Przedmiot badań i aktualność tematu. W teorii statystycznej analizy ciągów dyskretnych szczególne miejsce zajmują kryteria dobroci dopasowania do testowania możliwie złożonej hipotezy zerowej, czyli dla ciągu losowego takiego,

Xi е hi, i = 1,, n, gdzie hi = (0,1,., M), dla dowolnego i = 1,., N i dla dowolnego k £ 1m prawdopodobieństwo zdarzenia

Xi = k) nie zależy od r. Oznacza to, że ciąg jest w pewnym sensie stacjonarny.

W szeregu zastosowanych problemów, jako ciąg (Xr-) ™ = 1, kolejność kolorów kulek jest brana pod uwagę przy wyborze bez powrotu do wyczerpania z urny zawierającej ni - 1> 0 kulek koloru k, k € 1m. 1,., Pm - 1). Niech urna zawiera n - 1 kulek, m k = 0

Oznaczamy przez r (k) (fc) Jk) rw - Г! ,. ... ... , ciąg liczb kulek koloru A; w próbce. Rozważ sekwencję, w której k)

Kk-p-GPk1.

Sekwencja h ^ jest określona odległościami pomiędzy miejscami sąsiednich kulek koloru k w taki sposób, że

Pk Kf = p. 1> = 1

Zbiór ciągów h (fc) dla wszystkich k £ 1m jednoznacznie określa ciąg.Sekwencje hk dla różnych k są od siebie zależne. W szczególności każdy z nich jest jednoznacznie określony przez wszystkie pozostałe. Jeżeli liczność zbioru 1m jest równa 2, to kolejność kolorów kulek jest jednoznacznie określona przez sekwencję odległości pomiędzy miejscami sąsiednich kulek o tym samym stałym kolorze. Niech urna zawierająca n - 1 kulek w dwóch różnych kolorach zawiera N - 1 kulek o kolorze 0. Można ustalić zależność jeden do jednego między zbiorem ffl (N- l, n - N) a zbiorem 9 \ n , N wektorów h (n, N ) = (hi,., hjf) z dodatnimi składowymi całkowitymi takimi, że K = A. (0,1)

Zbiór 9NP) dz odpowiada zbiorowi wszystkich różnych podziałów dodatniej liczby całkowitej n na N uporządkowanych terminów.

Ustalając pewien rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze wektorów ξ Hn, qz, otrzymujemy odpowiedni rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze Wl (N - 1, n - N). Zbiór jest podzbiorem zbioru wektorów o nieujemnych składnikach całkowitych spełniających (0,1). Dystrybucje formy

P (%, N) = (n,., RN)) = P (£ „= ru, v = l,., N \ jr ^ = n), (0,2) gdzie. , £ dr są niezależnymi, nieujemnymi, całkowitymi zmiennymi losowymi.

Rozkłady postaci (0,2) w / 24 / nazywane są uogólnionymi schematami dystrybucji cząstek n w komórkach N. W szczególności, jeśli zmienne losowe to £b. , £ лг w (0,2) rozkładają się zgodnie z prawami Poissona z parametrami odpowiednio Ai,., Лдг, to wektor h (n, N) ma rozkład wielomianowy z prawdopodobieństwami wyników

Ri =. , Л ", V = \,., N.

L \ +. ... ... + AN

Jeśli zmienne losowe £ b> & v w (0-2) są równomiernie rozłożone zgodnie z prawem geometrycznym, gdzie p jest dowolnym w przedziale 0< р < 1, то, как отмечено в /25/,/26/, получающаяся обобщенная схема размещения соответствует равномерному распределению на множестве В силу взаимнооднозначного соответствия между множеством dft(N - 1 ,п - N) и множеством tRn,N получаем равномерное распределение на множестве выборов без возвращения. При этом, вектору расстояний между местами шаров одного цвета взаимно однозначно соответствует вектор частот в обобщенной схеме размещения, и, соответственно, числу расстояний длины г - число ячеек, содержащих ровно г частиц. Для проверки по единственной последовательности гипотезы о том, что она получена как результат выбора без возвращения, и каждая такая выборка имеет одну и ту же вероятность можно проверить гипотезу о том, что вектор расстояний между местами шаров цвета 0 распределен как вектор частот в соответствующей обобщенной схеме размещения п частиц по N ячейкам.

