Obliczanie błędów w pomiarach bezpośrednich i pośrednich

Pomiar rozumiany jest jako porównanie wartości mierzonej z inną wartością przyjmowaną jako jednostka miary. Pomiary wykonywane są empirycznie przy użyciu specjalnych środków technicznych.

Pomiary bezpośrednie to pomiary, których wynik uzyskuje się bezpośrednio z danych eksperymentalnych (na przykład pomiar długości linijką, czasu stoperem, temperatury termometrem). Pomiary pośrednie to pomiary, w których pożądana wartość wielkości znajduje się na podstawie znanej zależności między tą wielkością a wielkościami, których wartości uzyskuje się w procesie pomiarów bezpośrednich (np. wyznaczenie prędkości wzdłuż przebytą odległość i czas https://pandia.ru/text/78/ 464 / images / image002_23.png "width =" 65 "height =" 21 src = ">).

Każdemu pomiarowi, bez względu na to, jak starannie jest on wykonywany, koniecznie towarzyszy błąd (błąd) - odchylenie wyniku pomiaru od prawdziwej wartości mierzonej wielkości.

Błędy systematyczne to błędy, których wielkość jest taka sama we wszystkich pomiarach przeprowadzonych tą samą metodą przy użyciu tych samych przyrządów pomiarowych, w tych samych warunkach. Występują błędy systematyczne:

W wyniku niedoskonałości przyrządów wykorzystywanych w pomiarach (np. wskazówka amperomierza może być odchylona od zerowej działki przy braku prądu; waga może mieć nierówne ramiona itp.);

W rezultacie niewystarczająco kompletny rozwój teorii metody pomiaru, czyli metoda pomiaru zawiera źródło błędów (na przykład błąd występuje, gdy straty ciepła w środowisko lub gdy ważenie na wadze analitycznej odbywa się bez uwzględnienia wyporu powietrza);

W związku z tym, że zmiana warunków eksperymentalnych nie jest brana pod uwagę (na przykład przy długotrwałym przepływie prądu przez obwód w wyniku termicznego działania prądu, parametry elektryczne obwodu zmiana).

Błędy systematyczne można wyeliminować, jeśli zbadamy cechy przyrządów, rozwiniemy pełniej teorię doświadczenia i na tej podstawie dokonamy korekt w wynikach pomiarów.

Błędy losowe to błędy, których wielkość jest różna nawet dla pomiarów wykonanych w ten sam sposób. Ich przyczyny tkwią zarówno w niedoskonałości naszych narządów zmysłów, jak i w wielu innych okolicznościach towarzyszących pomiarom, a których nie można z góry brać pod uwagę (błędy losowe powstają np. gdy równość oświetlenia pól fotometru jest ustalony na oko; czy moment maksymalnego odchylenia wahadła matematycznego jest określany przez oko; kiedy znajduje się moment rezonansu dźwięku na ucho; podczas ważenia na wadze analitycznej, czy drgania podłogi i ścian są przenoszone na wagę itp. .).

Nie da się uniknąć przypadkowych błędów. Ich występowanie objawia się tym, że przy powtarzaniu pomiarów tej samej wielkości z taką samą dokładnością uzyskuje się wyniki liczbowe różniące się od siebie. Dlatego jeśli przy powtarzaniu pomiarów uzyskano te same wartości, oznacza to nie brak błędów przypadkowych, ale niewystarczającą czułość metody pomiarowej.

Błędy losowe zmieniają wynik zarówno w jednym, jak iw drugim kierunku od wartości prawdziwej, dlatego w celu zmniejszenia wpływu błędów przypadkowych na wynik pomiaru, pomiary są zwykle powtarzane wielokrotnie i pobierana jest średnia arytmetyczna wszystkich wyników pomiarów.

Celowo nieprawidłowe wyniki - chybienia powstają w wyniku naruszenia podstawowych warunków pomiaru, w wyniku niedbalstwa lub niedbalstwa eksperymentatora. Na przykład w złych warunkach oświetleniowych zamiast „3” wpisz „8”; ze względu na to, że eksperymentator jest rozproszony, może się pogubić podczas liczenia liczby drgań wahadła; z powodu niedbalstwa lub niedbalstwa może pomylić masy odważników przy określaniu sztywności sprężyny itp. Zewnętrzną oznaką chybienia jest ostra różnica wartości od wyników innych pomiarów. W przypadku wykrycia chybienia wynik pomiaru należy natychmiast odrzucić, a sam pomiar powtórzyć. Porównanie wyników pomiarów uzyskanych przez różnych eksperymentatorów również przyczynia się do identyfikacji chybień.

