Dynamika to jedna z ważnych gałęzi fizyki zajmująca się badaniem przyczyn ruchu ciał w przestrzeni. W tym artykule rozważymy z punktu widzenia teorii jeden z typowych problemów dynamiki - ruch ciała wzdłuż pochyłej płaszczyzny, a także podamy przykłady rozwiązań niektórych problemów praktycznych.

Podstawowa formuła dynamiki

Przed przystąpieniem do studiowania fizyki ruchu ciała na płaszczyźnie pochyłej przedstawiamy niezbędne informacje teoretyczne do rozwiązania tego problemu.

W XVII Izaak Newton, dzięki praktycznym obserwacjom ruchu makroskopowych ciał otaczających, wydedukował trzy prawa, które teraz noszą jego imię. Cała mechanika klasyczna opiera się na tych prawach. Interesuje nas tylko druga ustawa w tym artykule. Jego matematyczną formę pokazano poniżej:

Będziesz zainteresowany:

Wzór mówi, że działanie siły zewnętrznej F¯ nada ciału o masie m przyspieszenie a¯. Użyjemy dalej tego prostego wyrażenia, aby rozwiązać problemy ruchu ciała wzdłuż nachylonej płaszczyzny.

Zauważ, że siła i przyspieszenie są wielkościami wektorowymi skierowanymi w tym samym kierunku. Ponadto siła jest cechą addytywną, to znaczy w powyższym wzorze F¯ można uznać za wynikowy wpływ na organizm.

Pochylona płaszczyzna i siły działające na znajdujące się na niej ciało

Kluczowym punktem, od którego zależy powodzenie rozwiązania problemów ruchu ciała na płaszczyźnie pochyłej, jest określenie sił działających na ciało. Przez definicję sił rozumie się znajomość ich modułów i kierunków działania.

Poniżej rysunek pokazujący, że ciało (samochód) spoczywa na płaszczyźnie nachylonej pod kątem do horyzontu. Jakie siły działają na niego?

Poniższa lista wymienia te siły:

• surowość;
• reakcje wspierające;
• tarcie;
• naprężenie nici (jeśli jest).

Powaga

Przede wszystkim jest to siła grawitacji (Fg). Skierowana jest pionowo w dół. Ponieważ ciało ma zdolność poruszania się tylko po powierzchni płaszczyzny, to przy rozwiązywaniu problemów siła grawitacji rozkłada się na dwie wzajemnie prostopadłe składowe. Jeden z elementów jest skierowany wzdłuż płaszczyzny, drugi jest do niej prostopadły. Dopiero pierwszy z nich prowadzi do pojawienia się przyspieszenia w ciele i jest właściwie jedynym czynnikiem napędzającym dane ciało. Druga składowa określa występowanie siły reakcji podpory.

Ciało ważące 2 kg pod działaniem siły F porusza się w górę po nachylonej płaszczyźnie w odległości odległości ciała od powierzchni Ziemi, zwiększając się o

Wektor siły F skierowany równolegle do płaszczyzny pochyłej, moduł siły F jest równa 30 N. Jaką pracę podczas tego ruchu wykonała siła grawitacji? (Podaj odpowiedź w dżulach.) Przyspieszenie grawitacji jest równe współczynnikowi tarcia

Rozwiązanie.

Praca siły jest definiowana jako iloczyn skalarny wektora siły i wektora przemieszczenia ciała. W konsekwencji siła grawitacji podczas podnoszenia ciała w górę pochyłej płaszczyzny wykonała pracę (- kąt u podstawy pochyłej płaszczyzny)

Odpowiedź: -60.

Alternatywne rozwiązanie.

Grawitacja odnosi się do rodzaju siły zwanej potencjałem. Siły te mają taką właściwość, że ich praca na dowolnej zamkniętej ścieżce jest zawsze zerowa (można to uznać za definicję). Jako inne przykłady sił potencjalnych można wymienić siłę sprężystą zgodną z prawem Hooke'a Siła kulombowska oddziaływania ładunków siła powszechnego ciążenia (jako uogólnienie grawitacji prostej) Przykład siły niepotencjalnej, czyli nieposiadającej ww. właściwością jest na przykład siła tarcia.

