielomianu przez pierwszy wyraz wielomianu q(x) i powtórz kroki 3-6.
8. Ta procedura jest powtarzana, aż nowo uzyskany wielomian będzie miał stopień mniejszy niż q(x). Ten wielomian będzie pozostałą częścią dzielenia.
9. Wielomian zapisany pod linią podziału jest wynikiem dzielenia (ilorazu).

Przykład 1
Krok 1 i 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Prywatny

Odpowiedź: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Przykład 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) ZATRZYMAJ

x 2 +3x+12 --> C(x) Iloraz

Odpowiedź: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Dzielenie przez wielomian pierwszego stopnia

Podział ten można przeprowadzić za pomocą powyższego algorytmu lub nawet szybciej, stosując metodę Hornera.
Jeśli f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, wielomian można przepisać jako f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- wielomian pierwszego stopnia ⇒ q(x)=mx+n
Wtedy wielomian w ilorazu będzie miał stopień n-1.

Zgodnie z metodą Hornera $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 +a 2
b 0 = x 0 .b 1 + a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
gdzie b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- prywatny. Reszta będzie wielomianem stopnia zero, ponieważ stopień wielomianu w reszcie musi być mniejszy niż stopień dzielnika.
Dzielenie z resztą ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r jeśli $x_0=-\frac(n)(m)$
Zauważ, że p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Przykład 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 = 3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3,123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Przykład 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2),7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Przykład 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Wniosek
Jeśli dzielimy przez wielomian stopnia wyższego niż jeden, musimy użyć algorytmu, aby znaleźć iloraz i resztę 1-9 .
Jeśli podzielimy przez wielomian pierwszego stopnia mx+n, następnie aby znaleźć iloraz i resztę, należy użyć metody Hornera z $x_0=-\frac(n)(m)$.
Jeśli interesuje nas tylko pozostała część podziału, wystarczy znaleźć p(x0).
Przykład 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Niech to będzie wymagane

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Biorąc pod uwagę iloczyn (2x 3 - 7x 2 + x + 1) i jeden czynnik (2x - 1), musisz znaleźć inny czynnik. W tym przykładzie jest od razu jasne (ale nie można tego ogólnie ustalić), że drugi, pożądany czynnik lub iloraz jest również wielomianem. Jest to jasne, ponieważ ten iloczyn ma 4 wyrazy, a ten mnożnik wynosi tylko 2. Nie można jednak z góry określić, ile wyrazów ma pożądany mnożnik: mogą być 2 wyrazy, 3 wyrazy itd. Pamiętając, że najwyższy wyraz iloczynu zawsze wychodzi z pomnożenia najwyższego wyrazu jednego czynnika przez najwyższy wyraz drugiego (patrz mnożenie wielomianu przez wielomian) i że nie może być takich wyrazów, jesteśmy pewni, że 2x 3 (najwyższy wyraz ten iloczyn) będzie pochodził z pomnożenia 2x (najwyższy wyraz tego współczynnika) przez nieznany wyraz wiodący poszukiwanego mnożnika. Aby znaleźć ostatnią, musimy zatem podzielić 2x 3 przez 2x - otrzymujemy x 2 . To jest starszy członek szeregowca.

Przypomnijmy więc, że mnożąc wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego. Zatem ten iloczyn (2x 3 - 7x 2 + x + 1) jest iloczynem dzielnika (2x - 1) i wszystkich wyrazów ilorazu. Ale teraz możemy znaleźć iloczyn dzielnika i pierwszego (najwyższego) elementu ilorazu, tj. (2x - 1) ∙ x 2; otrzymujemy 2x 3 - x 2 . Znając iloczyn dzielnika przez wszystkie człony ilorazu (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) oraz znając iloczyn dzielnika przez 1. człon ilorazu (it = 2x 3 - x 2), odejmowanie możemy znaleźć iloczyn dzielnika przez wszystkie inne, z wyjątkiem pierwszego, członków prywatnego. Dostawać

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Najwyższy składnik (–6x 2) tego pozostałego iloczynu musi być iloczynem najwyższego składnika dzielnika (2x) i najwyższego składnika reszty (z wyjątkiem pierwszego składnika) ilorazu. Stąd znajdujemy najstarszy wyraz pozostałego ilorazu. Potrzebujemy –6x 2 ÷ 2x, otrzymujemy –3x. Jest to drugi wyraz pożądanego ilorazu. Możemy ponownie znaleźć iloczyn dzielnika (2x - 1) i drugiego, właśnie znalezionego wyrazu ilorazowego, tj. -3x.