Zmierzenie wielkości fizycznej oznacza znalezienie przedziału ufności, w którym znajduje się jej prawdziwa wartość https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png "width =" 16 height = 21 "height =" 21 " >. .png "width =" 21 "height =" 17 src = ">. png" width = "31" height = "21 src ="> w przypadkach, gdy prawdziwa wartość mierzonej wielkości mieści się w przedziale ufności. Wartość jest wyrażona albo w ułamkach jednostki, albo W większości pomiarów są one ograniczone do poziomu ufności 0,9 lub 0,95.Czasami, gdy wymagany jest wyjątkowo wysoki stopień wiarygodności, podawany jest poziom ufności 0,999 przedział ufności. Wynik pomiaru prezentowany jest jako

gdzie https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png "width =" 23 "height =" 19 "> jest błędem absolutnym. Zatem granice przedziału, https://pandia .ru/ text / 78/464 / images / image005_14.png "width =" 16 "height =" 21 "> mieści się w tym zakresie.

Aby znaleźć i, wykonuje się serię pojedynczych pomiarów. Rozważmy konkretny przykład..png "width =" 71 "height =" 23 src = ">;; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width = "72" height = " 23 ". Png" width = "72" height = "24">. Wartości mogą się powtarzać, jak wartości i https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4. png "szerokość =" 48 wysokość = 15 "wysokość =" 15 ">. png" szerokość = "52" wysokość = "21">. Odpowiednio poziom istotności.

Średnia wartość mierzonej wartości

Miernik przyczynia się również do niepewności pomiaru. Ten błąd wynika z konstrukcji urządzenia (tarcie w osi czujnika zegarowego, zaokrąglenia wywołane przez czujnik cyfrowy lub dyskretny itp.). Z natury jest to błąd systematyczny, ale ani jego wielkość, ani znak nie są znane dla tego konkretnego urządzenia. Błąd instrumentalny oceniany jest w procesie testowania dużej serii urządzeń tego samego typu.

Znormalizowany zakres klas dokładności przyrządów pomiarowych obejmuje następujące wartości: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2.5; 4.0. Klasa dokładności przyrządu jest równa względnemu błędowi przyrządu wyrażonemu w procentach w stosunku do pełnego zakresu skali. Błąd paszportu urządzenia

Rozważmy najpierw przypadek, w którym ilość w zależy tylko od jednej zmiennej x, który znajduje się przez bezpośredni pomiar,

Przeciętny<tak> można znaleźć zastępując w (8) zamiast x przeciętny<x>.

.

Błąd bezwzględny można uznać za przyrost funkcji (8) o przyrost argumentu ∆ x(błąd całkowity wartości mierzonej) x). Dla małych wartości ∆ x jest w przybliżeniu równa różniczce funkcji

, (9)

gdzie jest pochodną funkcji obliczonej na. Błąd względny będzie równy

.

Niech ilość do ustalenia w jest funkcją kilku zmiennych x ja,

. (10)

Zakłada się, że błędy wszystkich wielkości we wzorze roboczym są losowe, niezależne i obliczone z tym samym poziomem ufności (na przykład r= 0,95). Błąd pożądanej wartości będzie miał ten sam poziom ufności. W tym przypadku najbardziej prawdopodobna wartość ilości<w> określa wzór (10), wykorzystując do obliczeń najbardziej prawdopodobne wartości wielkości x tj. ich wartości średnie:

<w> = F(<x 1 >, <x 2 >, …,<x i>,…,<x m>).

W tym przypadku błąd bezwzględny wyniku końcowego Δ w określa wzór

, (11)

gdzie w/∂x i - pochodne cząstkowe funkcji w przez argumenty x obliczyłem dla najbardziej prawdopodobnych wartości ilości x i. Pochodna cząstkowa to pochodna obliczana z funkcji w przez argument x podałem, że wszystkie inne argumenty są uważane za stałe.