Jak zaznaczono w /14/,/38/, szczególne miejsce w testowaniu hipotez o rozkładzie wektorów częstości h (n, N) = (hi,. na podstawie statystyk postaci 1 m (N -l, nN) \ n

LN (h (n, N)) = Zfv (hv)

Fn = F (-T7, flQ Hi II-

0,4) gdzie fu, v = 1,2 ,. a φ to niektóre funkcje o wartościach rzeczywistych, N

Mr = E = r), r = 0,1 . 1 / = 1

Wartości w /27/ nazwano liczbą komórek zawierających dokładnie g cząstek.

Statystyka postaci (0,3) w /30/ nazywana jest statystyką rozdzielną (dodatkowo rozdzielną). Jeżeli funkcje /”in (0.3) nie zależą od u, to takie statystyki były wywoływane w /31/ symetryczne statystyki separowalne.

Dla dowolnego r statystyka / xr jest symetryczną, rozdzielną statystyką. Od równości

Е ДМ = Е ДФг (0,5) z tego wynika, że ​​klasa symetrycznych statystyk separowalnych hv pokrywa się z klasą funkcji liniowych jodły. Ponadto klasa funkcji postaci (0,4) jest szersza niż klasa symetrycznych statystyk separowalnych.

Ale = (#o (n, N)) jest ciągiem prostych hipotez zerowych, że rozkład wektora h (n, N) wynosi (0,2), gdzie zmienne losowe ,. w (0.2) są identycznie rozłożone i k) = pk, k = 0,1,2,., parametry n, N zmieniają się w obszarze centralnym.

Rozważ pewne P £ (0,1) i ciąg, ogólnie rzecz biorąc, złożonych alternatyw

H = (H (n, N)) taki, że istnieje - maksymalna liczba, dla której, dla dowolnej prostej hipotezy H \ e H (n, N), nierówność

РШ> an, N (P))> Р

Hipotezę Hq (ti, N) odrzucimy, jeśli fm> asm ((3). Jeśli istnieje granica

Rn ~ 1nP (0nr> an, N (P)) = u (p, H), gdzie prawdopodobieństwo dla każdego N oblicza się zgodnie z hipotezą Ht (n, N), to wartość ^ (/3, H) wynosi nazwany w / 38 / indeks kryterium φ w punkcie (j3, H). Ta ostatnia granica może, ogólnie rzecz biorąc, nie istnieć. Dlatego w pracy doktorskiej, oprócz wskaźnika kryterium, wartość

Ish (~ 1pR (fm> al (/?)))

JV->oo N-oo oznaczają odpowiednio dolną i górną granicę ciągu (odr) jako N -> oo,

Jeśli indeks kryterium istnieje, indeks dolny kryterium jest z nim zgodny. Indeks dolny kryterium zawsze istnieje. Im wyższa wartość wskaźnika kryterium (niższy wskaźnik kryterium), tym lepsze w rozważanym sensie kryterium statystyczne. W /38/ problem konstruowania kryteriów dobroci dopasowania dla układów uogólnionych o najwyższym indeksie kryterialnym w klasie kryteriów odrzucających hipotezę Ho(n,N) przy ^"gdzie m>0 jest pewną liczbą stałą, ciąg stałych er jest wybierany na podstawie podanej wartości potęgi kryterium dla ciągu alternatyw, ft jest funkcją rzeczywistą m + 1 argumentów.

Wskaźniki kryterialne wyznaczane są przez prawdopodobieństwa dużych odchyleń. Jak pokazano w / 38 /, przybliżona (aż do logarytmicznej równoważności) asymptotyka prawdopodobieństw dużych odchyleń statystyk separowalnych w warunku Cramera dla zmiennej losowej / (£) jest określona przez odpowiednią odległość informacyjną Kul-Baka - Leibler - Sanov (zmienna losowa rj spełnia warunek Cramer jeśli dla pewnego λ> 0 funkcja generująca momenty Metr] jest skończona w przedziale \ t \< Н /28/).