Jak łatwo zauważyć, dla wszystkich sił, które nazywamy tutaj potencjalnymi, wyznacza się wartość energii potencjalnej: - dla siły grawitacji, - dla siły sprężystości, - dla sił oddziaływania kulombowskiego, i wreszcie dla siły powszechnej grawitacji. Okazuje się, że to właśnie niezwykła właściwość sił potencjalnych, która stanowiła podstawę ich definicji, pozwala wprowadzić dla nich pojęcia odpowiednich energii potencjalnych. Generalnie odbywa się to w następujący sposób. Załóżmy, że kiedy ciało jest przenoszone z punktu 1 do punktu 2, siła potencjalna zadziałała. Następnie z definicji mówią, że różnica wartości odpowiedniej energii potencjalnej w punktach 2 i 1 jest równa Ponieważ to definicja zawsze zawiera tylko różnicę w energiach potencjalnych w dwóch punktach, energia potencjalna zawsze okazuje się zdefiniowana do stałej. Powinien to być fakt dobrze ci znany. Zastosujmy teraz to do tego problemu.

Musimy znaleźć pracę dla siły grawitacji, dla siły grawitacji wiemy, czym jest energia potencjalna. Zgodnie z wcześniej spisanym wzorem otrzymujemy. Że wymagana praca jest równa zmianie energii potencjalnej ciała, pobranej ze znakiem minus. Wysokość ciała nad powierzchnią Ziemi wzrosła o, zatem jego energia wzrosła o

Oznacza to, że praca grawitacji jest

Jako utrwalenie materiału proponuję rozważyć następujący problem. Rakieta o masie startuje z powierzchni Ziemi.Określ, jaką pracę wykona siła grawitacji od strony Ziemi do czasu, gdy rakieta znajdzie się w odległości dwóch promieni Ziemi od środka Ziemi.

Rozwiązanie.

Nie będzie można użyć wzoru „” na czole, ponieważ siła przyciągania maleje wraz z odległością od Ziemi, jedyną szansą na zastosowanie tej formuły jest rozpoczęcie całkowania. Zostawimy to i spróbujemy ponownie zastosować naszą wiedzę. Siła przyciągania do Ziemi jest potencjalna. Dla niej znamy ilość energii potencjalnej. Ustalmy, jak bardzo zmieni się energia potencjalna rakiety.

Dlatego zadziałała siła grawitacji

Zgodnie z oczekiwaniami ta praca jest negatywna.

Przykład autoparsowania:

Sprężyna o sztywności 10 N/m jest rozciągana o 5 cm, jaką pracę wykona siła sprężystości, gdy zostanie rozciągnięta o kolejne 5 cm?

W naszym przypadku F n = m g odkąd powierzchnia jest pozioma. Ale siła normalna nie zawsze pokrywa się z siłą grawitacji.

Siła normalna to siła oddziaływania między powierzchniami stykających się ciał, im większa, tym silniejsze tarcie.

Siła normalna i siła tarcia są do siebie proporcjonalne:

F tr = μF n

0 < μ < 1 - współczynnik tarcia charakteryzujący chropowatość powierzchni.

Przy μ = 0 nie ma tarcia (przypadek wyidealizowany)

Gdy μ = 1, maksymalna siła tarcia jest równa sile normalnej.

Siła tarcia nie zależy od obszaru styku dwóch powierzchni (jeśli ich masy się nie zmieniają).

Uwaga: równanie F tr = μF n nie jest relacją między wektorami, ponieważ są one skierowane w różnych kierunkach: siła normalna jest prostopadła do powierzchni, a siła tarcia jest równoległa.

1. Odmiany tarcia

Istnieją dwa rodzaje tarcia: statyczny oraz kinetyczny.