Błąd względny wartości w otrzymujemy dzieląc ∆ w na<y>

. (12)

Biorąc to pod uwagę (1 / w) dy / dx reprezentuje pochodną względem x z logarytmu naturalnego w błąd względny można zapisać jako

. (13)

Formuła (12) jest wygodniejsza w użyciu w przypadkach, gdy w odniesieniu do (10) mierzone wielkości x ja występują głównie w postaci wyrażeń, a wzór (13) jest wygodny do obliczeń, gdy (10) jest iloczynem ilości x i. W tym drugim przypadku wstępny logarytm wyrażenia (10) znacznie upraszcza formę pochodnych cząstkowych. Zmierzona wartość w jest wielkością wymiarową i niemożliwe jest logarytmowanie wielkości wymiarowej. Aby wyeliminować tę niespójność, musisz podzielić w do stałej o określonym wymiarze. Po zlogarytmowaniu uzyskuje się dodatkowy wyraz, który nie zależy od wielkości x i, a zatem znika, gdy bierzemy pochodne cząstkowe, ponieważ pochodna o stałej wartości jest równa zeru. Dlatego, biorąc logarytm, obecność takiego terminu jest po prostu implikowana.

Biorąc pod uwagę prosty związek między błędami bezwzględnymi i względnymi ε at = Δ w/<w>, łatwo od znanej wartości Δ w Oblicz ε at i wzajemnie.

Zależność funkcjonalną między błędami pomiarów bezpośrednich a błędami pomiarów pośrednich dla niektórych prostych przypadków podano w tabeli. 3.

Rozważmy kilka szczególnych przypadków, które pojawiają się podczas obliczania błędów pomiarowych. Powyższe wzory na obliczanie błędów pomiarów pośrednich są ważne tylko wtedy, gdy wszystkie x i są niezależnymi wielkościami i są mierzone różnymi instrumentami i metodami. W praktyce warunek ten nie zawsze jest spełniony. Na przykład, jeśli dowolne wielkości fizyczne w zależności (10) są mierzone przez to samo urządzenie, to błędy instrumentalne Δ x i pr wielkości te nie będą już niezależne, a błąd instrumentalny wartości mierzonej pośrednio Δ jesteś pr w tym przypadku będzie to nieco więcej niż w przypadku „sumowania kwadratowego”. Na przykład, jeśli powierzchnia płyty o długości ja i szerokość b mierzone za pomocą jednej suwmiarki, wówczas względny błąd instrumentalny pomiaru pośredniego będzie

(S / S) pr = (Δ ja/ja) pr + ( b / b) itp.,

tych. błędy są sumowane arytmetycznie (błędy Δ ja w b pr tego samego znaku i ich wartości są takie same), zamiast względnego błędu instrumentalnego

z niezależnymi błędami.

Tabela 3

Funkcjonalna zależność błędów pomiarów bezpośrednich i pośrednich

Formuła pracy	Wzór na obliczenie błędu

Podczas wykonywania pomiarów mogą wystąpić przypadki, gdy wartości x i mają różne wartości, specjalnie zmieniane lub ustawiane w trakcie eksperymentu, np. lepkość cieczy według metody Poiseuille'a wyznacza się dla różnych wysokości słupa cieczy nad kapilarą, albo przyspieszenie grawitacyjne g wyznacza się za pomocą wahadła matematycznego dla różnych długości). W takich przypadkach należy obliczyć wartość wielkości mierzonej pośrednio w w każdym z n eksperymentów oddzielnie, a jako wartość najbardziej prawdopodobną należy przyjąć wartość średnią, tj. ... Błąd losowy Δ w SL obliczone jako błąd pomiaru bezpośredniego. Obliczanie błędu instrumentalnego Δ jesteś pr powstaje poprzez pochodne cząstkowe według wzoru (11), a końcowy błąd całkowity wartości mierzonej pośrednio oblicza się według wzoru

W eksperymentach fizycznych często zdarza się, że sama pożądana wielkość fizyczna nie może być zmierzona doświadczalnie, ale jest funkcją innych wielkości mierzonych bezpośrednio. Na przykład, aby określić objętość cylindra, musisz zmierzyć średnicę D i wysokość h a następnie obliczyć objętość za pomocą wzoru

Ilości D oraz h będzie mierzony z pewnym błędem. Dlatego obliczona wartość V okaże się również z pewnym błędem. Trzeba umieć wyrazić błąd wartości obliczonej poprzez błędy wartości mierzonych.