Otwarte pozostawało pytanie o prawdopodobieństwa dużych odchyleń statystyk od nieograniczonej liczby jodeł, a także o dowolne statystyki rozdzielne, które nie spełniają warunku Cramera. Nie pozwoliło nam to ostatecznie rozwiązać problemu konstruowania kryteriów testowania hipotez w uogólnionych schematach alokacji o najwyższym stopniu zbieżności do zera prawdopodobieństwa błędu typu I przy zbliżaniu alternatyw w klasie kryteriów na podstawie statystyki postaci (0,4). O trafności badań rozprawy decyduje potrzeba uzupełnienia rozwiązania postawionego problemu.

Celem pracy jest zbudowanie kryteriów dobroci dopasowania o najwyższym wskaźniku kryterium (niższy wskaźnik kryterium) do testowania hipotez w schemacie selekcji bez powrotu w klasie kryteriów odrzucających hipotezę U (n, N) po $ .<>,■ ■)><*. (0-7) где ф - функция от счетного количества аргументов, и параметры п, N изменяются в центральной области.

Zgodnie z celem badania postawiono następujące zadania:

Zbadaj własności entropii i odległości informacyjnej Kul-baka - Leiblera - Sanova dla rozkładów dyskretnych z policzalną liczbą wyników;

Zbadaj prawdopodobieństwa dużych odchyleń statystyk postaci (0,4);

Zbadaj prawdopodobieństwa dużych odchyleń symetrycznych statystyk separowalnych (0.3), które nie spełniają warunku Cramera;

Znajdź statystykę taką, że zbudowany na jej podstawie test dobroci dopasowania do testowania hipotez w uogólnionych schematach alokacji ma najwyższą wartość wskaźnika w klasie kryteriów postaci (0,7).

Nowość naukowa:

Wartość naukowa i praktyczna. W niniejszym artykule rozwiązano szereg pytań dotyczących zachowania prawdopodobieństw dużych odchyleń w uogólnionych schematach alokacji. Uzyskane wyniki mogą być wykorzystane w procesie dydaktycznym w specjalności statystyka matematyczna i teoria informacji, w badaniu procedur statystycznych do analizy ciągów dyskretnych i zostały wykorzystane w /3/,/21/ przy uzasadnianiu bezpieczeństwa jednej klasy systemów informatycznych. Postanowienia dotyczące obrony:

Zmniejszenie problemu testowania hipotezy o pojedynczą sekwencję kolorów kulek z tego, że sekwencja ta została uzyskana w wyniku wyboru bez powracania do wyczerpania kulek z urny zawierającej kulki dwóch kolorów, a każdy taki wybór ma to samo prawdopodobieństwo do konstrukcji testów dopasowania do testowania hipotez w odpowiednim uogólnionym schemacie układu;

Ciągłość funkcji entropii Kullbacka - Leiblera - Sanova i odległości informacyjnej na nieskończenie wymiarowym simpleksie z wprowadzoną metryką logarytmiczną uogólnioną;

Twierdzenie o zgrubnej (aż do logarytmicznej równoważności) asymptotyce prawdopodobieństw dużych odchyleń dla symetrycznych statystyk separowalnych, które nie spełniają warunku Cramera w uogólnionym schemacie alokacji w przypadku półosiowym;

Twierdzenie o zgrubnej (do równoważności logarytmicznej) asymptotykach prawdopodobieństw dużych odchyleń dla statystyki postaci (0,4);

Konstrukcja testu dobroci dopasowania do testowania hipotez w układach uogólnionych o najwyższej wartości wskaźnika w klasie kryteriów postaci (0,7).