Tarcie statyczne (tarcie statyczne) działa między stykającymi się ciałami w spoczynku względem siebie. Tarcie statyczne przejawia się na poziomie mikroskopijnym.

Tarcie kinetyczne (tarcie ślizgowe) działa między ciałami będącymi w kontakcie i poruszającymi się względem siebie. Tarcie kinetyczne przejawia się na poziomie makroskopowym.

Tarcie statyczne jest większe niż kinetyczne dla tych samych ciał lub współczynnik tarcia statycznego jest większy niż współczynnik tarcia ślizgowego.

Zapewne wiesz to z własnego doświadczenia: szafkę bardzo trudno przesuwać, ale znacznie łatwiej ją utrzymać w ruchu. Wynika to z faktu, że podczas ruchu powierzchni ciał „nie mam czasu” przejść do kontaktów na poziomie mikroskopowym.

Zadanie numer 1: jaka siła jest potrzebna do podniesienia kuli o wadze 1 kg wzdłuż pochyłej płaszczyzny znajdującej się pod kątem α = 30 ° do horyzontu. Współczynnik tarcia μ = 0,1

Obliczamy składową grawitacji. Najpierw musimy znać kąt między płaszczyzną nachyloną a wektorem grawitacji. Podobną procedurę przeprowadziliśmy już przy rozważaniu grawitacji. Ale powtarzanie jest matką nauki :)

Siła grawitacji skierowana jest pionowo w dół. Kąty dowolnego trójkąta sumują się do 180 °. Rozważ trójkąt utworzony przez trzy siły: wektor grawitacji; równia pochyła; podstawa samolotu (na rysunku jest podświetlona na czerwono).

Kąt między wektorem grawitacji a płaszczyzną bazową wynosi 90 °.
Kąt między pochyloną płaszczyzną a jej podstawą wynosi α

Dlatego pozostały kąt to kąt między pochyloną płaszczyzną a wektorem grawitacji:

180 ° - 90 ° - α = 90 ° - α

Składowe siły grawitacji wzdłuż pochyłej płaszczyzny:

F g nachylenie = F g cos (90 ° - α) = mgsinα

Siła potrzebna do podniesienia piłki:

F = F g pochylenie + F tarcie = mgsinα + F tarcie

Konieczne jest określenie siły tarcia F tr... Biorąc pod uwagę współczynnik tarcia w spoczynku:

Tarcie F = μF Norma

Oblicz siłę normalną F norm, który jest równy składowej siły grawitacji, prostopadłej do pochyłej płaszczyzny. Wiemy już, że kąt między wektorem grawitacji a pochyloną płaszczyzną wynosi 90 ° - α.

F norma = mgsin (90 ° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα

F = 1 9,8 sin30 ° + 0,1 1 9,8 cos30 ° = 4,9 + 0,85 = 5,75 N

Musimy przyłożyć do kuli siłę 5,75 N, aby przetoczyć ją na szczyt pochyłej płaszczyzny.

Zadanie nr 2: określić, jak daleko potoczy się kula masy m = 1 kg na płaszczyźnie poziomej, toczy się po płaszczyźnie pochyłej o długości 10 metrów ze współczynnikiem tarcia ślizgowego μ = 0,05

Siły działające na toczącą się kulę pokazano na rysunku.

Składowa grawitacyjna wzdłuż pochyłej płaszczyzny:

F g cos (90 ° - α) = mgsinα

Normalna siła:

F n = mgsin (90 ° - α) = mgcos (90 ° - α)

Siła tarcia ślizgowego:

Tarcie F = μF n = μmgsin (90 ° - α) = μmgcosα

Wytrzymałość wypadkowa:

F = F g - F tarcie = mgsinα - μmgcosα

F = 1 9,8 sin30 ° - 0,05 1 9,8 0,87 = 4,5 N

F = ma; a = F / m = 4,5 / 1 = 4,5 m / s 2

Określ prędkość piłki na końcu pochyłej płaszczyzny:

V2 = 2a; V = 2as = 2 4,5 10 = 9,5 m / s

Piłka kończy ruch po pochyłej płaszczyźnie i zaczyna poruszać się po poziomej linii prostej z prędkością 9,5 m/s. Teraz w kierunku poziomym na kulkę działa tylko siła tarcia, a składowa grawitacji jest równa zeru.