Podobnie jak w przypadku pomiarów bezpośrednich, można obliczyć błąd bezwzględny (średnia arytmetyczna) lub błąd średniej kwadratowej.

Ogólne zasady obliczania błędów dla obu przypadków wyprowadza się za pomocą rachunku różniczkowego.

Niech poszukiwana wartość φ będzie funkcją kilku zmiennych X, Y, Z…

φ( X, Y, Z…).

Poprzez bezpośrednie pomiary możemy znaleźć wartości, a także oszacować ich średnie błędy bezwzględne ... lub średnie błędy kwadratowe s X, s Y, s Z ...

Następnie średni błąd arytmetyczny Dj oblicza się ze wzoru

gdzie są pochodne cząstkowe φ względem X, Y, Z. Obliczane są dla średnich ...

Pierwiastek błędu średniokwadratowego oblicza się ze wzoru

Przykład. Wyprowadźmy wzory błędów do obliczenia objętości cylindra.

a) Błąd średniej arytmetycznej.

Ilości D oraz h mierzone odpowiednio z błędem D D i D h.

b) Błąd średniokwadratowy.

Ilości D oraz h są mierzone odpowiednio z błędem s D, s h .

Błąd głośności będzie równy

Jeśli wzór reprezentuje wyrażenie wygodne do logarytmowania (czyli iloczyn, ułamek, stopień), wygodniej jest najpierw obliczyć błąd względny. Aby to zrobić (w przypadku błędu średniej arytmetycznej), musisz wykonać następujące czynności.

1. Logarytm wyrażenia.

2. Rozróżnij to.

3. Połącz wszystkie terminy z tą samą różnicą i umieść ją poza nawiasami.

4. Weź wyrażenie przed różnymi różnicami modulo.

5. Wymień ikony różnicowe D na ikonach błędów bezwzględnych D.

W rezultacie otrzymujesz wzór na błąd względny

Następnie, znając e, możemy obliczyć błąd bezwzględny Dj

Przykład.

Podobnie możesz zapisać względny błąd średniej kwadratowej

Zasady prezentowania wyników pomiarów są następujące:

1) błąd należy zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej:

poprawny Dj = 0,04,

źle - Dj = 0,0382;

2) ostatnia cyfra znacząca wyniku musi być tego samego rzędu wielkości co błąd:

prawidłowe j = 9,83 ± 0,03,

źle - j = 9,826 ± 0,03;

3) jeżeli wynik ma bardzo dużą lub bardzo małą wartość należy zastosować zapis wykładniczy - taki sam dla wyniku i jego błędu, a kropka dziesiętna musi następować po pierwszej znaczącej cyfrze wyniku:

poprawna - j = (5,27 ± 0,03) × 10 -5,

źle - j = 0,0000527 ± 0,0000003,

j = 5,27 × 10 -5 ± 0,0000003,

j = = 0,0000527 ± 3 × 10 -7,

j = (527 ± 3) × 10 -7,

j = (0,527 ± 0,003) × 10-4.

4) Jeśli wynik ma wymiary, należy wskazać:

poprawna - g = (9,82 ± 0,02) m/s 2,

źle - g = (9,82 ± 0,02).

Zasady tworzenia wykresów

1. Wykresy budowane są na papierze milimetrowym.

2. Przed wykreśleniem wykresu należy jasno określić, która zmienna jest argumentem, a która funkcją. Wartości argumentów są wykreślane na osi odciętej (oś x), wartości funkcji znajdują się na osi rzędnych ( w).

3. Wyznacz granice zmiany argumentu i funkcji na podstawie danych eksperymentalnych.

4. Wskaż wielkości fizyczne wykreślone na osiach współrzędnych i wyznacz jednostki wielkości.

5. Nanieś na wykres punkty doświadczalne, zaznaczając je (krzyżykiem, kółkiem, pogrubionym punktem).

6. Narysuj gładką krzywą (linia prosta) przez punkty doświadczalne tak, aby liczba tych punktów była w przybliżeniu równa po obu stronach krzywej.