Zatwierdzenie pracy. Wyniki przedstawiono na seminariach Katedry Matematyki Dyskretnej Instytutu Matematycznego. VA Steklova Rosyjskiej Akademii Nauk, Departament Bezpieczeństwa Informacji ITMiVT im. SA Lebedev RAS i na:

Piąte Ogólnorosyjskie Sympozjum Matematyki Stosowanej i Przemysłowej. Sesja wiosenna, Kisłowodzk, 2-8 maja 2004;

VI Międzynarodowa Konferencja Pietrozawodska "Metody probabilistyczne w matematyce dyskretnej" 10 - 16 czerwca 2004;

Druga międzynarodowa konferencja „Systemy i technologie informacyjne (IST” 2004)”, Mińsk, 8-10 listopada 2004;

Międzynarodowa konferencja "Współczesne problemy i nowe trendy w teorii prawdopodobieństwa", Czerniowce, Ukraina, 19 - 26 czerwca 2005.

Główne wyniki pracy wykorzystano w pracy badawczej „Apologia”, realizowanej przez ITMiHT RAS im. SA Lebiediew w interesie Federalnej Służby Kontroli Technicznej i Eksportu Federacji Rosyjskiej i zostały uwzględnione w sprawozdaniu z realizacji etapu B+R /21/. Niektóre wyniki rozprawy zostały zawarte w raporcie badawczym „Rozwój matematycznych problemów kryptografii” Akademii Kryptografii Federacji Rosyjskiej za rok 2004/22/.

Autor wyraża głęboką wdzięczność doradcy naukowemu, doktorowi fizyki i matematyki A.F. Ronzhinowi oraz doradcy naukowemu, doktorowi fizyki i matematyki, starszemu badaczowi A.V. cennych uwag.

Struktura i treść pracy.

Pierwszy rozdział bada własności entropii i odległości informacyjnej dla rozkładów na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych.

W pierwszym akapicie pierwszego rozdziału wprowadza się notację i niezbędne definicje. W szczególności stosuje się następującą notację: x = (xq, x \,.) Jest nieskończenie wymiarowym wektorem o policzalnej liczbie składników;

H (x) - -Ex ^ oXvlnx, -, truncm (x) = (x0, x1,., Xm, 0,0 ,.)] f2 * = (x, xu> 0, zy = 0,1 ,. , Oh"< 1}; Q = {х, х, >0, u = 0,1,., О xv = 1); = (x G 0, £ L0 = 7);

Ml = o Ue> 1 | 5 € o< Ml - 7МГ1 < 00}. Понятно, что множество £1 соответствует семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел, П7 - семейству вероятностных распределений на множестве неотрицательных целых чисел с математическим ожиданием 7.

Jeśli y e, to dla e> 0 przez Oe (y) oznaczymy zbiór

Oe (y) - (x ^< уие£ для всех v = 0,1,.}.

W drugiej części pierwszego rozdziału udowodniono twierdzenie o ograniczoności entropii rozkładów dyskretnych z ograniczonym oczekiwaniem.

Twierdzenie 1. O ograniczoności entropii rozkładów dyskretnych z ograniczonym oczekiwaniem.

Dla każdego w 6 P7

H (x)

Jeśli x € fly odpowiada rozkładowi geometrycznemu z matematyczną definicją 7, czyli 7 x „= (1-p) p \ v = 0,1,., gdzie p = -,

1 + 7 to równość

H (x) = F (<7).

Stwierdzenie twierdzenia można postrzegać jako wynik formalnego zastosowania metody mnożnika warunkowego Lagrange'a w przypadku nieskończonej liczby zmiennych. Twierdzenie, że jedynym rozkładem na zbiorze (k, k + 1, k + 2 ,.) o danym oczekiwaniu matematycznym i maksymalnej entropii jest rozkład geometryczny o danym oczekiwaniu matematycznym, jest podane (bez dowodu) w / 47 /. Autor przedstawił jednak rygorystyczny dowód.

W trzeciej części pierwszego rozdziału podana jest definicja metryki uogólnionej - metryki, która dopuszcza wartości nieskończone.

Dla x, y € Q, funkcję p (x, y) definiuje się jako minimalne e> 0 o własności yie ~ £<хи< уиее для всех и = 0,1,. Если такого е не существует, то полагается, что р(х,у) = оо.