Całkowita siła:

F = μF n = μF g = μmg = 0,05 1 9,8 = -0,49 N

Znak minus oznacza, że ​​siła skierowana jest w kierunku przeciwnym do ruchu. Wyznacz przyspieszenie zwalniania piłki:

a = F / m = -0,49 / 1 = -0,49 m / s 2

Droga hamowania piłką:

V 1 2 - V 0 2 = 2 jak; s = (V 1 2 - V 0 2) / 2a

Ponieważ określamy drogę kuli do całkowitego zatrzymania, to V1 = 0:

s = (-V 0 2) / 2a = (-9,5 2) / 2 (-0,49) = 92 m

Nasza piłka przetoczyła się aż 92 metry w linii prostej!

Podobnie jak dźwignia, rampy zmniejszają siłę potrzebną do podnoszenia ciał. Na przykład dość trudno jest ręcznie podnieść betonowy blok ważący 45 kilogramów, ale całkiem możliwe jest przeciągnięcie go po pochyłej płaszczyźnie. Ciężar ciała umieszczonego na pochyłej płaszczyźnie rozkłada się na dwa składniki, z których jeden jest równoległy, a drugi prostopadły do ​​jego powierzchni. Aby przesunąć blok w górę pochyłej płaszczyzny, osoba musi pokonać tylko składową równoległą, której wartość wzrasta wraz ze wzrostem kąta pochylenia płaszczyzny.

Pochyłe płaszczyzny są bardzo zróżnicowane pod względem wzornictwa. Na przykład śruba składa się z nachylonej płaszczyzny (gwintu), która kręci się spiralnie wokół swojej cylindrycznej części. Kiedy śruba jest wkręcana w część, jej gwint wnika w korpus części, tworząc bardzo silne połączenie z powodu dużego tarcia między częścią a gwintami. Imadło przekształca działanie dźwigni i ruch obrotowy śruby w liniową siłę ściskającą. W ten sam sposób działa podnośnik służący do podnoszenia ciężkich ładunków.

Siły na pochyłej płaszczyźnie

W przypadku ciała na pochyłej płaszczyźnie siła grawitacji działa równolegle i prostopadle do jego powierzchni. Aby przesunąć ciało w górę po nachylonej płaszczyźnie, potrzebna jest siła, której wielkość jest równa składowej grawitacji równoległej do powierzchni płaszczyzny.

Pochyłe płaszczyzny i śruby

Związek śruby z pochyloną płaszczyzną jest łatwy do prześledzenia, jeśli owiniesz cylinder ukośnie ściętą kartką papieru. Powstała spirala jest identyczna w układzie gwintu śruby.

Siły działające na śrubę

Gdy śruba jest obracana, jej gwint wytwarza bardzo dużą siłę wywieraną na materiał części, w którą jest wkręcana. Siła ta ciągnie śrubę do przodu, jeśli jest obrócona zgodnie z ruchem wskazówek zegara, i do tyłu, jeśli jest obrócona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Śruba do podnoszenia ciężarów

Obrotowe śruby podnośników rozwijają ogromną siłę, pozwalając im podnosić ciężkie przedmioty, takie jak samochody lub ciężarówki. Obracając środkową śrubę za pomocą dźwigni, oba końce podnośnika są ściągane razem, wytwarzając niezbędny udźwig.

Pochyłe płaszczyzny do łupania

Klin składa się z dwóch nachylonych płaszczyzn połączonych podstawami. Podczas wbijania klina w drzewo pochyłe płaszczyzny wytwarzają siły boczne wystarczające do rozłupania najtwardszego tarcicy.