Otrzymujemy (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Z tego całego iloczynu odjęliśmy już iloczyn dzielnika przez pierwszy wyraz ilorazu i otrzymaliśmy resztę -6x 2 + x + 1, która jest iloczynem dzielnika przez resztę, z wyjątkiem pierwszego wyrazu ilorazu. Odejmując od niej właśnie znaleziony iloczyn -6x 2 + 3x, otrzymujemy resztę, która jest iloczynem dzielnika przez wszystkie inne, z wyjątkiem 1. i 2. członków ilorazu:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Dzieląc starszy składnik tego pozostałego iloczynu (–2x) przez starszy składnik dzielnika (2x), otrzymujemy starszy składnik reszty ilorazu lub jego trzeci składnik (–2x) ÷ 2x = –1, jest to trzeci wyraz ilorazu.

Mnożąc przez niego dzielnik, otrzymujemy

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Odjęcie tego iloczynu dzielnika przez 3 człon ilorazu od całego pozostałego iloczynu, tj.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

zobaczymy, że w naszym przykładzie iloczyn dzieli się na resztę, z wyjątkiem 1., 2. i 3. elementów ilorazu = 0, z których wnioskujemy, że iloraz nie ma już elementów, tj.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Z poprzedniego widzimy: 1) wygodnie jest ułożyć warunki dywidendy i dzielnika w malejących potęgach, 2) konieczne jest ustalenie jakiegoś porządku wykonywania obliczeń. Tak dogodną kolejność można uznać za tę, która jest używana w arytmetyce podczas dzielenia liczb wielowartościowych. Następnie układamy wszystkie poprzednie obliczenia w następujący sposób (krótsze wyjaśnienia znajdują się na stronie):

Te odejmowania, które są tutaj potrzebne, są wykonywane przez zmianę znaków terminów odjęcia, a te znaki zmienne są zapisywane na górze.

Tak, jest napisane

To znaczy: odjemna była 2x 3 - x 2, a po zmianie znaków otrzymaliśmy -2x 3 + x 2.

Ze względu na przyjęty układ obliczeń, ze względu na to, że wyrazy dzielna i dzielnika są ułożone w malejące potęgi oraz ze względu na to, że stopnie litery x w obu wielomianach maleją za każdym razem o 1, okazało się, że się, że takie terminy są pisane pod sobą (na przykład: –7x 2 i +x 2), dlaczego łatwo je rzucić. Można zauważyć, że nie wszyscy członkowie dywidendy są potrzebni w każdym momencie obliczeń. Na przykład wyraz +1 nie jest potrzebny w momencie znalezienia drugiego wyrazu ilorazu, a tę część obliczenia można uprościć.

Więcej przykładów:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Ułóż litery a w malejących potęgach oraz dywidendę i dzielnik:

(Zauważ, że tutaj, ze względu na brak wyrazu z 3 w dywidendzie, przy pierwszym odejmowaniu okazało się, że nie podobne wyrazy -a 2 b 2 i -2a 3 b są podpisane pod sobą. Oczywiście, że nie może być sprowadzony do jednego semestru i oba są pisane poniżej linii starszeństwa).

W obu przykładach należy zwracać większą uwagę na terminy podobne: 1) terminy niepodobne często okazują się pisane pod sobą i 2) czasami (jak np. w ostatnim przykładzie terminy -4a n i -an przy pierwszym odejmowaniu) podobne terminy wychodzą napisane nie jeden pod drugim.

Możliwe jest przeprowadzenie podziału wielomianów w innej kolejności, a mianowicie: każdorazowo szukać najniższego wyrazu lub całości lub pozostałego ilorazu. W tym przypadku wygodnie jest ułożyć te wielomiany w potęgach rosnących jakiejś litery. Na przykład:

Dzisiaj nauczymy się dzielić wielomiany na siebie i dokonamy podziału przez róg przez analogię ze zwykłymi liczbami. To bardzo przydatna technika, której niestety nie uczy się w większości szkół. Więc słuchaj uważnie tego samouczka wideo. W takim podziale nie ma nic skomplikowanego.