Udowodniono, że funkcja p (x, y) jest metryką uogólnioną na rodzinę rozkładów na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych, jak również na całym zbiorze Cl *. Zamiast e w definicji metryki p (x, y) można użyć dowolnej liczby dodatniej innej niż 1. Otrzymane metryki będą się różnić o stałą multiplikatywną. Przez J (x, y) oznaczamy odległość informacyjną

00 £ J (x, y) = Е In-.

Tu i poniżej zakłada się, że 0 In 0 = 0,0 In jj = 0. Odległość informacyjna jest zdefiniowana dla takich x, y, że xn = 0 dla wszystkich i takie, że yi = 0. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to postawimy J (x, ij) = oo. Niech L SP. Wtedy będziemy oznaczać

J (A Y) = | nf J (x, y).

W czwartej części pierwszego rozdziału definiujemy zwartość funkcji zdefiniowanych na zbiorze Q*. Zwartość funkcji o policzalnej liczbie argumentów oznacza, że ​​z dowolnym stopniem dokładności wartość funkcji może być aproksymowana wartościami tej funkcji w punktach, w których tylko skończona liczba argumentów jest niezerowa. Wykazano zwartość funkcji entropii i odległości informacyjnej.

1. Dla dowolnego 0< 7 < оо функция Н(х) компактна на

2. Jeśli dla niektórych 0< 70 < оо

R e wtedy dla dowolnego 0<7<оо,г>0 funkcja x) = J (x, p) jest zwarta na zbiorze 7] Og (p).

W piątej części pierwszego rozdziału rozważane są właściwości odległości informacyjnej określonej w przestrzeni nieskończenie wymiarowej. W porównaniu z przypadkiem skończenie wymiarowym sytuacja z ciągłością informacyjnej funkcji odległości zmienia się jakościowo. Wykazano, że funkcja odległości informacji nie jest ciągła na zbiorze w żadnej z metryk

Pl i V) = E \ Xi ~ Y \, u = 0

E (xv - Yi) 2 v = Q

P3 (x, y) = 8Up \ xu-yv \. v

Dla funkcji entropii H (x) i odległości informacyjnej J (x, p) udowodniono następujące nierówności:

1. Dla dowolnego x, x „€ fi

H (x) - H (x ") \< - 1){Н{х) + Н{х")).

2. Jeżeli dla jakiegoś x, p e istnieje e>0 takie, że x 6 0 £ (p), to dla dowolnego x "e Q J (x, p) - J (x", p) |< (е"М - 1){Н{х) + Н{х") + ееН(р)).

Biorąc pod uwagę Twierdzenie 1, nierówności te implikują jednorodną ciągłość funkcji entropii i odległości informacyjnej na odpowiednich podzbiorach Q w metryce p (x, y) t, a mianowicie:

1. Dla dowolnych 7 takich, że 0< 7 < оо, функция Н(х) равномерно непрерывна на Г2 в метрике р(ж,у);

2. Jeśli za jakieś 70, 0< 70 < оо

WTEDY dla dowolnego 0<7<оои£>0 funkcja

A p (x) = J (x, p) jest jednostajnie ciągła na zbiorze Oe (p) w metryce p (x, y).

Podano definicję nieskrajności funkcji. Warunek nieekstremalny oznacza, że ​​funkcja nie ma ekstremów lokalnych lub funkcja przyjmuje te same wartości na minimach lokalnych (maksymach lokalnych). Warunek braku ekstremów osłabia wymóg braku ekstremów lokalnych. Na przykład funkcja sin x na zbiorze liczb rzeczywistych ma ekstrema lokalne, ale spełnia warunek nieskrajności.

Niech dla jakiegoś 7> 0, obszar A jest określony przez warunek

A = (x € VLv4> (x)> a), (0,9) gdzie φ (x) jest funkcją o wartościach rzeczywistych, a jest pewną rzeczywistą stałą, inf φ (x)< а < inf ф(х).