Wyniki pomiarów bezpośrednich w nieprawdziwej wartości x wartość zmierzona i szereg n wartości ... Niech teraz

Podsumowując ostatnią równość, otrzymujemy

(7)

gdzie średnia arytmetyczna mierzonych wartości ... W ten sposób,

(8)

Z tego prostego wyniku wynikają bardzo ważne konsekwencje. Rzeczywiście, bo

oraz
.

stąd dla nieskończenie dużej liczby pomiarów
a zatem dla skończonych n wynik jest im bliższy średniej arytmetycznej, tym większa liczba pomiarów. Wynika z tego również, że przy szacowaniu ∆ x jak
wskazane jest, aby wziąć .

Na praktyce n oczywiście i
... Problem matematycznej teorii błędu losowego obejmuje oszacowanie przedziału

który zawiera prawdziwą wartość mierzonej wartości. Przedział (9) nazywa się przedział ufności i ilość
–błąd bezwzględny wyniku serii pomiarów. Teoria ewaluacji ∆ x jest dość skomplikowana, dlatego tylko jej główne wyniki będą tutaj brane pod uwagę. Przede wszystkim należy zauważyć, że od x- zmienna losowa, błąd ∆ x można określić tylko z takim czy innym stopniem niezawodność α nazywane również poufne prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo ufności to prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość wartości mierzonej x mieści się w przedziale ufności (9). Jeśli włożymy α = 1 (100%), to będzie to odpowiadać ważnemu zdarzeniu, tj. prawdopodobieństwo, że x przyjmuje pewną wartość w przedziale (
). W którym
... Oczywiście taki wybór niezawodności α niepraktyczny. Dla małych α przedział ufności ∆ x ustalone z małą pewnością. W dalszej części założymy: α = 0,90 lub 0,95. Przedział ufności i niezawodność są ze sobą powiązane. Aby oszacować granice przedziału ufności, angielski matematyk W. Gosset (który opublikował swoje prace pod pseudonimem Student) wprowadził współczynnik w 1908 roku:

(10)

równy współczynnikowi błędu ∆ x do pierwiastka błędu średniokwadratowego *

(11)

Współczynnik zależy od niezawodności α , a także od liczby pomiarów n i zadzwoniłem współczynnik Studenta. Współczynnik ten jest tabelaryczny (patrz załącznik 1), dlatego obliczanie i ustalanie poziomu ufności α , nietrudno znaleźć przypadkowy błąd:

(12)

Obliczanie błędu pomiarów pośrednich.

W przypadku pomiarów pośrednich zmierzona wartość F znajduje się z zależności funkcjonalnej:

gdzie x, tak, z- wyniki pomiarów bezpośrednich. Formuła dla ∆ F można uzyskać zastępując różniczki w (2) błędami i biorąc wszystkie wyrazy modulo

(13)

Relacja (13) jest zalecana do oszacowania błędu ∆ F z powodu błędów instrumentalnych wartości x, y, z,... Do oszacowania błędu związanego z przypadkowymi błędami pomiarów bezpośrednich zaleca się stosunek:

(14)

Należy jednak zauważyć, że wzory (13) i (14) prowadzą do praktycznie tych samych wyników. Pochodne w (13) i (14) są przyjmowane jako średnia, tj. przy zmierzonych wartościach argumentów.

Bardzo często funkcja F reprezentowana przez prawomocne uzależnienie od argumentów

(15)

gdzie c, n, m i p są stałymi. Szczególnymi przypadkami wzoru (15) są relacje
,
itd.

Ćwiczenie... Pokaż, że dla funkcji postaci (15) wzory (13) i (14) przyjmują postać:

(13)

(14)

Z zależności (13) i (14) wynika, że ​​dla funkcji potęgowych obliczanie błędów jest znacznie uproszczone i wskazane jest najpierw znaleźć błąd względny, który wyraża się jako błąd względny pomiarów bezpośrednich, a następnie znajdź absolutny błąd

(16)

Pod rozumie się funkcję średnich (zmierzonych) wartości argumentów

.

Algorytm obliczania błędów

-Do pomiarów bezpośrednich

1. Oblicz średnią arytmetyczną wyników
seria n pomiary:

Komentarz: podczas obliczania wygodniej jest przejść z formuły:

gdzie - dowolna dogodna wartość zbliżona do .