Najpierw podzielmy dwie liczby przez siebie:

Jak to zrobić? Przede wszystkim odcinamy tyle cyfr, że otrzymana wartość liczbowa jest większa niż ta, przez którą dzielimy. Jeśli odetniemy jeden bit, dostaniemy pięć. Oczywiście siedemnaście na pięć nie pasuje, więc to nie wystarczy. Bierzemy dwie cyfry - dostaniemy 59 - to już ponad siedemnaście, więc możemy wykonać operację. Ile razy siedemnaście pasuje do 59? Weźmy trzy. Mnożymy i zapisujemy wynik poniżej 59. W sumie mamy 51. Odejmujemy i otrzymujemy „osiem”. Teraz burzymy kolejną cyfrę - pięć. Podziel 85 przez siedemnaście. Bierzemy pięć. Pomnóż siedemnaście przez pięć i weź 85. Odejmij i otrzymamy zero.

Rozwiązywanie prawdziwych przykładów

Zadanie 1

Teraz wykonajmy te same kroki, ale nie z liczbami, ale z wielomianami. Na przykład weźmy to:

\[\frac(((x)^(2))+8x+15)(x+5)=x+3\]

Zwróć uwagę, jeśli dzieląc liczby przez siebie mieliśmy na myśli, że dzielna jest zawsze większa niż dzielnik, to w przypadku dzielenia wielomianów przez róg konieczne jest, aby stopień dzielnika był większy niż dzielnik. W naszym przypadku wszystko jest w porządku - pracujemy na konstrukcjach II i I stopnia.

A więc pierwszy krok: porównaj pierwsze elementy. Pytanie: przez co należy pomnożyć $x$, aby otrzymać $((x)^(2))$? Oczywiście za jeszcze jednego $x$. Pomnóż $x+5$ przez znalezioną liczbę $x$. Mamy $((x)^(2))+5$, które jest odejmowane od dywidendy. Zostały $3x$. Teraz burzymy kolejny semestr - piętnaście. Przyjrzyjmy się jeszcze raz pierwszym elementom: $3x$ i $x$. Przez co należy pomnożyć $x$, aby otrzymać 3x$? Oczywiście trzy. Składnik $x+5$ mnożymy przez trzy. Kiedy odejmiemy, otrzymamy zero.

Jak widać, cała operacja dzielenia przez narożnik została sprowadzona do porównania najwyższych współczynników dla dzielnika i dzielnika. To nawet prostsze niż dzielenie liczb. Nie ma potrzeby przydzielania określonej liczby cyfr – po prostu na każdym kroku porównujemy najwyższe elementy. To cały algorytm.

Zadanie nr 2

Spróbujmy ponownie:

\[\frac(((x)^(2))+x-2)(x-1)=x+2\]

Pierwszy krok: spójrz na wyższe współczynniki. Ile należy pomnożyć $x$, aby zapisać $((x)^(2))$? Mnożymy termin przez termin. Zauważ, że po odjęciu otrzymujemy dokładnie $2x$, ponieważ

Niszczymy -2 i ponownie porównujemy pierwszy współczynnik uzyskany z najwyższym elementem dzielnika. W sumie otrzymaliśmy „piękną” odpowiedź.

Przejdźmy do drugiego przykładu:

\[\frac(((x)^(3))+2((x)^(2))-9x-18)(x+3)=((x)^(2))-x-6\ ]

Tym razem wielomian trzeciego stopnia pełni rolę dywidendy. Porównajmy pierwsze elementy. Aby otrzymać $((x)^(3))$, musisz pomnożyć $x$ przez $((x)^(2))$. Po odjęciu burzymy 9$x$. Mnożymy dzielnik przez $-x$ i odejmujemy. W rezultacie nasza ekspresja jest całkowicie podzielona. Zapisujemy odpowiedź.

Zadanie nr 3

Przejdźmy do ostatniego zadania:

\[\frac(((x)^(3))+3((x)^(2))+50)(x+5)=((x)^(2))-2x+10\]

Porównaj $((x)^(3))$ i $x$. Oczywiście musisz pomnożyć przez $((x)^(2))$. W rezultacie widzimy, że otrzymaliśmy bardzo „piękną” odpowiedź. Zapiszmy to.

To cały algorytm. Są tutaj dwa kluczowe punkty:

1. Zawsze porównuj pierwszą potęgę dzielnika i dzielnika - powtarzamy to na każdym kroku;
2. Jeśli w oryginalnym wyrażeniu brakuje jakichkolwiek stopni, należy je dodać podczas dzielenia przez róg, ale z zerowymi współczynnikami, w przeciwnym razie odpowiedź będzie błędna.