Badano pytanie, w jakich warunkach na funkcji φ przy zmianie parametrów n, N w obszarze centralnym, ^ -; 7, dla wszystkich dostatecznie dużych ich wartości istnieją nieujemne liczby całkowite ko, k1,., Kn takie, że k0 + ki +. + kn = N, k \ + 2k2. + pkp - N i

Ф (ko k \ kn

- £, 0,0,.)> A.

Udowodniono, że do tego wystarczy, aby funkcja φ była nieekstremalna, zwarta i ciągła w metryce p (x, y), a także, że dla co najmniej jednego punktu x spełniającego (0,9) dla pewnego ε> 0 istnieje moment skończony stopnia 1 + e i x „> 0 dla dowolnego v = 0,1 ,.

W drugim rozdziale badane jest zgrubne (do równoważności logarytmicznej) asymptotyczne zachowanie prawdopodobieństwa dużych odchyleń funkcji od A = (^ 0) ■) C "n, 0,.) - liczba komórek o danej wypełnienie centralnego obszaru zmienności parametrów N, n. asymptotyki prawdopodobieństw dużych odchyleń jest wystarczające do badania wskaźników testów dobroci dopasowania.

Niech zmienne losowe ^ w (0,2) będą miały identyczny rozkład i

P (z), funkcja tworząca zmiennej losowej, zbiega się w okręgu o promieniu 1< R < оо. Следуя /38/, для 0 < z < R обозначим через £(z) случайную величину такую, что

Ml + £ = £ i1 + ex „< 00.

0,10) k] = Pk, k = 0,1 ,.

Oznaczamy

Jeżeli istnieje rozwiązanie równania m Z(z) = b, to jest ono jednoznaczne /38/. W dalszej części założymy, że pk> 0, A; = 0,1 ,.

W pierwszym akapicie pierwszej części rozdziału drugiego znajdujemy asymptotykę logarytmów prawdopodobieństw postaci

1nP (/ x0 = ko,., Cn = kn).

Udowodniono następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Zgrubne lokalne twierdzenie o prawdopodobieństwach dużych odchyleń. Niech n, N - »oo tak, że jj -> 7,0<7 < оо, существует z7 - корень уравнения M£(z) = 7, с. в. £(г7) имеет положительную дисперсию. Тогда для любого k G Cl(n,N)

1nP (D = k) = JftpK)) + O (^ lniV).

Twierdzenie twierdzenia wynika bezpośrednio ze wzoru na łączny rozkład fii ,. fin w / 26 / i następujące oszacowanie: jeśli nieujemne wartości całkowite, Нп spełniają warunek

Cześć + 2d2 + + PNn = n, to liczba niezerowych wartości między nimi wynosi 0 (n / n). To przybliżone oszacowanie, które nie twierdzi, że jest nowe. Liczba niezerowych μg w uogólnionych schematach alokacji nie przekracza wartości maksymalnego wypełnienia komórek, która w regionie centralnym z prawdopodobieństwem dążącym do 1 nie przekracza wartości O(lnn)/25/,/27/. Niemniej jednak otrzymane oszacowanie 0 (y/n) jest spełnione z prawdopodobieństwem 1 i wystarcza do uzyskania przybliżonej asymptotyki.

W drugim akapicie pierwszego akapitu drugiego rozdziału, wartość limitu znajduje się, gdzie adr jest ciągiem liczb rzeczywistych zbieżnych do pewnego G R, φ (x) jest funkcją o wartościach rzeczywistych. Udowodniono następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3. Zgrubne twierdzenie całkowe o prawdopodobieństwach dużych odchyleń. Niech warunki Twierdzenia 2 będą spełnione, dla pewnego r> 0, C> 0 funkcja rzeczywista φ (x) jest zwarta, jednostajnie ciągła w metryce p na zbiorze

A = 0 lub +<;(p(z7)) П Ц7+с] и удовлетворяет условию неэкстремальности на множестве fly. Если для некоторой константы а такой, что inf ф(х) < а < sup ф(х). xeily существует вектор ра € fi7 П 0r(p(z7)); такой, что

Ф (pa)> a i j (( (x)> a, xe 7), p (2; 7)) = 7 (pa, p (* y)) mo dla dowolnego ciągu a ^ zbieżnego do a,