2. Znajdź odchylenia poszczególnych pomiarów od średniej

Komentarz. Na
można umieścić
i liczyć według wzoru

5. Jeśli
, wtedy przypadkowy błąd można zignorować.

6. W przeciwnym razie ustaw poziom ufności i znajdź współczynnik Studenta zgodnie z tabelą .

Uwaga 1. Jeśli błąd instrumentalny
ma ten sam rząd wielkości co , to bezwzględny błąd wyniku serii pomiarów wyznacza wzór:

gdzie
Praktycznie w jakości
możesz przyjąć wartość tabelaryczną
odpowiadające największej z podanych w nim wartości P(Na przykład, n = 500 ) .

Uwaga 2. Z dużą liczbą pomiarów
można umieścić

gdzie
.

8. Wynik pomiaru prezentowany jest w postaci:

- Do pomiarów pośrednich

Błąd
pomiar pośredni można obliczyć za pomocą jednego ze wzorów (13), (14), (13*), (14*). Dwie ostatnie formuły obowiązują dla zależności potęgowych, a relacje (13) i (14) mają charakter ogólny.

Podsumowanie zależności do obliczania pośredniej niepewności pomiaru
dla niektórych prostych zależności funkcjonalnych przedstawiono w tabeli.

	Wzory do obliczania błędów
	;

Przykład. Niech ciepło Joule'a Q zostanie obliczone ze wzoru

Ponieważ jest to zależność potęgowa, wskazane jest użycie wzoru (13 *)

Zasady prezentacji wyników pomiarów i ich błędów

Błędy można jedynie oszacować, więc zwykle wystarczy wskazać błąd za pomocą jednej cyfry znaczącej. Na przykład Δm = 0,2 g.
Nagrywać T = 3,0 g oznacza, że ​​pomiar został wykonany z dokładnością do dziesiątych części grama. Jednak w obliczeniach pośrednich wskazane jest pozostawienie większej liczby cyfr znaczących.

Zasady zaokrąglania liczb (wyników pomiarów) zilustrowano w tabeli (zwróć uwagę na specyfikę zaokrąglania liczby 5).

Zaokrąglanie tabeli do dziesiątych cyfr znaczących

Wynik pomiaru jest zwykle zaokrąglany tak, aby wartość liczbowa kończyła się cyfrą o tej samej cyfrze co wartość błędu. Na przykład wpis

cm.

niedopuszczalne, ponieważ sama wartość błędu Δl = 0,1 cm wskazuje, że cyfry 018 wyniku nie mogą być zagwarantowane. Powinno być napisane tak:
cm.

Teraz należy zastanowić się, jak znaleźć błąd wielkości fizycznej U, który jest określany przez pomiary pośrednie. Ogólny widok równania pomiarowego

Y=F(x 1 , x 2 , … , X n), (1.4)

gdzie X j- różne wielkości fizyczne, które eksperymentator uzyskuje przez bezpośrednie pomiary lub stałe fizyczne znane z określoną dokładnością. W formule są to argumenty funkcji.

W praktyce pomiarów szeroko stosowane są dwie metody obliczania błędu pomiarów pośrednich. Obie metody dają prawie ten sam wynik.

Metoda 1. Bezwzględne D znajduje się najpierw, a następnie względne D błędy. Ta metoda jest zalecana dla równań pomiarowych zawierających sumy i różnice argumentów.

Ogólny wzór na obliczenie błędu bezwzględnego w pomiarach pośrednich wielkości fizycznej Y dla każdego rodzaju F funkcja ma postać:

gdzie pochodne cząstkowe funkcji Y=F(x 1 , x 2 , … , X n) przez argument X j,

Całkowity błąd bezpośrednich pomiarów ilości X j.

Aby znaleźć błąd względny, musisz przede wszystkim znaleźć średnią wartość ilości Y... W tym celu do równania pomiarowego (1.4) należy wstawić średnie arytmetyczne wartości wielkości X j.

Czyli średnia wartość ilości Y równa się: . Teraz łatwo jest znaleźć względny błąd:.

Przykład: znajdź błąd pomiaru objętości V cylinder. Wzrost h i średnica D cylinder uważa się za określony przez pomiary bezpośrednie, a liczba pomiarów n = 10.