W takim podziale nie ma już sztuczek i sztuczek.

Nigdzie nie ma materiału dzisiejszej lekcji i nigdy nie znaleziono go w „czystej” formie. Rzadko jest nauczany w szkołach. Jednak umiejętność dzielenia wielomianów na siebie bardzo pomoże w rozwiązywaniu równań wyższych stopni, a także wszelkiego rodzaju problemów „podwyższonej trudności”. Bez tej techniki będziesz musiał rozłożyć wielomiany na czynniki, wybrać współczynniki - a wynik nie jest w żaden sposób gwarantowany. Jednak wielomiany można również dzielić rogiem - tak jak zwykłe liczby! Niestety ta technika nie jest nauczana w szkołach. Wielu nauczycieli uważa, że ​​dzielenie wielomianów przez róg to coś szalenie skomplikowanego z dziedziny matematyki wyższej. Spieszę zapewnić: tak nie jest. Co więcej, dzielenie wielomianów jest jeszcze łatwiejsze niż zwykłych liczb! Obejrzyj lekcję i przekonaj się sam :) Generalnie pamiętaj, aby zastosować tę technikę. Umiejętność dzielenia wielomianów na siebie będzie bardzo przydatna przy rozwiązywaniu równań wyższych stopni oraz w innych niestandardowych problemach.

Mam nadzieję, że ten film pomoże tym, którzy pracują z wielomianami, zwłaszcza wyższymi stopniami. Dotyczy to zarówno uczniów szkół średnich, jak i studentów. I to wszystko dla mnie. Do zobaczenia!

W tym artykule rozważymy ułamki wymierne, ich wybór części całkowitych. Ułamki są dobre i złe. Gdy licznik jest mniejszy niż mianownik w ułamku, jest to ułamek właściwy i na odwrót.

Rozważ przykłady ułamków prawidłowych: 1 2, 9 29, 8 17, niewłaściwych: 16 3, 21 20, 301 24.

Obliczymy ułamki, które można zmniejszyć, czyli 12 16 to 3 4, 21 14 to 3 2.

Przy wyborze części całkowitej wykonywany jest proces dzielenia licznika przez mianownik. Wtedy taki ułamek można przedstawić jako sumę liczby całkowitej i części ułamkowej, gdzie część ułamkowa jest uważana za stosunek pozostałej części dzielenia do mianownika.

Przykład 1

Znajdź resztę z dzielenia 27 przez 4.

Rozwiązanie

Trzeba dokonać podziału przez kolumnę, wtedy to otrzymujemy

Tak więc 27 4 \u003d część całkowita + reszta n i m oraz górnik \u003d 6 + 3 4

Odpowiedź: reszta 3 .

Przykład 2

Wybierz całe części 331 12 i 41 57 .

Rozwiązanie

Dzielimy mianownik przez licznik za pomocą narożnika:

Dlatego mamy to 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Drugi ułamek jest poprawny, co oznacza, że ​​część całkowita jest równa zeru.

Odpowiedź: części całkowite 27 i 0 .

Rozważ klasyfikację wielomianów, czyli ułamkową funkcję wymierną. Jest uważany za poprawny, gdy stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, w przeciwnym razie jest uważany za nieprawidłowy.

Definicja 1

Dzielenie wielomianu przez wielomian występuje zgodnie z zasadą dzielenia przez kąt i reprezentacji funkcji jako sumy części całkowitych i ułamkowych.

Aby podzielić wielomian na dwumian liniowy, stosuje się schemat Hornera.

Przykład 3

Podziel x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 przez jednomian 2 x 2.

Rozwiązanie

Korzystając z własności podziału piszemy, że

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Często tego typu przekształcenie wykonuje się przy całkach.

Przykład 4

Podziel wielomian przez wielomian: 2 x 3 + 3 przez x 3 + x.

Rozwiązanie

Znak podziału można zapisać jako ułamek postaci 2 x 3 + 3 x 3 + x. Teraz musisz wybrać całą część. Robimy to dzieląc przez kolumnę. Rozumiemy to

Czyli otrzymujemy, że część całkowita ma wartość - 2 x + 3, wtedy całe wyrażenie jest zapisane jako 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Przykład 5

Podziel i znajdź resztę po podzieleniu 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 przez x 3 + 2 x 2 - 1 .