Siła i praca

Chociaż pochylona płaszczyzna może ułatwić zadanie, nie zmniejsza nakładu pracy potrzebnej do jego wykonania. Podniesienie 45 kg (W) betonowego bloku 9 metrów pionowo w górę (z prawej strony) wymaga pracy 45x9 kg, co odpowiada ciężarowi bloku pomnożonemu przez ilość ruchu. Gdy klocek znajduje się pod kątem 44,5 °, siła (F) potrzebna do ciągnięcia klocka zmniejsza się do 70 procent jego wagi. Choć ułatwia to przesuwanie bloku, teraz, aby podnieść blok na wysokość 9 metrów, trzeba go przeciągnąć po płaszczyźnie 13 metrów. Innymi słowy, przyrost siły jest równy wysokości podnoszenia (9 metrów) podzielonej przez odległość pokonywania wzniesień (13 metrów).

Na powierzchni ziemi powaga (powaga) jest stała i równa iloczynowi masy spadającego ciała i przyspieszenia ziemskiego: Fg = mg

Należy zauważyć, że przyspieszenie ziemskie jest wartością stałą: g = 9,8 m/s 2 i jest skierowane w stronę środka Ziemi. Na tej podstawie możemy powiedzieć, że ciała o różnych masach równie szybko spadną na Ziemię. Jak to? Jeśli rzucisz kawałek waty i cegłę z tej samej wysokości, ta ostatnia szybciej trafi na ziemię. Nie zapomnij o oporze powietrza! W przypadku waty będzie to miało znaczenie, ponieważ jej gęstość jest bardzo niska. W pozbawionej powietrza przestrzeni cegła i wełna spadną jednocześnie.

Kula porusza się po pochyłej płaszczyźnie o długości 10 metrów, kąt pochylenia płaszczyzny wynosi 30°. Jaka będzie prędkość piłki na końcu samolotu?

Na kulę działa wyłącznie siła grawitacji Fg skierowana w dół prostopadle do podstawy samolotu. Pod działaniem tej siły (składowej skierowanej wzdłuż powierzchni płaszczyzny) piłka się poruszy. Jaka będzie składowa siły grawitacji działającej wzdłuż pochyłej płaszczyzny?

Aby określić składową, konieczna jest znajomość kąta między wektorem siły F g a nachyloną płaszczyzną.

Ustalenie kąta jest dość proste:

• suma kątów dowolnego trójkąta wynosi 180 °;
• kąt między wektorem siły F g a podstawą nachylonej płaszczyzny wynosi 90 °;
• kąt między płaszczyzną ukośną a jej podstawą wynosi α

Na podstawie powyższego pożądany kąt będzie równy: 180° - 90° - α = 90° - α

Z trygonometrii:

nachylenie F g = F g · cos (90 ° -α)

Sinα = cos (90 ° -α)

nachylenie F g = F g sinα

Dokładnie o to chodzi:

• przy α = 90 ° (płaszczyzna pionowa) F g nachylenie = F g
• przy α = 0 ° (płaszczyzna pozioma) F g nachylenie = 0

Wyznaczmy przyspieszenie piłki ze znanego wzoru:

F g sinα = m a

A = F g sinα / m

A = m g sinα / m = g sinα

Przyspieszenie kuli wzdłuż pochyłej płaszczyzny nie zależy od masy kuli, a jedynie od kąta pochylenia płaszczyzny.

Określ prędkość piłki na końcu samolotu:

V 1 2 - V 0 2 = 2 za s

(V 0 = 0) - piłka rusza z miejsca

V 1 2 = √2 a s

V = 2 g sinα S = √2 9,8 0,5 10 = √98 = 10 m / s

Zwróć uwagę na formułę! Prędkość ciała na końcu pochyłej płaszczyzny zależeć będzie tylko od kąta pochylenia płaszczyzny i jej długości.

W naszym przypadku kula bilardowa, samochód osobowy, wywrotka i uczeń na sankach będą mieli na końcu samolotu prędkość 10 m/s. Oczywiście nie bierzemy pod uwagę tarcia.

Rozwój