Wzór na obliczenie objętości cylindra, czyli równanie pomiarowe to:

Niech w P = 0,68;

Na P = 0,68.

Następnie podstawiając wartości średnie do wzoru (1.5) znajdujemy:

Błąd D V w tym przykładzie zależy, jak widać, głównie od błędu pomiaru średnicy.

Średnia objętość jest równa:, względny błąd d V jest równe:

Lub d V = 19%.

V= (47 ± 9) mm 3 , d V = 19%, P = 0,68.

Metoda 2. Ta metoda wyznaczania błędu pomiarów pośrednich różni się od pierwszej metody mniejszymi trudnościami matematycznymi, dlatego jest częściej stosowana.

Najpierw znajdź względny błąd D, a dopiero potem bezwzględne D. Metoda ta jest szczególnie wygodna, jeśli równanie pomiarowe zawiera tylko iloczyny i iloczyny argumentów.

Procedurę można zobaczyć na tym samym konkretnym przykładzie - wyznaczanie błędu przy pomiarze objętości cylindra

Wszystkie wartości liczbowe wielkości zawartych we wzorze zachowujemy takie same jak w obliczeniach wg metoda 1.

Pozwalać mm,; w P = 0,68;

; przy P = 0,68.

Błąd zaokrąglania liczb P(patrz rys. 1.1)

Za pomocą sposób 2 powinieneś postępować tak:

1) weź logarytm z równania pomiarowego (weź logarytm naturalny)

znajdź różnice z lewej i prawej strony, biorąc pod uwagę zmienne niezależne,

2) zastąpić różnicę każdej wielkości błędem bezwzględnym tej samej wielkości, a znaki minus, jeśli są przed błędami, przez plus:

3) wydawałoby się, że za pomocą tego wzoru można już oszacować błąd względny, ale tak nie jest. Wymagane jest oszacowanie błędu w taki sposób, aby prawdopodobieństwo ufności tego oszacowania pokrywało się z prawdopodobieństwem ufności estymacji błędów tych składników, które znajdują się po prawej stronie wzoru. Aby to zrobić, aby ten warunek został spełniony, musisz podważyć wszystkie wyrazy ostatniej formuły, a następnie wydobyć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:

Lub, w innej notacji, względny błąd głośności to:

ponadto prawdopodobieństwo tego oszacowania błędu objętości będzie zbieżne z prawdopodobieństwem oszacowania błędów terminów zawartych w wyrażeniu radykalnym:

Po wykonaniu obliczeń upewnimy się, że wynik pokrywa się z oszacowaniem dla metoda 1:

Teraz, znając błąd względny, znajdujemy błąd absolutny:

D V= 0,19 47 = 9,4 mm 3 , P=0,68.

Wynik końcowy po zaokrągleniu:

V= (47 ± 9) mm 3, d V = 19%, P=0,68.

Pytania kontrolne

1. Jakie jest zadanie pomiarów fizycznych?

2. Jakie rodzaje pomiarów są rozróżniane?

3. Jak klasyfikowane są błędy pomiarowe?

4. Jakie są błędy bezwzględne i względne?

5. Czym są chybienia, błędy systematyczne i losowe?

6. Jak oszacować błąd systematyczny?

7. Jaka jest średnia arytmetyczna wartości mierzonej?

8. Jak oszacować wielkość błędu losowego, jaki ma on związek z odchyleniem standardowym?

9. Jakie jest prawdopodobieństwo wykrycia prawdziwej wartości mierzonej wartości w przedziale od X cf - s zanim X cf + s?

10. Jeżeli jako oszacowanie błędu losowego wybierzemy wartość 2s lub 3s, to z jakim prawdopodobieństwem prawdziwa wartość będzie mieścić się w przedziałach wyznaczonych przez te szacunki?

11. Jak podsumować błędy i kiedy należy to zrobić?

12. Jak zaokrąglić błąd bezwzględny i średnią wartość wyniku pomiaru?

13. Jakie istnieją metody szacowania błędów w pomiarach pośrednich? Jak postępować w takim przypadku?

14. Co należy odnotować jako wynik pomiaru? Jakie wartości mam podać?

Edukacja