Rozwiązanie

Ustalmy ułamek postaci 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Stopień licznika jest większy niż mianownik, co oznacza, że ​​mamy ułamek niewłaściwy. Korzystając z podziału według kolumny, wybierz całą część. Rozumiemy to

Zróbmy jeszcze raz podział i zdobądźmy:

Stąd wynika, że ​​reszta to - 65 x 2 + 10 x - 3, stąd:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2x2 - 1

Zdarzają się przypadki, w których konieczne jest dodatkowe przeliczenie ułamków, aby móc ujawnić resztę podczas dzielenia. To wygląda tak:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 xx 3 - 3 - 2 xx 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Oznacza to, że reszta z dzielenia 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 przez x 3 - 3 daje wartość - 3 x 2 + 6 x - 4. Aby szybko znaleźć wynik, stosuje się skrócone wzory mnożenia.

Przykład 6

Podziel 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 przez 2 x + 3 .

Rozwiązanie

Zapiszmy dzielenie jako ułamek. Otrzymujemy, że 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Zauważ, że w liczniku wyrażenie można dodać za pomocą formuły kostki sum. Mamy to

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Dany wielomian jest podzielny bez reszty.

Do rozwiązania stosuje się wygodniejszą metodę rozwiązania, a podział wielomianu przez wielomian jest uważany za najbardziej uniwersalny, dlatego często jest używany przy wyborze części całkowitej. Ostatni wpis musi zawierać wielomian wynikowy z dzielenia.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Kilka lat temu ze zdziwieniem dowiedziałem się, że dziś w szkołach (nawet w wielu fizyczno-matematycznych), w kręgach, a nawet w przypadku „prób”, nie uczą się dzielić wielomianów, czyli wielomianów, na kolumnę. Zabawne jest to, że uczniowie znają schemat Hornera i używają go do dzielenia wielomianów. Wydaje się, że uważa się, że podział na kolumnę jest zbyt trudny dla wrażliwego umysłu, ale jest on całkiem zdolny do zapamiętania tabliczki, która pozwala na podział przez wielomian pierwszego stopnia. Oczywiście jednocześnie nikogo nie obchodzi, że dzieci w wieku szkolnym rozumieją, dlaczego można dzielić w ten sposób. Aby wypełnić rażącą lukę w wykształceniu takich facetów, podaję tutaj metodę dzielenia wielomianu przez wielomian przez kolumnę, która jest w rzeczywistości dość prosta i pozwala na dzielenie na wielomiany o dowolnym stopniu.

Zacznijmy od tego, że dla dwóch wielomianów i (nie powinno być identycznie równe zero) jest prawdziwe. Jeśli reszta wynosi zero, to mówimy, że jest podzielna przez bez reszty.

A teraz spójrzmy na przykłady: łatwiej jest nauczyć się dzielić na nich wielomiany.

Przykład 1 Podziel przez (zauważ, że oba wielomiany są napisane w kolejności malejącej). Najpierw napiszę, co powinno się wydarzyć, a następnie wyjaśnię, jak to osiągnąć.

Po pierwsze, starszy członek dywidendy - to - jest dzielony przez starszego członka dzielnika, czyli przez. Otrzymany wynik, który jest równy , będzie wiodącą składową ilorazu. Teraz mnożymy dzielnik przez ten wielomian (otrzymujemy) i odejmujemy wynik od dywidendy. Resztę dostaniemy. Otrzymujemy starszy składnik tej reszty, który jest ponownie dzielony przez starszy składnik dzielnika, który jest równy, który będzie drugim składnikiem ilorazu. Dzielnik pomnożony przez ten wyraz jest odejmowany od pierwszej reszty. Otrzymujemy drugą resztę, czyli zero. To kończy proces podziału.

Łatwo to sprawdzić

Ogólnie rzecz biorąc, dzielenie kończy się, gdy stopień otrzymanej reszty jest mniejszy (ściśle mniejszy!) niż stopień dzielnika. Spójrzmy na inny przykład.

Przykład 2 Podzielmy przez .

Dzielenie jest zakończone, ponieważ stopień ostatniej reszty jest mniejszy niż stopień dzielnika (), innymi słowy, najwyższy składnik reszty nie jest całkowicie podzielny przez najwyższy składnik dzielnika.

Badanie. Rzeczywiście, łatwo to zweryfikować

Rozwój